2025年菁優(yōu)高考數(shù)學(xué)解密之常用邏輯用語

Page2025年菁優(yōu)高考數(shù)學(xué)解密之常用邏輯用語一．選擇題（共10小題）1．（2024?吉林四模）已知命題，，則命題的否定為A．， B．， C．， D．，2．（2024?天津模擬）“”是“”的A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件3．（2024?遼寧一模）已知，．則“且”是“”的A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件4．（2024?濟(jì)南二模）下列命題是真命題的是A．且 B．或 C． D．方程有實(shí)根5．（2024?回憶版）已知命題，，命題，，則A．和都是真命題 B．和都是真命題 C．和都是真命題 D．和都是真命題6．（2024?順義區(qū)一模）已知，，則“”是“”A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件7．（2024?天津模擬）“”是“”的A．必要不充分條件 B．充分不必要條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件8．（2024?商洛模擬）已知，，則“”是“”的A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件9．（2024?天津模擬）若，則“”是“”的A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件10．（2024?浙江模擬）已知，．設(shè)甲：，乙：，則A．甲是乙的充分條件但不是必要條件 B．甲是乙的必要條件但不是充分條件 C．甲是乙的充要條件 D．甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件二．多選題（共5小題）11．（2024?孝南區(qū)校級(jí)模擬）關(guān)于的不等式對(duì)任意恒成立的充分不必要條件有A． B． C． D．12．（2024?海州區(qū)校級(jí)模擬）下列命題正確的有A．若方程表示圓，則的取值范圍是 B．若圓的半徑為1，圓心在第一象限，且與直線和軸都相切，則該圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是 C．已知點(diǎn)在圓上，的最大值為1 D．已知圓和，圓和圓的公共弦長(zhǎng)為13．（2024?山東模擬）如圖，在棱長(zhǎng)為1的正方體中，點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)，則下列命題正確的有A．直線和平面所成的角為定值 B．三棱錐的體積為定值 C．異面直線和所成的角為定值 D．直線和平面平行14．（2024?江西模擬）已知函數(shù)，給出下列四個(gè)結(jié)論，其中正確的是A．曲線在處的切線方程為 B．恰有2個(gè)零點(diǎn) C．既有最大值，又有最小值 D．若且，則15．（2024?重慶模擬）命題“存在，使得”為真命題的一個(gè)充分不必要條件是A． B． C． D．三．填空題（共5小題）16．（2024?北京模擬）命題“，”的否定是．17．（2024?遼寧模擬）若“，使”是假命題，則實(shí)數(shù)的取值范圍為．18．（2024?濰坊二模）已知命題，，，則為．19．（2024?安徽模擬）已知下列命題：①命題“，”的否定是“，”；②已知，為兩個(gè)命題，若“”為假命題，則“為真命題”；③“”是“”的充分不必要條件；④“若，則且”的逆否命題為真命題．其中所有真命題的序號(hào)是．20．（2024?安康模擬）已知命題，若為假命題，則的取值范圍是．四．解答題（共5小題）21．（2023?向陽區(qū)校級(jí)模擬）已知集合，集合．（1）若，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）命題，命題，若是成立的充分不必要條件，求實(shí)數(shù)的取值范圍．22．（2023?酉陽縣校級(jí)模擬）命題：任意，成立；命題：存在，成立．（1）若命題為假命題，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）若命題和有且只有一個(gè)為真命題，求實(shí)數(shù)的取值范圍．23．（2023?大荔縣一模）已知集合，或．（1）當(dāng)時(shí)，求；（2）當(dāng)時(shí)，若“”是“”的充分條件，求實(shí)數(shù)的取值范圍．24．（2023?和平區(qū)校級(jí)一模）已知命題：函數(shù)在，上單調(diào)遞增；命題：函數(shù)在，上單調(diào)遞減．（1）若是真命題，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）若，中有一個(gè)為真命題．一個(gè)為假命題，求實(shí)數(shù)的取值范圍．25．（2022?高新區(qū)校級(jí)模擬）設(shè)命題：實(shí)數(shù)滿足，其中，命題：實(shí)數(shù)滿足．（1）若，且且為真，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）非是非的充分不必要條件，求實(shí)數(shù)的取值范圍．

2025年菁優(yōu)高考數(shù)學(xué)解密之常用邏輯用語參考答案與試題解析一．選擇題（共10小題）1．（2024?吉林四模）已知命題，，則命題的否定為A．， B．， C．， D．，【答案】【考點(diǎn)】求全稱量詞命題的否定【專題】簡(jiǎn)易邏輯；定義法；對(duì)應(yīng)思想；邏輯推理【分析】根據(jù)命題的否定的定義求解．【解答】解：命題，，則命題的否定為：，．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查命題的否定，屬于基礎(chǔ)題．2．（2024?天津模擬）“”是“”的A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】【考點(diǎn)】充分條件與必要條件【專題】整體思想；不等式；數(shù)學(xué)運(yùn)算；綜合法【分析】解出不等式，再利用充分條件、必要條件的定義判斷即得．【解答】解：不等式等價(jià)于，等價(jià)于，所以，即，解得或，故能推出成立，但是成立不一定有，所以“”是“”的必要不充分條件．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查充分必要條件，考查了集合的包含關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題．