湖南省“一起考”大聯(lián)考2024屆高三下學期模擬（四）數(shù)學試卷 含解析

2024屆高三“一起考”大聯(lián)考（模擬四）數(shù)學（時量：120分鐘滿分：150分）一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】求得集合，可求.【詳解】由，可得，所以集合，由，可得，所以，所以.故選:C.2.已知復數(shù)滿足，且是純虛數(shù)，則（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】B【解析】【分析】設，其中，是實數(shù)，由求出，再求出，根據(jù)的類型求出，即可得到，最后根據(jù)復數(shù)代數(shù)形式的乘法運算法則計算可得.【詳解】設，其中，是實數(shù)，則由，得，所以，則，又因為是純虛數(shù)，所以，解得，即，所以.故選：B3.已知，平面向量，，則的最小值為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用平面向量的坐標運算結合二次函數(shù)性質求解即可.【詳解】易知,故，當時，最小，此時由二次函數(shù)性質得，故，故的最小值為，故A正確.故選：A4.已知點是直線上一動點，過點作圓的一條切線，切點為，則線段長度的最小值為（）A. B. C. D.1【答案】D【解析】【分析】由題意可得，則當取得最小值時，線段長度的最小，利用點到直線的距離公式求出的最小值即可得解.【詳解】圓的圓心，半徑，由題意可得，則，則當取得最小值時，線段長度的最小，，所以.故選：D.5.趙佶所作《瑞鶴圖》中房殿頂?shù)脑O計體現(xiàn)了古人的智慧，如下圖，分別以，為軸、軸正方向建立平面直角坐標系，屋頂剖面的曲線與軸、軸均相切，，兩點間的曲線可近似看成函數(shù)的圖象，有導函數(shù)，為了讓雨水最快排出，需要滿足螺旋線方程，其中，為常數(shù)，則（）A.， B.， C.， D.，【答案】D【解析】【分析】利用函數(shù)圖象的變化關系可得，再結合曲線與y軸相切的特征推理即可得解.【詳解】觀察圖象知，函數(shù)單調遞減，即，于是，而函數(shù)圖象與軸相切，則從大于0的方向趨于0時，趨于負無窮大，也即趨于0，又，因此，所以，.故選：D6.一種動物的后代數(shù)（單位：只）在一定范圍內與溫度（單位：℃）有關，測得一組數(shù)據(jù)（）可用模型擬合.利用變換得到的線性回歸方程為，若，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】經(jīng)過變換后將非線性問題轉化為線性問題，在求樣本點的中心，回歸直線一定過該點，即可求出參數(shù)【詳解】經(jīng)過變換得到.由題意，，，所以回歸方程的圖象經(jīng)過，從而，所以，.故選：B7.已知，，，則的最小值是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由兩角和的余弦展開式化簡可得的值，再由兩角和的正切展開式、基本不等式可得答案.【詳解】由，得，因為，，所以，且，，當且僅當取等號.故選：C.8.已知八面體由兩個正四棱錐和組成.若該八面體的外接球半徑為3，且平面平面，則該八面體的體積為（）A.28 B.32 C.36 D.40【答案】B【解析】【分析】合理作出圖形，利用射影定理建立方程，得到，最后求解出，，，計算體積即可.【詳解】如圖，取的中點，作，垂足分別為，，連接，，，，，平面平面，所以是直角，易知為外接球直徑，點在球上，所以為直角，.在中，，在中，，聯(lián)立可得，所以，，，八面體的體積.故選：B【點睛】關鍵點點睛：本題考查立體幾何，解題關鍵是合理作出圖形，然后聯(lián)立得到，最后求解邊長，得到體積即可．二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.若隨機變量服從標準正態(tài)分布，，則（）A. B.C. D.【答案】AD【解析】【分析】由正態(tài)分布的對稱性即可得出答案.【詳解】對于A，B,因為，所以，A正確，B錯誤對于C,D由對稱性有，所以，C錯誤，D正確,,故選：AD.10.已知，，則函數(shù)的單調區(qū)間有（）A. B. C. D.【答案】BC【解析】【分析】由已知計算角的范圍，再由正弦型函數(shù)的單調性求解即可．【詳解】因為，，所以.的單調區(qū)間為，.對于A，，錯誤.