2025年菁優(yōu)高考數(shù)學(xué)壓軸訓(xùn)練2

Page2025年菁優(yōu)高考數(shù)學(xué)壓軸訓(xùn)練2一．選擇題（共10小題）1．（2024?回憶版）已知命題，，命題，，則A．和都是真命題 B．和都是真命題 C．和都是真命題 D．和都是真命題2．（2024?浙江模擬）已知，．設(shè)甲：，乙：，則A．甲是乙的充分條件但不是必要條件 B．甲是乙的必要條件但不是充分條件 C．甲是乙的充要條件 D．甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件3．（2024?寧波模擬）已知是公比不為1的等比數(shù)列的前項(xiàng)和，則“，，成等差數(shù)列”是“存在不相等的正整數(shù)，，使得，，成等差數(shù)列”的A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件4．（2024?雅安模擬）直線與曲線相切的一個(gè)充分不必要條件為A． B． C． D．5．（2024?蘭山區(qū)校級(jí)模擬）如圖，是邊長(zhǎng)為6的等邊三角形，點(diǎn)在所在平面外，平面平面，點(diǎn)是棱的中點(diǎn)，點(diǎn)，分別在棱，上，且，，．現(xiàn)給出下列四個(gè)結(jié)論：①平面；②是定值；③三棱錐體積的最大值是；④若三棱錐的體積是，則該三棱錐外接球的表面積是．其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是A．1 B．2 C．3 D．46．（2024?涼山州模擬）已知命題“”是假命題，則的取值范圍為A．， B． C． D．，7．（2024?福建模擬）宋代理學(xué)家周敦頤的《太極圖》和《太極圖說(shuō)》是象數(shù)和義理結(jié)合的表達(dá)．《朱子語(yǔ)類》卷七五：“太極只是一個(gè)混淪底道理，里面包含陰陽(yáng)、剛?cè)?、奇偶，無(wú)所不有”．太極圖（如下圖）將平衡美、對(duì)稱美體現(xiàn)的淋漓盡致．定義：對(duì)于函數(shù)，若存在圓，使得的圖象能將圓的周長(zhǎng)和面積同時(shí)平分，則稱是圓的太極函數(shù)．下列說(shuō)法正確的是①對(duì)于任意一個(gè)圓，其太極函數(shù)有無(wú)數(shù)個(gè)②是的太極函數(shù)③太極函數(shù)的圖象必是中心對(duì)稱圖形④存在一個(gè)圓，是它的太極函數(shù)A．①④ B．③④ C．①③ D．②③8．（2024?廣東模擬）已知函數(shù)，的定義域?yàn)?，則“，為周期函數(shù)”是“為周期函數(shù)”的A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件9．（2024?亭湖區(qū)校級(jí)一模）已知數(shù)列為等差數(shù)列，前項(xiàng)和為，則“”是“數(shù)列為單增數(shù)列”的A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件10．（2023?涪城區(qū)校級(jí)模擬）若“，，使成立”是假命題，則實(shí)數(shù)的取值范圍是A．， B．， C．， D．，二．多選題（共5小題）11．（2024?山東模擬）如圖，在棱長(zhǎng)為1的正方體中，點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)，則下列命題正確的有A．直線和平面所成的角為定值 B．三棱錐的體積為定值 C．異面直線和所成的角為定值 D．直線和平面平行12．（2024?重慶模擬）命題“存在，使得”為真命題的一個(gè)充分不必要條件是A． B． C． D．13．（2024?芝罘區(qū)校級(jí)模擬）已知函數(shù)，則以下結(jié)論正確的是A．在上單調(diào)遞增 B． C．方程有實(shí)數(shù)解 D．存在實(shí)數(shù)，使得方程有4個(gè)實(shí)數(shù)解14．（2024?李滄區(qū)校級(jí)模擬）如圖，在正方體中，點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)，則A．直線平面 B．三棱錐的體積為定值 C．異面直線與所成角的取值范圍是， D．直線與平面所成角的正弦值的最大值為15．（2024?長(zhǎng)春模擬）設(shè)等比數(shù)列的公比為，其前項(xiàng)和為，前項(xiàng)積為，并且滿足條件，，．則下列結(jié)論正確的是A． B． C．的最大值為 D．的最大值為三．填空題（共8小題）16．（2024?射洪市校級(jí)模擬），是兩個(gè)平面，，是兩條直線，有下列四個(gè)命題：（1）如果，，，那么．（2）如果，，那么．（3）如果，，那么．（4）如果，，那么與所成的角和與所成的角相等．其中正確的命題有．（填寫(xiě)所有正確命題的編號(hào)）17．（2024?蘭山區(qū)校級(jí)模擬）已知正四棱柱的底面邊長(zhǎng)，側(cè)棱長(zhǎng)，它的外接球的球心為，點(diǎn)是的中點(diǎn)，點(diǎn)是球上的任意一點(diǎn)，有以下命題：①的長(zhǎng)的最大值為9；②三棱錐的體積的最大值是；③存在過(guò)點(diǎn)的平面，截球的截面面積為；④三棱錐的體積的最大值為20；⑤過(guò)點(diǎn)的平面截球所得的截面面積最大時(shí)，垂直于該截面．其中是真命題的序號(hào)是．18．（2024?延慶區(qū)一模）已知函數(shù)給出下列四個(gè)結(jié)論：①存在實(shí)數(shù)，使得函數(shù)的最小值為0②存在實(shí)數(shù)，使得函數(shù)的最小值為③存在實(shí)數(shù)，使得函數(shù)恰有2個(gè)零點(diǎn)④存在實(shí)數(shù)，使得函數(shù)恰有4個(gè)零點(diǎn)其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是．19．（2023?北京模擬）已知函數(shù)，，給出下列結(jié)論：①函數(shù)的值域?yàn)?；②函?shù)在，上是增函數(shù)；③對(duì)任意，方程在，內(nèi)恒有解；④若存在，，，使得成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是．其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是．20．（2023?石景山區(qū)一模）項(xiàng)數(shù)為，的有限數(shù)列的各項(xiàng)均不小于的整數(shù)，滿足，其中．給出下列四個(gè)結(jié)論：①若，則；②若，則滿足條件的數(shù)列有4個(gè)；③存在的數(shù)列；④所有滿足條件的數(shù)列中，首項(xiàng)相同．其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是．21．（2023?涪城區(qū)校級(jí)模擬）如圖，在正方體中，，為棱的中點(diǎn)，是正方形內(nèi)部（含邊界）的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且平面．給出下列四個(gè)結(jié)論：①動(dòng)點(diǎn)的軌跡是一段圓?。虎诖嬖诜蠗l件的點(diǎn)，使得；③三棱錐的體積的最大值為；④設(shè)直線與平面所成角為，則的取值范圍是．其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是．22．（2023?涪城區(qū)校級(jí)模擬）已知函數(shù)，．給出下列三個(gè)結(jié)論：①是偶函數(shù)；②的值域是，；③在區(qū)間，上是減函數(shù)．其中，所有正確結(jié)論的序號(hào)是．23．（2023?豐臺(tái)區(qū)校級(jí)三模）已知在數(shù)列中，，，其前項(xiàng)和為．給出下列四個(gè)結(jié)論：①時(shí)，；②；③當(dāng)時(shí)，數(shù)列是遞增數(shù)列；④對(duì)任意，存在，使得數(shù)列成等比數(shù)列．其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是．四．解答題（共2小題）24．（2023?酉陽(yáng)縣校級(jí)模擬）命題：任意，成立；命題：存在，成立．（1）若命題為假命題，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）若命題和有且只有一個(gè)為真命題，求實(shí)數(shù)的取值范圍．25．（2022?黃浦區(qū)模擬）有以下真命題：已知等差數(shù)列，公差為，設(shè)，，，是數(shù)列中的任意個(gè)項(xiàng)，若，，、①，則有②．（1）當(dāng)，時(shí)，試寫(xiě)出與上述命題中的①，②兩式相對(duì)應(yīng)的等式；（2）若為等差數(shù)列，，且，求的通項(xiàng)公式；（3）試將上述真命題推廣到各項(xiàng)為正實(shí)數(shù)的等比數(shù)列中，寫(xiě)出相應(yīng)的真命題，并加以證明．

