浙江省2025屆高考數(shù)學一輪復習第八章立體幾何與空間向量第3節(jié)空間點直線平面之間的位置關系含解析

PAGE第3節(jié)空間點、直線、平面之間的位置關系考試要求1.理解空間直線、平面位置關系的定義；2.了解可以作為推理依據(jù)的公理和定理；3.能運用公理、定理和已獲得的結論證明一些空間位置關系的簡潔命題.知識梳理1.平面的基本性質(zhì)(1)公理1：假如一條直線上的兩點在一個平面內(nèi)，那么這條直線在此平面內(nèi).(2)公理2：過不在同一條直線上的三點，有且只有一個平面.(3)公理3：假如兩個不重合的平面有一個公共點，那么它們有且只有一條過該點的公共直線.2.空間點、直線、平面之間的位置關系直線與直線直線與平面平面與平面平行關系圖形語言符號語言a∥ba∥αα∥β相交關系圖形語言符號語言a∩b＝Aa∩α＝Aα∩β＝l獨有關系圖形語言符號語言a，b是異面直線a?α3.平行公理(公理4)和等角定理平行公理：平行于同一條直線的兩條直線相互平行.等角定理：空間中假如兩個角的兩邊分別對應平行，那么這兩個角相等或互補.4.異面直線所成的角(1)定義：設a，b是兩條異面直線，經(jīng)過空間任一點O作直線a′∥a，b′∥b，把a′與b′所成的銳角(或直角)叫做異面直線a與b所成的角(或夾角).(2)范圍：eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2))).[常用結論與易錯提示]1.異面直線易誤會為“分別在兩個不同平面內(nèi)的兩條直線為異面直線”，實質(zhì)上兩異面直線不能確定任何一個平面，因此異面直線既不平行，也不相交.2.直線與平面的位置關系在推斷時最易忽視“線在面內(nèi)”.3.兩異面直線所成的角歸結到一個三角形的內(nèi)角時，簡潔忽視這個三角形的內(nèi)角可能等于兩異面直線所成的角，也可能等于其補角.診斷自測1.推斷下列說法的正誤.(1)兩個平面α，β有一個公共點A，就說α，β相交于過A點的隨意一條直線.()(2)兩兩相交的三條直線最多可以確定三個平面.()(3)假如兩個平面有三個公共點，則這兩個平面重合.()(4)若直線a不平行于平面α，且a?α，則α內(nèi)的全部直線與a異面.()解析(1)假如兩個不重合的平面有一個公共點，那么它們有且只有一條過該點的公共直線，故錯誤.(3)假如兩個平面有三個公共點，則這兩個平面相交或重合，故錯誤.(4)由于a不平行于平面α，且a?α，則a與平面α相交，故平面α內(nèi)有與a相交的直線，故錯誤.答案(1)×(2)√(3)×(4)×2.(必修2P52B1(2)改編)如圖所示，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是AB，AD的中點，則異面直線B1C與EF所成的角的大小為()A.30° B.45°C.60° D.90°解析連接B1D1，D1C，則B1D1∥EF，故∠D1B1C為所求的角.又B1D1＝B1C＝D1C，∴∠D1B1C＝60°.答案C3.在下列命題中，不是公理的是()A.平行于同一個平面的兩個平面相互平行B.過不在同一條直線上的三點，有且只有一個平面C.假如一條直線上的兩點在一個平面內(nèi)，那么這條直線上全部的點都在此平面內(nèi)D.假如兩個不重合的平面有一個公共點，那么它們有且只有一條過該點的公共直線解析選項A是面面平行的性質(zhì)定理，是由公理推證出來的.答案A4.已知直線a，b分別在兩個不同的平面α，β內(nèi)，則“直線a和直線b相交”是“平面α和平面β相交”的()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件解析由題意知a?α，b?β，若a，b相交，則a，b有公共點，從而α，β有公共點，可得出α，β相交；反之，若α，β相交，則a，b的位置關系可能為平行、相交或異面.因此“直線a和直線b相交”是“平面α和平面β相交”的充分不必要條件.答案A5.若直線a⊥b，且直線a∥平面α，則直線b與平面α的位置關系是________.答案b與α相交或b∥α或b?α6.如圖所示，平面α，β，γ兩兩相交，a，b，c為三條交線，且a∥b，則a與c的位置關系是________；b與c的位置關系是________.答案a∥cb∥c考點一平面的基本性質(zhì)及應用【例1】如圖所示，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是AB，AA1的中點.