【八年級下冊】等腰三角形的判定【同步練習(xí)卷】（含答案）

等腰三角形的判定姓名：__________________班級：______________得分：_________________注意事項(xiàng)：本試卷滿分100分，試題共24題，選擇10道、填空8道、解答6道．答卷前，考生務(wù)必用0.5毫米黑色簽字筆將自己的姓名、班級等信息填寫在試卷規(guī)定的位置．一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分）在每小題所給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．（海倫市校級期末）下面敘述不可能是等腰三角形的是（）A．有兩個內(nèi)角分別為75°，75°的三角形 B．有兩個內(nèi)角分別為110°和40°的三角形 C．有一個外角為100°，一個內(nèi)角為50°的三角形 D．有一個外角為140°，一個內(nèi)角為100°的三角形2．（西湖區(qū)校級期中）如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝108°，BD＝AD＝AE，則圖中等腰三角形的個數(shù)為（）A．3個 B．4個 C．5個 D．6個3．（貢井區(qū)校級期中）滿足下列條件的三角形：①內(nèi)角比為1：2：1；②內(nèi)角比為2：2：5；③內(nèi)角比為1：1：1；④內(nèi)角比為1：2：3，其中，是等腰三角形的有（）A．4個 B．3個 C．2個 D．1個4．（萊州市期中）在三角形中已知兩個內(nèi)角，能判定這個三角形是等腰三角形的是（）A．30°、60° B．40°、70° C．50°、60° D．100°、30°5．（臨沭縣期中）下列給出的5個圖中，能判定△ABC是等腰三角形的有（）A．2個 B．3個 C．4個 D．5個6．如圖，點(diǎn)A在直線MN上，點(diǎn)B在直線MN上方，點(diǎn)P為直線MN上一動點(diǎn)，當(dāng)△ABP為等腰三角形時，則滿足條件的點(diǎn)P的個數(shù)為（）A．1 B．3 C．4 D．57．（道里區(qū)校級期中）如圖，△ABC，點(diǎn)D在AC上，連接BD，∠ABD＝2∠DBC，∠ADB＝2∠C，∠DBC＝∠A，則圖中共有等腰三角形（）個．A．0 B．1 C．2 D．38．（松江區(qū)期末）如圖，關(guān)于△ABC，給出下列四組條件：①△ABC中，AB＝AC；②△ABC中，∠B＝56°，∠BAC＝68°；③△ABC中，AD⊥BC，AD平分∠BAC；④△ABC中，AD⊥BC，AD平分邊BC．其中，能判定△ABC是等腰三角形的條件共有（）A．1組 B．2組 C．3組 D．4組9．（蜀山區(qū)期末）在△ABC中，與∠A相鄰的外角是130°，要使△ABC為等腰三角形，則∠B的度數(shù)是（）A．50° B．65° C．50°或65° D．50°或65°或80°10．（澄城縣期中）如圖，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD是高，BE是中線，CF是角平分線，CF交AD于點(diǎn)G，交BE于點(diǎn)H，下面說法正確的是（）①△ABE的面積等于△BCE的面積；②∠AFG＝∠AGF；③∠FAG＝2∠ACF；④BH＝CH．A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②③④二、填空題（本大題共8小題，每小題3分，共24分）請把答案直接填寫在橫線上11．（揚(yáng)中市期中）若△ABC的邊AB＝8cm，周長為18cm，當(dāng)邊BC＝cm時，△ABC為等腰三角形．12．（輝縣市校級期中）如圖所示的正方形網(wǎng)格中，網(wǎng)格線的交點(diǎn)稱為格點(diǎn)．