2025年菁優(yōu)高考數(shù)學(xué)壓軸訓(xùn)練2參考答案與試題解析一．選擇題（共10小題）1．（2024?回憶版）已知命題，，命題，，則A．和都是真命題 B．和都是真命題 C．和都是真命題 D．和都是真命題【答案】【考點(diǎn)】復(fù)合命題及其真假；全稱量詞命題的否定【專題】計(jì)算題；簡(jiǎn)易邏輯；轉(zhuǎn)化思想；數(shù)學(xué)運(yùn)算；綜合法【分析】判斷命題的真假，命題的否定的真假，即可得到選項(xiàng)．【解答】解：命題：，，時(shí)，不成立，所以命題：是假命題；則是真命題．命題，，時(shí)成立，所以命題是真命題，是假命題；所以和都是真命題．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查命題的真假的判斷，命題的否定命題的真假的判斷，是基礎(chǔ)題．2．（2024?浙江模擬）已知，．設(shè)甲：，乙：，則A．甲是乙的充分條件但不是必要條件 B．甲是乙的必要條件但不是充分條件 C．甲是乙的充要條件 D．甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件【答案】【考點(diǎn)】充分條件與必要條件【專題】綜合法；簡(jiǎn)易邏輯；整體思想；綜合題；邏輯推理【分析】利用構(gòu)造函數(shù)法，結(jié)合導(dǎo)數(shù)以及充分和必要條件等知識(shí)確定正確答案．【解答】解：依題意，，，對(duì)于甲：，即，設(shè)，所以在上單調(diào)遞增，故．對(duì)于乙：，兩邊取以為底的對(duì)數(shù)得，，由于，，所以，，則，設(shè)，所以在區(qū)間上，單調(diào)遞增，在區(qū)間上，單調(diào)遞減，所以由，即（a）（b），若，，或，，，則，若，不在的同一單調(diào)區(qū)間，則，所以甲是乙的充分條件但不是必要條件．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查充分條件和必要條件，屬于中檔題．3．（2024?寧波模擬）已知是公比不為1的等比數(shù)列的前項(xiàng)和，則“，，成等差數(shù)列”是“存在不相等的正整數(shù)，，使得，，成等差數(shù)列”的A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】【考點(diǎn)】等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合；等比數(shù)列的性質(zhì)；等差數(shù)列的性質(zhì)；充分條件與必要條件【專題】整體思想；等差數(shù)列與等比數(shù)列；數(shù)學(xué)運(yùn)算；綜合法；簡(jiǎn)易邏輯【分析】由已知結(jié)合等比數(shù)列的求和公式，等差數(shù)列的性質(zhì)分別檢驗(yàn)充分必要性即可判斷．【解答】解：對(duì)于公比不為1的等比數(shù)列，若，，成等差數(shù)列，則，即，整理得，結(jié)合得，若存在不相等的正整數(shù)，，使得，，成等差數(shù)列，則，不妨設(shè)，則，即，所以，當(dāng)，時(shí)，，，所以，，成等差數(shù)列時(shí)，存在不相等的正整數(shù)，，使得，，成等差數(shù)列，但，，成等差數(shù)列時(shí)，成立，但不一定成立，故“，，成等差數(shù)列”是“存在不相等的正整數(shù)，，使得，，成等差數(shù)列”的充分不必要條件．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題以充分必要條件為載體，主要考查了等比數(shù)列的求和公式，等差數(shù)列的性質(zhì)的應(yīng)用，屬于中檔題．4．（2024?雅安模擬）直線與曲線相切的一個(gè)充分不必要條件為A． B． C． D．【答案】【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程；充分條件與必要條件【專題】數(shù)學(xué)運(yùn)算；計(jì)算題；整體思想；綜合法；簡(jiǎn)易邏輯【分析】設(shè)出切點(diǎn)，由直線和曲線相切得的表達(dá)式，對(duì)比選項(xiàng)即可求解．【解答】解：由題意設(shè)，則，設(shè)直線與曲線相切的切點(diǎn)為，，則，所以，所以，，，所以，．對(duì)比選項(xiàng)可知直線與曲線相切的一個(gè)充分不必要條件為．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查充分條件和必要條件，屬于中檔題．5．（2024?蘭山區(qū)校級(jí)模擬）如圖，是邊長(zhǎng)為6的等邊三角形，點(diǎn)在所在平面外，平面平面，點(diǎn)是棱的中點(diǎn)，點(diǎn)，分別在棱，上，且，，．現(xiàn)給出下列四個(gè)結(jié)論：①平面；②是定值；③三棱錐體積的最大值是；④若三棱錐的體積是，則該三棱錐外接球的表面積是．其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是A．1 B．2 C．3 D．4【答案】【考點(diǎn)】命題的真假判斷與應(yīng)用【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；空間位置關(guān)系與距離；邏輯推理；數(shù)學(xué)運(yùn)算【分析】取的中點(diǎn)，連接，證明，進(jìn)一步證明，可得，再由面面垂直的性質(zhì)可得平面判斷①正確；分別證明，，結(jié)合可得，由勾股定理求為定值，即可判斷②正確；三棱錐的高為定值，求出的面積最大值，即可求得三棱錐的體積的最大值判斷③；取的中心為，過(guò)點(diǎn)作平面的垂線，垂足為，設(shè)三棱錐的外接球的球心為，則在垂線上，求解三角形得到三棱錐的外接球的半徑，進(jìn)一步求出外接球的表面積判斷④．【解答】解：對(duì)于①，取的中點(diǎn)，連接，是邊長(zhǎng)為6的等邊三角形，，，，又，，則，平面平面，平面平面，平面，故①正確；對(duì)于②，連接、，平面，平面，，，，又，，，，則為定值，故②正確；對(duì)于③，三棱錐的高，當(dāng)?shù)拿娣e最大時(shí)，三棱錐的體積最大，當(dāng)時(shí)，面積最大，三棱錐的體積的最大值為：，故③正確；對(duì)于④，取的中心為，則，過(guò)點(diǎn)作平面的垂線，垂足為，設(shè)三棱錐的外接球的球心為，則在垂線上，設(shè)，外接球的半徑為，則，過(guò)點(diǎn)作的平行線交于點(diǎn)，則，，則在中，，在中，，解得，．三棱錐的外接球的表面積為，故④正確．正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是4個(gè)．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查命題的真假判斷與應(yīng)用，考查空間中點(diǎn)、線、面間的位置關(guān)系，考查多面體外接球表面積的求法，考查空間想象能力與思維能力，考查運(yùn)算求解能力，屬難題．6．（2024?涼山州模擬）已知命題“”是假命題，則的取值范圍為A．， B． C． D．，【答案】【考點(diǎn)】全稱量詞命題真假的應(yīng)用【專題】簡(jiǎn)易邏輯；綜合法；數(shù)學(xué)運(yùn)算；三角函數(shù)的求值；整體思想【分析】，是真命題，然后結(jié)合存在性問(wèn)題與最值關(guān)系的轉(zhuǎn)化即可求解．【解答】解：因?yàn)槊}“”是假命題，所以，是真命題，即，是真命題，整理得有解，所以，所以，即．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了含有量詞的命題真假關(guān)系的應(yīng)用，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用，屬于中檔題．7．（2024?福建模擬）宋代理學(xué)家周敦頤的《太極圖》和《太極圖說(shuō)》是象數(shù)和義理結(jié)合的表達(dá)．《朱子語(yǔ)類》卷七五：“太極只是一個(gè)混淪底道理，里面包含陰陽(yáng)、剛?cè)?、奇偶，無(wú)所不有”．太極圖（如下圖）將平衡美、對(duì)稱美體現(xiàn)的淋漓盡致．定義：對(duì)于函數(shù)，若存在圓，使得的圖象能將圓的周長(zhǎng)和面積同時(shí)平分，則稱是圓的太極函數(shù)．