湖南省長(zhǎng)沙市2024屆高三上學(xué)期新高考適應(yīng)性考試數(shù)學(xué)試卷（原卷版）

長(zhǎng)沙市2024年新高考適應(yīng)性考試數(shù)學(xué)注意事項(xiàng)：1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上.2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.3.請(qǐng)保持答題卡的整潔.考試結(jié)束后，將本試題卷和答題卡一并交回.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合，，則（）A. B.C. D.2.復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)點(diǎn)位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限3.若拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，則實(shí)數(shù)的值為（）A. B.2 C. D.44.下圖是函數(shù)的部分圖象，則該函數(shù)的解析式可以是（）A B.C. D.5.已知甲盒中有3個(gè)紅球和2個(gè)黃球，乙盒中有2個(gè)紅球和1個(gè)黃球.現(xiàn)從甲盒中隨機(jī)抽取1個(gè)球放入乙盒中，攪拌均勻后，再?gòu)囊液兄谐槿?個(gè)球，此球恰為紅球的概率是（）A. B. C. D.6若，則（）A. B. C. D.7.已知直線與函數(shù)，的圖象分別相交于，兩點(diǎn).設(shè)為曲線在點(diǎn)處切線的斜率，為曲線在點(diǎn)處切線的斜率，則的最大值為（）A. B.1 C. D.8.在平面四邊形中，，分別為，中點(diǎn).若，，且，則（）A. B. C. D.二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.9.下列函數(shù)中，是奇函數(shù)的是（）A. B.C. D.10.某彗星的運(yùn)行軌道是以太陽為一個(gè)焦點(diǎn)的橢圓.測(cè)得軌道的近日點(diǎn)（距離太陽最近的點(diǎn)）與太陽中心的距離為，遠(yuǎn)日點(diǎn)（距離太陽最遠(yuǎn)的點(diǎn)）與太陽中心的距離為，并且近日點(diǎn)、遠(yuǎn)日點(diǎn)及太陽中心在同一條直線上，則（）A.軌道的焦距為 B.軌道的離心率為C.軌道的短軸長(zhǎng)為 D.當(dāng)越大時(shí)，軌道越扁11.在正方體中，點(diǎn)為線段上的動(dòng)點(diǎn)，直線為平面與平面的交線，則（）A.存在點(diǎn)，使得面B.存在點(diǎn)，使得面C.當(dāng)點(diǎn)不是的中點(diǎn)時(shí)，都有面D.當(dāng)點(diǎn)不是的中點(diǎn)時(shí)，都有面12.設(shè)等比數(shù)列的公比為，前項(xiàng)積為，下列說法正確的是（）A.若，則B.若，則C.若，且為數(shù)列的唯一最大項(xiàng)，則D.若，且，則使得成立的的最大值為20三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.已知隨機(jī)變量的分布列如下：1230.10.70.2則數(shù)學(xué)期望______.14.已知函數(shù)是定義在上的增函數(shù)，且，則不等式的解集為______.15.已知，，，若在圓（）上存在點(diǎn)滿足，則實(shí)數(shù)的取值范圍是______.16.已知正四棱錐的頂點(diǎn)均在球的表面上.若正四棱錐的體積為1，則球體積的最小值為______.四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.已知數(shù)列滿足，且.（1）證明：數(shù)列是等比數(shù)列；（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和.18.如圖1，在矩形中，，，將沿矩形的對(duì)角線進(jìn)行翻折，得到如圖2所示的三棱錐.（1）當(dāng)時(shí)，求的長(zhǎng)；（2）當(dāng)平面平面時(shí)，求平面和平面的夾角的余弦值.19.某廠為了考察設(shè)備更新后的產(chǎn)品優(yōu)質(zhì)率，質(zhì)檢部門根據(jù)有放回簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣得到的樣本測(cè)試數(shù)據(jù)，制作了如下列聯(lián)表：產(chǎn)品優(yōu)質(zhì)品非優(yōu)質(zhì)品更新前2416更新后4812（1）依據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，分析設(shè)備更新后能否提高產(chǎn)品優(yōu)質(zhì)率？（2）如果以這次測(cè)試中設(shè)備更新后的優(yōu)質(zhì)品頻率作為更新后產(chǎn)品的優(yōu)質(zhì)率.質(zhì)檢部門再次從設(shè)備更新后的生產(chǎn)線中抽出5件產(chǎn)品進(jìn)行核查，核查方案為：若這5件產(chǎn)品中至少有3件是優(yōu)質(zhì)品，則認(rèn)為設(shè)備更新成功，提高了優(yōu)質(zhì)率；否則認(rèn)為設(shè)備更新失敗.①求經(jīng)核查認(rèn)定設(shè)備更新失敗的概率；②根據(jù)的大小解釋核查方案是否合理.附：0.0500.0100.0013.8416.63510.82820.在中，角，，所對(duì)的邊長(zhǎng)分別為，，，且滿足.（1）證明：；（2）如圖，點(diǎn)在線段的延長(zhǎng)線上，且，，當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)，探究是否為定值？21.已知函數(shù).（1）若有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍：（2）