【八年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)滬教版】第18-19章 知識(shí)梳理-（滬教版上海專用）

第第頁(yè)第18-19章知識(shí)梳理第18章正比例函數(shù)和反比例函數(shù)知識(shí)梳理一、函數(shù)的相關(guān)概念在某個(gè)變化過(guò)程中有兩個(gè)變量，設(shè)為x和y,如果在變量x的允許取值范圍內(nèi)，變量y隨著x的變化而變化，那么變量y叫做變量x的函數(shù)，x叫做自變量。是的函數(shù)，如果當(dāng)＝時(shí)＝，那么叫做當(dāng)自變量為時(shí)的函數(shù)值.二、正比例函數(shù)1.定義：定義域是一切實(shí)數(shù)的函數(shù)y=kx(k是不等于零的常數(shù))叫做正比例函數(shù)，其中常數(shù)k叫做比例系數(shù).注意：正比例函數(shù)的定義域是一切實(shí)數(shù).2.圖象：一般地，正比例函數(shù)y=kx（k為常數(shù)，k≠0）的圖像是經(jīng)過(guò)原點(diǎn)（0,0）和點(diǎn)（1，k）的一條直線，.我們把正比例函數(shù)y=kx的圖像叫做直線y=kx.3.畫函數(shù)圖像的步驟：（1）列表；（2）描點(diǎn)；（3）連線.畫直線y=kx的圖像.為了方便，我們通常取原點(diǎn)O（0，0）和點(diǎn)（1，k）.4.正比例函數(shù)的性質(zhì)：（1）當(dāng)k>0時(shí)，正比例函數(shù)的圖像經(jīng)過(guò)第一、三象限；自變量x的值逐漸增大時(shí)，y的值也隨著逐漸增大.（2）當(dāng)k<0時(shí)，正比例函數(shù)的圖像經(jīng)過(guò)第二、四象限；自變量x的值逐漸增大時(shí)，y的值也隨著逐漸減小.三、反比例函數(shù)1、定義定義域?yàn)椴坏扔诹愕囊磺袑?shí)數(shù)的函數(shù)，（k為不等于零的常數(shù)）叫做反比例函數(shù)，其中k也叫比例系數(shù).2、圖象反比例函數(shù)的圖象是雙曲線，它有兩個(gè)分支，這兩個(gè)分支分別位于第一、三象限或第二、四象限；反比例函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，永遠(yuǎn)不會(huì)與x軸、y軸相交，只是無(wú)限靠近兩坐標(biāo)軸。3、畫反比例函數(shù)的圖象的基本步驟：（1）列表：自變量的取值應(yīng)以0為中心，在0的兩側(cè)取三對(duì)（或三對(duì)以上）互為相反數(shù)的值，填寫y值時(shí)，只需計(jì)算右側(cè)的函數(shù)值，相應(yīng)左側(cè)的函數(shù)值是與之對(duì)應(yīng)的相反數(shù)；（2）描點(diǎn)：描出一側(cè)的點(diǎn)后，另一側(cè)可根據(jù)中心對(duì)稱去描點(diǎn)；（3）連線：按照從左到右的順序連接各點(diǎn)并延伸，連線時(shí)要用平滑的曲線按照自變量從小到大的順序連接，切忌畫成折線。注意雙曲線的兩個(gè)分支是斷開的，延伸部分有逐漸靠近坐標(biāo)軸的趨勢(shì)，但永遠(yuǎn)不與坐標(biāo)軸相交；（4）反比例函數(shù)圖象的分布是由k的符號(hào)決定的：當(dāng)時(shí)，兩支曲線分別位于第一、三象限內(nèi)，當(dāng)時(shí)，兩支曲線分別位于第二、四象限內(nèi)．4、反比例函數(shù)的性質(zhì)：（1）當(dāng)＞0時(shí)，函數(shù)圖像的兩個(gè)分支分別分布在第一、三象限內(nèi)，在每一個(gè)象限中，隨的增大而減??；（2）當(dāng)＜0時(shí)，兩個(gè)分支分別分布在第二、四象限內(nèi)，在每一個(gè)象限中，隨的增大而增大。（3）兩個(gè)分支都無(wú)限接近但永遠(yuǎn)不能達(dá)到軸和軸。四、函數(shù)的表示方法函數(shù)的表示方法有三種：解析式法，列表法，圖象法.1、解析法把兩個(gè)變量之間的依賴關(guān)系用數(shù)學(xué)式子來(lái)表達(dá)，這種表示函數(shù)的方法叫做解析法．這種數(shù)學(xué)式子也就是函數(shù)解析式．如、，再如、、……，2、列表法這種把兩個(gè)變量之間的依賴關(guān)系用表格來(lái)表達(dá)，這種表示函數(shù)的方法叫做列表法．3、圖象法這種把兩個(gè)變量之間的依賴關(guān)系用圖像來(lái)表示，這種表示函數(shù)的方法叫做圖像法．