下列說(shuō)法正確的是①對(duì)于任意一個(gè)圓，其太極函數(shù)有無(wú)數(shù)個(gè)②是的太極函數(shù)③太極函數(shù)的圖象必是中心對(duì)稱圖形④存在一個(gè)圓，是它的太極函數(shù)A．①④ B．③④ C．①③ D．②③【答案】【考點(diǎn)】命題的真假判斷與應(yīng)用【專題】簡(jiǎn)易邏輯；數(shù)學(xué)運(yùn)算；轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法【分析】根據(jù)“太極函數(shù)”、函數(shù)的對(duì)稱性、對(duì)數(shù)運(yùn)算等知識(shí)對(duì)選項(xiàng)4個(gè)說(shuō)法進(jìn)行分析，由此確定正確答案．【解答】解：對(duì)于①，過(guò)圓心的直線都可以將圓的周長(zhǎng)和面積平分，所以對(duì)于任意一個(gè)圓，太極函數(shù)有無(wú)數(shù)個(gè)，故①正確；對(duì)于②，，，所以關(guān)于軸對(duì)稱，不是太極函數(shù)，故②錯(cuò)誤；對(duì)于③，中心對(duì)稱圖形必定是太極函數(shù)，對(duì)稱點(diǎn)即為圓心，但太極函數(shù)只需平分圓的周長(zhǎng)和面積，不一定是中心對(duì)稱圖形，故③錯(cuò)誤；對(duì)于④，曲線存在對(duì)稱中心，所以必是某圓的太極函數(shù)，故④正確．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查命題的真假判斷與應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化能力，屬于中檔題．8．（2024?廣東模擬）已知函數(shù)，的定義域?yàn)椋瑒t“，為周期函數(shù)”是“為周期函數(shù)”的A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】【考點(diǎn)】函數(shù)的周期性；充分條件與必要條件【專題】數(shù)學(xué)運(yùn)算；定義法；函數(shù)思想；簡(jiǎn)易邏輯【分析】根據(jù)通過(guò)反例和周期的性質(zhì)判斷即可．【解答】解：兩個(gè)周期函數(shù)之和是否為周期函數(shù)，取決于兩個(gè)函數(shù)的周期的比是否為有理數(shù)，若為有理數(shù)，則有周期，若不為有理數(shù)，則無(wú)周期．的周期為，的周期為2，則當(dāng)時(shí)，只有周期的整數(shù)倍才是函數(shù)的周期，則不是充分條件；若，，則為周期函數(shù)，但，為周期函數(shù)不正確，故不是必要條件；因此為不充分不必要條件．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查充分必要條件的應(yīng)用，屬于中檔題．9．（2024?亭湖區(qū)校級(jí)一模）已知數(shù)列為等差數(shù)列，前項(xiàng)和為，則“”是“數(shù)列為單增數(shù)列”的A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】【考點(diǎn)】充分條件與必要條件；等差數(shù)列的性質(zhì)【專題】綜合法；邏輯推理；等差數(shù)列與等比數(shù)列；計(jì)算題；整體思想【分析】先說(shuō)明充分性，由得到為單調(diào)遞增數(shù)列，設(shè)公差為，表達(dá)出，結(jié)合對(duì)稱軸得到時(shí)，此時(shí)先增后減，從而充分性不成立；再舉出反例得到必要性不成立．【解答】解：若，故，即，故為單調(diào)遞增數(shù)列，設(shè)公差為，此時(shí)，，，令，對(duì)稱軸為，當(dāng)時(shí)，此時(shí)對(duì)稱軸，此時(shí)先增后減，所以數(shù)列不是單調(diào)數(shù)列，充分性不成立，若數(shù)列為單增數(shù)列，設(shè)等差數(shù)列公差為，若，不妨設(shè)，此時(shí)，滿足數(shù)列為單增數(shù)列，此時(shí)，，，，故必要性不成立，故“”是“數(shù)列為單增數(shù)列”的既不充分也不必要條件．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查等差數(shù)列及性質(zhì)，充分條件和必要條件，屬于中檔題．10．（2023?涪城區(qū)校級(jí)模擬）若“，，使成立”是假命題，則實(shí)數(shù)的取值范圍是A．， B．， C．， D．，【考點(diǎn)】：存在量詞和特稱命題【專題】38：對(duì)應(yīng)思想；：轉(zhuǎn)化法；：簡(jiǎn)易邏輯【分析】若“，，使得成立”是假命題，即“，，使得成立”是假命題，根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)可得實(shí)數(shù)的取值范圍．【解答】解：若“，，使得成立”是假命題，即“，，使得成立”是假命題，故，，恒成立，令，，，，故在，遞增，（1），，故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題以命題的真假判斷與應(yīng)用為載體，考查了特稱命題，函數(shù)恒成立問(wèn)題，難度中檔．二．多選題（共5小題）11．（2024?山東模擬）如圖，在棱長(zhǎng)為1的正方體中，點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)，則下列命題正確的有A．直線和平面所成的角為定值 B．三棱錐的體積為定值 C．異面直線和所成的角為定值 D．直線和平面平行【答案】【考點(diǎn)】命題的真假判斷與應(yīng)用；異面直線及其所成的角；直線與平面所成的角【專題】轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；空間位置關(guān)系與距離；邏輯推理；數(shù)學(xué)運(yùn)算【分析】直接利用正方體的性質(zhì)，幾何體的體積公式，線面平行的判定和性質(zhì)，異面直線的夾角，判定、、、的結(jié)論．【解答】解：如圖所示：對(duì)于，由線面所成角的定義，令與的交點(diǎn)為，可得即為直線和平面所成的角，當(dāng)移動(dòng)時(shí)是變化的，故錯(cuò)誤．對(duì)于，三棱錐的體積等于三棱錐的體積，而大小一定，，而平面，點(diǎn)到平面的距離即為點(diǎn)到該平面的距離，三棱錐的體積為定值，故正確；對(duì)于，在棱長(zhǎng)為1的正方體中，點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)，平面，平面，，故這兩個(gè)異面直線所成的角為定值，故正確；對(duì)于，直線和平面平行，直線和平面平行，故正確．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的知識(shí)要點(diǎn)：正方體的性質(zhì)，幾何體的體積公式，線面平行的判定和性質(zhì)，異面直線的夾角，主要考查學(xué)生的運(yùn)算能力和轉(zhuǎn)換能力及思維能力，屬于基礎(chǔ)題．12．（2024?重慶模擬）命題“存在，使得”為真命題的一個(gè)充分不必要條件是A． B． C． D．【答案】【考點(diǎn)】充分條件與必要條件【專題】簡(jiǎn)易邏輯；綜合法；數(shù)學(xué)運(yùn)算；轉(zhuǎn)化思想【分析】轉(zhuǎn)化為，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)求得；進(jìn)而求解結(jié)論．【解答】解：存在，使得，即，即時(shí)，的最小值為，故；所以命題“存在，使得”為真命題的一個(gè)充分不必要條件是：的真子集，結(jié)合選項(xiàng)可得，符合條件的答案為：．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了不等式的性質(zhì)、充要條件的判定方法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．13．（2024?芝罘區(qū)校級(jí)模擬）已知函數(shù)，則以下結(jié)論正確的是A．在上單調(diào)遞增 B． C．方程有實(shí)數(shù)解 D．