中考數(shù)學二次函數(shù)壓軸題匯編

1.如圖，直線y=-2x+c與x軸交于點A(3,0),與y軸交于點B,拋物線

3

y=-Ax2+bx+c經(jīng)過點A,B.

3

(1)求點B的坐標和拋物線的解析式；

(2)M(m,0)為x軸上一動點，過點M且垂直于x軸的直線與直線AB及

拋物線分別交于點P,N.

①點M在線段0A上運動，若以B,P,N為頂點的三角形與AAPM相似，求點

M的坐標；

②點M在x軸上自由運動，若三個點M,P,N中恰有一點是其它兩點所連線

段的中點(三點重合除外)，則稱M,P,N三點為“共諧點”.請直接寫出

使得M,P,N三點成為“共諧點”的m的值.

2.如圖1,在平面直角坐標系xOy中，拋物線C:y=ax?+bx+c與x軸相交于

A,B兩點，頂點為D(0,4),AB=4V2,設(shè)點F(m,0)是x軸的正半軸上

一點，將拋物線C繞點F旋轉(zhuǎn)180°,得到新的拋物線C'.

(1)求拋物線C的函數(shù)表達式；

(2)若拋物線C'與拋物線C在y軸的右側(cè)有兩個不同的公共點，求m的取

值范圍.

(3)如圖2,P是第一象限內(nèi)拋物線C上一點，它到兩坐標軸的距離相等，

點P在拋物線C'上的對應點P',設(shè)M是C上的動點，N是C'上的動點，

試探究四邊形PMP，N能否成為正方形？若能，求出m的值；若不能，請說

明理由.

3.在平面直角坐標系xOy中的點P和圖形M,給出如下的定義：若在圖形M

上存在一點Q,使得P、Q兩點間的距離小于或等于1,則稱P為圖形M的關(guān)

聯(lián)點.

(1)當。0的半徑為2時，

①在點H(1,0),P2(1,亞)，P3(1,0)中，。。的關(guān)聯(lián)點是.

2222

②點P在直線y二-x上，若P為。0的關(guān)聯(lián)點，求點P的橫坐標的取值范圍.

(2)OC的圓心在x軸上，半徑為2,直線y=-x+1與x軸、y軸交于點A、

B.若線段AB上的所有點都是。C的關(guān)聯(lián)點，直接寫出圓心C的橫坐標的取

值范圍.

4.如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y=-x?+ax+b交x軸于A(1,0),B

(3,0)兩點，點P是拋物線上在第一象限內(nèi)的一點，直線BP與y軸相交

于點C.

(1)求拋物線尸-x?+ax+b的解析式；

(2)當點P是線段BC的中點時，求點P的坐標；

(3)在(2)的條件下，求sinNOCB的值.

v

5.如圖，拋物線y二-工x”bx+c與x軸交于點A和點B,與y軸交于點C,

2

點B坐標為(6,0),點C坐標為(0,6),點D是拋物線的頂點，過點D作

x軸的垂線，垂足為E,連接BD.

(1)求拋物線的解析式及點D的坐標；

(2)點F是拋物線上的動點，當NFBA二NBDE時，求點F的坐標；

(3)若點M是拋物線上的動點，過點M作MN〃x軸與拋物線交于點N,點P

在x軸上，點Q在坐標平面內(nèi)，以線段MN為對角線作正方形MPNQ,請寫出

點Q的坐標.

6.已知拋物線y=x?+bx-3(b是常數(shù))經(jīng)過點A(-1,0).

(1)求該拋物線的解析式和頂點坐標；

(2)P(m,t)為拋物線上的一個動點，P關(guān)于原點的對稱點為P'.

①當點P'落在該拋物線上時，求m的值；

②當點P'落在第二象限內(nèi)，P'A?取得最小值時，求m的值.

7.在同一直角坐標系中，拋物線G:y=ax?-2x-3與拋物線C2：y=x2+mx+n

關(guān)于y軸對稱，C2與x軸交于A、B兩點，其中點A在點B的左側(cè).

(1)求拋物線C2的函數(shù)表達式；

(2)求A、B兩點的坐標；

(3)在拋物線G上是否存在一點P,在拋物線C?上是否存在一點Q,使得以

AB為邊，且以A、B、P、Q四點為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，求

出P、Q兩點的坐標；若不存在，請說明理由.

8.已知函數(shù)y=-x?+(m-1)x+m(m為常數(shù)).

(1)該函數(shù)的圖象與x軸公共點的個數(shù)是

A.0B.1C.2D.1或2

(2)求證：不論m為何值，該函數(shù)的圖象的頂點都在函數(shù)y=(x+1)2的圖

象上.

(3)當-2WmW3時，求該函數(shù)的圖象的頂點縱坐標的取值范圍.

9.已知直線y=2x+m與拋物線y=ax，ax+b有一個公共點M(1,0),且aVb.

(I)求拋物線頂點Q的坐標(用含a的代數(shù)式表示)；

(II)說明直線與拋物線有兩個交點；

(III)直線與拋物線的另一個交點記為N.