3．（2024?遼寧一模）已知，．則“且”是“”的A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】【考點(diǎn)】充分條件與必要條件【專題】簡(jiǎn)易邏輯；綜合法；整體思想；綜合題；邏輯推理【分析】根據(jù)充分條件和必要條件的定義分別進(jìn)行判斷即可．【解答】解：當(dāng)且時(shí)，，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，所以充分性成立；當(dāng)且時(shí)，，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，所以必要性不成立；所以“且”是“”的充分不必要條件．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查充分條件與必要條件的判斷，涉及基本不等式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．4．（2024?濟(jì)南二模）下列命題是真命題的是A．且 B．或 C． D．方程有實(shí)根【答案】【考點(diǎn)】四種命題【專題】簡(jiǎn)易邏輯；綜合法；邏輯推理；整體思想【分析】根據(jù)真命題的定義判斷．【解答】解：對(duì)于，不成立，所以且是假命題，故錯(cuò)誤；對(duì)于，成立，所以或是真命題，故正確；對(duì)于，是假命題，故錯(cuò)誤；對(duì)于，因?yàn)椤?，所以方程無實(shí)根，故錯(cuò)誤．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了命題真假的判斷，屬于基礎(chǔ)題．5．（2024?回憶版）已知命題，，命題，，則A．和都是真命題 B．和都是真命題 C．和都是真命題 D．和都是真命題【答案】【考點(diǎn)】復(fù)合命題及其真假；全稱量詞命題的否定【專題】計(jì)算題；簡(jiǎn)易邏輯；轉(zhuǎn)化思想；數(shù)學(xué)運(yùn)算；綜合法【分析】判斷命題的真假，命題的否定的真假，即可得到選項(xiàng)．【解答】解：命題：，，時(shí)，不成立，所以命題：是假命題；則是真命題．命題，，時(shí)成立，所以命題是真命題，是假命題；所以和都是真命題．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查命題的真假的判斷，命題的否定命題的真假的判斷，是基礎(chǔ)題．6．（2024?順義區(qū)一模）已知，，則“”是“”A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】【考點(diǎn)】充分條件與必要條件【專題】簡(jiǎn)易邏輯；綜合法；數(shù)學(xué)運(yùn)算；轉(zhuǎn)化思想；計(jì)算題；不等式【分析】根據(jù)題意，利用不等式的性質(zhì)與基本不等式，對(duì)兩個(gè)條件進(jìn)行正反推理論證，即可得到本題的答案．【解答】解：當(dāng)，時(shí)，滿足，但，所以充分性不成立；當(dāng)時(shí)，由且，可得，即，必要性成立．綜上所述，“”是“”的必要不充分條件．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查基本不等式的應(yīng)用、充要條件的定義與判斷等知識(shí)，考查了邏輯推理能力，屬于基礎(chǔ)題．7．（2024?天津模擬）“”是“”的A．必要不充分條件 B．充分不必要條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】【考點(diǎn)】充分條件必要條件的判斷【專題】對(duì)應(yīng)思想；轉(zhuǎn)化法；簡(jiǎn)易邏輯【分析】不等式的基本性質(zhì)，“”不一定能得出“”的結(jié)論，因?yàn)楸仨氂羞@一條件；反過來若“”，說明一定成立，一定可以得出“”，即可得出答案．【解答】解：當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，說明，有，得．故”是“”的必要不充分條件，故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題以不等式為載體，考查了充分必要條件的判斷，充分利用不等式的基本性質(zhì)是推導(dǎo)不等關(guān)系，得出正確結(jié)論的重要條件．8．（2024?商洛模擬）已知，，則“”是“”的A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】【考點(diǎn)】充分條件與必要條件【專題】轉(zhuǎn)化思想；數(shù)學(xué)運(yùn)算；計(jì)算題；綜合法；簡(jiǎn)易邏輯【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)與冪函數(shù)的單調(diào)性，對(duì)兩個(gè)條件進(jìn)行正反推理論證，即可得到本題的答案．【解答】解：若，則，可得，充分性成立；若，則，但不一定、都是正數(shù)，推不出，故必要性不成立．綜上所述，“”是“的充分不必要條件．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查的知識(shí)點(diǎn)是不等式的基本性質(zhì)、充要條件的定義與判斷，同時(shí)考查了邏輯推理能力，屬于基礎(chǔ)題．9．（2024?天津模擬）若，則“”是“”的A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】【考點(diǎn)】充分條件與必要條件【專題】簡(jiǎn)易邏輯；綜合法；轉(zhuǎn)化思想；計(jì)算題；數(shù)學(xué)運(yùn)算【分析】根據(jù)題意對(duì)兩個(gè)條件進(jìn)行化簡(jiǎn)，結(jié)合充要條件的定義判斷出正確答案．【解答】解：若，則或．當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．所以“”不是“”的充分條件；當(dāng)時(shí)，即，所以“”是“”的必要條件．綜上所述，若，則“”是“”的必要不充分條件．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查充分必要條件的定義與判斷，考查了邏輯推理能力，屬于基礎(chǔ)題．10．（2024?浙江模擬）已知，．設(shè)甲：，乙：，則A．甲是乙的充分條件但不是必要條件 B．甲是乙的必要條件但不是充分條件 C．甲是乙的充要條件 D．甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件【答案】【考點(diǎn)】充分條件與必要條件【專題】綜合法；簡(jiǎn)易邏輯；整體思想；綜合題；邏輯推理【分析】利用構(gòu)造函數(shù)法，結(jié)合導(dǎo)數(shù)以及充分和必要條件等知識(shí)確定正確答案．【解答】解：依題意，，，對(duì)于甲：，即，設(shè)，所以在上單調(diào)遞增，故．對(duì)于乙：，兩邊取以為底的對(duì)數(shù)得，，由于，，所以，，則，設(shè)，所以在區(qū)間上，單調(diào)遞增，在區(qū)間上，單調(diào)遞減，所以由，即（a）（b），若，，或，，，則，若，不在的同一單調(diào)區(qū)間，則，所以甲是乙的充分條件但不是必要條件．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查充分條件和必要條件，屬于中檔題．二．多選題（共5小題）11．（2024?孝南區(qū)校級(jí)模擬）關(guān)于的不等式對(duì)任意恒成立的充分不必要條件有A． B． C． D．【答案】【考點(diǎn)】充分條件與必要條件【專題】數(shù)學(xué)運(yùn)算；綜合法；簡(jiǎn)易邏輯；轉(zhuǎn)化思想；不等式的解法及應(yīng)用【分析】先求不等式對(duì)任意恒成立的充要條件，然后根據(jù)選項(xiàng)判斷與其包含關(guān)系即可．【解答】解：當(dāng)不等式對(duì)任意恒成立時(shí)，有△，解得，記．由題知，集合的真子集即為不等式對(duì)任意恒成立的充分不必要條件．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了不等式的解法、充要條件的判定，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．12．（2024?海州區(qū)校級(jí)模擬）下列命題正確的有A．若方程表示圓，則的取值范圍是 B．若圓的半徑為1，圓心在第一象限，且與直線和軸都相切，則該圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是 C．已知點(diǎn)在圓上，的最大值為1 D．已知圓和，圓和圓的公共弦長(zhǎng)為【答案】【考點(diǎn)】圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；命題的真假判斷與應(yīng)用【專題】計(jì)算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；直線與圓；簡(jiǎn)易邏輯；邏輯推理；數(shù)學(xué)運(yùn)算【分析】利用圓的方程的體積求解的范圍判斷；通過已知條件求解圓的方程，判斷；利用直線與圓的位置關(guān)系判斷；求解公共弦長(zhǎng)，判斷即可．【解答】解：對(duì)于，圓方程可化為．由于該方程表示圓，故，解得，故錯(cuò)誤；對(duì)于，圓的半徑為1，圓心在第一象限，且與直線和軸都相切，圓心的縱坐標(biāo)是1，設(shè)圓心坐標(biāo)，則，又，，該圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是，故正確；對(duì)于，設(shè)，即，則圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，則圓心坐標(biāo)為，半徑，則圓心到直線的距離，即，即，平方得，解得，故的最大值是，故錯(cuò)誤；對(duì)于，兩圓方程相減，得圓和圓的公共弦所在直線方程為：，即．圓心到直線的距離，圓和圓的公共弦長(zhǎng)，故正確．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查圓的方程的應(yīng)用，直線與圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，命題真假的判斷，是基礎(chǔ)題．13．（2024?山東模擬）如圖，在棱長(zhǎng)為1的正方體中，點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)，則下列命題正確的有A．直線和平面所成的角為定值 B．三棱錐的體積為定值 C．異面直線和所成的角為定值 D．直線和平面平行【答案】【考點(diǎn)】命題的真假判斷與應(yīng)用；異面直線及其所成的角；直線與平面所成的角【專題】轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；空間位置關(guān)系與距離；邏輯推理；數(shù)學(xué)運(yùn)算【分析】直接利用正方體的性質(zhì)，幾何體的體積公式，線面平行的判定和性質(zhì)，異面直線的夾角，判定、、、的結(jié)論．【解答】解：如圖所示：對(duì)于，由線面所成角的定義，令與的交點(diǎn)為，可得即為直線和平面所成的角，當(dāng)移動(dòng)時(shí)是變化的，故錯(cuò)誤．對(duì)于，三棱錐的體積等于三棱錐的體積，而大小一定，，而平面，點(diǎn)到平面的距離即為點(diǎn)到該平面的距離，三棱錐的體積為定值，故正確；對(duì)于，在棱長(zhǎng)為1的正方體中，點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)，平面，平面，，故這兩個(gè)異面直線所成的角為定值，故正確；對(duì)于，直線和平面平行，直線和平面平行，故正確．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的知識(shí)要點(diǎn)：正方體的性質(zhì)，幾何體的體積公式，線面平行的判定和性質(zhì)，異面直線的夾角，主要考查學(xué)生的運(yùn)算能力和轉(zhuǎn)換能力及思維能力，屬于基礎(chǔ)題．14．（2024?江西模擬）已知函數(shù)，給出下列四個(gè)結(jié)論，其中正確的是A．曲線在處的切線方程為 B．恰有2個(gè)零點(diǎn) C．既有最大值，又有最小值 D．若且，則【答案】【考點(diǎn)】命題的真假判斷與應(yīng)用；利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程【專題】計(jì)算題；分類討論；綜合法；導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用；數(shù)學(xué)運(yùn)算【分析】先求出函數(shù)的定義域，當(dāng)時(shí)，求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可求得切線方程，可判斷；當(dāng)時(shí)，判斷導(dǎo)數(shù)，即可得單調(diào)性，同理可得在上的單調(diào)性，即可判斷；由函數(shù)的單調(diào)性及，（1），可判斷；當(dāng)，，由得，由單調(diào)性可得，同理可證當(dāng)，時(shí)，命題也成立，可判斷．