存在實(shí)數(shù)，使得方程有4個(gè)實(shí)數(shù)解【考點(diǎn)】：命題的真假判斷與應(yīng)用【專題】35：轉(zhuǎn)化思想；49：綜合法；51：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；53：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用；65：數(shù)學(xué)運(yùn)算【分析】求得的導(dǎo)數(shù)，可得單調(diào)區(qū)間、極值和最值，即可判斷，，；討論，時(shí)，，設(shè)，求得導(dǎo)數(shù)，單調(diào)性和極值，結(jié)合圖象可判斷．【解答】解：函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為，當(dāng)時(shí)，，遞增；當(dāng)時(shí)，，遞減，可得在處取得極小值，且為最小值．故錯(cuò)誤；由．可得有實(shí)數(shù)解，故正確；由，，而，，則，，即有，由在遞增，可得，故正確；，即，顯然為原方程的一個(gè)解；時(shí)，，設(shè)，導(dǎo)數(shù)為，可得時(shí)，，遞減，或時(shí)，，遞增，即有在處取得極小值0，在處取得極大值，作出的圖象如右：當(dāng)，與的圖象有三個(gè)交點(diǎn)，即，有三個(gè)不等實(shí)根，綜上可得存在實(shí)數(shù)，使得方程有4個(gè)實(shí)數(shù)解，故正確．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求單調(diào)性和極值、最值，考查函數(shù)和方程的轉(zhuǎn)化思想，以及數(shù)形結(jié)合思想，考查化簡(jiǎn)運(yùn)算能力，屬于中檔題．14．（2024?李滄區(qū)校級(jí)模擬）如圖，在正方體中，點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)，則A．直線平面 B．三棱錐的體積為定值 C．異面直線與所成角的取值范圍是， D．直線與平面所成角的正弦值的最大值為【答案】【考點(diǎn)】命題的真假判斷與應(yīng)用【專題】計(jì)算題；數(shù)形結(jié)合；轉(zhuǎn)化法；立體幾何；邏輯推理【分析】在中，推導(dǎo)出，，從而直線平面；在中，由平面，得到到平面的距離為定值，再由△的面積是定值，從而三棱錐的體積為定值；在中，異面直線與所成角的取值范圍是，；在中，以為原點(diǎn)，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出直線與平面所成角的正弦值的最大值為．【解答】解：在中，，，，平面，，同理，，，直線平面，故正確；在中，，平面，平面，平面，點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)，到平面的距離為定值，又△的面積是定值，三棱錐的體積為定值，故正確；在中，異面直線與所成角的取值范圍是，，故錯(cuò)誤；在中，以為原點(diǎn)，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體中棱長(zhǎng)為1，，1，，則，0，，，0，，，1，，，0，，，1，，，0，，設(shè)平面的法向量，，，則，取，得，1，，直線與平面所成角的正弦值為：，當(dāng)時(shí)，直線與平面所成角的正弦值的最大值為，故正確．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查命題真假的判斷，空間圖形中直線與直線、平面的位置關(guān)系，異面直線的判斷，基本知識(shí)與定理的靈活運(yùn)用，屬于中檔題．15．（2024?長(zhǎng)春模擬）設(shè)等比數(shù)列的公比為，其前項(xiàng)和為，前項(xiàng)積為，并且滿足條件，，．則下列結(jié)論正確的是A． B． C．的最大值為 D．的最大值為【答案】【考點(diǎn)】命題的真假判斷與應(yīng)用【專題】綜合法；綜合題；轉(zhuǎn)化思想；邏輯推理；等差數(shù)列與等比數(shù)列【分析】由已知結(jié)合等比數(shù)列的性質(zhì)判斷，得到正確，再由判斷正確，構(gòu)造數(shù)列，可知該數(shù)列是遞減數(shù)列，從第8項(xiàng)開(kāi)始小于零，故前7項(xiàng)和最大，即的最大值為，故正確；由，，可知數(shù)列各項(xiàng)均為正的，沒(méi)有最大值，判斷錯(cuò)誤．【解答】解：等比數(shù)列，公比為，由，，得，由，得，，若不然，，則，又，數(shù)列，則，，不成立，故，成立，故正確；，故正確；由，，構(gòu)造數(shù)列，則該數(shù)列為等差數(shù)列，公差，得，，又，數(shù)列是遞減數(shù)列，從第8項(xiàng)開(kāi)始小于零，故前7項(xiàng)和最大，即的最大值為，故正確；，，數(shù)列各項(xiàng)均為正的，沒(méi)有最大值，故錯(cuò)誤．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查命題的真假判斷與應(yīng)用，考查了等差數(shù)列與等比數(shù)列的性質(zhì)和前項(xiàng)和公式，是中檔題．三．填空題（共8小題）16．（2024?射洪市校級(jí)模擬），是兩個(gè)平面，，是兩條直線，有下列四個(gè)命題：（1）如果，，，那么．（2）如果，，那么．（3）如果，，那么．（4）如果，，那么與所成的角和與所成的角相等．其中正確的命題有（2）（3）（4）．（填寫(xiě)所有正確命題的編號(hào)）【考點(diǎn)】：命題的真假判斷與應(yīng)用【專題】48：分析法；35：轉(zhuǎn)化思想；：空間位置關(guān)系與距離【分析】由線面垂直和面面的位置關(guān)系，即可判斷（1）；由線面平行的性質(zhì)定理和線面垂直的性質(zhì)定理，即可判斷（2）；由面面平行的性質(zhì)定理，即可判斷（3）；運(yùn)用面面平行和線面角的定義，即可判斷（4）．【解答】解：（1）如果，，，那么或、相交，故（1）錯(cuò)；（2）如果，，過(guò)的平面與的交線平行于，且，那么，故（2）正確；（3）如果，，由面面平行的性質(zhì)可得，故（3）正確；（4）如果，，那么與所成的角和與所成的角相等，正確．故答案為：（2）（3）（4）．【點(diǎn)評(píng)】本題考查空間直線和平面的位置關(guān)系的判斷，考查線面平行和垂直的判定定理和性質(zhì)定理的運(yùn)用，以及線面角的定義，考查推理能力，屬于中檔題．17．（2024?蘭山區(qū)校級(jí)模擬）已知正四棱柱的底面邊長(zhǎng)，側(cè)棱長(zhǎng)，它的外接球的球心為，點(diǎn)是的中點(diǎn)，點(diǎn)是球上的任意一點(diǎn)，有以下命題：①的長(zhǎng)的最大值為9；②三棱錐的體積的最大值是；③存在過(guò)點(diǎn)的平面，截球的截面面積為；④三棱錐的體積的最大值為20；⑤過(guò)點(diǎn)的平面截球所得的截面面積最大時(shí)，垂直于該截面．其中是真命題的序號(hào)是①③④．【答案】①③④【考點(diǎn)】命題的真假判斷與應(yīng)用【專題】球；數(shù)學(xué)運(yùn)算【分析】通過(guò)題中條件計(jì)算得出結(jié)果，判斷命題真假．【解答】解：根據(jù)題意，作圖如下：根據(jù)正四棱柱的性質(zhì)，可知正四棱柱的外接球的半徑即為：，所以最大值即為，故①正確；在三棱錐中，，高三棱錐的體積最大值即為：，故②錯(cuò)誤；當(dāng)截面與垂直時(shí)，，故截面圓的面積即為，故③正確；在三棱錐中，，高三棱錐的體積最大值即為：，故④正確；當(dāng)過(guò)點(diǎn)的平面截球所得的截面面積最大時(shí)，截面過(guò)直線，而，故⑤錯(cuò)誤．故答案為：①③④【點(diǎn)評(píng)】本題考查了四棱柱的外接球問(wèn)題，體積的最值，截面問(wèn)題，屬于綜合題型，同時(shí)考查學(xué)生的計(jì)算能力和空間想象能力，難度中等．18．（2024?延慶區(qū)一模）已知函數(shù)給出下列四個(gè)結(jié)論：①存在實(shí)數(shù)，使得函數(shù)的最小值為0②存在實(shí)數(shù)，使得函數(shù)的最小值為③存在實(shí)數(shù)，使得函數(shù)恰有2個(gè)零點(diǎn)④存在實(shí)數(shù)，使得函數(shù)恰有4個(gè)零點(diǎn)其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是①③．【考點(diǎn)】命題的真假判斷與應(yīng)用【專題】函數(shù)思想；綜合法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；數(shù)學(xué)運(yùn)算；簡(jiǎn)易邏輯【分析】取特殊值判斷①，當(dāng)時(shí)，分別分析分段函數(shù)兩部分的最值判斷②，根據(jù)分段函數(shù)每部分的零點(diǎn)確定函數(shù)的零點(diǎn)可判斷③④．