(i)若求線段MN長度的取值范圍；

2

(ii)求△QMN面積的最小值.

10.在平面直角坐標系中，設(shè)二次函數(shù)y尸(x+a)(x-a-1),其中aHO.

(1)若函數(shù)y的圖象經(jīng)過點(1,-2),求函數(shù)”的表達式；

(2)若一次函數(shù)y尸ax+b的圖象與勿的圖象經(jīng)過x軸上同一點，探究實數(shù)a,

b滿足的關(guān)系式；

(3)已知點P(x0,m)和Q(1,n)在函數(shù)y1的圖象上，若mVn,求x。的

取值范圍.

11.定義：如圖1,拋物淺y=ax?+bx+c(aW0)與x軸交于A,B兩點，點P

在該拋物線上(P點與A、B兩點不重合)，如果4ABP的三邊滿足AP2+BP2=AB2,

(1)直接寫出拋物線y=-x?+1的勾股點的坐標.

(2)如圖2,已知拋物線C:y=ax2+bx(a豐0)與x軸交于A,B兩點，點P

(1,V3)是拋物線C的勾股點，求拋物線C的函數(shù)表達式.

(3)在(2)的條件下，點Q在拋物線C上，求滿足條件S^ABO=S△皿的Q點(異

于點P)的坐標.

12.如圖，二次函數(shù)y=x'+bx+c的圖象與x軸交于A、B兩點，與y軸交于

點C,0B=0C.點D在函數(shù)圖象上，CD〃x軸，且CD=2,直線I是拋物線的對

稱軸，E是拋物線的頂點.

(1)求b、c的值；

(2)如圖①，連接BE,線段0C上的點F關(guān)于直線I的對稱點F'恰好在線

段BE上，求點F的坐標；

(3)如圖②，動點P在線段0B上，過點P作x軸的垂線分別與BC交于點M,

與拋物線交于點N.試問：拋物線上是否存在點Q,使得APON與aAPM的面

積相等，且線段NQ的長度最?。咳绻嬖?，求出點Q的坐標；如果不存在,

B兩點(點A在點B的左側(cè))，與y軸交于點C,對稱軸與x軸交于點D,點

E(4,n)在拋物線上.

(1)求直線AE的解析式；

(2)點P為直線CE下方拋物線上的一點，連接PC,PE.當4PCE的面積最

大時，連接CD,CB,點K是線段CB的中點，點M是CP上的一點，點N是

CD上的一點，求KM+MN+NK的最小值；

(3)點G是線段CE的中點，將拋物線y二亞X2-2上x-5沿x軸正方向平

33

移得到新拋物線y',y’經(jīng)過點D,y，的頂點為點F.在新拋物線「的對

稱軸上，是否存在點Q,使得△FGQ為等腰三角彩？若存在，直接寫出點Q

的坐標；若不存在，請說明理由.

14.如圖，拋物線y=ax?+bx+2經(jīng)過點A(-1,0),B(4,0),交y軸于點C:

(1)求拋物線的解析式(用一般式表示)；

(2)點D為y軸右側(cè)拋物線上一點，是否存在點D使SAABC^SAABD?若存在

3

請直接給出點D坐標；若不存在請說明理由；

(3)將直線BC繞點B順時針旋轉(zhuǎn)45°,與拋物線交于另一點E,求BE的

長.

15.如圖，直線y=kx+b(k>b為常數(shù))分別與x軸、y軸交于點A(-4,0)、

B(0,3),拋物線y=-x?+2x+1與y軸交于點C.

(1)求直線y=kx+b的函數(shù)解析式；

(2)若點P(x,y)是拋物線y=-x?+2x+1上的任意一點，設(shè)點P到直線AB

的距離為d,求d關(guān)于x的函數(shù)解析式，并求d取最小值時點P的坐標；

(3)若點E在拋物線y=-x?+2x+1的對稱軸上移動，點F在直線AB上移動，

16.如圖，已知二次函數(shù)y=-4的圖象與x軸交于A,B兩點，與y軸交

9

于點C,0C的半徑為立，P為。C上一動點.

(1)點B,C的坐標分別為B(),C()；

(2)是否存在點P,使得APBC為直角三角形？若存在，求出點P的坐標;

若不存在，請說明理由；

(3)連接PB,若E為PB的中點，連接0E,則0E的最大值二

17.已知點A(-1,1)、B(4,6)在拋物線y=ax?+bx上

(1)求拋物線的解析式；

(2)如圖1,點F的坐標為(0,m)(m>2),直線AF交拋物線于另一點G,

過點G作x軸的垂線，垂足為H.設(shè)拋物線與x軸的正半軸交于點E,連接

FH、AE,求證:FH/7AE;

(3)如圖2,直線AB分別交x軸、y軸于C、D兩點.點P從點C出發(fā)，沿

射線CD方向勻速運動，速度為每秒五

個單位長度；同時點Q從原點0出發(fā)，沿x軸正方向勻送運動，速度為每秒

1個單位長度.點M是直線PQ與拋物線的一個交點，當運動到t秒時，QM=2PM,

直接寫出t的值.

