2024年中考數(shù)學(xué)二輪題型突破題型5 圓的相關(guān)證明與計(jì)算（復(fù)習(xí)講義）（學(xué)生版）

題型五圓的相關(guān)證明與計(jì)算（復(fù)習(xí)講義）【考點(diǎn)總結(jié)|典例分析】考點(diǎn)01圓的有關(guān)概念1．與圓有關(guān)的概念和性質(zhì)（1）圓：平面上到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的所有點(diǎn)組成的圖形．（2）弦與直徑：連接圓上任意兩點(diǎn)的線段叫做弦，過圓心的弦叫做直徑，直徑是圓內(nèi)最長(zhǎng)的弦．（3）?。簣A上任意兩點(diǎn)間的部分叫做弧，小于半圓的弧叫做劣弧，大于半圓的弧叫做優(yōu)?。?）圓心角：頂點(diǎn)在圓心的角叫做圓心角．（5）圓周角：頂點(diǎn)在圓上，并且兩邊都與圓還有一個(gè)交點(diǎn)的角叫做圓周角．（6）弦心距：圓心到弦的距離．考點(diǎn)02垂徑定理及其推論1．垂徑定理垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對(duì)的兩條?。P(guān)于垂徑定理的計(jì)算常與勾股定理相結(jié)合，解題時(shí)往往需要添加輔助線，一般過圓心作弦的垂線，構(gòu)造直角三角形．2．推論（1）平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對(duì)的兩條?。唬?）弦的垂直平分線經(jīng)過圓心，并且平分弦所對(duì)的兩條?。键c(diǎn)03圓心角、弧、弦的關(guān)系1．定理在同圓或等圓中，相等的圓心角所對(duì)的弧相等，所對(duì)的弦相等．圓心角、弧和弦之間的等量關(guān)系必須在同圓等式中才成立．2．推論在同圓或等圓中，如果兩個(gè)圓心角、兩條弧、兩條弦中有一組量相等，那么它們所對(duì)應(yīng)的其余各組量都分別相等．考點(diǎn)04圓周角定理及其推論1．定理一條弧所對(duì)的圓周角等于它所對(duì)的圓心角的一半．2．推論（1）在同圓或等圓中，同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等．（2）直徑所對(duì)的圓周角是直角．考點(diǎn)05與圓有關(guān)的位置關(guān)系1．點(diǎn)與圓的位置關(guān)系設(shè)點(diǎn)到圓心的距離為d．(1)d<r?點(diǎn)在⊙O內(nèi)；(2)d=r?點(diǎn)在⊙O上；(3)d>r?點(diǎn)在⊙O外．判斷點(diǎn)與圓之間的位置關(guān)系，將該點(diǎn)的圓心距與半徑作比較即可．2．直線和圓的位置關(guān)系位置關(guān)系相離相切相交圖形公共點(diǎn)個(gè)數(shù)0個(gè)1個(gè)2個(gè)數(shù)量關(guān)系d>rd=rd<r考點(diǎn)06切線的性質(zhì)與判定1．切線的性質(zhì)（1）切線與圓只有一個(gè)公共點(diǎn)．（2）切線到圓心的距離等于圓的半徑．（3）切線垂直于經(jīng)過切點(diǎn)的半徑．利用切線的性質(zhì)解決問題時(shí)，通常連過切點(diǎn)的半徑，利用直角三角形的性質(zhì)來解決問題．2．切線的判定（1）與圓只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線是圓的切線（定義法）．（2）到圓心的距離等于半徑的直線是圓的切線．（3）經(jīng)過半徑外端點(diǎn)并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線．切線判定常用的證明方法：①知道直線和圓有公共點(diǎn)時(shí)，連半徑，證垂直；②不知道直線與圓有沒有公共點(diǎn)時(shí)，作垂直，證垂線段等于半徑．考點(diǎn)07三角形與圓1.三角形外接圓外心是三角形三條垂直平分線的交點(diǎn)，它到三角形的三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等．2．三角形的內(nèi)切圓內(nèi)心是三角形三條角平分線的交點(diǎn)，它到三角形的三條邊的距離相等．1．（2023·四川眉山·統(tǒng)考中考真題）如圖，切于點(diǎn)B，連接交于點(diǎn)C，交于點(diǎn)D，連接，若，則的度數(shù)為（

）

A． B． C． D．2．（2023·重慶·統(tǒng)考中考真題）如圖，為的直徑，直線與相切于點(diǎn)C，連接，若，則的度數(shù)為（

）

A． B． C． D．3．（2023·四川自貢·統(tǒng)考中考真題）如圖，內(nèi)接于，是的直徑，連接，，則的度數(shù)是（

）A． B． C． D．4．（2023·江蘇蘇州·統(tǒng)考中考真題）如圖，是半圓的直徑，點(diǎn)在半圓上，，連接，過點(diǎn)作，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)．設(shè)的面積為的面積為，若，則的值為（

）

A． B． C． D．5.如圖，A，B，C是半徑為1的⊙O上的三個(gè)點(diǎn)，若AB＝，∠CAB＝30°，則∠ABC的度數(shù)為（）A．95° B．100° C．105° D．110°6．（2023·四川宜賓·統(tǒng)考中考真題）如圖，已知點(diǎn)在上，為的中點(diǎn)．若，則等于（）