對于B，，正確對于C，，正確.對于D，，錯誤故選：BC11.已知函數(shù)的定義域為，的圖象關于對稱，且為奇函數(shù)，則（）A. B.C. D.【答案】ABD【解析】【分析】對于A，由點關于的對稱點在函數(shù)的圖象上可得；對于B，由奇函數(shù)有，將替換為，結合的圖象關于對稱可得；對于C，在中將替換為，結合可判斷C；對于D，利用奇偶性和對稱性，結合可得.【詳解】對于A，點關于的對稱點是，因為的圖象關于對稱，該點在函數(shù)的圖象上，所以，故A正確.對于B，因為為奇函數(shù)，所以，將替換為有，則.又的圖象關于對稱，所以，則，故B正確.對于C，在中將替換為有，由B知，，兩式相減得到，故C錯誤.因為為奇函數(shù)，所以，又圖象關于對稱，從而，故由C得，故D正確.故選：ABD【點睛】關鍵點睛：抽象函數(shù)性質的綜合性問題，主要采取代換、迭代的方法研究性質或求值.本題關鍵在于靈活運用的圖象關于對稱，以及奇函數(shù)的對稱性進行靈活代換.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分，12.已知橢圓（）的上頂點、下頂點和兩個焦點構成正方形，則該橢圓的離心率為______.【答案】##【解析】【分析】根據(jù)橢圓短軸上的兩個頂點與兩個焦點構成一個正方形，可得，由此可求橢圓的離心率．【詳解】易知，所以，離心率為.故答案為：13.在中，，，，則的面積為______.【答案】【解析】【分析】利用余弦定理可解得，再由面積公式即可求得結果.【詳解】由余弦定理可知，即，解得；所以的面積為.故答案為：14.已知數(shù)列滿足，在和之間插入個1，構成數(shù)列，則數(shù)列的前20項的和為__________.【答案】77【解析】【分析】先根據(jù)題意得到數(shù)列有多少個數(shù)，再根據(jù)即可計算數(shù)列的前20項的和.【詳解】在之間插入個1，構成數(shù)列，所以共有個數(shù)，當時，，當時，，由于，所以.故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟15.已知單調遞增的等比數(shù)列滿足：，且是的等差中項，（1）求的值，并求數(shù)列的通項公式：（2）若，求使成立的正整數(shù)n的最小值．【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）由等差中項的性質列出方程，代入求出，代入得，再由等比數(shù)列的通項公式列出方程組，求出首項和公比即可求出；（2）由（2）和題意求出，利用錯位相減法、等比數(shù)列的前項和公式求出，代入化簡，求出正整數(shù)的最小值．【小問1詳解】設等比數(shù)列的首項為，公比為，依題意有，代入，可得，代入得，，解之得或（舍去）數(shù)列的通項公式為．【小問2詳解】，，①②，由②①得，，由得，，則，易知：當時，，當時，，故使成立的正整數(shù)的最小值為．16.如圖，在三棱錐中，，，為中點．（1）證明：平面；（2）若點在棱上，，且，求二面角的大?。敬鸢浮浚?）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）證得和，然后根據(jù)線面垂直的判定定理即可得出結論；（2）建立空間直角坐標系，利用空間向量的夾角坐標公式即可求出結果.【小問1詳解】解：（1）證明：因為，且為中點，所以，因為，且為中點，所以，因為，且為中點，所以，因為，，，所以，所以，，所以平面.【小問2詳解】解：因為，且為中點，所以，從而，，兩兩垂直，如圖，建立以為原點，以，，分別為，，軸的空間直角坐標系，易知，，，，設，由，即，可求得，所以，，不妨設平面的一個法向量為，則，即，令，則，，所以，取平面的一個法向量為，所以，所以二面角的大小為．17.已知雙曲線：（）與雙曲線有相同的漸近線.（1）求雙曲線的方程；（2）已知點，點，在雙曲線的左支上，滿足，證明：直線過定點；（3）在（2）的條件下，求點到直線距離的最大值.【答案】（1）（2）證明見解析（3）【解析】【分析】（1）根據(jù)雙曲線與雙曲線有相同的漸近線方程求出可得答案；（2）可設其方程為，與雙曲線方程聯(lián)立，設，，由韋達定理代入的坐標運算可得答案；（3）設點在直線上的投影為，當與點重合，即直線直線時，點到直線距離的最值.