【解答】解：依題意，對(duì)于，的定義域?yàn)椋?，，?dāng)時(shí)，，所以（1），可知曲線在點(diǎn)處的切線方程為，即，所以錯(cuò)誤；對(duì)于，，（1），所以正確；對(duì)于，因?yàn)椋栽谏蠟闇p函數(shù)；同理可求得在上為減函數(shù)，所以錯(cuò)誤；對(duì)于，若，，由得，即，因?yàn)樵?，上為減函數(shù)，所以，即，同理可證當(dāng)，時(shí)，命題也成立，故正確．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究曲線在某一點(diǎn)的切線方程，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，屬于中檔題．15．（2024?重慶模擬）命題“存在，使得”為真命題的一個(gè)充分不必要條件是A． B． C． D．【答案】【考點(diǎn)】充分條件與必要條件【專題】簡(jiǎn)易邏輯；綜合法；數(shù)學(xué)運(yùn)算；轉(zhuǎn)化思想【分析】轉(zhuǎn)化為，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)求得；進(jìn)而求解結(jié)論．【解答】解：存在，使得，即，即時(shí)，的最小值為，故；所以命題“存在，使得”為真命題的一個(gè)充分不必要條件是：的真子集，結(jié)合選項(xiàng)可得，符合條件的答案為：．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了不等式的性質(zhì)、充要條件的判定方法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．三．填空題（共5小題）16．（2024?北京模擬）命題“，”的否定是，．【答案】，．【考點(diǎn)】求存在量詞命題的否定【專題】簡(jiǎn)易邏輯；轉(zhuǎn)化思想；數(shù)學(xué)運(yùn)算；轉(zhuǎn)化法【分析】存在改任意，將結(jié)論取反，即可求解．【解答】解：命題“，”的否定是：，．故答案為：，．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查特稱命題的否定，屬于基礎(chǔ)題．17．（2024?遼寧模擬）若“，使”是假命題，則實(shí)數(shù)的取值范圍為，．【答案】，．【考點(diǎn)】存在量詞命題的否定；命題的真假判斷與應(yīng)用【專題】計(jì)算題；方程思想；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；簡(jiǎn)易邏輯；邏輯推理【分析】根據(jù)題意，若“，使”是假命題，則其否定“，都有”是真命題，則有在上恒成立，由此分析可得答案．【解答】解：根據(jù)題意，若“，使”是假命題，則其否定“，都有”是真命題，即在上恒成立，變形可得，又由，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，若在上恒成立，必有，即的取值范圍為，．故答案為：，．【點(diǎn)評(píng)】本題考查命題真假的判斷，涉及命題的否定方法，屬于基礎(chǔ)題．18．（2024?濰坊二模）已知命題，，，則為，，．【答案】，，．【考點(diǎn)】求存在量詞命題的否定【專題】綜合法；簡(jiǎn)易邏輯；整體思想；數(shù)學(xué)抽象【分析】根據(jù)特稱命題的否定為全稱命題判斷即可．【解答】解：由特稱命題的否定為全稱命題可得為，，．故答案為：，，．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了含有量詞的命題的否定，屬于基礎(chǔ)題．19．（2024?安徽模擬）已知下列命題：①命題“，”的否定是“，”；②已知，為兩個(gè)命題，若“”為假命題，則“為真命題”；③“”是“”的充分不必要條件；④“若，則且”的逆否命題為真命題．其中所有真命題的序號(hào)是②．【考點(diǎn)】：命題的真假判斷與應(yīng)用【專題】38：對(duì)應(yīng)思想；48：分析法；：簡(jiǎn)易邏輯【分析】①，命題“，”的否定是“，”；②，若“”為假命題、均為假命題則、均為真“為真命題；③，“”是“”的必要不充分條件；④，“若，則且”是假命題，命題與其逆否命題同真假．【解答】解：對(duì)于①，命題“，”的否定是“，”，故錯(cuò)；對(duì)于②，若“”為假命題、均為假命題則、均為真“為真命題，故正確；對(duì)于③，“”是“”的必要不充分條件，故錯(cuò)；對(duì)于④，“若，則且”是假命題，命題與其逆否命題同真假，故錯(cuò)．故答案為：②【點(diǎn)評(píng)】本題考查了命題真假的判定，屬于基礎(chǔ)題．20．（2024?安康模擬）已知命題，若為假命題，則的取值范圍是．【考點(diǎn)】全稱量詞命題真假的應(yīng)用【專題】轉(zhuǎn)化法；數(shù)學(xué)運(yùn)算；轉(zhuǎn)化思想；簡(jiǎn)易邏輯【分析】根據(jù)全稱命題的真假可知為真命題，由此構(gòu)造函數(shù)，結(jié)合單調(diào)性求得最值，即可求得答案．【解答】解：由題意知命題為假命題，則為真命題，設(shè)，則，由于在上單調(diào)遞增，故在，上單調(diào)遞減，則，故．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查全稱量詞和全稱命題，屬于基礎(chǔ)題．四．解答題（共5小題）21．（2023?向陽區(qū)校級(jí)模擬）已知集合，集合．（1）若，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）命題，命題，若是成立的充分不必要條件，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】（1）實(shí)數(shù)的取值范圍為；（2）數(shù)的取值范圍為．【考點(diǎn)】充分條件與必要條件；交集及其運(yùn)算【專題】簡(jiǎn)易邏輯；轉(zhuǎn)化法；對(duì)應(yīng)思想；數(shù)學(xué)運(yùn)算【分析】（1）求出，通過討論和解關(guān)于的不等式，解出即可；（2）根據(jù)集合的包含關(guān)系得到關(guān)于的不等式，解出即可．