18.已知直線y=kx+b與拋物線y=ax?(a>0)相交于A、B兩點(點A在點B

的左側(cè))，與y軸正半軸相交于點C,過點A作ADJ_x軸，垂足為D.

(1)若NA0B=60°,AB〃x軸，AB=2,求a的值；

(2)若NA0B=90°,點A的橫坐標為-4,AC=4BC,求點B的坐標；

(3)延長AD、B0相交于點E,求證：DE=C0.

19.如圖，拋物線y二mx?-16mx+48m(m>0)與x軸交于A,B兩點(點B在

點A左側(cè))，與y軸交于點C,點D是拋物線上的一個動點，且位于第四象限,

連接OD、BD、AC、AD,延長AD交y軸于點E.

(1)若AOAC為等腰直角三角形，求m的值；

(2)若對任意m>0,C、E兩點總關(guān)于原點對稱，求點D的坐標(用含m的

式子表示)；

(3)當點D運動到某一位置時，恰好使得NODB二NOAD,且點D為線段AE

2

的中點，此時對于該拋物線上任意一點P(x0,y0)總有n+-L^-4V5ny0-

6

12djyo-5O成立，求實數(shù)n的最小值.

%

20.如圖，在平面直角坐標系中，直線y二工x+2與x軸交于點A,與y軸交

2

于點C,拋物線y=-gx?+bx+c經(jīng)過A、C兩點，與x軸的另一交點為點B.

2

(1)求拋物線的函數(shù)表達式;

(2)點D為直線AC上方拋物線上一動點，

①連接BC、CD,設(shè)直線BD交線段AC于點E,4CDE的面積為ZkBCE的

面積為Sz,求-L的最大值;

S2

②過點D作DF-LAC,垂足為點F,連接CD,是否存在點D,使得4CDF中的

某個角恰好等于NBAC的2倍？若存在，求點D的橫坐標；若不存在，請說

明理由.

21.在平面直角坐標系xOy中，拋物線y=ax，bx+c的開口向上，且經(jīng)過點A

(0,1)

2

(1)若此拋物線經(jīng)過點B(2,-1),且與x軸相交于點E,F.

2

①填空：b=(用含a的代數(shù)式表示)；

②當EF?的值最小時，求拋物線的解析式；

(2)若a=工，當0WxW1,拋物線上的點到x軸距離的最大值為3時，求b

2

的值.

22.如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y=ax%bx+1交y軸于點A,交x軸

正半軸于點B(4,0),與過A點的直線相交于另一點D(3,1),過點D作

2

DC_Lx軸，垂足為C.

(1)求拋物線的表達式；

(2)點P在線段0C上(不與點0、C重合)，過P作PN_Lx軸，交直線AD

于M,交拋物線于點N,連接CM,求APCM面積的最大值;

(3)若P是x軸正邛軸上的一動點，設(shè)0P的長為t,是否存在t,使以點M、

C、D、N為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，求出t的值；若不存在,

-3),與x軸負半軸交于點B,

(1)求拋物線的解析式；

(2)點D在y軸上，且NBDO二NBAC,求點D的坐標；

(3)點M在拋物線上，點N在拋物線的對稱軸上，是否存在以點A,B,M,

N為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，求出所有符合條件的點M的坐標;

若不存在，請說明理由.

24.已知函數(shù)y二mx?-(2m-5)x+m-2的圖象與x軸有兩個公共點.

(1)求m的取值范圍，并寫出當m取范圍內(nèi)最大整數(shù)時函數(shù)的解析式；

(2)題(1)中求得的函數(shù)記為Ci.

①當nWxW-1時，v的取值范圍是1WyW-3n,求n的值；

②函數(shù)Cz：y=m(x-h)2+k的圖象由函數(shù)G的圖象平移得到，其頂點P落在

以原點為圓心，半徑為的的圓內(nèi)或圓上.設(shè)函數(shù)G的圖象頂點為M,求點P

與點M距離最大時函數(shù)C?的解析式.

25.如圖，拋物線y二工x?+Lx+c與x軸的負半軸交于點A,與y軸交于點B,

4

連結(jié)AB,點C（6,三）在拋物線上，直線AC與y軸交于點D.

2

(1)求c的值及直線AC的函數(shù)表達式；

(2)點P在x軸正半軸上，點Q在y軸正半軸上，連結(jié)PQ與直線AC交于

點M,連結(jié)M0并延長交AB于點N,若M為PQ的中點.

①求證：△APMs^AON；

②設(shè)點M的橫坐標為m,求AN的長(用含m的代數(shù)式表示).

26.如圖，過拋物線y二工x—2x上一點A作x軸的平行線，交拋物線于另一

4

點B,交y軸于點C,已知點A的橫坐標為-2.

(1)求拋物線的對稱軸和點B的坐標；

(2)在AB上任取一點P,連結(jié)0P,作點C關(guān)于直線0P的對稱點D;

①連結(jié)BD,求BD的最小值；

②當點D落在拋物線的對稱軸上，且在x軸上方時，求直線PD的函數(shù)表達

27.如圖，已知拋物線y=ax2+bx+c(aWO)的圖象的頂點坐標是(2,1),

并且經(jīng)過點(4,2),直線y二工x+1與拋物線交于B,D兩點，以BD為直徑作

2

圓，圓心為點C,圓C與直線m交于對稱軸右側(cè)的點M(t,1),直線m上每

一點的縱坐標都等于1.