【小問1詳解】雙曲線與雙曲線有相同的漸近線方程，所以，即，又，從而，所以雙曲線的方程為；【小問2詳解】顯然直線不與軸平行，可設其方程為，由，得，設，，則由韋達定理可得，，因為，所以，即，整理得，即，而顯然直線不經(jīng)過點，所以，，故直線經(jīng)過定點，得證.【小問3詳解】設點在直線上的投影為，由（2）知直線經(jīng)過定點，所以當與點重合，即直線直線時，點到直線距離的最大值，此時，所以點到直線距離的最大值為.18.已知函數(shù)，，函數(shù)，有兩條不同的公切線（與，均相切的直線），.（1）求實數(shù)的取值范圍；（2）記，在軸上的截距分別為，，證明：.【答案】（1）（2）證明見解析【解析】【分析】（1）設出公切線及切點，利用導數(shù)的幾何意義求出兩切線方程，利用切線重合建立方程（），設，利用導數(shù)研究函數(shù)單調性，數(shù)形結合即可求解參數(shù)范圍；（2）把所證不等式轉化為證明，方法一：設，，只需要證明，即，構造函數(shù)（），利用導數(shù)研究函數(shù)最值即可證明；方法二：由的單調性，轉化為證明，整理得，設（），利用導數(shù)研究最值即可證明.【小問1詳解】設直線：同時與，的圖象相切，切點分別為，，由，知，，，且，，則可同時表示為在的切線方程和在的切線方程，即和，兩條直線相同，故它們具有相同的斜率和截距，所以①，②，結合①②有（）.設，則由有.從而在上單調遞增，在上單調遞減，最大值為.可作出的大致圖象如下，它與有兩個交點，所以，解得.所以實數(shù)的取值范圍為.【小問2詳解】設，與的切點坐標分別為，不妨設，則由（1）知，且，要證明，即證明.（方法一）因為，所以，設，，則，所以（），只需要證明，即.設（），則，所以在上單調遞增，，則成立，從而.故成立，證畢.（方法二）在上單調遞增，在上單調遞減，所以.要證明即，注意到，均在區(qū)間，故由的單調性，只要證明，即，整理得.設（），則.從而在時單調遞增，所以，從而成立、故成立，證畢.【點睛】方法點睛：（1）證明與函數(shù)，圖象的公切線問題，一般轉化為函數(shù)的零點問題，零點問題常用的方法有：方程法；圖象法；方程+圖象法.（2）極值點偏移問題，通常會構造差函數(shù)來進行求解，若等式中含有參數(shù)，則消去參數(shù)，由于兩個變量的地位相同，將特征不等式變形，如常常利用進行變形，可構造關于的函數(shù)，利用導函數(shù)再進行求解.19.五一小長假到來，多地迎來旅游高峰期，各大旅游景點都推出了種種新奇活動以吸引游客，小明去成都某熊貓基地游玩時，發(fā)現(xiàn)了一個趣味游戲，游戲規(guī)則為：在一個足夠長的直線軌道的中心處有一個會走路的機器人，游客可以設定機器人總共行走的步數(shù)，機器人每一步會隨機選擇向前行走或向后行走，且每一步的距離均相等，若機器人走完這些步數(shù)后，恰好回到初始位置，則視為勝利.（1）若小明設定機器人一共行走4步，記機器人的最終位置與初始位置的距離為步，求的分布列和期望；（2）記為設定機器人一共行走步時游戲勝利的概率，求，并判斷當為何值時，游戲勝利的概率最大；（3）該基地臨時修改了游戲規(guī)則，要求機器人走完設定的步數(shù)后，恰好第一次回到初始位置，才視為勝利.小明發(fā)現(xiàn)，利用現(xiàn)有的知識無法推斷設定多少步時獲得勝利的概率最大，于是求助正在讀大學的哥哥，哥哥告訴他，“卡特蘭數(shù)”可以幫助他解決上面的疑惑：將個0和個1排成一排，若對任意的，在前個數(shù)中，0的個數(shù)都不少于1的個數(shù)，則滿足條件的排列方式共有種，其中，的結果被稱為卡特蘭數(shù).若記為設定機器人行走步時恰好第一次回到初始位置的概率，證明：對（2）中的，有【答案】（1）分布列見解析，；（2）時，游戲勝利概率最大；（3）證明見解析．【解析】【分析】（1）根據(jù)向前或向后行走的步數(shù)分類可知，的可能取值為，再分別計算出對應的概率，即可得到的分布列和數(shù)學期望；（2）根據(jù)題意可知，，再由的單調性即可判斷；（3）根據(jù)機器人第一步以及最后第步的行走方向討論，即可得出的表達式，從而將所證等式轉化為，再根據(jù)組合數(shù)公式即可證出．【小問1詳解】依題可知，的可能取值為.，，，所以，的分布列如下：024所以，．【小問2詳解】依題可知，時，，所以時勝利概率最大.【小問3詳解】記事件“機器人行走步時恰好第一次回到初始位置”，“機器人第一步向前行走”，則“機器人第一步向后行走”.下面我們對事件進行分析.發(fā)生時，假設機器人第步是向前行走，則之前