已知A，B是兩個格點(diǎn)，若點(diǎn)C也是圖中的格點(diǎn)，且使得△ABC為等腰三角形，則符合條件的點(diǎn)C有個．13．（東臺市期中）在△ABC中，∠A＝40°，當(dāng)∠C＝時，△ABC為等腰三角形．14．（江夏區(qū)期末）如圖，∠A＝36°，∠DBC＝36°，∠C＝72°，請寫出圖中有哪些等腰三角形？．15．（永定區(qū)期末）如圖，∠AOB＝56°，OC平分∠AOB，如果射線OA上的點(diǎn)E滿足△OCE是等腰三角形，那么∠OEC的度數(shù)為．16．（松山區(qū)期末）已知：如圖△ABC中，∠B＝50°，∠C＝90°，在射線BA上找一點(diǎn)D，使△ACD為等腰三角形，則∠ACD的度數(shù)為．17．（朝陽縣期末）如圖，在△ABC中，AB＝20cm，AC＝12cm，點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)以每秒3cm速度向點(diǎn)A運(yùn)動，點(diǎn)Q從點(diǎn)A同時出發(fā)以每秒2cm速度向點(diǎn)C運(yùn)動，其中一個動點(diǎn)到達(dá)端點(diǎn)，另一個動點(diǎn)也隨之停止，當(dāng)△APQ是以PQ為底的等腰三角形時，運(yùn)動的時間是秒．18．（海淀區(qū)期末）如圖，已知∠MON，在邊ON上順次取點(diǎn)P1，P3，P5…，在邊OM上順次取點(diǎn)P2，P4，P6…，使得OP1＝P1P2＝P2P3＝P3P4＝P4P5…，得到等腰△OP1P2，△P1P2P3，△P2P3P4，△P3P4P5…（1）若∠MON＝30°，可以得到的最后一個等腰三角形是；（2）若按照上述方式操作，得到的最后一個等腰三角形是△P3P4P5，則∠MON的度數(shù)α的取值范圍是．三、解答題（本大題共6小題，共46分．解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）19．（道里區(qū)期末）如圖，△ABC中，∠ABC＝∠ACB，點(diǎn)D、E分別在AB、AC上，DE∥BC，BE，CD交于點(diǎn)F．（1）求證：DC＝EB；（2）在不添加任何輔助線的情況下，請直接寫出圖中所有的等腰三角形．20．（五常市期末）如圖，點(diǎn)D、E在△ABC的邊BC上，AD＝AE，BD＝CE．（1）求證：AB＝AC；（2）若∠BAC＝108°，∠DAE＝36°，直接寫出圖中除△ABC與△ADE外所有的等腰三角形．21．（臨洮縣期中）如圖，四邊形ABCD中，AB∥CD，點(diǎn)E為CD上一點(diǎn)，連接BE，AE，且BE、AE分別平分∠ABC、∠BAD．求證：CD＝AD+BC．22．（儀征市期中）如圖，△ABC中，AB＝AC，∠B＝30°，點(diǎn)O在BC邊上運(yùn)動（O不與B、C重合），連結(jié)AO．作∠AOD＝∠B，OD交AB于點(diǎn)D．（1）當(dāng)OD∥AC時，判斷△AOB的形狀并證明；（2）在點(diǎn)O的運(yùn)動過程中，△AOD的形狀可以是等腰三角形嗎？若可以，請求出∠BDO的度數(shù)；若不可以，請說明理由．23．（永吉縣期中）如圖，在△ABC中，AB＝AC，M，N分別是AB，AC邊上的點(diǎn)，并且MN∥BC．（1）△AMN是否是等腰三角形？說明理由；（2）點(diǎn)P是MN上的一點(diǎn)，并且BP平分∠ABC，CP平分∠ACB．①求證：△BPM是等腰三角形；②若△ABC的周長為a，BC＝b（a＞2b），求△AMN的周長（用含a，b的式子表示）．24．（江干區(qū)二模）已知：如圖，在△ABC中，AB＞AC，∠B＝45°，點(diǎn)D是BC邊上一點(diǎn)，且AD＝AC，過點(diǎn)C作CF⊥AD于點(diǎn)E，與AB交于點(diǎn)F．