(1)求拋物線的解析式；

(2)證明：圓C與x軸相切；

(3)過點B作垂足為E,再過點D作DF_Lm,垂足為F,求BE:MF

的值.

28.平面直南坐標系xOy中，點A、B的橫坐標分別為a、a+2,二次函數(shù)尸

-x2+(m-2)x+2m的圖象經(jīng)過點A、B,且a、m滿足2a-m=d(d為常數(shù)).

(1)若一次函數(shù)yFkx+b的圖象經(jīng)過A、B兩點.

①當a=1、d=-1時，求k的值；

②若勿隨x的增大而減小，求d的取值范圍；

(2)當d=-4且aH-2、a羊-4時，判斷直線AB與x軸的位置關(guān)系，并

說明理由；

(3)點A、B的位置隨著a的變化而變化，設(shè)點A、B運動的路線與y軸分

別相交于點C、D,線段CD的長度會發(fā)生變化嗎？如果不變，求出CD的長；

如果變化，請說明理由.

29.如圖，拋物線y二-與x軸交于A、B兩點(點A在點B

93

的左側(cè))，與y軸交于點C,連接AC、BC.點P沿AC以每秒1個單位長度的

速度由點A向點C運動，同時，點Q沿B0以每秒2個單位長度的速度由點B

向點0運動，當一個點停止運動時，另一個點也隨之停止運動，連接PQ.過

點Q作QDJ_x軸，與拋物線交于點D,與BC交于點E,連接PD,與BC交于

點F.設(shè)點P的運動時間為t秒(t>0).

(1)求直線BC的函數(shù)表達式；

(2)①直接寫出P,D兩點的坐標(用含t的代數(shù)式表示，結(jié)果需化簡)

②在點P、Q運動的過程中，當PQ=PD時，求t的值；

(3)試探究在點P,Q運動的過程中，是否存在某一時刻，使得點F為PD

的中點？若存在，請直接寫出此時t的值與點F的坐標；若不存在，請說明

理由.

30.如圖，在平面直角坐標系xOy中，拋物線y=x?-2x-3交x軸于A,B兩

點(點A在點B的左側(cè))，將該拋物線位于x軸上方曲線記作M,將該拋物線

位于x軸下方部分沿x軸翻折，翻折后所得曲線記作N,曲線N交y軸于點

C,連接AC、BC.

(1)求曲線N所在拋物線相應的函數(shù)表達式；

(2)求AABC外接圓的半徑；

(3)點P為曲線M或曲線N上的一動點，點Q為x軸上的一個動點，若以

求點Q的坐標.

31.如圖，是將拋物線y=-x2平移后得到的拋物線，其對稱軸為x=1,與x

軸的一個交點為A(-1,0),另一個交點為B,與y軸的交點為C.

(1)求拋物線的函數(shù)表達式;

(2)若點N為拋物線上一點，且BC_LNC,求點N的坐標；

(3)點P是拋物線上一點，點Q是一次函數(shù)y=Wx+0的圖象上一點，若四邊

22

形0APQ為平行四邊形，這樣的點P、Q是否存在？若存在，分別求出點P、Q

32.如圖，已知二次函數(shù)y=ax?+bx+3(a手0)的圖象經(jīng)過點A(3,0),B(4,

1),且與y軸交于點C,連接AB、AC、BC.

(1)求此二次函數(shù)的關(guān)系式;

(2)判斷4ABC的形狀；若4ABC的外接圓記為。M,請直接寫出圓心M的

坐標;

(3)若將拋物線沿射線BA方向平移，平移后點A、B、C的對應點分別記為

點A］、B,>G,△ABG的外接圓記為。林，是否存在某個位置，使。經(jīng)過

原點？若存在，求出此時拋物線的關(guān)系式；若不存在，請說明理由.

33.拋物線y=4x?-2ax+b與x軸相交于A(x1,0),B(x2,0)(0<Xi<x2)

兩點，與y軸交于點C.

(1)設(shè)AB=2,tanZABC=4,求該拋物線的解析式；

(2)在(1)中，若點D為直線BC下方拋物線上一動點，當^BCD的面積最

大時，求點D的坐標；

(3)是否存在整數(shù)a,b使得1VxiV2和1Vx2V2同時成立，請證明你的

結(jié)論.

34.如圖，已知二次函數(shù)y=ax?+bx+c(a#=0)的圖象經(jīng)過A(-1,0),B(4,

0)、C(0,2)三點.

(1)求該二次函數(shù)的解析式；

(2)點D是該二次函數(shù)圖象上的一點，且滿足NDBA=NCA0(0是坐標原點)，

求點D的坐標；

(3)點P是該二次函數(shù)圖象上位于第一象限上的一動點，連接PA分別交BC、

y軸于點E、F,若aPEB、Z\CEF的面積分別為8、S2,求S「Sz的最大值.