幾何證明知識(shí)梳理一、幾何證明1．命題和證明（1）命題定義：判斷一件事情的句子.判斷為正確的命題，叫做真命題；判斷為錯(cuò)誤的命題，叫做假命題.（2）演繹證明（簡(jiǎn)稱證明）從已知的概念、條件出發(fā)，依據(jù)已被確認(rèn)的事實(shí)和公認(rèn)的邏輯規(guī)則，推導(dǎo)出某結(jié)論為正確的過(guò)程.要點(diǎn)：命題通常由題設(shè)、結(jié)論兩部分組成，題設(shè)是已知的事項(xiàng)，結(jié)論是由已知事項(xiàng)推出的事項(xiàng)，可以寫成“如果……那么……”的形式，“如果”開始的部分是題設(shè)，“那么”開始的部分是結(jié)論.2.公理和定理（1）公理：人們從長(zhǎng)期的實(shí)踐中總結(jié)出來(lái)的真命題叫做公理，它們可以作為判斷其他命題真假的原始依據(jù).（2）定理：從公理或其他真命題出發(fā)，用推理方法證明為正確的，并能進(jìn)一步作為判斷其他命題真假的依據(jù)，這樣的真命題叫做定理.3.逆命題與逆定理（1）在兩個(gè)命題中，如果第一個(gè)命題的題設(shè)是第二個(gè)命題的結(jié)論，而第一個(gè)命題的結(jié)論又是第二個(gè)命題的題設(shè)，則這兩個(gè)命題叫互逆命題.其中一個(gè)命題叫原命題；另一個(gè)命題叫它的逆命題.（2）如果一個(gè)定理的逆命題經(jīng)過(guò)證明也是定理，則這兩個(gè)定理叫做互逆定理，其中一個(gè)叫另一個(gè)的逆定理.4.證明真命題的一般步驟（1）理解題意，分清命題的條件（已知）、結(jié)論（求證）（2）根據(jù)題意，畫出圖形，并在圖中標(biāo)出必要的字母或符號(hào)（3）結(jié)合圖形，用符號(hào)語(yǔ)言寫出“已知”和“求證”（4）分析題意，探索證明思路（由“因”導(dǎo)“果”，執(zhí)“果”索“因”）（5）依據(jù)思路，運(yùn)用數(shù)學(xué)符號(hào)和數(shù)學(xué)語(yǔ)言條理清晰的寫出證明過(guò)程（6）檢查表達(dá)過(guò)程是否正確、完善要點(diǎn)：（1）一個(gè)命題（定理）的逆命題（逆定理）并不是唯一的，這是因?yàn)橐粋€(gè)命題的題設(shè)中可能有兩個(gè)或多個(gè)條件，結(jié)論也可能不止一個(gè)；（2）逆命題的真假與原命題的真假?zèng)]有關(guān)系.二、線段的垂直平分線和角的平分線1.線段的垂直平分線（1）線段垂直平分線的定義垂直于一條線段并且平分這條線段的直線是這條線段的垂直平分線.（2）線段垂直平分線的性質(zhì)定理MNMNBAP如圖：∵M(jìn)N垂直平分線段AB∴PA=PB（3）線段垂直平分線的性質(zhì)定理的逆定理和一條線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)，在這條線段的垂直平分線上.要點(diǎn)：線段的垂直平分線定理與逆定理往往與邊相等、角相等的證明密切相關(guān)，它提供了證明邊、角相等的又一種重要的方法，在以后的學(xué)習(xí)中還會(huì)與直角三角形、角平分線、勾股定理等連在一起綜合應(yīng)用.2.角的平分線（1）角的平分線的定義：一條射線把一個(gè)角分成兩個(gè)相等的角，這條射線叫做這個(gè)角的平分線.（2）角的平分線有下面的性質(zhì)定理：①角平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角的兩邊的距離相等.②到一個(gè)角的兩邊距離相等的點(diǎn)在這個(gè)角的平分線上.ABOABODEPPD⊥OA，PE⊥OB，∴PD=PE.3.垂線的性質(zhì)性質(zhì)1：過(guò)一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直.性質(zhì)2：直線外一點(diǎn)與直線上各點(diǎn)連接的所有線段中，垂線段最短.簡(jiǎn)稱：垂線段最短.要點(diǎn)：（1）當(dāng)題目中的條件涉及到角平分線上的點(diǎn)與角的兩邊的垂直關(guān)系時(shí)，利用角的平分線性質(zhì)可直接得到垂線段相等，而不必用全等三角形來(lái)證，但是在書寫過(guò)程中，不要漏掉垂直關(guān)系；（2）已知角的平分線，有兩種常用的添加輔助線的方法：一是把角沿著角平分線翻折，在這個(gè)角的兩邊截取相等線段，從而創(chuàng)設(shè)兩個(gè)全等的三角形；二是過(guò)角平分線上的點(diǎn)向角兩邊做垂線段，利用角平分線的性質(zhì)定理及其逆定理來(lái)解題.