求證：(1)E，C，D1，F(xiàn)四點共面；(2)CE，D1F，DA三線共點.證明(1)如圖，連接EF，CD1，A1B.∵E，F(xiàn)分別是AB，AA1的中點，∴EF∥A1B.又A1B∥CD1，∴EF∥CD1，∴E，C，D1，F(xiàn)四點共面.(2)∵EF∥CD1，EF<CD1，∴CE與D1F必相交，設交點為P，則由P∈CE，CE?平面ABCD，得P∈平面ABCD.同理P∈平面ADD1A1.又平面ABCD∩平面ADD1A1＝DA，∴P∈直線DA.∴CE，D1F，DA三線共點.規(guī)律方法(1)證明線共面或點共面的常用方法①干脆法，證明直線平行或相交，從而證明線共面.②納入平面法，先確定一個平面，再證明有關點、線在此平面內(nèi).③協(xié)助平面法，先證明有關的點、線確定平面α，再證明其余元素確定平面β，最終證明平面α，β重合.(2)證明點共線問題的常用方法①基本性質(zhì)法，一般轉(zhuǎn)化為證明這些點是某兩個平面的公共點，再依據(jù)基本性質(zhì)3證明這些點都在這兩個平面的交線上.②納入直線法，選擇其中兩點確定一條直線，然后證明其余點也在該直線上.【訓練1】如圖所示，四邊形ABEF和ABCD都是梯形，BC綉eq\f(1,2)AD，BE綉eq\f(1,2)FA，G，H分別為FA，F(xiàn)D的中點.(1)證明：四邊形BCHG是平行四邊形；(2)C，D，F(xiàn)，E四點是否共面？為什么？(1)證明由已知FG＝GA，F(xiàn)H＝HD，可得GH綉eq\f(1,2)AD.又BC綉eq\f(1,2)AD，∴GH綉B(tài)C，∴四邊形BCHG為平行四邊形.(2)解∵BE綉eq\f(1,2)AF，G為FA的中點，∴BE綉FG，∴四邊形BEFG為平行四邊形，∴EF∥BG.由(1)知BG綉CH，∴EF∥CH，∴EF與CH共面.又D∈FH，∴C，D，F(xiàn)，E四點共面.考點二推斷空間兩直線的位置關系【例2】(1)(一題多解)若直線l1和l2是異面直線，l1在平面α內(nèi)，l2在平面β內(nèi)，l是平面α與平面β的交線，則下列命題正確的是()A.l與l1，l2都不相交B.l與l1，l2都相交C.l至多與l1，l2中的一條相交D.l至少與l1，l2中的一條相交(2)如圖，G，H，M，N分別是正三棱柱的頂點或所在棱的中點，則表示直線GH，MN是異面直線的圖形有________(填上全部正確答案的序號).解析(1)法一由于l與直線l1，l2分別共面，故直線l與l1，l2要么都不相交，要么至少與l1，l2中的一條相交.若l∥l1，l∥l2，則l1∥l2，這與l1，l2是異面直線沖突.故l至少與l1，l2中的一條相交.法二如圖1，l1與l2是異面直線，l1與l平行，l2與l相交，故A，B不正確；如圖2，l1與l2是異面直線，l1，l2都與l相交，故C不正確.(2)在圖①中，直線GH∥MN；在圖②中，G，H，N三點共面，但M?平面GHN，N?GH，因此直線GH與MN異面；在圖③中，連接GM，GM∥HN，因此GH與MN共面；在圖④中，G，M，N共面，但H?平面GMN，G?MN，因此GH與MN異面.所以在圖②④中GH與MN異面.答案(1)D(2)②④規(guī)律方法(1)異面直線的判定方法①反證法：先假設兩條直線不是異面直線，即兩條直線平行或相交，由假設動身，經(jīng)過嚴格的推理，導出沖突，從而否定假設，確定兩條直線異面.②定理：平面外一點A與平面內(nèi)一點B的連線和平面內(nèi)不經(jīng)過點B的直線是異面直線.(2)點、線、面位置關系的判定，要留意幾何模型的選取，常借助正方體為模型，以正方體為主線直觀感知并相識空間點、線、面的位置關系.【訓練2】(1)如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，M，N分別是BC1，CD1的中點，則下列推斷錯誤的是()A.MN與CC1垂直B.MN與AC垂直C.MN與BD平行D.MN與A1B1平行(2)已知a，b，c表示不同的直線，M表示平面，給出四個命題：①若a∥M，b∥M，則a∥b或a，b相交或a，b異面；②若b?M，a∥b，則a∥M；③若a⊥c，b⊥c，則a∥b；④若a⊥M，b⊥M，則a∥b.其中正確的為()A.①④ B.②③C.③④ D.