A． B． C． D．7.如圖，AB是⊙O的直徑，AC，BC是⊙O的弦，若，則的度數(shù)為（）A．70° B．90° C．40° D．60°8.如圖，中，，，．點(diǎn)為內(nèi)一點(diǎn)，且滿足．當(dāng)?shù)拈L(zhǎng)度最小時(shí)，的面積是（）A．3 B． C． D．9．（2023·湖南常德·統(tǒng)考中考真題）如圖，四邊形是的內(nèi)接四邊形，是直徑，是的中點(diǎn)，過點(diǎn)作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)．

(1)求證：是的切線；(2)若，，求的長(zhǎng)．10．（2023·湖南張家界·統(tǒng)考中考真題）如圖，是的外接圓，是的直徑，是延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，連接，且．(1)求證：是的切線；(2)若直徑，求的長(zhǎng)．11.如圖，A，B是上兩點(diǎn)，且，連接OB并延長(zhǎng)到點(diǎn)C，使，連接AC．（1）求證：AC是的切線．（2）點(diǎn)D，E分別是AC，OA的中點(diǎn)，DE所在直線交于點(diǎn)F，G，，求GF的長(zhǎng)．12．（2023·遼寧·統(tǒng)考中考真題）如圖，是的直徑，點(diǎn)在上，，點(diǎn)在線段的延長(zhǎng)線上，且．

(1)求證：EF與相切；(2)若，求的長(zhǎng)．13．（2023·浙江金華·統(tǒng)考中考真題）如圖，點(diǎn)在第一象限內(nèi)，與軸相切于點(diǎn)，與軸相交于點(diǎn)．連接，過點(diǎn)作于點(diǎn)．

(1)求證：四邊形為矩形．(2)已知的半徑為4，，求弦的長(zhǎng)．14.如圖，在中，是直徑，弦，垂足為，為上一點(diǎn)，為弦延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)交直徑的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，連接交于點(diǎn)，若．（1）求證：是的切線；（2）若的半徑為8，，求的長(zhǎng)．15．（2023·四川成都·統(tǒng)考中考真題）如圖，以的邊為直徑作，交邊于點(diǎn)D，過點(diǎn)C作交于點(diǎn)E，連接．

(1)求證：；(2)若，求和的長(zhǎng)．16.如圖，是的內(nèi)接三角形，是的直徑，點(diǎn)是的中點(diǎn)，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)．（1）求證：直線與相切；（2）若的直徑是10，，求的長(zhǎng)．20.如圖，已知點(diǎn)是以為直徑的圓上一點(diǎn)，是延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，過點(diǎn)作的垂線交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，連結(jié)，且．（1）求證：是的切線；（2）若，，求的半徑．21.（2023·上?！そy(tǒng)考中考真題）如圖，在中，弦的長(zhǎng)為8，點(diǎn)C在延長(zhǎng)線上，且．

(1)求的半徑；(2)求的正切值．22.如圖，AB是⊙O的直徑，C為⊙O上一點(diǎn)，連接AC，CE⊥AB于點(diǎn)E，D是直徑AB延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且∠BCE＝∠BCD．（1）求證：CD是⊙O的切線；（2）若AD＝8，BECE23.如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，AB為⊙O的直徑，AB＝10，AC＝6，連結(jié)OC，弦AD分別交OC，BC于點(diǎn)E，F(xiàn)，其中點(diǎn)E是AD的中點(diǎn)．（1）求證：∠CAD＝∠CBA．（2）求OE的長(zhǎng)．24．（2023·遼寧大連·統(tǒng)考中考真題）如圖1，在中，為的直徑，點(diǎn)為上一點(diǎn)，為的平分線交于點(diǎn)，連接交于點(diǎn)．

(1)求的度數(shù)；(2)如圖2，過點(diǎn)作的切線交延長(zhǎng)線于點(diǎn)，過點(diǎn)作交于點(diǎn)．若，求的長(zhǎng)．25．（2023·黑龍江齊齊哈爾·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，，平分交于點(diǎn)D，點(diǎn)E是斜邊上一點(diǎn)，以為直徑的經(jīng)過點(diǎn)D，交于點(diǎn)F，連接．

(1)求證：是的切線；(2)若，，求圖中陰影部分的面積（結(jié)果保留π）．26.如圖，⊙O的半徑OA＝6，過點(diǎn)A作⊙O的切線AP，且AP＝8，連接PO并延長(zhǎng)，與⊙O交于點(diǎn)B、D，過點(diǎn)B作BC∥OA，并與⊙O交于點(diǎn)C，連接AC、CD．（1）求證：DC∥AP；（2）求AC的長(zhǎng)．27．（2023·湖北武漢·統(tǒng)考中考真題）如圖，都是的半徑，．

(1)求證：；(2)若，求的半徑．28.如圖，AB為⊙O的直徑，C、D為⊙O上的兩個(gè)點(diǎn)，AC=（1）求證：DE是⊙O的切線．（2）若直徑AB＝6，求AD的長(zhǎng)．29．（2023·湖南·統(tǒng)考中考真題）如圖，是的直徑，是一條弦，D是的中點(diǎn)，于點(diǎn)E，交于點(diǎn)F，交于點(diǎn)H，交于點(diǎn)G．

(1)求證：．(2)若，求的半徑．30.如圖，AB是半圓O的直徑，C，D是半圓O上不同于A，B的兩點(diǎn)，AD＝BC，AC與BD相交于點(diǎn)F．BE是半圓O所在圓的切線，與AC的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)E．（1）求證：△CBA≌△DAB；（2）若BE＝BF，求證：AC平分∠DAB．31.如