三、軌跡1.軌跡的定義把符合某些條件的所有點(diǎn)的集合叫做點(diǎn)的軌跡.要點(diǎn)：軌跡定義包含以下兩層含義：其一、軌跡圖形是由符合條件的那些點(diǎn)組成的，就是說(shuō)，圖形上的任何一點(diǎn)都符合條件（也稱圖形的純粹性）；其二、軌跡圖形包含了符合條件的所有的點(diǎn)，就是說(shuō)，符合條件的任何一點(diǎn)都在圖形上（也稱圖形的完備性）；所謂軌跡問(wèn)題的證明就是用論證的方法證明得到的軌跡符合上述兩層含義.2.三條基本軌跡軌跡1：和已知線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)的軌跡是這條線段的垂直平分線；軌跡2：到已知角的兩邊距離相等的點(diǎn)的軌跡是這個(gè)角的平分線；軌跡3：到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的軌跡是以定點(diǎn)為圓心、以定長(zhǎng)為半徑的圓.3.交軌法作圖利用軌跡相交進(jìn)行作圖的方法叫做交軌法.如果要求作的點(diǎn)（圖形）同時(shí)要滿足兩個(gè)條件時(shí)，我們通常先作出滿足條件A的軌跡，然后再作出滿足條件B的軌跡，兩軌跡的交點(diǎn)則同時(shí)滿足條件A和條件B.交軌法是常用的作圖方法，我們?cè)诶贸咭?guī)作三角形、線段的垂直平分線、角平分線時(shí)，都運(yùn)用了交軌法.要點(diǎn)：“尺規(guī)作圖”是指限用無(wú)刻度直尺和圓規(guī)來(lái)作幾何圖形，基本的尺規(guī)作圖有如下幾種：（1）作一條線段等于已知線段；（2）作一個(gè)角等于已知角；（3）作已知角的平分線；（4）經(jīng)過(guò)一點(diǎn)作已知直線的垂線；（5）作線段的垂直平分線.四、直角三角形1.直角三角形全等的判定（1）直角三角形全等一般判定定理：直角三角形是特殊的三角形，一般三角形全等的判定方法也適用于直角三角形，即(SAS、ASA、SSS、AAS)（2）直角三角形全等的HL判定定理：如果兩個(gè)直角三角形的斜邊和一條直角邊對(duì)應(yīng)相等，那么這兩個(gè)直角三角形全等（簡(jiǎn)記為：HL）綜上：直角三角形全等的判定方法有SAS、ASA、SSS、AAS、HL.2.直角三角形的性質(zhì)定理：直角三角形的兩個(gè)銳角互余；定理：直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半；推論：在直角三角形中，如果一個(gè)銳角等于30°,那么它所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半；推論：在直角三角形中，如果一條直角邊等于斜邊的一半，那么這條直角邊所對(duì)的角等于30°.3.勾股定理定理：在直角三角形中，斜邊大于直角邊；勾股定理：直角三角形兩條直角邊的平方和，等于斜邊的平方；勾股定理的逆定理：如果三角形的一條邊的平方等于其他兩條邊的平方和，那么這個(gè)三角形是直角三角形；勾股定理證明思路：面積分割法（勾股定理逆定理證明思路：三角形全等）勾股數(shù)組：如果正整數(shù)滿足，那么叫做勾股數(shù)組，常見的勾股數(shù)組有：3、4、5；5、12、13；7、24、25；8、15、17.4.兩點(diǎn)之間的距離公式如果直角坐標(biāo)平面內(nèi)有兩點(diǎn)，那么A、B兩點(diǎn)的距離為：.兩種特殊情況：（1）在直角坐標(biāo)平面內(nèi)，軸或平行于軸的直線上的兩點(diǎn)的距離為：（2）在直角坐標(biāo)平面內(nèi)，軸或平行于軸的直線上的兩點(diǎn)的距離為：要點(diǎn)：幾何證明的分析思路：（1）從結(jié)論出發(fā)，即：根據(jù)所要證明的結(jié)論→去尋找條件.例如：要證線段相等，則需先證：①⊿全等，然后利用全等三角形性質(zhì)得到線段相等；②角相等，然后利用等角對(duì)等邊（前提：在同一個(gè)三角形中）③尋找中間變量，然后利用等量代換得出結(jié)論；④觀察圖形，看是否可以直接利用線段的垂直平分線定理或角平分線定理來(lái)得出結(jié)論；要證角相等，則需先證：①⊿全等，然后利用全等三角形性質(zhì)得到角相等；②線段相等，然后利用等邊對(duì)等角（前提：在同一個(gè)三角形中）③尋找中間變量，然后利用等量代換得出結(jié)論；④觀察圖形，看是否可以直接利用角平分線逆定理來(lái)得出結(jié)論；要證垂直，則需先