?？贾械臍W拉函數(shù)題（解析版）

一、單選題112024·山東·二模）歐拉函數(shù)φ(n)(n∈N*)的函數(shù)值等于所有不超過正整數(shù)n，且與n互質(zhì)的正整數(shù)的個(gè)*，Tn是數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和，若Tn<M恒成立，則M的最小值【答案】A【知識(shí)點(diǎn)】錯(cuò)位相減法求和、數(shù)列不等式恒成立問題【分析】由歐拉函數(shù)的定義可求出由錯(cuò)位相減法求出Tn，可得Tn<，即M≥,即可求出M的最小值.【詳解】因?yàn)?為質(zhì)數(shù)，在不超過3n的正整數(shù)中，所有能被3整除的正整數(shù)的個(gè)數(shù)為3n-1，n-3n-1=2n-1*)，23T,試卷第2頁，共8頁因?yàn)?gt;0，所以在n∈N*在單調(diào)遞增，所以Tn<M恒成立，所以M≥,所以M的最小值為.故選：A.二、多選題222024·湖北·模擬預(yù)測(cè)）對(duì)于正整數(shù)n，φ(n)是小于或等于n的正整數(shù)中與n互質(zhì)的數(shù)的數(shù)目．函數(shù)φ(n)以其首名研究者歐拉命名，稱為歐拉函數(shù)，例如φ(9)=6（1,2,4,5,7,8與9互質(zhì)則()A．若n為質(zhì)數(shù)，則φ(n)=n-1B．?dāng)?shù)列{φ(n)}單調(diào)遞增C．?dāng)?shù)列的最大值為1D．?dāng)?shù)列{φ(3n)}為等比數(shù)列【答案】ACD【知識(shí)點(diǎn)】判斷數(shù)列的增減性、由定義判定等比數(shù)列、函數(shù)新定義【分析】利用新定義，結(jié)合數(shù)列的單調(diào)性和等比數(shù)列的定義逐個(gè)判斷即可.【詳解】因?yàn)閚為質(zhì)數(shù)，故小于或等于n的正整數(shù)中與n互質(zhì)的數(shù)的數(shù)目為n-1，此時(shí)φ(n)=n-1，故A正確.因?yàn)棣?6)=2,φ(5)=4，所以φ(6)<φ(5)，故數(shù)列{φ(n)}不是單調(diào)遞增，故B錯(cuò)誤.小于等于2n的正整數(shù)中與2n互質(zhì)的數(shù)為1,3,5,…,2n-1，數(shù)目為2n-2n-1=2n-1，所以在n∈N*時(shí)遞減，故當(dāng)n=1時(shí)，數(shù)列的最大值為1，故C正確.小于等于3n的正整數(shù)中與3n互質(zhì)的數(shù)的數(shù)為1,2,4,5,…,3n-2,3n-1，數(shù)目為3n-3n-1=2.3n-1，故=2.3n-1，而故數(shù)列{φ(3n)}為等比數(shù)列，故D正確.故選：ACD.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：從質(zhì)數(shù)定義入手，結(jié)合題目信息，逐步解答.332024·全國·模擬預(yù)測(cè)）歐拉函數(shù)是初等數(shù)論中的重要內(nèi)容．對(duì)于一個(gè)正整數(shù)n，歐拉函數(shù)φ(n)表示小于或等于n且與n互質(zhì)的正整數(shù)的數(shù)目．換句話說，φ(n)是所有不超過n且與n互素的數(shù)的總數(shù)．如：φ(5)=4，A.φ(n)的定義域?yàn)镹*，其值域也是N*B.φ(n)在其定義域上單調(diào)遞增，無極值點(diǎn)C．不存在n0∈N*，使得方程φ(n)=n0有D.φ(n)≤n-1，當(dāng)且僅當(dāng)n是素?cái)?shù)時(shí)等號(hào)成立【答案】ACD【知識(shí)點(diǎn)】函數(shù)新定義、素?cái)?shù)和合數(shù)【分析】根據(jù)歐拉函數(shù)的定義和性質(zhì)，以及與素?cái)?shù)的關(guān)系進(jìn)行判斷選項(xiàng).