（1）若∠CAD＝α，求：①∠BCA的大??；②∠BCF的大?。唬ㄓ煤恋氖阶颖硎荆?）求證：AC＝FC．等腰三角形的判定姓名：__________________班級：______________得分：_________________注意事項(xiàng)：本試卷滿分100分，試題共24題，選擇10道、填空8道、解答6道．答卷前，考生務(wù)必用0.5毫米黑色簽字筆將自己的姓名、班級等信息填寫在試卷規(guī)定的位置．一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分）在每小題所給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．（海倫市校級期末）下面敘述不可能是等腰三角形的是（）A．有兩個內(nèi)角分別為75°，75°的三角形 B．有兩個內(nèi)角分別為110°和40°的三角形 C．有一個外角為100°，一個內(nèi)角為50°的三角形 D．有一個外角為140°，一個內(nèi)角為100°的三角形【分析】根據(jù)等腰三角形的判定，有兩個角相等的三角形是等腰三角形，分別求出每個角的度數(shù)，再進(jìn)行判斷即可．【解析】A、有兩個內(nèi)角分別為75°，75°的三角形，另一內(nèi)角為30°，可以構(gòu)成等腰三角形；B、有兩個內(nèi)角分別為110°和40°的三角形，另一內(nèi)角為30°，不能構(gòu)成等腰三角形，C、有一個外角為100°，一個內(nèi)角為50°的三角形，與外角相鄰的內(nèi)角是80°，第三個角是50°，可以構(gòu)成等腰三角形；D、有一個外角為140°，一個內(nèi)角為100°的三角形，與外角相鄰的內(nèi)角是40°，另外一個內(nèi)角是40°，可以構(gòu)成等腰三角形．故選：B．2．（西湖區(qū)校級期中）如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝108°，BD＝AD＝AE，則圖中等腰三角形的個數(shù)為（）A．3個 B．4個 C．5個 D．6個【分析】由AB＝AC，∠BAC＝108°，得∠B＝∠C＝36°，△ABC是等腰三角形，易求∠BAD＝∠DAE＝∠EAC＝36°，進(jìn)而可求∠AED＝∠BAE＝72°，從而可判斷△ABD、△ADC、△ABE、△ADE、△AEC是等腰三角形．【解析】∵AB＝AC，∠BAC＝108°，∴△ABC是等腰三角形，∠B＝∠C=1∵BD＝AD＝AE，∴△ABD、△ADE是等腰三角形，∠DAB＝∠B＝36°，∠AED＝∠ADE＝∠B+∠DAB＝72°，∴∠EAC＝∠AED﹣∠C＝72°﹣36°＝36°，∴∠EAC＝∠C，∴△ACE是等腰三角形，AE＝CE，∵∠DAE＝180°﹣∠ADE﹣∠AED＝180°﹣72°﹣72°＝36°，∴∠BAE＝∠DAB+∠DAE＝72°，∴∠BAE＝∠AED，∴△BAE是等腰三角形，BA＝BE，同理：△CAD是等腰三角形，則圖中等腰三角形的個數(shù)為6個，故選：D．3．（貢井區(qū)校級期中）滿足下列條件的三角形：①內(nèi)角比為1：2：1；②內(nèi)角比為2：2：5；③內(nèi)角比為1：1：1；④內(nèi)角比為1：2：3，其中，是等腰三角形的有（）A．4個 B．3個 C．2個 D．1個【分析】根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理及等腰三角形的判定定理分別對各個三角形進(jìn)行分析判斷，即可得到答案．