【解答】解：當(dāng)時(shí)，，顯然函數(shù)的最小值為0，故①正確；當(dāng)時(shí)，，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在，上單調(diào)遞減，在，上單調(diào)遞增，所以時(shí)，有最小值，由，可得，此時(shí)，時(shí)，，在上單調(diào)遞減，所以（1），與最小值為矛盾，若時(shí)，的對(duì)稱軸方程為，當(dāng)時(shí)，即時(shí)，，若，則與矛盾，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，無(wú)最小值，綜上，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的最小值不為，故②錯(cuò)誤；由②知，時(shí)，時(shí)，單調(diào)遞減且，當(dāng)時(shí)，且（1），所以函數(shù)恰有2個(gè)零點(diǎn)，故③正確；當(dāng)時(shí)，且僅有（1），即有且只有1個(gè)零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，且僅有（1），即有且只有1個(gè)零點(diǎn)，綜上，時(shí)，有且只有1個(gè)零點(diǎn)，而在上至多有2個(gè)零點(diǎn)，所以時(shí)，函數(shù)沒(méi)有4個(gè)零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，函數(shù)有無(wú)數(shù)個(gè)零點(diǎn)，故④錯(cuò)誤．故答案為：①③．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查命題真假的判斷，函數(shù)最值的求法及函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的判斷，屬于中檔題．19．（2023?北京模擬）已知函數(shù)，，給出下列結(jié)論：①函數(shù)的值域?yàn)?；②函?shù)在，上是增函數(shù)；③對(duì)任意，方程在，內(nèi)恒有解；④若存在，，，使得成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是．其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是①②④．【考點(diǎn)】：命題的真假判斷與應(yīng)用【專題】51：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用【分析】①當(dāng)時(shí)，利用單調(diào)遞增，可得．當(dāng)時(shí)，函數(shù)，利用一次函數(shù)的單調(diào)性可得．即可得到函數(shù)的值域．②利用誘導(dǎo)公式可得，利用余弦函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而得出在，上單調(diào)性．③由②可知：（1），若任意，方程在，內(nèi)恒有解，則必須滿足的值域，．解出判定即可．④存在，，，使得成立，則解出即可．【解答】解：①當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，，即．當(dāng)時(shí)，由函數(shù)單調(diào)遞減，，即．函數(shù)的值域?yàn)椋虼刷僬_．②，，，，因此在，上單調(diào)遞減，又，在，上單調(diào)遞增，因此正確．③由②可知：（1），．若任意，方程在，內(nèi)恒有解，則必須滿足的值域，．，，解得，因此③不正確；④存在，，，使得成立，則由③可知：，，，，解得，實(shí)數(shù)的取值范圍是．正確．綜上可知：只有①②④正確．故答案為：①②④．【點(diǎn)評(píng)】本題綜合考查了分段函數(shù)的單調(diào)性、恒成立問(wèn)題的等價(jià)轉(zhuǎn)化方法等基礎(chǔ)知識(shí)與基本技能方法，考查了分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力，屬于難題．20．（2023?石景山區(qū)一模）項(xiàng)數(shù)為，的有限數(shù)列的各項(xiàng)均不小于的整數(shù)，滿足，其中．給出下列四個(gè)結(jié)論：①若，則；②若，則滿足條件的數(shù)列有4個(gè)；③存在的數(shù)列；④所有滿足條件的數(shù)列中，首項(xiàng)相同．其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是①②④．【考點(diǎn)】命題的真假判斷與應(yīng)用【專題】數(shù)學(xué)運(yùn)算；綜合法；對(duì)應(yīng)思想；直觀想象；等差數(shù)列與等比數(shù)列；導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用【分析】由題意可得，所以，，從而可判斷③，④；當(dāng)時(shí)，得，所以，則，從而判斷①；當(dāng)時(shí)，可得，則的可能取值為，0，1，2，對(duì)應(yīng)的的取值為6，4，2，0，從而可得數(shù)列，即可判斷②．【解答】解：因?yàn)橛邢迶?shù)列的各項(xiàng)均不小于的整數(shù)，所以，，，又因?yàn)椋?，所以，且，為整?shù)，所以，所以③錯(cuò)誤，④正確；當(dāng)時(shí)，得，所以，則，故①正確；當(dāng)時(shí)，得，又因?yàn)椋?，則，所以，為整數(shù)，則的可能取值為，0，1，2，對(duì)應(yīng)的的取值為6，4，2，0，故數(shù)列可能為，，6；，0，4；，1，2；，2，0，共4個(gè)，故②正確．故答案為：①②④．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了有窮數(shù)列的性質(zhì)、不等式的性質(zhì)，也考查了邏輯推理能力，屬于中檔題．21．（2023?涪城區(qū)校級(jí)模擬）如圖，在正方體中，，為棱的中點(diǎn)，是正方形內(nèi)部（含邊界）的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且平面．給出下列四個(gè)結(jié)論：①動(dòng)點(diǎn)的軌跡是一段圓弧；②存在符合條件的點(diǎn)，使得；③三棱錐的體積的最大值為；④設(shè)直線與平面所成角為，則的取值范圍是．其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是②③④．【考點(diǎn)】命題的真假判斷與應(yīng)用；棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積；棱柱的結(jié)構(gòu)特征【專題】綜合法；數(shù)學(xué)運(yùn)算；邏輯推理；轉(zhuǎn)化思想；空間位置關(guān)系與距離【分析】對(duì)于①，利用線線平行能證明平面平面，由此能求出點(diǎn)的軌跡；對(duì)于②，利用線線垂直的判定與性質(zhì)直接求解；對(duì)于③，利用三棱錐體積公式直接求解；對(duì)于④，利用線面角的定義結(jié)合三角形性質(zhì)直接求解．【解答】解：對(duì)于①，分別取和的中點(diǎn)，，連接，，，由正方體的性質(zhì)知，，平面，、平面，，平面，又，平面，，平面平面，當(dāng)在上運(yùn)動(dòng)時(shí)，有平面，動(dòng)點(diǎn)的軌跡是線段，故①錯(cuò)誤；對(duì)于②，當(dāng)為線段中點(diǎn)時(shí)，，，又，，故②正確；對(duì)于③，三棱錐的體積，又，三棱錐的體積最大值為，故③正確；對(duì)于④，連接，，則與平面所成角，則，，的范圍是，，故④正確．故答案為：②③④．【點(diǎn)評(píng)】本題考查線面平行、線線垂直的判定與性質(zhì)、三棱錐體積公式、線面角定義等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是中檔題．22．（2023?涪城區(qū)校級(jí)模擬）已知函數(shù)，．給出下列三個(gè)結(jié)論：①是偶函數(shù)；②的值域是，；③在區(qū)間，上是減函數(shù)．其中，所有正確結(jié)論的序號(hào)是①③．【答案】①③．【考點(diǎn)】命題的真假判斷與應(yīng)用【專題】綜合題；分類討論；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)；邏輯推理【分析】研究函數(shù)在一個(gè)周期，內(nèi)的性質(zhì)，即將化為分段函數(shù)解決問(wèn)題．