①②解析(1)如圖，連接C1D，在△C1DB中，MN∥BD，故C正確；∵CC1⊥平面ABCD，BD?平面ABCD，∴CC1⊥BD，∴MN⊥CC1，故A正確；∵AC⊥BD，MN∥BD，∴MN⊥AC，故B正確；∵A1B1與BD異面，MN∥BD，∴MN與A1B1不行能平行，故選項D錯誤.(2)對于①，當a∥M，b∥M時，則a與b平行、相交或異面，①為真命題.②中，b?M，a∥b，則a∥M或a?M，②為假命題.命題③中，a與b相交、平行或異面，③為假命題.由線面垂直的性質(zhì)，命題④為真命題，所以①，④為真命題.答案(1)D(2)A考點三異面直線所成的角【例3】(1)如圖所示，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，D是AC的中點，AA1∶AB＝eq\r(2)∶1，則異面直線AB1與BD所成的角為________.(2)已知平面α過正方體ABCD－A1B1C1D1的頂點A，α∥平面CB1D1，α∩平面ABCD＝m，α∩平面ABB1A1＝n，則m，n所成角的正弦值為()A.eq\f(\r(3),2) B.eq\f(\r(2),2)C.eq\f(\r(3),3) D.eq\f(1,3)解析(1)取A1C1的中點E，連接B1E，ED，AE，在Rt△AB1E中，∠AB1E為異面直線AB1與BD所成的角.設AB＝1，則A1A＝eq\r(2)，AB1＝eq\r(3)，B1E＝eq\f(\r(3),2)，cos∠AB1E＝eq\f(B1E,AB1)＝eq\f(1,2)，故∠AB1E＝60°.(2)依據(jù)平面與平面平行的性質(zhì)，將m，n所成的角轉(zhuǎn)化為平面CB1D1與平面ABCD的交線及平面CB1D1與平面ABB1A1的交線所成的角.設平面CB1D1∩平面ABCD＝m1.∵平面α∥平面CB1D1，∴m1∥m.又平面ABCD∥平面A1B1C1D1，且平面CB1D1∩平面A1B1C1D1＝B1D1，∴B1D1∥m1，∴B1D1∥m.∵平面ABB1A1∥平面DCC1D1，且平面CB1D1∩平面DCC1D1＝CD1，同理可證CD1∥n.因此直線m與n所成的角即直線B1D1與CD1所成的角.在正方體ABCD－A1B1C1D1中，△CB1D1是正三角形，故直線B1D1與CD1所成角為60°，其正弦值為eq\f(\r(3),2).答案(1)60°(2)A規(guī)律方法(1)求異面直線所成的角常用方法是平移法，平移方法一般有三種類型：利用圖中已有的平行線平移；利用特別點(線段的端點或中點)作平行線平移；補形平移.(2)求異面直線所成角的三個步驟①作：通過作平行線，得到相交直線的夾角.②證：證明相交直線夾角為異面直線所成的角.③求：解三角形，求出作出的角，假如求出的角是銳角或直角，則它就是要求的角，假如求出的角是鈍角，則它的補角才是要求的角.【訓練3】(1)已知圓柱Ω的母線長為l，底面半徑為r，O是上底面圓心，A，B是下底面圓周上的兩個不同的點，BC是母線，如圖.若直線OA與BC所成角的大小為eq\f(π,6)，則eq\f(l,r)＝________.(2)(一題多解)已知直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠ABC＝120°，AB＝2，BC＝CC1＝1，則異面直線AB1與BC1所成角的余弦值為()A.eq\f(\r(3),2) B.eq\f(\r(15),5)C.eq\f(\r(10),5) D.eq\f(\r(3),3)解析(1)由題知，taneq\f(π,6)＝eq\f(r,l)＝eq\f(\r(3),3)?eq\f(l,r)＝eq\r(3).(2)法一以B為原點，建立如圖(1)所示的空間直角坐標系.圖(1)圖(2)則B(0，0，0)，B1(0，0，1)，C1(1，0，1).又在△ABC中，∠ABC＝120°，AB＝2，則A(－1，eq\r(3)，0).所以eq\o(AB1,\s\up6(→))＝(1，－eq\r(3)，1)，eq\o(BC1,\s\up6(→))＝(1，0，1)，則cos〈eq\o(AB1,\s\up6(→))，eq\o(BC1,\s\up6(→))〉＝eq\f(\o(AB1,\s\up6(→))·\o(BC1,\s\up6(→)),|\o(AB1,\s\up6(→))|·|\o(BC1,\s\up6(→))|)＝eq\f(（1，－\r(3)，1）·（1，0，1）,\r(5)×\r(2))＝eq\f(2,\r(5)×\r(2))＝eq\f(\r(10),5)，因此，異面直線AB1與BC1所成角的余弦值為eq\f(\r(10),5).