【詳解】對(duì)于A，根據(jù)歐拉函數(shù)的定義，可得歐拉函數(shù)的定義域?yàn)镹*，其值域也是N*，所以A正確；對(duì)于B，歐拉函數(shù)在其定義域上不是單調(diào)遞增的，如φ(5)=4,φ(6)=2，所以B錯(cuò)誤;對(duì)于C，由于φ(n)的值域?yàn)镹*，所以不存在n0，使方程φ(n)=n0有無數(shù)解,故C正確;對(duì)于D，因?yàn)閚的素因數(shù)都是大于1所以φ(n)≤n-1，當(dāng)且僅當(dāng)n時(shí)素?cái)?shù)時(shí)等號(hào)成立，故D正確.故選：ACD【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵點(diǎn)是理解歐拉函數(shù)的定義和性質(zhì)，以及與素?cái)?shù)的關(guān)系.三、填空題42024高三下·全國·專題練習(xí)）若正整數(shù)m，n只有1為公約數(shù)，則稱m，n互質(zhì).對(duì)于正整數(shù)n，φ(n)是小于或等于n的正整數(shù)中與n互質(zhì)的數(shù)的個(gè)數(shù)，函數(shù)φ(n)以其首位研究者歐拉命名，稱為歐拉函數(shù)，例如：④φ(2n+2)>φ(2n)，n是【答案】①③【知識(shí)點(diǎn)】求函數(shù)值、函數(shù)新定義試卷第4頁，共8頁【分析】利用歐拉函數(shù)定義求解判斷；【詳解】∵小于或等于5的正整數(shù)中與5互質(zhì)的正整數(shù)為1，2，3，4，小于或等于10的正整數(shù)中與10互質(zhì)的正整數(shù)為1，3，7，9，∵小于或等于32的正整數(shù)中與32互質(zhì)的正整數(shù)為1，3，5，7，故答案為：①③552024·貴州黔南·二模）歐拉函數(shù)φ(n)表示不大于正整數(shù)n且與n互素（互素：公約數(shù)只有1）的正整數(shù)的個(gè)數(shù).已知φ,其中p1，p2，?,pr是n的所有不重復(fù)的質(zhì)因數(shù)（質(zhì)因數(shù)：因數(shù)中的質(zhì)數(shù)）.例如φ(100)=10=40.若數(shù)列{an}是首項(xiàng)為3，公比為2的等比數(shù)列，3【答案】2100【知識(shí)點(diǎn)】函數(shù)新定義、寫出等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、求等比數(shù)列前n項(xiàng)和【分析】計(jì)算出等比數(shù)列的通項(xiàng)公式后，結(jié)合歐拉函數(shù)φ(n)計(jì)算即可得解.【詳解】由題意可得an=3×2n-1，則φ故答案為：2100.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題關(guān)鍵點(diǎn)在于分n=1及n≥2進(jìn)行討論，結(jié)合題中公式求{φ(an)}的通項(xiàng)公式.62024·河北·三模）歐拉是十八世紀(jì)數(shù)學(xué)界最杰出的人物之一，他不但在數(shù)學(xué)上作出偉大貢獻(xiàn)，而且把數(shù)學(xué)用到了幾乎整個(gè)物理領(lǐng)域，為紀(jì)念歐拉的成就，函數(shù)φ(n)就是以其名字命名的，稱為歐拉函數(shù).人教A版新教材選擇性必修二第版新教材選擇性必修二第8頁指出：歐拉函數(shù)φ(n)(n∈N*)的函數(shù)值等于所有不超過正整數(shù)n，且與n互素的正整數(shù)個(gè)數(shù)．歐拉函數(shù)有很多性質(zhì)，比如歐拉函數(shù)是積性函數(shù)，即如果m,n互素，則φ(mn)=φ(m)φ(n).請(qǐng)計(jì)算數(shù)列{φ(n)的前n項(xiàng)和Sn=.,n【知識(shí)點(diǎn)】函數(shù)新定義、錯(cuò)位相減法求和【分析】根據(jù)題意得到φ(6n)=2×6n-1，從而有φ(n)=×(|(,)n-1，再利用錯(cuò)位相減法，即可求出結(jié)果.