【解析】①、∵三角形內(nèi)角比為1：2：1，∴三角形三個內(nèi)角分別為45°，90°，45°，∴三角形是等腰直角三角形；②、∵三角形內(nèi)角比為2：2：5，∴三角形三個內(nèi)角分別為40°，40°，100°，∴三角形是等腰三角形；③、∵三角形內(nèi)角比為1：1：1，∴三個內(nèi)角分別為60°，60°，60°，∴三角形是等腰三角形；④、∵三角形內(nèi)角比為1：2：3，∴三個內(nèi)角分別為30°，60°，90°，∴三角形是直角三角形；是等腰三角形的有3個，故選：B．4．（萊州市期中）在三角形中已知兩個內(nèi)角，能判定這個三角形是等腰三角形的是（）A．30°、60° B．40°、70° C．50°、60° D．100°、30°【分析】由三角形內(nèi)角和定理和等腰三角形的判定分別對各個選項(xiàng)進(jìn)行判斷即可．【解析】A、∵三角形中已知兩個內(nèi)角為30°、60°，∴第三個內(nèi)角為180°﹣30°﹣60°＝90°，∴這個三角形是直角三角形，不是等腰三角形，故選項(xiàng)A不符合題意；B、∵三角形中已知兩個內(nèi)角為40°、70°，∴第三個內(nèi)角為180°﹣40°﹣70°＝70°，∴這個三角形由兩個內(nèi)角相等，∴這個三角形是等腰三角形，故選項(xiàng)B符合題意；C、∵三角形中已知兩個內(nèi)角為50°、60°，∴第三個內(nèi)角為180°﹣50°﹣60°＝70°，∴這個三角形不是等腰三角形，故選項(xiàng)C不符合題意；D、∵三角形中已知兩個內(nèi)角為100°、30°，∴第三個內(nèi)角為180°﹣100°﹣30°＝50°，∴不是等腰三角形，故選項(xiàng)D不符合題意；故選：B．5．（臨沭縣期中）下列給出的5個圖中，能判定△ABC是等腰三角形的有（）A．2個 B．3個 C．4個 D．5個【分析】①根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得∠A≠∠B≠∠C，則△ABC不是等腰三角形；②證出∠B＝∠C，則△ABC是等腰三角形；③由平行線的性質(zhì)得∠C＝∠CAD＝50°，則∠B＝∠C，得△ABC是等腰三角形；④由平行線的性質(zhì)得∠BCA＝∠CAD＝30°，∠BAD＝60°，則∠BAC＝∠BCA，得△ABC是等腰三角形；⑤先由平行線的性質(zhì)得∠A＝∠D＝30°，再由三角形的外角性質(zhì)得∠B＝60°﹣∠A＝30°，則∠B＝∠A，得△ABC是等腰三角形；即可得出結(jié)論．【解析】圖①中，∵∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝180°﹣70°﹣66°＝44°，∴∠A≠∠B≠∠C，∴△ABC不是等腰三角形；圖②中，∵∠B+∠C＝140°，∠B＝70°，∴∠C＝140°﹣70°＝70°，∴∠B＝∠C，∴△ABC是等腰三角形；圖③中，∵AD∥BC，∴∠C＝∠CAD＝50°，∵∠B＝50°，∴∠B＝∠C，∴△ABC是等腰三角形；圖④中，∵AD∥BC，∴∠BCA＝∠CAD＝30°，∠BAD＝180°﹣∠B＝180°﹣120°＝60°，∴∠BAC＝60°﹣30°＝30°，∴∠BAC＝∠BCA，∴△ABC是等腰三角形；圖⑤中，∵AB∥DE，∴∠A＝∠D＝30°，∵∠BCD＝∠A+∠B＝60°，∴∠B＝60°﹣∠A＝30°，∴∠B＝∠A，∴△ABC是等腰三角形；能判定△ABC是等腰三角形的有4個，故選：C．6．如圖，點(diǎn)A在直線MN上，點(diǎn)B在直線MN上方，點(diǎn)P為直線MN上一動點(diǎn)，當(dāng)△ABP為等腰三角形時，則滿足條件的點(diǎn)P的個數(shù)為（）A．1 B．3 C．4 D．5【分析】分三種情況：①PA＝PB時；②AP＝AB時；③BP＝BA時；分別得出點(diǎn)P的個數(shù)，即可得出結(jié)論．【解析】分三種情況：①PA＝PB時，點(diǎn)P在AB的垂直平分線上，滿足條件的點(diǎn)P的為1個；②AP＝AB時，滿足條件的點(diǎn)P有2個；③BP＝BA時，滿足條件的點(diǎn)P有1個；綜上所述，滿足條件的點(diǎn)P的個數(shù)有4個，故選：C．