法二如圖(2)，設M，N，P分別為AB，BB1，B1C1中點，則PN∥BC1，MN∥AB1，∴AB1與BC1所成的角是∠MNP或其補角.∵AB＝2，BC＝CC1＝1，∴MN＝eq\f(1,2)AB1＝eq\f(\r(5),2)，NP＝eq\f(1,2)BC1＝eq\f(\r(2),2).取BC的中點Q，連接PQ，MQ，則可知△PQM為直角三角形，且PQ＝1，MQ＝eq\f(1,2)AC，在△ABC中，AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cos∠ABC＝4＋1－2×2×1×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＝7，AC＝eq\r(7)，則MQ＝eq\f(\r(7),2)，則在△MQP中，MP＝eq\r(MQ2＋PQ2)＝eq\f(\r(11),2)，在△PMN中，cos∠PNM＝eq\f(MN2＋NP2－PM2,2·MN·NP)＝eq\f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(5),2)))\s\up12(2)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)))\s\up12(2)－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(11),2)))\s\up12(2),2×\f(\r(5),2)×\f(\r(2),2))＝－eq\f(\r(10),5)，又異面直線所成角范圍為eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，故AB1與BC1所成角的余弦值為eq\f(\r(10),5).答案(1)eq\r(3)(2)C基礎鞏固題組一、選擇題1.已知l1，l2表示空間中的兩條直線，若p：l1，l2是異面直線；q：l1，l2不相交，則()A.p是q的充分條件，但不是q的必要條件B.p是q的必要條件，但不是q的充分條件C.p是q的充分必要條件D.p既不是q的充分條件，也不是q的必要條件解析直線l1，l2是異面直線，確定有l(wèi)1與l2不相交，因此p是q的充分條件；若l1與l2不相交，那么l1與l2可能平行，也可能是異面直線，所以p不是q的必要條件.故選A.答案A2.已知直線a和平面α，β，α∩β＝l，a?α，a?β，且a在α，β內(nèi)的射影分別為直線b和c，則直線b和c的位置關系是()A.相交或平行 B.相交或異面C.平行或異面 D.相交、平行或異面解析依題意，直線b和c的位置關系可能是相交、平行或異面，選D.答案D3.給出下列說法：①梯形的四個頂點共面；②三條平行直線共面；③有三個公共點的兩個平面重合；④三條直線兩兩相交，可以確定1個或3個平面.其中正確的序號是()A.① B.①④C.②③ D.③④解析明顯命題①正確.由于三棱柱的三條平行棱不共面，②錯.命題③中，兩個平面重合或相交，③錯.三條直線兩兩相交，可確定1個或3個平面，則命題④正確.答案B4.已知a，b，c是兩兩不同的三條直線，下面四個命題中，真命題是()A.若直線a，b異面，b，c異面，則a，c異面B.若直線a，b相交，b，c相交，則a，c相交C.若a∥b，則a，b與c所成的角相等D.若a⊥b，b⊥c，則a∥c解析若直線a，b異面，b，c異面，則a，c相交、平行或異面；若a，b相交，b，c相交，則a，c相交、平行或異面；若a⊥b，b⊥c，則a，c相交、平行或異面；由異面直線所成的角的定義知C正確.故選C.答案C5.已知正方體ABCD－A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別為BB1，CC1的中點，那么異面直線AE與D1F所成角的余弦值為()A.eq\f(4,5) B.eq\f(3,5)C.eq\f(2,3) D.eq\f(5,7)解析連接DF，則AE∥DF，∴∠D1FD為異面直線AE與D1F所成的角.