【解答】解：易知的最小正周期為，故只需研究，的值域、單調(diào)性，即可判斷函數(shù)在上的值域和單調(diào)性，對(duì)于①，定義域?yàn)椋P(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，，故是偶函數(shù)，故①正確；對(duì)于②，當(dāng)，時(shí)，，此時(shí)；當(dāng)，時(shí)，，所以，綜上可知，的值域是，，故②錯(cuò)誤；對(duì)于③，時(shí)，，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，故在上單調(diào)遞減，故③正確．故答案為：①③．【點(diǎn)評(píng)】本題考查三角函數(shù)的性質(zhì)，同時(shí)考查了分類討論思想的體現(xiàn)，學(xué)生的邏輯推理能力，屬于中檔題．23．（2023?豐臺(tái)區(qū)校級(jí)三模）已知在數(shù)列中，，，其前項(xiàng)和為．給出下列四個(gè)結(jié)論：①時(shí)，；②；③當(dāng)時(shí)，數(shù)列是遞增數(shù)列；④對(duì)任意，存在，使得數(shù)列成等比數(shù)列．其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是①②④．【答案】①②④．【考點(diǎn)】命題的真假判斷與應(yīng)用【專題】計(jì)算題；函數(shù)思想；方程思想；定義法；等差數(shù)列與等比數(shù)列；點(diǎn)列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法；數(shù)學(xué)抽象；邏輯推理；數(shù)學(xué)運(yùn)算【分析】對(duì)于①，直接算出數(shù)列的前5項(xiàng)，再相加即可判斷①；對(duì)于②，把用來(lái)表示，即可判斷與0的大小，進(jìn)而判斷②；對(duì)于③，取，可得，進(jìn)而判斷③錯(cuò)誤；對(duì)于④，當(dāng)恒成立時(shí)可以求出，所以存在，數(shù)列成等比數(shù)列，所以④正確．【解答】解：①當(dāng)時(shí)，，則，即，則，則，，則；故①正確；②因?yàn)?，所以，即，故②正確；③當(dāng)時(shí)，不妨設(shè)，則甴，得，則，則，故數(shù)列是遞增數(shù)列錯(cuò)誤；故③錯(cuò)誤；④設(shè)，則，，，即，存在，數(shù)列成等比數(shù)列，此時(shí)公比；故④正確．故答案為：①②④．【點(diǎn)評(píng)】本題考查數(shù)列的遞推關(guān)系，考查數(shù)列的單調(diào)性，考查等比數(shù)列的概念，考查數(shù)學(xué)抽象的核心素養(yǎng)，屬于中檔題．四．解答題（共2小題）24．（2023?酉陽(yáng)縣校級(jí)模擬）命題：任意，成立；命題：存在，成立．（1）若命題為假命題，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）若命題和有且只有一個(gè)為真命題，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】（1）；（2）或或．【考點(diǎn)】復(fù)合命題及其真假；命題的真假判斷與應(yīng)用【專題】數(shù)學(xué)運(yùn)算；綜合法；分類討論；簡(jiǎn)易邏輯【分析】（1）由真，由判別式求得的取值范圍，進(jìn)而得到假的條件；（2）求得真的條件，由和有且只有一個(gè)為真命題，得到真假，或假真，然后分別求的的取值范圍，再取并集即得．【解答】解：（1）由真：△，得或，所以假：；即實(shí)數(shù)的取值范圍為：；（2）真：△推出，由和有且只有一個(gè)為真命題，真假，或假真，即或，或或．即實(shí)數(shù)的取值范圍為：或或．【點(diǎn)評(píng)】本題考查復(fù)合命題的真假判定和含有量詞的命題真假判定，涉及一元二次不等式恒成立和能成立問(wèn)題，不等式的求解，關(guān)鍵是由和有且只有一個(gè)為真命題，得到真假，或假真，屬于中檔題．25．（2022?黃浦區(qū)模擬）有以下真命題：已知等差數(shù)列，公差為，設(shè)，，，是數(shù)列中的任意個(gè)項(xiàng)，若，，、①，則有②．（1）當(dāng)，時(shí)，試寫(xiě)出與上述命題中的①，②兩式相對(duì)應(yīng)的等式；（2）若為等差數(shù)列，，且，求的通項(xiàng)公式；（3）試將上述真命題推廣到各項(xiàng)為正實(shí)數(shù)的等比數(shù)列中，寫(xiě)出相應(yīng)的真命題，并加以證明．【答案】（1）答案見(jiàn)解析；（2）（2）；（3）答案見(jiàn)解析．【考點(diǎn)】命題的真假判斷與應(yīng)用【專題】邏輯推理；綜合法；轉(zhuǎn)化思想；計(jì)算題；等差數(shù)列與等比數(shù)列；數(shù)學(xué)運(yùn)算【分析】（1）當(dāng)，時(shí)，代入數(shù)據(jù)，可得當(dāng)時(shí)，有；（2）根據(jù)所給數(shù)據(jù)，結(jié)合題意，可得，即可得、，的值，進(jìn)而可求得值，根據(jù)，可得，代入等差數(shù)列通項(xiàng)公式，即可得答案．（3）根據(jù)題意，類比可得已知等比數(shù)列，，公比為，設(shè)是數(shù)列中的任意個(gè)項(xiàng)，若，則有．進(jìn)行證明即可．【解答】解：（1）當(dāng)，時(shí)，由已知，對(duì)等差數(shù)列的任意兩項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，有；（2）設(shè)的公差為，由題意得：，知，，，所以，解得，又，于是；（3）已知等比數(shù)列，，公比為，設(shè)是數(shù)列中的任意個(gè)項(xiàng)，若，則有．證明如下：因?yàn)?，所以，其中，于是，命題得證．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了數(shù)列的遞推式，等差數(shù)列的基本量計(jì)算以及數(shù)列新定義，屬于難題．

考點(diǎn)卡片1．充分條件與必要條件【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】1、判斷：當(dāng)命題“若p則q”為真時(shí)，可表示為p?q，稱p為q的充分條件，q是p的必要條件．事實(shí)上，與“p?q”等價(jià)的逆否命題是“￢q?￢p”．它的意義是：若q不成立，則p一定不成立．這就是說(shuō)，q對(duì)于p是必不可少的，所以說(shuō)q是p的必要條件．例如：p：x＞2；q：x＞0．顯然x∈p，則x∈q．等價(jià)于x?q，則x?p一定成立．2、充要條件：如果既有“p?q”，又有“q?p”，則稱條件p是q成立的充要條件，或稱條件q是p成立的充要條件，記作“p?q”．p與q互為充要條件．【解題方法點(diǎn)撥】充要條件的解題的思想方法中轉(zhuǎn)化思想的依據(jù)；解題中必須涉及兩個(gè)方面，充分條件與必要條件，缺一不可．證明題目需要證明充分性與必要性，實(shí)際上，充分性理解為充分條件，必要性理解為必要條件，學(xué)生答題時(shí)往往混淆二者的關(guān)系．判斷題目可以常用轉(zhuǎn)化思想、反例、特殊值等方法解答即可．判斷充要條件的方法是：①若p?q為真命題且q?p為假命題，則命題p是命題q的充分不必要條件；②若p?q為假命題且q?p為真命題，則命題p是命題q的必要不充分條件；③若p?q為真命題且q?p為真命題，則命題p是命題q的充要條件；④若p?q為假命題且q?p為假命題，則命題p是命題q的既不充分也不必要條件．⑤判斷命題p與命題q所表示的范圍，再根據(jù)“誰(shuí)大誰(shuí)必要，誰(shuí)小誰(shuí)充分”的原則，判斷命題p與命題q的關(guān)系．【命題方向】充要條件是學(xué)生學(xué)習(xí)知識(shí)開(kāi)始，或者沒(méi)有上學(xué)就能應(yīng)用的，只不過(guò)沒(méi)有明確定義，因而幾乎年年必考內(nèi)容，多以小題為主，有時(shí)也會(huì)以大題形式出現(xiàn)，中學(xué)階段的知識(shí)點(diǎn)都相關(guān)，所以命題的范圍特別廣．2．全稱量詞命題真假的應(yīng)用【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】全稱量詞：短語(yǔ)“對(duì)所有的”“對(duì)任意一個(gè)”在邏輯中通常叫做全稱量詞．符號(hào)：?應(yīng)熟練掌握全稱命題的判定方法全稱量詞：對(duì)應(yīng)日常語(yǔ)言中的“一切”、“任意的”、“所有的”、“凡是”、“任給”、“對(duì)每一個(gè)”等詞，用符號(hào)“?”