7．（道里區(qū)校級期中）如圖，△ABC，點(diǎn)D在AC上，連接BD，∠ABD＝2∠DBC，∠ADB＝2∠C，∠DBC＝∠A，則圖中共有等腰三角形（）個．A．0 B．1 C．2 D．3【分析】根據(jù)等腰三角形的判定分別證出DB＝DC，AB＝AD，AB＝CB即可．【解析】圖中共有等腰三角形3個，理由如下：∵∠ADB＝∠C+∠DBC，∠ADB＝2∠C，∴∠DBC＝∠C，∴△BCD是等腰三角形，DB＝DC，∵∠ABD＝2∠DBC，∴∠ABD＝∠ADB，∴△ABD是等腰三角形，AB＝AD，∵∠DBC＝∠A，∴∠A＝∠C，∴△ABC是等腰三角形，AB＝CB，故選：D．8．（松江區(qū)期末）如圖，關(guān)于△ABC，給出下列四組條件：①△ABC中，AB＝AC；②△ABC中，∠B＝56°，∠BAC＝68°；③△ABC中，AD⊥BC，AD平分∠BAC；④△ABC中，AD⊥BC，AD平分邊BC．其中，能判定△ABC是等腰三角形的條件共有（）A．1組 B．2組 C．3組 D．4組【分析】根據(jù)等腰三角形的判定定理逐個判斷即可．【解析】①、∵△ABC中，AB＝AC，∴△ABC是等腰三角形，故①正確；②、∵△ABC中，∠B＝56°，∠BAC＝68°，∴∠C＝180°﹣∠BAC﹣∠B＝180°﹣68°﹣56°＝56°，∴∠B＝∠C，∴△ABC是等腰三角形，故②正確；③∵△ABC中，AD⊥BC，AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD，∠ADB＝∠ADC，∵∠B+∠BAD+∠ADB＝180°，∠C+∠CAD+∠ADC＝180°，∴∠B＝∠C，∴△ABC是等腰三角形，故③正確；④、∵△ABC中，AD⊥BC，AD平分邊BC，∴AB＝AC，∴△ABC是等腰三角形，故④正確；即正確的個數(shù)是4，故選：D．9．（蜀山區(qū)期末）在△ABC中，與∠A相鄰的外角是130°，要使△ABC為等腰三角形，則∠B的度數(shù)是（）A．50° B．65° C．50°或65° D．50°或65°或80°【分析】依據(jù)三角形的內(nèi)角和定理和等腰三角形的性質(zhì)進(jìn)行判斷即可．【解析】∠A＝180°﹣130°＝50°．當(dāng)AB＝AC時，∠B＝∠C=1當(dāng)BC＝BA時，∠A＝∠C＝50°，則∠B＝180°﹣50°﹣50°＝80°；當(dāng)CA＝CB時，∠A＝∠B＝50°．∠B的度數(shù)為50°或65°或80°，故選：D．10．（澄城縣期中）如圖，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD是高，BE是中線，CF是角平分線，CF交AD于點(diǎn)G，交BE于點(diǎn)H，下面說法正確的是（）①△ABE的面積等于△BCE的面積；②∠AFG＝∠AGF；③∠FAG＝2∠ACF；④BH＝CH．A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②③④【分析】根據(jù)三角形中線的性質(zhì)可證明①；根據(jù)三角形的高線可得∠ABC＝∠CAD，利用三角形外角的性質(zhì)結(jié)合角平分線的定義可求解∠AFC＝∠AGF，可判定②；根據(jù)角平分線的定義可求解③；根據(jù)已知條件無法判定④．【解析】∵BE是△ABC的中線，∴AE＝CE，∴△ABE的面積等于△BCE的面積，故①正確；∵AD是△ABC的高線，∴∠ADC＝90°，∴∠ABC+∠BAD＝90°，∵∠BAC＝90°，∴∠BAD+∠CAD＝90°，∴∠ABC＝∠CAD，∵CF為△ABC的角平分線，∴∠ACF＝∠BCF=12∠∵∠AFC＝∠ABD+∠BCF，∠AGF＝∠ACF+∠CAD，∴∠AFC＝∠AGF，故②正確；∵∠BAD+∠CAD＝∠ACB+∠CAD＝90°，∴∠BAD＝∠ACD，∴∠FAG＝2∠ACF，故③正確；根據(jù)已知條件無法證明BH＝CH，故④錯誤，故選：A．