【詳解】由歐拉函數(shù)的定義知：若m為素?cái)?shù)，則φ(m)=m-1，n-1①,Sn2n②,n，整理得到Sn=-,n.772024·湖北武漢·二模）歐拉函數(shù)φ(n)(n∈N*)的函數(shù)值等于所有不超過正整數(shù)n，且與n互質(zhì)的正整數(shù)的個(gè)數(shù)（公約數(shù)只有1的兩個(gè)正整數(shù)稱為互質(zhì)整數(shù)例如：φ(3)=2，φ(=φn)，則bn的最大值為.試卷第6頁，共8頁【答案】4【知識(shí)點(diǎn)】判斷數(shù)列的增減性、函數(shù)新定義、確定數(shù)列中的最大（小）項(xiàng)【分析】由歐拉函數(shù)定義，確定1~8中與8互質(zhì)的數(shù)的個(gè)數(shù)求φ(8)，且φ(2n)=2n-1，應(yīng)用作差法判斷bn的單調(diào)性，即可求最大值.在1~2n中，與2n互質(zhì)的數(shù)為范圍內(nèi)的所有奇數(shù)，共2n-1個(gè)，即φ(2n)=2n-1，所以，則bn+1-bn=所以bn的最大值為故答案為：4，四、解答題82024·河南開封·二模）在密碼學(xué)領(lǐng)域，歐拉函數(shù)是非常重要的，其中最著名的應(yīng)用就是在RSA加密算法中的應(yīng)用．設(shè)p，q是兩個(gè)正整數(shù)，若p，q的最大公約數(shù)是1，則稱p，q互素．對(duì)于任意正整數(shù)n，歐拉函數(shù)是不超過n且與n互素的正整數(shù)的個(gè)數(shù)，記為φ(n).n(2)設(shè)n是一個(gè)正整數(shù)，p，q是兩個(gè)不同的素?cái)?shù)．試求φ(3)，φ(pq)與φ（p）和φ（q）的關(guān)系；n(3)RSA算法是一種非對(duì)稱加密算法，它使用了兩個(gè)不同的密鑰：公鑰和私鑰．具體而言：①準(zhǔn)備兩個(gè)不同的、足夠大的素?cái)?shù)p，q；②計(jì)算n=pq，歐拉函數(shù)φ(n)；③求正整數(shù)k，使得kq除以φ(n)的余數(shù)是1；④其中(n,q)稱為公鑰，(n,k)稱為私鑰.已知計(jì)算機(jī)工程師在某RSA加密算法中公布的公鑰是(187,17)．若滿足題意的正整數(shù)k從小到大排列得到一列數(shù)記為數(shù)列{bn}，數(shù)列{cn}滿足80cn=bn+47，求數(shù)列{tancn.tancn+1}的前n項(xiàng)和Tn.【答案】(1)φ(3)=2,φ(9)=6,φ(7)(2)φ(3n)=2.3n-1，φ(pq)=φ(p).φ(q)；【知識(shí)點(diǎn)】裂項(xiàng)相消法求和、數(shù)列新定義、用和、差角的正切公式化簡(jiǎn)、求值【分析】（1）利用歐拉函數(shù)的定義直接求值.（2）利用歐拉函數(shù)的定義求出φ(3n),φ(p),φ(q)，進(jìn)而分析計(jì)算φ(pq).（3）根據(jù)給定信息求出bn,cn，再利用差角的正切公式，借助裂項(xiàng)求和法求解即得.【詳解】（1）由歐拉函數(shù)的定義知，不越過3且與3互素的正整數(shù)有1，2，則φ（2）在不大于3n的正整數(shù)中，只有3的倍數(shù)不與3n互素，而3的倍數(shù)有3n-1個(gè)，因此φ(3n)=3n-3n-1=2.3n-1.由p，q是兩個(gè)不同的素?cái)?shù)，得φ(p)=p-1,φ(q)=q-1，在不超過pq-1的正整數(shù)中，p的倍數(shù)有q-1個(gè)，q的倍數(shù)有p-1個(gè)，于是φ(pq)=pq-1-(p-1)-(q-1)=pq-p-q+1=(p-1)(q-1)，所以φ(pq)=φ(p).φ(q).（3）計(jì)算機(jī)工程師在某RSA加密算法中公布的公鑰是(187,17)，則n=187,q=17，從而p