【解答】解：（1），由，①若，即時(shí)，，符合題意；②若，即時(shí)，或，解得．綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍為．（2）由已知是的真子集，故（兩個(gè)端不同時(shí)取等號(hào)），解得．由實(shí)數(shù)的取值范圍為．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了集合的運(yùn)算，考查充分必要條件，是基礎(chǔ)題．22．（2023?酉陽縣校級(jí)模擬）命題：任意，成立；命題：存在，成立．（1）若命題為假命題，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）若命題和有且只有一個(gè)為真命題，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】（1）；（2）或或．【考點(diǎn)】復(fù)合命題及其真假；命題的真假判斷與應(yīng)用【專題】數(shù)學(xué)運(yùn)算；綜合法；分類討論；簡(jiǎn)易邏輯【分析】（1）由真，由判別式求得的取值范圍，進(jìn)而得到假的條件；（2）求得真的條件，由和有且只有一個(gè)為真命題，得到真假，或假真，然后分別求的的取值范圍，再取并集即得．【解答】解：（1）由真：△，得或，所以假：；即實(shí)數(shù)的取值范圍為：；（2）真：△推出，由和有且只有一個(gè)為真命題，真假，或假真，即或，或或．即實(shí)數(shù)的取值范圍為：或或．【點(diǎn)評(píng)】本題考查復(fù)合命題的真假判定和含有量詞的命題真假判定，涉及一元二次不等式恒成立和能成立問題，不等式的求解，關(guān)鍵是由和有且只有一個(gè)為真命題，得到真假，或假真，屬于中檔題．23．（2023?大荔縣一模）已知集合，或．（1）當(dāng)時(shí)，求；（2）當(dāng)時(shí)，若“”是“”的充分條件，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】（1）；（2），．【考點(diǎn)】充分條件、必要條件、充要條件；交集及其運(yùn)算【專題】計(jì)算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；簡(jiǎn)易邏輯；數(shù)學(xué)運(yùn)算【分析】（1）先解一元二次不等式求出，再利用交集運(yùn)算求解即可．（2）將充要條件轉(zhuǎn)化為，得到不等式，求解即可．【解答】解：（1）當(dāng)時(shí)，，又或，．（2）當(dāng)時(shí)，，是的充分條件，，或，或，又，，實(shí)數(shù)的取值范圍為，．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一元二次不等式的解法，交集運(yùn)算，充要條件的應(yīng)用，屬于中檔題．24．（2023?和平區(qū)校級(jí)一模）已知命題：函數(shù)在，上單調(diào)遞增；命題：函數(shù)在，上單調(diào)遞減．（1）若是真命題，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）若，中有一個(gè)為真命題．一個(gè)為假命題，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】（1），．（2），，．【考點(diǎn)】復(fù)合命題及其真假【專題】整體思想；綜合法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；數(shù)學(xué)運(yùn)算【分析】（1）利用復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性即可解出；（2）分別討論命題，的真假，即可解出．【解答】解：（1）因?yàn)椋?，又?jù)題意知，當(dāng)函數(shù)在區(qū)間，上單調(diào)遞減時(shí)，對(duì)，成立，即對(duì)，成立，又當(dāng)，時(shí)，，所以，即所求實(shí)數(shù)的取值范圍為，，（2）據(jù)題設(shè)知“真，假”或“假，真”，據(jù)題設(shè)知，若為真命題，則，且，所以，當(dāng)“真，假”時(shí)，此時(shí)不等式無解；當(dāng)“假，真”時(shí)，，所以或，綜上，所求實(shí)數(shù)的取值范圍為，，．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了函數(shù)的性質(zhì)，命題，學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．25．（2022?高新區(qū)校級(jí)模擬）設(shè)命題：實(shí)數(shù)滿足，其中，命題：實(shí)數(shù)滿足．（1）若，且且為真，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）非是非的充分不必要條件，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】見試題解答內(nèi)容【考點(diǎn)】充分條件、必要條件、充要條件；復(fù)合命題及其真假【專題】簡(jiǎn)易邏輯【分析】本題考查的判斷充要條件的方法，我們可以根據(jù)充要條件的定義進(jìn)行判斷，但解題的關(guān)鍵是絕對(duì)值不等式及對(duì)數(shù)不等式的解法．【解答】解：（1）命題：實(shí)數(shù)滿足，其中，由，得．又，所以，當(dāng)時(shí)，，即為真命題時(shí)，實(shí)數(shù)的取值范圍：．又命題：實(shí)數(shù)滿足．由解得即所以為真時(shí)，實(shí)數(shù)的取值范圍：．若且為真，真真，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（2）不妨設(shè)，或，，或非是非的充分不必要條件，．且，即．實(shí)數(shù)的取值范圍是，．【點(diǎn)評(píng)】判斷充要條件的方法是：①若為真命題且為假命題，則命題是命題的充分不必要條件；②若為假命題且為真命題，則命題是命題的必要不充分條件；③若為真命題且為真命題，則命題是命題的充要條件；④若為假命題且為假命題，則命題是命題的既不充分也不必要條件．⑤判斷命題與命題所表示的范圍，再根據(jù)“誰大誰必要，誰小誰充分”的原則，判斷命題與命題的關(guān)系．