35.如圖1,拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過平行四邊形ABCD的頂點A(0,3)、B

(-1,0)、D(2,3),拋物線與x軸的另一交點為E.經(jīng)過點E的直線I將

平行四邊形ABCD分割為面積相等的兩部分，與拋物線交于另一點F.點P為

直線I上方拋物線上一動點，設(shè)點P的橫坐標為t.

(1)求拋物線的解析式；

(2)當t何值時，4PFE的面積最大？并求最大值的立方根；

(3)是否存在點P使4PAE為直角三角形？若存在，求出t的值；若不存在,

20174X^X9,夭七ffi:北見良：1.8千米.

II：408t甲地“蟻涮**,海水勻這方向乙地：

12:10?t.渤頭哥達匕地,彩衣“一戰(zhàn)折,開稔功力加心推集向電

12:35st,洞頭川達西地,遇到提切他技后回頭,狗皮“回去第\

按上述信息，小紅將“交叉潮”形成后潮頭與乙地之間的距離s(千米)與

時間t(分鐘)的函數(shù)關(guān)系用圖3表示，其中：“11:40時甲地'交叉潮'

的潮頭離乙地12千米”記為點A(0,12),點B坐標為(m,0),隨線BC可

用二次函數(shù)s二」-t?+bt+c(b,c是常數(shù))刻畫.

125

(1)求m的值，并求出潮頭從甲地到乙地的速度；

(2)11:59時，小紅騎單車從乙地出發(fā)，沿江邊公路以0.48千米/分的速

度往甲地方向去看潮，問她幾分鐘后與潮頭相遇？

(3)相遇后，小紅立即調(diào)轉(zhuǎn)車頭，沿江邊公路按潮頭速度與潮頭并行，但

潮頭過乙地后均勻加速，而單車最高速度為0.48千米/分，小紅逐漸落后.問

小紅與潮頭相遇到落后潮頭1.8千米共需多長時間？(潮水加速階段速度

V=Vo+—(t-30),Vo是加速前的速度).

125

37.如圖1,拋物線y=ax2+bx+2與x軸交于A,B兩點，與y軸交于點C,AB=4,

矩形OBDC的邊CD=1,延長DC交拋物線于點E.

(1)求拋物線的解析式；

(2)如圖2,點P是直線E0上方拋物線上的一個動點，過點P作y軸的平

行線交直線E0于點G,PH±EO,垂足為H.設(shè)PH的長為I,點P的橫坐

標為m,求I與m的函數(shù)關(guān)系式(不必寫出m的取值范圍)，并求出I的最大

值；

(3)如果點N是拋物線對稱軸上的一點，拋物線上是否存在點M,使得以M,

A,C,N為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，直接寫出所有滿足條件的

38.如圖，拋物線y=-x?+bx+c與直線AB交于A(-4,-4),B(0,4)兩

點，直線AC:廠-工x-6交y軸于點C.點E是直線AB上的動點，過點E

2

作EF_Lx軸交AC于點F,交拋物線于點G.

(1)求拋物線y=-x?+bx+c的表達式；

(2)連接GB,E0,當四邊形GEOB是平行四邊形時，求點G的坐標；

(3)①在y軸上存在一點H,連接EH,HF,當點E運動到什么位置時，以A,

E,F,H為頂點的四邊形是矩形？求出此時點E,H的坐標；

②在①的前提下，以點E為圓心，EH長為半徑作圓，點M為。E上一動點，

求上AM+CM它的最小值.

39.拋物線y=ax?+bx+3經(jīng)過點A(1,0)和點B(5,0).

(1)求該拋物線所對應的函數(shù)解析式；

(2)該拋物線與直線y=Wx+3相交于C、D兩點，點P是拋物線上的動點且

5

位于x軸下方，直線PM〃y軸，分別與x軸和直線CD交于點M、N.

①連結(jié)PC、PD,如圖1,在點P運動過程中，4PCD的面積是否存在最大值？

若存在，求出這個最大值；若不存在，說明理由；

②連結(jié)PB,過點C作CQ_LPM,垂足為點Q,如圖2,是否存在點P,使得△

CNQ與△PBM相似？若存在，求出滿足條件的點P的坐標；若不存在，說明

40.《函數(shù)的圖象與性質(zhì)》拓展學習片段展示：

【問題】如圖①，在平面直角坐標系中，拋物線y=a(x-2)2-且經(jīng)過原點

3

0,與x軸的另一個交點為A,則a=.

【操作】將圖①中拋物線在X軸下方的部分沿X軸折疊到X軸上方，將這部

分圖象與原拋物線剩余部分的圖象組成的新圖象記為G,如圖②.直接寫出

圖象G對應的函數(shù)解析式.

【探究】在圖②中，過點B(0,1)作直線I平行于x軸，與圖象G的交點

從左至右依次為點C,D,E,F,如圖③.求圖象G在直線I上方的部分對應

的函數(shù)y隨x增大而增大時x的取值范圍.

