高考數(shù)學答題技巧與模板構(gòu)建全國版

題型01不等式相關(guān)解題技巧（基本不等式鏈、權(quán)方和不等式、兩類糖水不等式）技法01基本不等式鏈的應用及解題技巧技法01基本不等式鏈的應用及解題技巧技法02權(quán)方和不等式的應用及解題技巧技法03普通型糖水不等式的應用及解題技巧技法04對數(shù)型糖水不等式的應用及解題技巧技法01基本不等式鏈的應用及解題技巧本題型通?？疾榛静坏仁郊捌浠静坏仁芥湹膽茫莆栈静坏仁芥?，可以較快速解決代數(shù)式的大小比較及其相關(guān)最值求解，常以小題形式考查.本題型通?？疾榛静坏仁郊捌浠静坏仁芥湹膽茫莆栈静坏仁芥?，可以較快速解決代數(shù)式的大小比較及其相關(guān)最值求解，常以小題形式考查.知識遷移知識遷移基本不等式鏈:,當且僅當時,等號成立.其中分別為平方平均數(shù),算術(shù)平均數(shù),幾何平均數(shù),調(diào)和平均數(shù).可利用上述不等式鏈在各平均數(shù)間進行放縮、轉(zhuǎn)化.例1．（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）若x，y滿足，則（

）A．B．C． D．由基本不等式鏈:,可得（R），對于AB，由可變形為，，解得，當且僅當時，，當且僅當時，，所以A錯誤，B正確；對于C，【法一】由可變形為，解得，當且僅當時取等號，所以C正確【法二】由,得,又因為,所以,即.【法三】,又因為,所以.【答案】：BC．1．（多選）若，，，則下列不等式中對一切滿足條件的，恒成立的有（

）A． B． C． D．【詳解】解：對A選項：，，，，即（當且僅當時等號成立），故A選項正確；對B選項：，而成立，成立，故B選項正確；對C選項：，（當且僅當時等號成立），故C選項正確；對D選項：，（當且僅當時等號成立），，故D選項錯誤.故選：ABC.2．（多選）若，則下列不等式對一切滿足條件恒成立的是（

）A．B．C． D．【詳解】對于A，，即，當且僅當時等號成立，所以A正確；對于B，，，又，則，當且僅當時等號成立，所以B錯誤；對于C，，，所以，則，并且時等號成立.，所以C正確；對于D，，所以，則，當且僅當，即時等號成立，所以D正確.故選：ACD.3．（多選）已知實數(shù)x，y滿足，則（

）A． B． C． D．【詳解】對于A，由當且僅當時等號成立，即，故A錯誤；對于B，由，得，即，當且僅當時等號成立，即，故B正確；對于C，由，得，當且僅當時等號成立，即，故C正確；對于D，由，得，即，即，故D正確.故選：BCD.技法02權(quán)方和不等式的應用及解題技巧在條件等式求最值或在條件等式求最值或“1”的妙用求最值中，我們通常使用基本不等式（鏈）來求最值，解題中往往會遇到思路繁瑣，計算量大的情況，學生不易求解，而此時的權(quán)方和不等式優(yōu)勢極其明顯，可以做到快速求解，常在小題中使用.知識遷移知識遷移權(quán)方和不等式的初級應用:若則當且僅當時取等.(注：熟練掌握權(quán)方和不等式的初級應用，足以解決高考中的這類型最值問題的秒殺)例2．已知，且，則的最小值為（

）A．1 B． C．9 D．因為，所以，由權(quán)方和不等式可得當且僅當，即時，等號成立．【答案】C1．（2023·四川·校聯(lián)考一模）已知正數(shù)x，y滿足，則的最小值是.【詳解】因為，所以，即，因為正實數(shù)，所以，，所以，當且僅當?shù)忍柍闪?故答案為：.2．設且，則的最小值是．【詳解】因為，所以，，所以，因為，所以由基本不等式得，當且僅當即時，等號成立，綜上所述：的最小值是.3．已知正數(shù)x，y滿足，若恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是．【詳解】已知正數(shù)滿足,所以,所以:則:，當且僅當時，取等號；要使恒成立,只需滿足即可,故.故答案為:.技法03普通型糖水不等式的應用及解題技巧在應用不等式的性質(zhì)進行代數(shù)式大小比較時，我們除了常規(guī)的不等式性質(zhì)，特值，還可以學習糖水不等式及其倒數(shù)形式，常在小題中使用，能做到快速求解.在應用不等式的性質(zhì)進行代數(shù)式大小比較時，我們除了常規(guī)的不等式性質(zhì)，特值，還可以學習糖水不等式及其倒數(shù)形式，常在小題中使用，能做到快速求解.知識遷移知識遷移糖水不等式定理:若,則一定有通俗的理解:就是克的不飽和糖水里含有克糖,往糖水里面加入克糖,則糖水更甜;2.糖水不等式的倒數(shù)形式:設,則有:例3-1．已知實數(shù)滿足，則下列說法正確的是（

）A．B．C． D．【法一】由糖水不等式的倒數(shù)形式，,則有:【法二】，故B正確；因為，所以有，故A錯誤；，故C正確；，故D正確．【答案】BCD例3-2．（2020·全國·統(tǒng)考高考真題）已知55<84，134<85．設a=log53，b=log85，c=log138，則（