表示．含有全稱量詞的命題．“對(duì)任意一個(gè)x∈M，有p（x）成立”簡(jiǎn)記成“?x∈M，p（x）”．命題全稱命題?x∈M，p（x）表述方法①所有的x∈M，使p（x）成立②對(duì)一切x∈M，使p（x）成立③對(duì)每一個(gè)x∈M，使p（x）成立④對(duì)任給一個(gè)x∈M，使p（x）成立⑤若x∈M，則p（x）成立﹣【解題方法點(diǎn)撥】在應(yīng)用全稱量詞命題時(shí)，首先要準(zhǔn)確判斷命題的真假，然后根據(jù)判斷結(jié)果進(jìn)行推理．例如，在證明幾何命題時(shí)，可以先驗(yàn)證全稱量詞命題的真假，然后根據(jù)真假性進(jìn)行相應(yīng)的幾何推理和計(jì)算．【命題方向】全稱量詞命題真假的應(yīng)用在代數(shù)和幾何題中廣泛存在．例如，利用全稱量詞命題的真假來(lái)推導(dǎo)數(shù)的整除性、代數(shù)式的恒等關(guān)系，或幾何圖形的某些性質(zhì)．這類題型要求學(xué)生具備扎實(shí)的基礎(chǔ)知識(shí)和邏輯推理能力．若命題“?x∈[1，3]，ax2﹣x+a≥0為真命題，則a的最小值為_(kāi)____．解：?x∈[1，3]，ax2﹣x+a≥0，則，當(dāng)x∈[1，3]時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)x＝1時(shí)，等號(hào)成立，故．所以實(shí)數(shù)a的最小值為．故答案為：．3．存在量詞和存在量詞命題【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】存在量詞：短語(yǔ)“存在一個(gè)”“至少有一個(gè)”在邏輯中通常叫做存在量詞．符號(hào)：?特稱命題：含有存在量詞的命題．符號(hào)：“?”．存在量詞：對(duì)應(yīng)日常語(yǔ)言中的“存在一個(gè)”、“至少有一個(gè)”、“有個(gè)”、“某個(gè)”、“有些”、“有的”等詞，用符號(hào)“?”表示．特稱命題：含有存在量詞的命題．“?x0∈M，有p（x0）成立”簡(jiǎn)記成“?x0∈M，p（x0）”．“存在一個(gè)”，“至少有一個(gè)”叫做存在量詞．命題全稱命題?x∈M，p（x）特稱命題?x0∈M，p（x0）表述方法①所有的x∈M，使p（x）成立①存在x0∈M，使p（x0）成立②對(duì)一切x∈M，使p（x）成立②至少有一個(gè)x0∈M，使p（x0）成立③對(duì)每一個(gè)x∈M，使p（x）成立③某些x∈M，使p（x）成立④對(duì)任給一個(gè)x∈M，使p（x）成立④存在某一個(gè)x0∈M，使p（x0）成立⑤若x∈M，則p（x）成立⑤有一個(gè)x0∈M，使p（x0）成立【解題方法點(diǎn)撥】由于全稱量詞的否定是存在量詞，而存在量詞的否定又是全稱量詞；因此，全稱命題的否定一定是特稱命題；特稱命題的否定一定是全稱命題．命題的“否定”與一個(gè)命題的“否命題”是兩個(gè)不同的概念，對(duì)命題的否定是否定命題所作的判斷，而否命題是對(duì)“若p則q”形式的命題而言，既要否定條件，也要否定結(jié)論．常見(jiàn)詞語(yǔ)的否定如下表所示：詞語(yǔ)是一定是都是大于小于詞語(yǔ)的否定不是一定不是不都是小于或等于大于或等于詞語(yǔ)且必有一個(gè)至少有n個(gè)至多有一個(gè)所有x成立詞語(yǔ)的否定或一個(gè)也沒(méi)有至多有n﹣1個(gè)至少有兩個(gè)存在一個(gè)x不成立【命題方向】本考點(diǎn)通常與全稱命題的否定，多以小題出現(xiàn)在填空題，選擇題中．4．全稱量詞命題的否定【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】一般地，對(duì)于含有一個(gè)量詞的全稱命題的否定，有下面的結(jié)論：全稱命題p：?x∈M，p（x）它的否命題?p：?x0∈M，?p（x0）．【解題方法點(diǎn)撥】寫(xiě)全稱命題的否定的方法：（1）更換量詞，將全稱量詞換為存在量詞，即將“任意”改為“存在”；（2）將結(jié)論否定，比如將“＞”改為“≤”．值得注意的是，全稱命題的否定的特稱命題．【命題方向】這類試題在考查題型上，通?；疽赃x擇題或填空題的形式出現(xiàn)．難度一般不大，從考查的數(shù)學(xué)知識(shí)上看，能涉及高中數(shù)學(xué)的全部知識(shí)．5．復(fù)合命題及其真假【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】含有邏輯連接詞“或”“且”“非”的命題不一定是復(fù)合命題．若此命題的真假滿足真值表，就是復(fù)合命題，否則就是簡(jiǎn)單命題．邏輯中的“或”“且”“非”與日常用語(yǔ)中的“或”“且”“非”含義不盡相同．判斷復(fù)合命題的真假要根據(jù)真值表來(lái)判定．【解題方法點(diǎn)撥】能判斷真假的、陳述句、反詰疑問(wèn)句都是命題，而不能判斷真假的陳述句、疑問(wèn)句以及祈使句都不是命題．能判斷真假的不等式、集合運(yùn)算式也是命題．寫(xiě)命題P的否定形式，不能一概在關(guān)鍵詞前、加“不”，而要搞清一個(gè)命題研究的對(duì)象是個(gè)體還是全體，如果研究的對(duì)象是個(gè)體，只須將“是”改成“不是”，將“不是”改成“是”即可．如果命題研究的對(duì)象不是一個(gè)個(gè)體，就不能簡(jiǎn)單地將“是”改成“不是”，將“不是”改成“是”，而要分清命題是全稱命題還是存在性命題（所謂全稱命題是指含有“所有”“全部”“任意”這一類全稱量訶的命題；所謂存在性命題是指含有“某些”“某個(gè)”“至少有一個(gè)”這一類存在性量詞的命題，全稱命題的否定形式是存在性命題，存在性命題的否定形式是全稱命題．因此，在表述一個(gè)命題的否定形式的時(shí)候，不僅“是”與“不是”要發(fā)生變化，有關(guān)命題的關(guān)鍵詞也應(yīng)發(fā)生相應(yīng)的變化，常見(jiàn)關(guān)鍵詞及其否定形式附表如下：關(guān)鍵詞等于（＝）大于（＞）小于（＜）是能都是沒(méi)有至多有一個(gè)至少有一個(gè)至少有n個(gè)至多有n個(gè)任意的任兩個(gè)P且QP或Q否定詞不等于（≠）不大于（≤）不小于（≥）不是不能不都是至少有一個(gè)至少有兩個(gè)一個(gè)都沒(méi)有至多有n﹣1個(gè)至少有n+1個(gè)某個(gè)某兩個(gè)?P或?Q?P且?Q若原命題P為真，則?P必定為假，但否命題可真可假，與原命題的真假無(wú)關(guān)，否命題與逆命題是等價(jià)命題，同真同假．6．命題的真假判斷與應(yīng)用【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】判斷含有“或”、“且”、“非”的復(fù)合命題的真假，首先要明確p、q及非p的真假，然后由真值表判斷復(fù)合命題的真假．注意：“非p”的正確寫(xiě)法，本題不應(yīng)將“非p”寫(xiě)成“方程x2﹣2x+1＝0的兩根都不是實(shí)根”，因?yàn)椤岸际恰钡姆疵媸恰安欢际恰保皇恰岸疾皇恰保J(rèn)真區(qū)分．【解題方法點(diǎn)撥】1．判斷復(fù)合命題的真假，常分三步：先確定復(fù)合命題的構(gòu)成形式，再指出其中簡(jiǎn)單命題的真假，最后由真值表得出復(fù)合命題的真假．2．判斷一個(gè)“若p則q”形式的復(fù)合命題的真假，不能用真值表時(shí)，可用下列方法：若“pq”，則“若p則q”為真；而要確定“若p則q”為假，只需舉出一個(gè)反例說(shuō)明即可．3．判斷逆命題、否命題、逆否命題的真假，有時(shí)可利用原命題與逆否命題同真同假，逆命題與否命題同真同假這一關(guān)系進(jìn)行轉(zhuǎn)化判斷．【命題方向】該部分內(nèi)容是《課程標(biāo)準(zhǔn)》新增加的內(nèi)容，幾乎年年都考，涉及知識(shí)點(diǎn)多而且全，多以小題形式出現(xiàn)．7．函數(shù)的周期性【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】函數(shù)的周期性定義為若T為非零常數(shù)，對(duì)于定義域內(nèi)的任一x，使f（x）＝f（x+T）恒成立，則f（x）叫做周期函數(shù)，T叫做這個(gè)函數(shù)的一個(gè)周期．常函數(shù)為周期函數(shù)，但無(wú)最小正周期，其周期為任意實(shí)數(shù)．【解題方法點(diǎn)撥】周期函數(shù)一般和偶函數(shù)，函數(shù)的對(duì)稱性以及它的圖象相結(jié)合，考查的內(nèi)容比較豐富．①求最小正周期的解法，盡量重復(fù)的按照所給的式子多寫(xiě)幾個(gè)，例：求f（x）＝的最小正周期．