【應用】P是圖③中圖象G上一點，其橫坐標為m,連接PD,PE.直接寫出

1.如圖1,經(jīng)過原點0的拋物線y=ax2+bx(a#=0)與x軸交于另一點A(―,

2

0),在第一象限內(nèi)與直線y=x交于點B(2,t).

(1)求這條拋物線的表達式；

(2)在第四象限內(nèi)的拋物線上有一點C,滿足以B,0,C為頂點的三角形的

面積為2,求點C的坐標：

(3)如圖2,若點M在這條拋物線上，且NMB0=NAB0,在(2)的條件下，

是否存在點P,使得△POCs/^MOB?若存在，求出點P的坐標；若不存在，

交于A,B,C三點，其中點A的坐標為(-3,0),點B的坐標為(4,0),

連接AC,BC.動點P從點A出發(fā)，在線段AC上以每秒1個單位長度的速度

向點C作勻速運動；同時，動點Q從點0出發(fā)，在線段0B上以每秒1個單

位長度的速度向點B作勻速運動，當其中一點到達終點時，另一點隨之停止

運動，設(shè)運動時間為t秒.連接PQ.

(1)填空：b=,c=;

(2)在點P,Q運動過程中，^APO可能是直角三角形嗎？請說明理由；

(3)在x軸下方，該二次函數(shù)的圖象上是否存在點M,使aPOM是以點P為

直角頂點的等腰直角三角形？若存在，請求出運動時間t；若不存在，請說

明理由：

(4)如圖②，點N的坐標為(-W,0),線段PQ的中點為H,連接NH,當

2

點Q關(guān)于直線NH的對稱點Q'恰好落在線段BC上時，請直接寫出點Q'的

坐標.

3.定義：對于給定的兩個函數(shù)，任取自變量x的一個值，當xVO時，它們

對應的函數(shù)值互為相反數(shù)；當x20時，它們對應的函數(shù)值相等，我們稱這

樣的兩個函數(shù)互為相關(guān)函數(shù).例如：一次函數(shù)y=x-1,它的相關(guān)函數(shù)為

_f-x+l(x<0)

y—<.

x-1(x〉0)

(1)已知點A(-5,8)在一次函數(shù)y二ax-3的相關(guān)函數(shù)的圖象上，求a的

值；

(2)已知二次函數(shù)y=-x2+4x-L.①當點B(m,1)在這個函數(shù)的相關(guān)函

22

數(shù)的圖象上時，求m的值；

②當-3WxW3時，求函數(shù)y=-x?+4x-L的相關(guān)函數(shù)的最大值和最小值；

2

(3)在平面直角坐標系中，點M,N的坐標分別為(-工，1),(1,1),連

22

結(jié)MN.直接寫出線段MN與二次函數(shù)y=-x2+4x+n的相關(guān)函數(shù)的圖象有兩個

公共點時n的取值范圍.

4.如圖，在平面直角坐標系xOy中，已知A,B兩點的坐標分別為(-4,0),

2

(4,0),C(m,0)是線段AB上一點(與A,B點不重合)，拋坳線L1:y=ax+b1x+c1

2

(a<0)經(jīng)過點A,C,頂點為D,拋物線L2：y=ax+b2x+c2(a<0)經(jīng)過點C,

B,頂點為E,AD,BE的延長線相交于點F.

(1)若a=-工，m=-1,求拋物線L,1_2的解析式；

2

(2)若a=-1,AF±BF,求m的值；

(3)是否存在這樣的實數(shù)a(a<0),無論m取何值，直線AF與BF都不可

能互相垂直？若存在，請直接寫出a的兩個不同的值；若不存在，請說明理

由.

5.如圖，已知拋物線y=ax?-2%ax-9a與坐標軸交于A,B,C三點，其中

C(0,3),NBAC的平分淺AE交y軸于點D,交BC于點E,過點D的直線I

與射線AC,AB分別交于點M,N.

(1)直接寫出a的值、點A的坐標及拋物線的對稱軸；

(2)點P為拋物線的對稱軸上一動點，若4PAD為等腰三角形，求出點P的

坐標；

(3)證明：當直線I繞點D旋轉(zhuǎn)時，均為定值，并求出該定值.

AMAN

6.如圖1,矩形0ABC的頂點A,C的坐標分別為(4,0),(0,6),直線AD

(2)點P是拋物線M對稱軸上一動點，當NCPA=90°時，求所有符合條件

的點P的坐標；

(3)如圖2,點E(0,4),連接AE,將拋物線此的圖象向下平移m(m>0)

個單位得到拋物線Mz.

①設(shè)點D平移后的對應點為點D，,當點D'恰好在直線AE上時，求m的值;

②當1WxWm(m>1)時，若拋物線Wb與直線AE有兩個交點，求m的取值范

圍.

7.如圖，已知拋物線y=ax?+2x+c與y軸交于點A(0,6),與x軸交于點B

(6,0),點P是線段AB上方拋物線上的一個動點.