設正方體棱長為a，則D1D＝a，DF＝eq\f(\r(5),2)a，D1F＝eq\f(\r(5),2)a，∴cos∠D1FD＝eq\f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(5),2)a))\s\up12(2)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(5),2)a))\s\up12(2)－a2,2×\f(\r(5),2)a×\f(\r(5),2)a)＝eq\f(3,5).答案B6.(2024·北京豐臺區(qū)一模)矩形ABCD中，AB＝eq\r(3)，BC＝1，將△ABC與△ADC沿AC所在的直線進行隨意翻折，在翻折過程中直線AD與直線BC成的角范圍(包含初始狀態(tài))為()A.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,6))) B.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,3)))C.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2))) D.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(2π,3)))解析依據(jù)題意，初始狀態(tài)，直線AD與直線BC成的角為0，當BD＝eq\r(2)時，AD⊥DB，AD⊥DC，且DB∩DC＝D，所以AD⊥平面DBC，又BC?平面DBC，故AD⊥BC，直線AD與BC成的角為eq\f(π,2)，所以在翻折過程中直線AD與直線BC成的角范圍(包含初始狀態(tài))為eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2))).答案C二、填空題7.如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，M，N分別為棱C1D1，C1C的中點，則：(1)直線BN與MB1是________直線(填“相交”或“平行”或“異面”)；(2)直線MN與AC所成的角的大小為________.解析(1)M，B，B1三點共面，且在平面MBB1中，但N?平面MBB1，B?MB1，因此直線BN與MB1是異面直線；(2)連接D1C，因為D1C∥MN，所以直線MN與AC所成的角就是D1C與AC所成的角，且角為60°.答案(1)異面(2)60°8.如圖，正方體的底面與正四面體的底面在同一平面α上，且AB∥CD，則直線EF與正方體的六個面所在的平面相交的平面?zhèn)€數(shù)為________.解析取CD的中點H，連接EH，F(xiàn)H.在正四面體CDEF中，由于CD⊥EH，CD⊥HF，且EH∩FH＝H，所以CD⊥平面EFH，所以AB⊥平面EFH，則平面EFH與正方體的左右兩側面平行，則EF也與之平行，與其余四個平面相交.答案49.直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BCA＝90°，M，N分別是A1B1，A1C1的中點，BC＝CA＝CC1，則BM與AN所成角的余弦值為________.解析如圖所示，取BC中點D，連接MN，ND，AD.∵M，N分別是A1B1，A1C1的中點，∴MN綉eq\f(1,2)B1C1.又BD綉eq\f(1,2)B1C1，∴MN綉B(tài)D，則四邊形BDNM為平行四邊形，因此ND∥BM，∴∠AND為異面直線BM與AN所成的角(或其補角).設BC＝2，則BM＝ND＝eq\r(6)，AN＝eq\r(5)，AD＝eq\r(5)，在△ADN中，由余弦定理得cos∠AND＝eq\f(ND2＋AN2－AD2,2ND·AN)＝eq\f(\r(30),10).故異面直線BM與AN所成角的余弦值為eq\f(\r(30),10).答案eq\f(\r(30),10)10.如圖，△ABC是等腰直角三角形，AB＝AC，∠BCD＝90°，且BC＝eq\r(3)CD＝3.將△ABC沿BC的邊翻折，設點A在平面BCD上的射影為點M，若點M在△BCD內(nèi)部(含邊界)，則點M的軌跡的長度為__________；在翻折過程中，當點M位于線段BD上時，直線AB和CD所成的角的余弦值為__________.