考點(diǎn)卡片1．交集及其運(yùn)算【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】由所有屬于集合A且屬于集合B的元素組成的集合叫做A與B的交集，記作A∩B．符號(hào)語言：A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}．A∩B實(shí)際理解為：x是A且是B中的相同的所有元素．當(dāng)兩個(gè)集合沒有公共元素時(shí)，兩個(gè)集合的交集是空集，而不能說兩個(gè)集合沒有交集．運(yùn)算性質(zhì)：①A∩B＝B∩A．②A∩?＝?．③A∩A＝A．④A∩B?A，A∩B?B．⑤A∩B＝A?A?B．⑥A∩B＝?，兩個(gè)集合沒有相同元素．⑦A∩（?UA）＝?．⑧?U（A∩B）＝（?UA）∪（?UB）．【解題方法點(diǎn)撥】解答交集問題，需要注意交集中：“且”與“所有”的理解．不能把“或”與“且”混用；求交集的方法是：①有限集找相同；②無限集用數(shù)軸、韋恩圖．【命題方向】掌握交集的表示法，會(huì)求兩個(gè)集合的交集．命題通常以選擇題、填空題為主，也可以與函數(shù)的定義域，值域，函數(shù)的單調(diào)性、復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性等聯(lián)合命題．2．充分條件與必要條件【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】1、判斷：當(dāng)命題“若p則q”為真時(shí)，可表示為p?q，稱p為q的充分條件，q是p的必要條件．事實(shí)上，與“p?q”等價(jià)的逆否命題是“￢q?￢p”．它的意義是：若q不成立，則p一定不成立．這就是說，q對(duì)于p是必不可少的，所以說q是p的必要條件．例如：p：x＞2；q：x＞0．顯然x∈p，則x∈q．等價(jià)于x?q，則x?p一定成立．2、充要條件：如果既有“p?q”，又有“q?p”，則稱條件p是q成立的充要條件，或稱條件q是p成立的充要條件，記作“p?q”．p與q互為充要條件．【解題方法點(diǎn)撥】充要條件的解題的思想方法中轉(zhuǎn)化思想的依據(jù)；解題中必須涉及兩個(gè)方面，充分條件與必要條件，缺一不可．證明題目需要證明充分性與必要性，實(shí)際上，充分性理解為充分條件，必要性理解為必要條件，學(xué)生答題時(shí)往往混淆二者的關(guān)系．判斷題目可以常用轉(zhuǎn)化思想、反例、特殊值等方法解答即可．判斷充要條件的方法是：①若p?q為真命題且q?p為假命題，則命題p是命題q的充分不必要條件；②若p?q為假命題且q?p為真命題，則命題p是命題q的必要不充分條件；③若p?q為真命題且q?p為真命題，則命題p是命題q的充要條件；④若p?q為假命題且q?p為假命題，則命題p是命題q的既不充分也不必要條件．⑤判斷命題p與命題q所表示的范圍，再根據(jù)“誰大誰必要，誰小誰充分”的原則，判斷命題p與命題q的關(guān)系．【命題方向】充要條件是學(xué)生學(xué)習(xí)知識(shí)開始，或者沒有上學(xué)就能應(yīng)用的，只不過沒有明確定義，因而幾乎年年必考內(nèi)容，多以小題為主，有時(shí)也會(huì)以大題形式出現(xiàn)，中學(xué)階段的知識(shí)點(diǎn)都相關(guān)，所以命題的范圍特別廣．3．充分條件必要條件的判斷【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】1、判斷：當(dāng)命題“若p則q”為真時(shí)，可表示為p?q，稱p為q的充分條件，q是p的必要條件．2、充要條件：如果既有“p?q”，又有“q?p”，則稱條件p是q成立的充要條件，或稱條件q是p成立的充要條件，記作“p?q”．p與q互為充要條件．【解題方法點(diǎn)撥】充要條件的解題的思想方法中轉(zhuǎn)化思想的依據(jù)；解題中必須涉及兩個(gè)方面，充分條件與必要條件，缺一不可．證明題目需要證明充分性與必要性，實(shí)際上，充分性理解為充分條件，必要性理解為必要條件，學(xué)生答題時(shí)往往混淆二者的關(guān)系．判斷題目可以常用轉(zhuǎn)化思想、反例、特殊值等方法解答即可．判斷充要條件的方法是：①若p?q為真命題且q?p為假命題，則命題p是命題q的充分不必要條件；②若p?q為假命題且q?p為真命題，則命題p是命題q的必要不充分條件；③若p?q為真命題且q?p為真命題，則命題p是命題q的充要條件；④若p?q為假命題且q?p為假命題，則命題p是命題q的既不充分也不必要條件．⑤判斷命題p與命題q所表示的范圍，再根據(jù)“誰大誰必要，誰小誰充分”的原則，判斷命題p與命題q的關(guān)系．【命題方向】充要條件是學(xué)生學(xué)習(xí)知識(shí)開始，或者沒有上學(xué)就能應(yīng)用的，只不過沒有明確定義，因而幾乎年年必考內(nèi)容，多以小題為主，有時(shí)也會(huì)以大題形式出現(xiàn)，中學(xué)階段的知識(shí)點(diǎn)都相關(guān)，所以命題的范圍特別廣．4．全稱量詞命題真假的應(yīng)用【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】全稱量詞：短語“對(duì)所有的”“對(duì)任意一個(gè)”在邏輯中通常叫做全稱量詞．符號(hào)：?應(yīng)熟練掌握全稱命題的判定方法全稱量詞：對(duì)應(yīng)日常語言中的“一切”、“任意的”、“所有的”、“凡是”、“任給”、“對(duì)每一個(gè)”等詞，用符號(hào)“?”表示．含有全稱量詞的命題．“對(duì)任意一個(gè)x∈M，有p（x）成立”簡(jiǎn)記成“?x∈M，p（x）”．命題全稱命題?x∈M，p（x）表述方法①所有的x∈M，使p（x）成立②對(duì)一切x∈M，使p（x）成立③對(duì)每一個(gè)x∈M，使p（x）成立④對(duì)任給一個(gè)x∈M，使p（x）成立⑤若x∈M，則p（x）成立﹣【解題方法點(diǎn)撥】在應(yīng)用全稱量詞命題時(shí)，首先要準(zhǔn)確判斷命題的真假，然后根據(jù)判斷結(jié)果進(jìn)行推理．例如，在證明幾何命題時(shí)，可以先驗(yàn)證全稱量詞命題的真假，然后根據(jù)真假性進(jìn)行相應(yīng)的幾何推理和計(jì)算．【命題方向】全稱量詞命題真假的應(yīng)用在代數(shù)和幾何題中廣泛存在．例如，利用全稱量詞命題的真假來推導(dǎo)數(shù)的整除性、代數(shù)式的恒等關(guān)系，或幾何圖形的某些性質(zhì)．這類題型要求學(xué)生具備扎實(shí)的基礎(chǔ)知識(shí)和邏輯推理能力．