(1)求這條拋物線的表達式及其頂點坐標；

(2)當點P移動到拋物線的什么位置時，使得NPAB二乃°,求出此時點P

的坐標；

(3)當點P從A點出發(fā)沿線段AB上方的拋物線向終點B移動，在移動中，

點P的橫坐標以每秒1個單位長度的速度變動；與此同時點M以每秒1個單

位長度的速度沿A0向終點。移動，點P,M移動到各自終點時停止.當兩個

動點移動t秒時，求四邊形PAMB的面積S關(guān)于t的函數(shù)表達式，并求t為

何值時，S有最大值，最大值是多少？

y

8.如圖，直線y=-Y^x+/分另4與x軸、y軸交于B、C兩點，點A在x軸

3

上，ZACB=90°,拋物線y=ax?+bx+“經(jīng)過A,B兩點.

(1)求A、B兩點的坐標；

(2)求拋物線的解析式；

(3)點M是直線BC上方拋物線上的一點，過點M作MH_LBC于點H,作MD

〃y軸交BC于點D,求△DMH周長的最大值.

9.如圖，拋物線y=ax?+bx-2的對稱軸是直線x=1,與x軸交于A,B兩點，

與y軸交于點C,點A的坐標為(-2,0),點P為拋物線上的一個動點，過

點P作PD_Lx軸于點D,交直線BC于點E.

(1)求拋物線解析式；

(2)若點P在第一象限內(nèi)，當0D=4PE時，求四邊形P0BE的面積；

(3)在(2)的條件下，若點M為直線BC上一點，點N為平面直角坐標系

內(nèi)一點，是否存在這樣的點M和點N,使得以點B,D,M,N為頂點的四邊照

是菱形？若存在，直接寫出點N的坐標；若不存在，請說明理由.

10.如圖，拋物線y二-x、bx+c與x軸分別交于A(-1,0),B(5,0)兩

點.

(1)求拋物線的解析式；

(2)在第二象限內(nèi)取一點C,作CD垂直X軸于點D,鏈接AC,且AD=5,CD=8,

將Rt^ACD沿x軸向右平移m個單位，當點C落在拋物線上時，求m的值；

(3)在(2)的條件下，當點C第一次落在拋物線上記為點E,點P是拋物

線對稱軸上一點.試探究：在拋物線上是否存在點Q,使以點B、E、P、Q為

頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，請出點Q的坐標；若不存在，請說明

理由.

11.如圖，已知拋物線y"x?+bx+c過點A(-1,0),B(3,0),C(0,3),

點M、N為拋物線上的動點，過點M作MD〃y軸，交直線BC于點D,交x軸

于點E.

(1)求二次函數(shù)y=ax2+bx+c的表達式；

(2)過點N作NF_Lx軸，垂足為點F,若四邊形MNFE為正方形(此處限定

點M在對稱軸的右側(cè))，求該正方形的面積；

(3)若NDMN=90°,MD=MN,求點M的橫坐標.

12.如圖1,已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a、b、c為常數(shù)，a/0)的圖象過

點0(0,0)和點A(4,0),函數(shù)圖象最低點M的縱坐標為-3,直線I的

3

解析式為y=x.

(1)求二次函數(shù)的解析式；

(2)直線I沿x軸向右平移，得直線I，,I，與線段0A相交于點B,與x

軸下方的拋物線相交于點C,過點C作CE_Lx軸于點E,把4BCE沿直線I'

折疊，當點E恰好落在拋物線上點E'時(圖2),求直線I'的解析式；

(3)在(2)的條件下，I'與y軸交于點N,把ABON繞點0逆時針旋轉(zhuǎn)135°

得到AB，ON，,P為I，上的動點，當aPB'N，為等膜三角形時，求符合

條件的點P的坐標.

13.如圖，矩形OABC的兩邊在坐標軸上，點A的坐標為(10,0),拋物線

y=ax?+bx+4過點B,C兩點，且與x軸的一個交點為D(-2,0),點P是線

段CB上的動點，設(shè)CP=t(0<t<10).

(1)請直接寫出B、C兩點的坐標及拋物線的解析式；

(2)過點P作PEJ_BC,交拋物線于點E,連接BE,當t為何值時，ZPBE=

Z0CD?

(3)點Q是x軸上的動點，過點P作PM〃BQ,交CQ于點M,作PN〃CQ,交

14.如圖所示，在平面直角坐標系中，0C經(jīng)過坐標原點0,且與x軸，y軸

分別相交于M(4,0),NC0,3)兩點.已知拋物線開口向上，與OC交于N,

H,P三點，P為拋物線的頂點，拋物線的對稱軸經(jīng)過點C且垂直x軸于點D.

(1)求線段CD的長及頂點P的坐標；

(2)求拋物線的函數(shù)表達式；

(3)設(shè)拋物線交x軸于A,B兩點，在拋物線上是否存在點Q,使得S四邊彩OP48S

AQAB,且△QABs/^OBN成立？若存在，請求出Q點的坐標；若不存在，請說

明理由.

15.如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y=ax?+bx+c(a#=0)與y軸交與點

C(0,3),與x軸交于A、B兩點，點B坐標為(4,0),拋物線的對稱軸方

程為x=1.