二、填空題（本大題共8小題，每小題3分，共24分）請把答案直接填寫在橫線上11．（揚(yáng)中市期中）若△ABC的邊AB＝8cm，周長為18cm，當(dāng)邊BC＝8cm或5cm或2cm時，△ABC為等腰三角形．【分析】根據(jù)已知條件計(jì)算得到BC+AC＝10cm．然后利用等腰三角形的性質(zhì)解答，需要對等腰三角形的腰長進(jìn)行分類討論．【解析】∵△ABC的邊AB＝8cm，周長為18cm，∴BC+AC＝10cm．①當(dāng)AB＝BC＝8cm時，AC＝2cm，能構(gòu)成三角形，符合題意．②當(dāng)BC＝AC＝5cm時，能構(gòu)成三角形，符合題意．③當(dāng)AB＝AC＝8cm時，BC＝2cm，能構(gòu)成三角形，符合題意．綜上所述，BC的長度是8cm或5cm或2cm時，△ABC為等腰三角形．故答案是：8cm或5cm或2．12．（輝縣市校級期中）如圖所示的正方形網(wǎng)格中，網(wǎng)格線的交點(diǎn)稱為格點(diǎn)．已知A，B是兩個格點(diǎn)，若點(diǎn)C也是圖中的格點(diǎn)，且使得△ABC為等腰三角形，則符合條件的點(diǎn)C有8個．【分析】根據(jù)題意，結(jié)合圖形，分兩種情況討論：①AB為等腰△ABC底邊；②AB為等腰△ABC其中的一條腰．【解析】如圖：分情況討論．①AB為等腰△ABC底邊時，符合條件的C點(diǎn)有4個；②AB為等腰△ABC其中的一條腰時，符合條件的C點(diǎn)有4個．故答案為：8．13．（東臺市期中）在△ABC中，∠A＝40°，當(dāng)∠C＝40°或70°或100°時，△ABC為等腰三角形．【分析】分三種情形分別討論即可解決問題；【解析】①當(dāng)AB＝AC時，∵∠A＝40°，∠C＝∠B＝70°．②當(dāng)CA＝CB時，∵∠A＝∠B＝40°，∴∠C＝100°．③當(dāng)BA＝BC時，∴∠C＝∠A＝40°，綜上所述，∠C的值為40°或70°或100°，故答案為40°或70°或100°．14．（江夏區(qū)期末）如圖，∠A＝36°，∠DBC＝36°，∠C＝72°，請寫出圖中有哪些等腰三角形？△ABD，△BDC，△ABC．【分析】先計(jì)算出∠BDC，再計(jì)算出∠ABC，然后等腰三角形的判定方法對圖形中的三角形進(jìn)行判斷．【解析】∵∠A＝36°，∠DBC＝36°，∠C＝72°，∴∠ABD＝180°﹣∠A﹣∠DBC﹣∠C＝36°，∴∠A＝∠ABD，∴△ABD為等腰三角形，∵∠BDC＝∠A+∠ABC＝36°+36°＝72°，而∠C＝72°，∴∠BDC＝∠C，∴△BDC為等腰三角形，∵∠ABC＝180°﹣∠A﹣∠C＝72°，∴∠ABC＝∠C，∴△ABC為等腰三角形．故答案為：△ABD，△BDC，△ABC．15．（永定區(qū)期末）如圖，∠AOB＝56°，OC平分∠AOB，如果射線OA上的點(diǎn)E滿足△OCE是等腰三角形，那么∠OEC的度數(shù)為124°或76°或28°．【分析】求出∠AOC，根據(jù)等腰得出三種情況，OE＝CE，OC＝OE，OC＝CE，根據(jù)等腰三角形性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理求出即可．【解析】∵∠AOB＝56°，OC平分∠AOB，∴∠AOC＝28°，①當(dāng)E在E1時，OE＝CE，∵∠AOC＝∠OCE＝28°，∴∠OEC＝180°﹣28°﹣28°＝124°；②當(dāng)E在E2點(diǎn)時，OC＝OE，則∠OCE＝∠OEC=1③當(dāng)E在E3時，OC＝CE，則∠OEC＝∠AOC＝28°；故答案為：124°或76°或28°．