若命題“?x∈[1，3]，ax2﹣x+a≥0為真命題，則a的最小值為_____．解：?x∈[1，3]，ax2﹣x+a≥0，則，當(dāng)x∈[1，3]時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)x＝1時(shí)，等號(hào)成立，故．所以實(shí)數(shù)a的最小值為．故答案為：．5．全稱量詞命題的否定【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】一般地，對(duì)于含有一個(gè)量詞的全稱命題的否定，有下面的結(jié)論：全稱命題p：?x∈M，p（x）它的否命題?p：?x0∈M，?p（x0）．【解題方法點(diǎn)撥】寫全稱命題的否定的方法：（1）更換量詞，將全稱量詞換為存在量詞，即將“任意”改為“存在”；（2）將結(jié)論否定，比如將“＞”改為“≤”．值得注意的是，全稱命題的否定的特稱命題．【命題方向】這類試題在考查題型上，通?；疽赃x擇題或填空題的形式出現(xiàn)．難度一般不大，從考查的數(shù)學(xué)知識(shí)上看，能涉及高中數(shù)學(xué)的全部知識(shí)．6．求全稱量詞命題的否定【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】一般地，對(duì)于含有一個(gè)量詞的全稱命題的否定，有下面的結(jié)論：全稱命題p：?x∈M，p（x）它的否命題?p：?x0∈M，?p（x0）．【解題方法點(diǎn)撥】寫全稱命題的否定的方法：（1）更換量詞，將全稱量詞換為存在量詞，即將“任意”改為“存在”；（2）將結(jié)論否定，比如將“＞”改為“≤”．值得注意的是，全稱命題的否定的特稱命題．【命題方向】全稱量詞命題否定的求解在代數(shù)和幾何中廣泛存在．例如，代數(shù)中關(guān)于實(shí)數(shù)性質(zhì)的全稱命題的否定，幾何中關(guān)于圖形性質(zhì)的全稱命題的否定等．這類題型要求學(xué)生能夠靈活運(yùn)用邏輯思維進(jìn)行否定命題的改寫和判斷．寫出命題“?x∈Z，|x|∈N”的否定：_____．解：因?yàn)樘胤Q命題的否定為全稱命題，所以命題“?x∈Z，|x|∈N”的否定是“?x∈Z，|x|?N”，故答案為：?x∈Z，|x|?N．7．存在量詞命題的否定【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】一般地，對(duì)于含有一個(gè)量詞的特稱命題的否定，有下面的結(jié)論：特稱命題p：?x0∈M，p（x0）它的否命題?p：?x∈M，?p（x）．【解題方法點(diǎn)撥】寫特稱命題的否定的方法：（1）更換量詞，將存在量詞換為全稱量詞，即將“存在”改為“任意”；（2）將結(jié)論否定，比如將“＞”改為“≤”．值得注意的是，特稱命題的否定的全稱命題．【命題方向】這類試題在考查題型上，通?；疽赃x擇題或填空題的形式出現(xiàn)．難度一般不大，從考查的數(shù)學(xué)知識(shí)上看，能涉及高中數(shù)學(xué)的全部知識(shí)．8．求存在量詞命題的否定【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】一般地，對(duì)于含有一個(gè)量詞的特稱命題的否定，有下面的結(jié)論：特稱命題p：?x0∈M，p（x0）它的否命題?p：?x∈M，?p（x）．【解題方法點(diǎn)撥】寫特稱命題的否定的方法：（1）更換量詞，將存在量詞換為全稱量詞，即將“存在”改為“任意”；（2）將結(jié)論否定，比如將“＞”改為“≤”．值得注意的是，特稱命題的否定的全稱命題．【命題方向】存在量詞命題否定的求解在代數(shù)和幾何中廣泛存在．例如，代數(shù)中關(guān)于方程解的存在性命題的否定，幾何中關(guān)于圖形性質(zhì)的存在性命題的否定等．這類題型要求學(xué)生能夠靈活運(yùn)用邏輯思維進(jìn)行否定命題的改寫和判斷．寫出下列存在量詞命題的否定：（1）某箱產(chǎn)品中至少有一件次品；（2）方程x2﹣8x+15＝0有一個(gè)根是偶數(shù)；（3）?x∈R，使x2+x+1≤0．解：（1）某箱產(chǎn)品中都是正品；（2）方程x2﹣8x+15＝0每一個(gè)根都不是偶數(shù)；（3）?x∈R，使x2+x+1＞0．9．四種命題【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】一般地，對(duì)于兩個(gè)命題，如果一個(gè)命題的條件和結(jié)論分別是另一個(gè)命題的結(jié)論和條件，那么我們就把這樣的兩個(gè)命題叫做互逆命題．如果把其中一個(gè)命題叫做原命題，那么另一個(gè)叫做原命題的逆命題．一般地，對(duì)于兩個(gè)命題，如果一個(gè)命題的條件和結(jié)論恰好是另一個(gè)命題的條件的否定和結(jié)論的否定，那么我們把這樣的兩個(gè)命題叫做互否命題．其中一個(gè)命題叫做原命題，另一個(gè)叫做原命題的否命題．一般地，對(duì)于兩個(gè)命題，如果一個(gè)命題的條件和結(jié)論恰好是另一個(gè)命題的結(jié)論的否定和條件的否定，那么我們把這樣的兩個(gè)命題叫做互為逆否命題．其中一個(gè)命題叫做原命題，另一個(gè)叫做原命題的逆否命題．【解題方法點(diǎn)撥】理解四種命題的概念，能根據(jù)定義準(zhǔn)確、正確的寫出四種命題，判斷命題的真假要注意與其它考點(diǎn)的知識(shí)、方法相結(jié)合．【命題方向】高考中一般在選擇題中出現(xiàn)以命題的形式考察其它知識(shí)點(diǎn)的運(yùn)用，由于本考點(diǎn)可與高中數(shù)學(xué)中多處的考點(diǎn)相結(jié)合，故考察類型多樣，都是基本概念與基本方法的題．10．復(fù)合命題及其真假【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】含有邏輯連接詞“或”“且”“非”的命題不一定是復(fù)合命題．若此命題的真假滿足真值表，就是復(fù)合命題，否則就是簡(jiǎn)單命題．邏輯中的“或”“且”“非”與日常用語中的“或”“且”“非”含義不盡相同．判斷復(fù)合命題的真假要根據(jù)真值表來判定．【解題方法點(diǎn)撥】能判斷真假的、陳述句、反詰疑問句都是命題，而不能判斷真假的陳述句、疑問句以及祈使句都不是命題．能判斷真假的不等式、集合運(yùn)算式也是命題．寫命題P的否定形式，不能一概在關(guān)鍵詞前、加“不”，而要搞清一個(gè)命題研究的對(duì)象是個(gè)體還是全體，如果研究的對(duì)象是個(gè)體，只須將“是”改成“不是”，將“不是”改成“是”即可．