解析由題意可得點A的射影M的軌跡為△BCD的中位線，其長度為eq\f(1,2)CD＝eq\f(\r(3),2)；當點M位于線段BD上時，AM⊥平面BCD，取BC中點為N，AC中點為P，∴∠MNP或其補角即為直線AB和CD所成的角，則由中位線定理可得MN＝eq\f(1,2)CD＝eq\f(\r(3),2)，PN＝eq\f(1,2)AB＝eq\f(3\r(2),4)，又MP為Rt△AMC斜邊AC的中線，故MP＝eq\f(1,2)AC＝eq\f(3\r(2),4)，∴在△MNP中，由余弦定理可得cos∠MNP＝eq\f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)))\s\up12(2)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3\r(2),4)))\s\up12(2)－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3\r(2),4)))\s\up12(2),2×\f(\r(3),2)×\f(3\r(2),4))＝eq\f(\r(6),6).答案eq\f(\r(3),2)eq\f(\r(6),6)三、解答題11.如圖所示，正方體ABCD－A1B1C1D1中，M，N分別是A1B1，B1C1的中點.問：(1)AM和CN是否是異面直線？說明理由；(2)D1B和CC1是否是異面直線？說明理由.解(1)AM，CN不是異面直線.理由：連接MN，A1C1，AC.因為M，N分別是A1B1，B1C1的中點，所以MN∥A1C1.又因為A1A綉C1C，所以四邊形A1ACC1為平行四邊形，所以A1C1∥AC，所以MN∥AC，所以A，M，N，C在同一平面內(nèi)，故AM和CN不是異面直線.(2)直線D1B和CC1是異面直線.理由：因為ABCD－A1B1C1D1是正方體，所以B，C，C1，D1不共面.假設D1B與CC1不是異面直線，則存在平面α，使D1B?平面α，CC1?平面α，所以D1，B，C，C1∈α，這與B，C，C1，D1不共面沖突.所以假設不成立，即D1B和CC1是異面直線.12.如圖所示，在三棱錐P－ABC中，PA⊥底面ABC，D是PC的中點.已知∠BAC＝eq\f(π,2)，AB＝2，AC＝2eq\r(3)，PA＝2.求：(1)三棱錐P－ABC的體積；(2)異面直線BC與AD所成角的余弦值.解(1)S△ABC＝eq\f(1,2)×2×2eq\r(3)＝2eq\r(3)，三棱錐P－ABC的體積為V＝eq\f(1,3)S△ABC·PA＝eq\f(1,3)×2eq\r(3)×2＝eq\f(4,3)eq\r(3).(2)如圖，取PB的中點E，連接DE，AE，則ED∥BC，所以∠ADE是異面直線BC與AD所成的角(或其補角).在△ADE中，DE＝2，AE＝eq\r(2)，AD＝2，cos∠ADE＝eq\f(22＋22－（\r(2)）2,2×2×2)＝eq\f(3,4).故異面直線BC與AD所成角的余弦值為eq\f(3,4).實力提升題組13.以下四個命題中，①不共面的四點中，其中隨意三點不共線；②若點A，B，C，D共面，點A，B，C，E共面，則點A，B，C，D，E共面；③若直線a，b共面，直線a，c共面，則直線b，c共面；④依次首尾相接的四條線段必共面.正確命題的個數(shù)是()A.0 B.1C.2 D.3解析①假設其中有三點共線，則該直線和直線外的另一點確定一個平面，這與四點不共面沖突，故其中隨意三點不共線，所以①正確.②從條件看出兩平面有三個公共點A，B，C，但是若A，B，C共線，則結論不正確；③不正確；④不正確，因為此時所得的四邊形的四條邊可以不在一個平面上，如空間四邊形.答案B14.若空間中四條兩兩不同的直線l1，l2，l3，l4，滿意l1⊥l2，l2⊥l3，l3⊥l4，則下列結論確定正確的是()A.l1⊥l4B.l1∥l4C.l1與l4既不垂直也不平行D.l1與l4的位置關系不確定解析如圖，在長方體ABCD－A1B1C1D1中，記l1＝DD1，l2＝DC，l3＝DA.若l4＝AA1，滿意l1⊥l2，l2⊥l3，l3⊥l4，此時l1∥l4，可以解除選項A和C.若取C1D為l4，則l1與l4相交；若取BA為l4，則l1與l4異面；取C1D1為l4，則l1與l4相交且垂直.因此l1與l4的位置關系不能確定.答案D15.如圖，正方形ACDE與等腰直角三角形ACB所在的平面相互垂直，且AC＝BC＝2，∠ACB＝90°，F(xiàn)，G分別是線段AE，BC的中點，則AD與GF所成的角的余弦值為________.解析取DE的中點H，連接HF，GH.由題設，HF綉eq\f(1,2)AD.∴∠GFH為異面