16．（松山區(qū)期末）已知：如圖△ABC中，∠B＝50°，∠C＝90°，在射線BA上找一點(diǎn)D，使△ACD為等腰三角形，則∠ACD的度數(shù)為70°或40°或20°．【分析】分三種情形分別求解即可；【解析】如圖，有三種情形：①當(dāng)AC＝AD時，∠ACD＝70°．②當(dāng)CD′＝AD′時，∠ACD′＝40°．③當(dāng)AC＝AD″時，∠ACD″＝20°，故答案為70°或40°或20°17．（朝陽縣期末）如圖，在△ABC中，AB＝20cm，AC＝12cm，點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)以每秒3cm速度向點(diǎn)A運(yùn)動，點(diǎn)Q從點(diǎn)A同時出發(fā)以每秒2cm速度向點(diǎn)C運(yùn)動，其中一個動點(diǎn)到達(dá)端點(diǎn)，另一個動點(diǎn)也隨之停止，當(dāng)△APQ是以PQ為底的等腰三角形時，運(yùn)動的時間是4秒．【分析】設(shè)運(yùn)動的時間為x，則AP＝20﹣3x，當(dāng)APQ是等腰三角形時，AP＝AQ，則20﹣3x＝2x，解得x即可．【解析】設(shè)運(yùn)動的時間為x，在△ABC中，AB＝20cm，AC＝12cm，點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)以每秒3cm的速度向點(diǎn)A運(yùn)動，點(diǎn)Q從點(diǎn)A同時出發(fā)以每秒2cm的速度向點(diǎn)C運(yùn)動，當(dāng)△APQ是等腰三角形時，AP＝AQ，AP＝20﹣3x，AQ＝2x即20﹣3x＝2x，解得x＝4．故答案為：4．18．（海淀區(qū)期末）如圖，已知∠MON，在邊ON上順次取點(diǎn)P1，P3，P5…，在邊OM上順次取點(diǎn)P2，P4，P6…，使得OP1＝P1P2＝P2P3＝P3P4＝P4P5…，得到等腰△OP1P2，△P1P2P3，△P2P3P4，△P3P4P5…（1）若∠MON＝30°，可以得到的最后一個等腰三角形是△P1P2P3；（2）若按照上述方式操作，得到的最后一個等腰三角形是△P3P4P5，則∠MON的度數(shù)α的取值范圍是18°≤α＜22.5°．【分析】（1）利用等腰三角形的性質(zhì)求出∠OP2P3即可判斷．（2）由題意要使得得到的最后一個等腰三角形是△P3P4P5，需要滿足：∠P4P3P5＝4α＜90°且∠MP4P5＝5α≥90°，解不等式即可解決問題．【解析】（1）∵OP1＝P1P2＝P2P3，∴∠OP2P1＝∠O＝30°，∠P2P1P3＝∠P2P3P1＝60°，∴∠OP2P3＝90°，∴△P2P3P4不存在，∴以得到的最后一個等腰三角形是△P1P2P3．故答案為△P1P2P3．（2）由題意要使得得到的最后一個等腰三角形是△P3P4P5，需要滿足：∠P4P3P5＝4α＜90°且∠MP4P5＝5α≥90°，∴18°≤α＜22.5°，故答案為18°≤α＜22.5°．三、解答題（本大題共6小題，共46分．解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）19．（道里區(qū)期末）如圖，△ABC中，∠ABC＝∠ACB，點(diǎn)D、E分別在AB、AC上，DE∥BC，BE，CD交于點(diǎn)F．（1）求證：DC＝EB；（2）在不添加任何輔助線的情況下，請直接寫出圖中所有的等腰三角形．【分析】（1）先證AB＝AC，再由平行線的性質(zhì)進(jìn)而得∠ADE＝∠AED，則AD＝AE，因此BD＝CE，然后證△DBC≌△ECB（SAS），即可得出結(jié)論；（2）由（1）得：AB＝AC，AD＝AE，△DBC≌△ECB，則△ABC、△ADE是等腰三角形，∠BCD＝∠CBE，得△BCF是等腰三角形，BF＝CF，再由平行線的性質(zhì)進(jìn)而得∠FDE＝∠FED，則△DEF是等腰三角形，F(xiàn)E＝FD．