如果命題研究的對(duì)象不是一個(gè)個(gè)體，就不能簡(jiǎn)單地將“是”改成“不是”，將“不是”改成“是”，而要分清命題是全稱命題還是存在性命題（所謂全稱命題是指含有“所有”“全部”“任意”這一類全稱量訶的命題；所謂存在性命題是指含有“某些”“某個(gè)”“至少有一個(gè)”這一類存在性量詞的命題，全稱命題的否定形式是存在性命題，存在性命題的否定形式是全稱命題．因此，在表述一個(gè)命題的否定形式的時(shí)候，不僅“是”與“不是”要發(fā)生變化，有關(guān)命題的關(guān)鍵詞也應(yīng)發(fā)生相應(yīng)的變化，常見關(guān)鍵詞及其否定形式附表如下：關(guān)鍵詞等于（＝）大于（＞）小于（＜）是能都是沒有至多有一個(gè)至少有一個(gè)至少有n個(gè)至多有n個(gè)任意的任兩個(gè)P且QP或Q否定詞不等于（≠）不大于（≤）不小于（≥）不是不能不都是至少有一個(gè)至少有兩個(gè)一個(gè)都沒有至多有n﹣1個(gè)至少有n+1個(gè)某個(gè)某兩個(gè)?P或?Q?P且?Q若原命題P為真，則?P必定為假，但否命題可真可假，與原命題的真假無關(guān)，否命題與逆命題是等價(jià)命題，同真同假．11．命題的真假判斷與應(yīng)用【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】判斷含有“或”、“且”、“非”的復(fù)合命題的真假，首先要明確p、q及非p的真假，然后由真值表判斷復(fù)合命題的真假．注意：“非p”的正確寫法，本題不應(yīng)將“非p”寫成“方程x2﹣2x+1＝0的兩根都不是實(shí)根”，因?yàn)椤岸际恰钡姆疵媸恰安欢际恰?，而不是“都不是”，要認(rèn)真區(qū)分．【解題方法點(diǎn)撥】1．判斷復(fù)合命題的真假，常分三步：先確定復(fù)合命題的構(gòu)成形式，再指出其中簡(jiǎn)單命題的真假，最后由真值表得出復(fù)合命題的真假．2．判斷一個(gè)“若p則q”形式的復(fù)合命題的真假，不能用真值表時(shí)，可用下列方法：若“pq”，則“若p則q”為真；而要確定“若p則q”為假，只需舉出一個(gè)反例說明即可．3．判斷逆命題、否命題、逆否命題的真假，有時(shí)可利用原命題與逆否命題同真同假，逆命題與否命題同真同假這一關(guān)系進(jìn)行轉(zhuǎn)化判斷．【命題方向】該部分內(nèi)容是《課程標(biāo)準(zhǔn)》新增加的內(nèi)容，幾乎年年都考，涉及知識(shí)點(diǎn)多而且全，多以小題形式出現(xiàn)．12．利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】利用導(dǎo)數(shù)來求曲線某點(diǎn)的切線方程是高考中的一個(gè)?？键c(diǎn)，它既可以考查學(xué)生求導(dǎo)能力，也考察了學(xué)生對(duì)導(dǎo)數(shù)意義的理解，還考察直線方程的求法，因?yàn)榘藥讉€(gè)比較重要的基本點(diǎn)，所以在高考出題時(shí)備受青睞．我們?cè)诮獯疬@類題的時(shí)候關(guān)鍵找好兩點(diǎn)，第一找到切線的斜率；第二告訴的這點(diǎn)其實(shí)也就是直線上的一個(gè)點(diǎn)，在知道斜率的情況下可以用點(diǎn)斜式把直線方程求出來．【解題方法點(diǎn)撥】例：已知函數(shù)y＝xlnx，求這個(gè)函數(shù)的圖象在點(diǎn)x＝1處的切線方程．解：k＝y(tǒng)'|x＝1＝ln1+1＝1又當(dāng)x＝1時(shí)，y＝0，所以切點(diǎn)為（1，0）∴切線方程為y﹣0＝1×（x﹣1），即y＝x﹣1．我們通過這個(gè)例題發(fā)現(xiàn)，第一步確定切點(diǎn)；第二步求斜率，即求曲線上該點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)；第三步利用點(diǎn)斜式求出直線方程．這種題的原則基本上就這樣，希望大家靈活應(yīng)用，認(rèn)真總結(jié)．13．異面直線及其所成的角【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】1、異面直線所成的角：直線a，b是異面直線，經(jīng)過空間任意一點(diǎn)O，作直線a′，b′，并使a′∥a，b′∥b．我們把直線a′和b′所成的銳角（或直角）叫做異面直線a和b所成的角．異面直線所成的角的范圍：θ∈（0，]．當(dāng)θ＝90°時(shí)，稱兩條異面直線互相垂直．2、求異面直線所成的角的方法：求異面直線的夾角關(guān)鍵在于平移直線，常用相似比，中位線，梯形兩底，平行平面等手段來轉(zhuǎn)移直線．3、求異面直線所成的角的方法常用到的知識(shí)：14．直線與平面所成的角【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】1、直線和平面所成的角，應(yīng)分三種情況：（1）直線與平面斜交時(shí)，直線和平面所成的角是指此直線和它在平面上的射影所成的銳角；（2）直線和平面垂直時(shí)，直線和平面所成的角的大小為90°；（3）直線和平面平行或在平面內(nèi)時(shí)，直線和平面所成的角的大小為0°．顯然，斜線和平面所成角的范圍是（0，）；直線和平面所成的角的范圍為[0，]．2、一條直線和一個(gè)平面斜交，它們所成的角的度量問題（空間問題）是通過斜線在平面內(nèi)的射影轉(zhuǎn)化為兩條相交直線的度量問題（平面問題）來解決的．具體的解題步驟與求異面直線所成的角類似，有如下的環(huán)節(jié)：（1）作﹣﹣?zhàn)鞒鲂本€與射影所成的角；（2）證﹣﹣論證所作（或找到的）角就是要求的角；（3）算﹣﹣常用解三角形的方法（通常是解由垂線段、斜線段、斜線段的射影所組成的直角三角形）求出角．（4）答﹣﹣回答求解問題．在求直線和平面所成的角時(shí)，垂線段是其中最重要的元素，它可起到聯(lián)系各線段的紐帶的作用．在直線與平面所成的角的定義中體現(xiàn)等價(jià)轉(zhuǎn)化和分類與整合的數(shù)學(xué)思想．3、斜線和平面所成角的最小性：斜線和平面所成的角是用兩條相交直線所成的銳角來定義的，其中一條直線就是斜線本身，另一條直線是斜線在平面上的射影．在平面內(nèi)經(jīng)過斜足的直線有無數(shù)條，它們和斜線都組成相交的兩條直線，為什么選中射影和斜線這兩條相交直線，用它們所成的銳角來定義斜線和平面所成的角呢？原因是斜線和平面內(nèi)經(jīng)過斜足的直線所成的一切角中，它是最小的角．對(duì)于已知的斜線來說這個(gè)角是