解：由題意可知，f（x+2）＝＝f（x﹣2）?T＝4②與對(duì)稱函數(shù)或者偶函數(shù)相結(jié)合求函數(shù)與x軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)．如已知函數(shù)在某個(gè)小區(qū)間與x軸有n個(gè)交點(diǎn)，求函數(shù)在更大的區(qū)間與x軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)．思路：第一，這一般是個(gè)周期函數(shù)，所以先求出周期T；第二，結(jié)合函數(shù)圖象判斷交點(diǎn)個(gè)數(shù)；第三，注意端點(diǎn)的值．【命題方向】周期函數(shù)、奇偶函數(shù)都是高考的?？键c(diǎn)，學(xué)習(xí)是要善于總結(jié)并進(jìn)行歸類，靈活運(yùn)用解題的基本方法，為了高考將仍然以小題為主．8．等差數(shù)列的性質(zhì)【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】等差數(shù)列如果一個(gè)數(shù)列從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差等于同一個(gè)常數(shù)，這個(gè)數(shù)列就叫做等差數(shù)列．這個(gè)常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差，公差常用字母d表示．等差數(shù)列的通項(xiàng)公式為：an＝a1+（n﹣1）d；前n項(xiàng)和公式為：Sn＝na1+n（n﹣1）或Sn＝（n∈N+），另一重要特征是若p+q＝2m，則有2am＝ap+aq（p，q，m都為自然數(shù)）等差數(shù)列的性質(zhì)（1）若公差d＞0，則為遞增等差數(shù)列；若公差d＜0，則為遞減等差數(shù)列；若公差d＝0，則為常數(shù)列；（2）有窮等差數(shù)列中，與首末兩端“等距離”的兩項(xiàng)和相等，并且等于首末兩項(xiàng)之和；（3）m，n∈N+，則am＝an+（m﹣n）d；（4）若s，t，p，q∈N*，且s+t＝p+q，則as+at＝ap+aq，其中as，at，ap，aq是數(shù)列中的項(xiàng)，特別地，當(dāng)s+t＝2p時(shí)，有as+at＝2ap；（5）若數(shù)列{an}，{bn}均是等差數(shù)列，則數(shù)列{man+kbn}仍為等差數(shù)列，其中m，k均為常數(shù)．（6）an，an﹣1，an﹣2，…，a2，a1仍為等差數(shù)列，公差為﹣d．（7）從第二項(xiàng)開(kāi)始起，每一項(xiàng)是與它相鄰兩項(xiàng)的等差中項(xiàng)，也是與它等距離的前后兩項(xiàng)的等差中項(xiàng)，即2an+1＝an+an+2，2an＝an﹣m+an+m，（n≥m+1，n，m∈N+）（8）am，am+k，am+2k，am+3k，…仍為等差數(shù)列，公差為kd（首項(xiàng)不一定選a1）．【解題方法點(diǎn)撥】例：已知等差數(shù)列{an}中，a1＜a2＜a3＜…＜an且a3，a6為方程x2﹣10x+16＝0的兩個(gè)實(shí)根．（1）求此數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；（2）268是不是此數(shù)列中的項(xiàng)？若是，是第多少項(xiàng)？若不是，說(shuō)明理由．解：（1）由已知條件得a3＝2，a6＝8．又∵{an}為等差數(shù)列，設(shè)首項(xiàng)為a1，公差為d，∴a1+2d＝2，a1+5d＝8，解得a1＝﹣2，d＝2．∴an＝﹣2+（n﹣1）×2＝2n﹣4（n∈N*）．∴數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝2n﹣4．（2）令268＝2n﹣4（n∈N*），解得n＝136．∴268是此數(shù)列的第136項(xiàng)．這是一個(gè)很典型的等差數(shù)列題，第一問(wèn)告訴你第幾項(xiàng)和第幾項(xiàng)是多少，然后套用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式an＝a1+（n﹣1）d，求出首項(xiàng)和公差d，這樣等差數(shù)列就求出來(lái)了．第二問(wèn)判斷某個(gè)數(shù)是不是等差數(shù)列的某一項(xiàng)，其實(shí)就是要你檢驗(yàn)看符不符合通項(xiàng)公式，帶進(jìn)去檢驗(yàn)一下就是的．9．等比數(shù)列的性質(zhì)【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】等比數(shù)列（又名幾何數(shù)列），是一種特殊數(shù)列．如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比等于同一個(gè)常數(shù)，這個(gè)數(shù)列就叫做等比數(shù)列，因?yàn)榈诙?xiàng)與第一項(xiàng)的比和第三項(xiàng)與第二項(xiàng)的比相等，這個(gè)常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比，公比通常用字母q表示（q≠0）．注：q＝1時(shí)，an為常數(shù)列．等比數(shù)列和等差數(shù)列一樣，也有一些通項(xiàng)公式：①第n項(xiàng)的通項(xiàng)公式，an＝a1qn﹣1，這里a1為首項(xiàng)，q為公比，我們發(fā)現(xiàn)這個(gè)通項(xiàng)公式其實(shí)就是指數(shù)函數(shù)上孤立的點(diǎn)．②求和公式，Sn＝，表示的是前面n項(xiàng)的和．③若m+n＝q+p，且都為正整數(shù)，那么有am?an＝ap?aq．等比數(shù)列的性質(zhì)（1）通項(xiàng)公式的推廣：an＝am?qn﹣m，（n，m∈N*）．（2）若{an}為等比數(shù)列，且k+l＝m+n，（k，l，m，n∈N*），則ak?al＝am?an（3）若{an}，{bn}（項(xiàng)數(shù)相同）是等比數(shù)列，則{λan}（λ≠0），{a}，{an?bn}，仍是等比數(shù)列．（4）單調(diào)性：或?{an}是遞增數(shù)列；或?{an}是遞減數(shù)列；q＝1?{an}是常數(shù)列；q＜0?{an}是擺動(dòng)數(shù)列．【解題方法點(diǎn)撥】例：2，x，y，z，18成等比數(shù)列，則y＝．解：由2，x，y，z，18成等比數(shù)列，設(shè)其公比為q，則18＝2q4，解得q2＝3，∴y＝2q2＝2×3＝6．故答案為：6．本題的解法主要是運(yùn)用了等比數(shù)列第n項(xiàng)的通項(xiàng)公式，這也是一個(gè)常用的方法，即知道某兩項(xiàng)的值然后求出公比，繼而可以以已知項(xiàng)為首項(xiàng)，求出其余的項(xiàng)．關(guān)鍵是對(duì)公式的掌握，方法就是待定系數(shù)法．10．等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】1、等差數(shù)列的性質(zhì)（1）若公差d＞0，則為遞增等差數(shù)列；若公差d＜0，則為遞減等差數(shù)列；若公差d＝0，則為常數(shù)列；（2）有窮等差數(shù)列中，與首末兩端“等距離”的兩項(xiàng)和相等，并且等于首末兩項(xiàng)之和；（3）m，n∈N+，則am＝an+（m﹣n）d；（4）若s，t，p，q∈N*，且s+t＝p+q，則as+at＝ap+aq，其中as，at，ap，aq是數(shù)列中的項(xiàng)，特別地，當(dāng)s+t＝2p時(shí)，有as+at＝2ap；（5）若數(shù)列{an}，{bn}均是等差數(shù)列，則數(shù)列{man+kbn}仍為等差數(shù)列，其中m，k均為常數(shù)．（6）an，an﹣1，an﹣2，…，a2，a1仍為等差數(shù)列，公差為﹣d．（7）從第二項(xiàng)開(kāi)始起，每一項(xiàng)是與它相鄰兩項(xiàng)的等差中項(xiàng)，也是與它等距離的前后兩項(xiàng)的等差中項(xiàng)，即2an+1＝an+an+2，2an＝an﹣m+an+m，（n≥m+1，n，m∈N+）（8）am，am+k，am+2k，am+3k，…仍為等差數(shù)列，公差為kd（首項(xiàng)不一定選a1）．2、等比數(shù)列的性質(zhì)．（1）通項(xiàng)公式的推廣：an＝am?qn﹣m，（n，m∈N*）．（2）若{an}為等比數(shù)列，且k+l＝m+n，（k，l，m，n∈N*），則ak?al＝am