【解析】（1）證明：∵∠ABC＝∠ACB，∴AB＝AC，∵DE∥BC，∴∠ADE＝∠ABC，∠AED＝∠ACB，∴∠ADE＝∠AED，∴AD＝AE，∴AB＝AD＝AC＝AE，即BD＝CE，在△DBC和△ECB中，BD=CE∠DBC=∠ECB∴△DBC≌△ECB（SAS），∴DC＝EB；（2）解：圖中所有的等腰三角形為△ABC、△ADE、△DEF、△BCF，理由如下：由（1）得：AB＝AC，AD＝AE，△DBC≌△ECB，∴△ABC、△ADE是等腰三角形，∠BCD＝∠CBE，∴△BCF是等腰三角形，BF＝CF，∵DE∥BC，∴∠FDE＝∠BCD，∠FED＝∠CBE，∴∠FDE＝∠FED，∴△DEF是等腰三角形，F(xiàn)E＝FD．20．（五常市期末）如圖，點(diǎn)D、E在△ABC的邊BC上，AD＝AE，BD＝CE．（1）求證：AB＝AC；（2）若∠BAC＝108°，∠DAE＝36°，直接寫出圖中除△ABC與△ADE外所有的等腰三角形．【分析】（1）首先過點(diǎn)A作AF⊥BC于點(diǎn)F，由AD＝AE，根據(jù)三線合一的性質(zhì)，可得DF＝EF，又由BD＝CE，可得BF＝CF，然后由線段垂直平分線的性質(zhì)，可證得AB＝AC．（2）根據(jù)等腰三角形的判定解答即可．【解析】證明：（1）過點(diǎn)A作AF⊥BC于點(diǎn)F，∵AD＝AE，∴DF＝EF，∵BD＝CE，∴BF＝CF，∴AB＝AC．（2）∵∠B＝∠BAD，∠C＝∠EAC，∠BAE＝∠BEA，∠ADC＝∠DAC，∴除△ABC與△ADE外所有的等腰三角形為：△ABD、△AEC、△ABE、△ADC，21．（臨洮縣期中）如圖，四邊形ABCD中，AB∥CD，點(diǎn)E為CD上一點(diǎn)，連接BE，AE，且BE、AE分別平分∠ABC、∠BAD．求證：CD＝AD+BC．【分析】由角平分線的性質(zhì)可得出∠DAE＝∠BAE，∠ABE＝∠EBC，由平行線的性質(zhì)得出∠BAE＝∠DEA，∠ABE＝∠BEC，則可得出AD＝DE，BC＝CE，再利用等量代換可得CD＝AD+BC．【解析】證明：∵AE平分∠DAB，BE平分∠ABC，∴∠DAE＝∠BAE，∠ABE＝∠EBC，∵AB∥CD，∴∠BAE＝∠DEA，∠ABE＝∠BEC，∴∠DAE＝∠DEA，∠EBC＝∠BEC，∴AD＝DE，BC＝CE．∴CD＝DE+CE＝AD+BC．22．（儀征市期中）如圖，△ABC中，AB＝AC，∠B＝30°，點(diǎn)O在BC邊上運(yùn)動（O不與B、C重合），連結(jié)AO．作∠AOD＝∠B，OD交AB于點(diǎn)D．（1）當(dāng)OD∥AC時，判斷△AOB的形狀并證明；（2）在點(diǎn)O的運(yùn)動過程中，△AOD的形狀可以是等腰三角形嗎？若可以，請求出∠BDO的度數(shù)；若不可以，請說明理由．【分析】（1）先由等腰三角形的性質(zhì)得∠C＝∠B＝30°，則∠BAC＝120°，再由平行線的性質(zhì)得∠OAC＝∠AOD＝30°，求出∠BAO＝90°即可；（2）分三種情況，由等腰三角形的性質(zhì)分別求出∠BDO的度數(shù)即可．【解析】（1）△AOB為直角三角形，理由如下：∵AB＝AC，∠B＝30°，∴∠C＝∠B＝30°，∴∠BAC＝180°﹣30°﹣30°＝120°，∵OD∥AC，∠AOD＝∠B＝30°，∴∠OAC＝∠AOD＝30°，∴∠BAO＝120°﹣30°＝90°，∴△AOB是直角三角形；（2）△AOD的形狀可以是等腰三角形，理由如下：分三種情況：①DA＝DO時，∠OAD＝∠AOD＝30°，∴∠BDO＝∠OAD+∠AOD＝60°；②OA＝OD時，∠ODA＝∠OAD=1∴∠