(1)求拋物線的解析式；

(2)點M從A點出發(fā)，在線段AB上以每秒3個單位長度的速度向B點運動，

同時點N從B點出發(fā)，在線段BC上以每秒1個單位長度的速度向C點運動，

其中一個點到達終點時，另一個點也停止運動，設(shè)aMBN的面積為S,點M

運動時間為t,試求S與t的函數(shù)關(guān)系，并求S的最大值；

(3)在點M運動過程中，是否存在某一時刻3使AMBN為直角三角形？若

存在，求出t值：若不存在，請說明理由.

16.已知拋物線y=ax?+bx+c,其中2a=b>O>c,且a+b+c=0.

(1)直接寫出關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的一個根；

(2)證明：拋物線y=ax?+bx+c的頂點A在第三象限；

(3)直線y=x+m與x,y軸分別相交于B,C兩點，與拋物線y=ax2+bx+c相

交于A,D兩點.設(shè)拋物線y=ax2+bx+c的對稱軸與x軸相交于E.如果在對

稱軸左側(cè)的拋物線上存在點F,使得4ADF與ABOC相似，并且S*DF=LS&DE,

求此時拋物線的表達式.

①當b:1時，求這個二次函數(shù)的對稱軸的方程；

②若c二一耳?-21),問：b為何值時，二次函數(shù)的圖象與x軸相切？

4

③若二次函數(shù)的圖象與x軸交于點A(Xl,0),B(x2,0),且X1VX2,b>0,

與y軸的正半軸交于點M,以AB為直徑的半圓恰好過點M,二次函數(shù)的對稱

軸I與x軸、直線BM、直線AM分別交于點D、E、F,且滿足典二上，求二次

EF3

18.如圖1,點A坐標為(2,0),以0A為邊在第一象限內(nèi)作等邊aOAB,點

C為x軸上一動點，且在點A右側(cè)，連接BC,以BC為邊在第一象限內(nèi)作等

邊ABCD,連接AD交BC亍E.

y

D

圖2

(1)①直接回答：△OBC與4ABD全等嗎？

②試說明：無論點C如何移動，AD始終與0B平行；

(2)當點C運動到使AC?=AE?AD時，如圖2,經(jīng)過0、B、C三點的拋物線

為V、.試問：y上是否存在動點P,使4BEP為直角三角形且BE為直角邊？

若存在，求出點P坐標；若不存在，說明理由；

(3)在(2)的條件下，將1沿x軸翻折得y2,設(shè)力與y2組成的圖形為M,

函數(shù)尸小+后的圖象I與M有公共點.試寫出：I與M的公共點為3個時,

m的取值.

19.拋物線y=x，bx+c與x軸交于A(1,0),B(m,0),與y軸交于C.

(1)若m=-3,求拋物線的解析式，并寫出拋物線的對稱軸；

(2)如圖1,在(1)的條件下，設(shè)拋物線的對稱軸交x軸于D,在對稱軸

左側(cè)的拋物線上有一點E,使求點E的坐標；

3

(3)如圖2,設(shè)F(-1,-4),FG_Ly于G,在線段0G上是否存在點P,使

N0BP=NFPG?若存在，求m的取值范圍；若不存在，請說明理由.

20.在平面直角坐標系xOy中，規(guī)定：拋物線y=a(x-h)?+k的伴隨直線為

y=a(x-h)+k.例如：拋物線y=2(x+1)2-3的伴隨直線為y=2(x+1)-

3,即y=2x-1.

(1)在上面規(guī)定下，拋物線y=(x+1)2-4的頂點坐標為,伴隨直

線為,拋物線y=(x+1)2-4與其伴隨直線的交點坐標為

和;

(2)如圖，頂點在第一象限的拋物線y=m(x-1),一而與其伴隨直線相交

于點A,B(點A在點B的左側(cè))，與x軸交于點C,D.

①若NCAB=90°,求m的值；

②如果點P(x,y)是直淺BC上方拋物線上的一個動點，4PBC的面積記為

S,當S取得最大值21時，求m的值.

21.我們知道，經(jīng)過原點的拋物線可以用y=ax?+bx(a=#0)表示，對于這樣

的拋物線：

(1)當拋物線經(jīng)過點(-2,0)和(-1,3)時，求拋物線的表達式；

(2)當拋物線的頂點在直線y=-2x上時，求b的值；

(3)如圖，現(xiàn)有一組這樣的拋物線，它們的頂點兒、A?、…，兒在直線y=

-2x上，橫坐標依次為-1,-2,-3,-r)(n為正整數(shù)，且nW12),

分別過每個頂點作X軸的垂線，垂足記為&、B2,…，以線段AnBn為邊向

左作正方形AnBcCnDn,如果這組拋物線中的某一條經(jīng)過點D.,求此時滿足條件

的正方形AACR的邊長.

22.如圖，拋物線y=a(x-1)(x-3)與x軸交于A,B兩點，與y軸的正

半軸交于點C,其頂點為D.

(1)寫出C,D兩點的坐標(用含a的式子表示);

(2)設(shè)S^BCO：S&