）A．a(chǎn)<b<c B．b<a<c C．b<c<a D．c<a<b【法一】,又，用排除法,選A?！痉ǘ?，若,但,，綜上所述，.【法三】由題意可知、、，，；由，得，由，得，，可得；由，得，由，得，，可得.綜上所述，.【答案】A1．a(chǎn)克糖水中有b克糖，（，，且），若再添加c克糖后，（假設全部溶于水），糖水會更甜，于是得出一個不等式：，稱之為“糖水不等式”，則下列命題一定正確的是（

）A．若，，則與大小關(guān)系不隨m的變化而變化B．若，，則C．若，，則D．若，，則【詳解】解：對于A，根據(jù)“糖水不等式”，若，則，故A正確；對于B，，因為，，所以，故，即，故B錯誤；對于C，若，則，根據(jù)“糖水不等式”，，即，故C正確；對于D，若，則，所以，所以，即，故D正確.故選：ACD若等比數(shù)列前項和為,比較與的大小【解析】，，故。技法04對數(shù)型糖水不等式的應用及解題技巧在應用不等式的性質(zhì)進行代數(shù)式大小比較時，我們除了常規(guī)的不等式性質(zhì)，特值，還可以學習對數(shù)型糖水不等式及其倒數(shù)形式，常在小題中使用，能做到快速求解.在應用不等式的性質(zhì)進行代數(shù)式大小比較時，我們除了常規(guī)的不等式性質(zhì)，特值，還可以學習對數(shù)型糖水不等式及其倒數(shù)形式，常在小題中使用，能做到快速求解.知識遷移知識遷移(1)設,且,則有(2)設,則有(3)上式的倒數(shù)形式：設,則有例4．（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）已知，則（

）A． B． C． D．【法一】對數(shù)型糖水不等式因為,所以.在上述推論中取,可得,且.所以,即,選A.【法二】普通型糖水不等式由已知條件,可得.同公式(2)的證明過程,可以得到,即.所以,即.,即,所以,即.綜上,,選A.比較的大?。俊窘馕觥扛鶕?jù)對數(shù)型糖水不等式得2.比較大小:與？【答案】，【法一】。【法二】。【法三】對數(shù)型糖水不等式直接可得。3．下列不等式不正確的是（

）A．B． C． D．【詳解】要證，即證，兩邊平方得：，即證，即證，顯然成立，故，A正確；要證，兩邊取對數(shù)得：，即證，構(gòu)造，，在上恒成立，故在上單調(diào)遞減，所以，即，所以，B正確；因為，其中，要證，即證，即，構(gòu)造，，在上恒成立，所以在上單調(diào)遞增故，即，C錯誤；D選項，兩邊取對數(shù)得：，構(gòu)造，，，令，則在上恒成立，故在上單調(diào)遞增，故，即，所以在上恒成立，所以在上單調(diào)遞增，故，結(jié)論得證，D正確.故選：C題型02函數(shù)的4大基本性質(zhì)解題技巧（單調(diào)性、奇偶性、周期性、對稱性）技法01技法01函數(shù)單調(diào)性的應用及解題技巧技法02函數(shù)奇偶性的應用及解題技巧技法03函數(shù)周期性的應用及解題技巧技法04函數(shù)對稱性的應用及解題技巧技法05函數(shù)4大性質(zhì)的綜合應用及解題技巧技法01函數(shù)單調(diào)性的應用及解題技巧在考查函數(shù)單調(diào)性時，如果能掌握同一定義域內(nèi)，單調(diào)性的運算，可以快速判斷函數(shù)的單調(diào)性；同時復合函數(shù)單調(diào)性的相關(guān)計算也是高考重點在考查函數(shù)單調(diào)性時，如果能掌握同一定義域內(nèi)，單調(diào)性的運算，可以快速判斷函數(shù)的單調(diào)性；同時復合函數(shù)單調(diào)性的相關(guān)計算也是高考重點，常以小題形式考查.知識遷移同一定義域內(nèi)①增函數(shù)（↗）增函數(shù)（↗）增函數(shù)↗②減函數(shù)（↘）減函數(shù)（↘）減函數(shù)↘③為↗，則為↘，為↘④增函數(shù)（↗）減函數(shù)（↘）增函數(shù)↗⑤減函數(shù)（↘）增函數(shù)（↗）減函數(shù)↘⑥增函數(shù)（↗）減函數(shù)（↘）未知（導數(shù)）復合函數(shù)的單調(diào)性例1．（2020·全國·統(tǒng)考高考真題）設函數(shù),則（

）A．是奇函數(shù)，且在單調(diào)遞增 B．是奇函數(shù)，且在單調(diào)遞減C．是偶函數(shù)，且在單調(diào)遞增 D．是偶函數(shù)，且在單調(diào)遞減在定義域內(nèi)是增函數(shù)，在定義域內(nèi)是減函數(shù)，所以在單調(diào)遞增，【答案】A1．已知函數(shù)，則（

）A．是偶函數(shù)且是增函數(shù) B．是偶函數(shù)且是減函數(shù)C．是奇函數(shù)且是增函數(shù) D．是奇函數(shù)且是減函數(shù)【詳解】函數(shù)的定義域為R，，即函數(shù)是奇函數(shù)，AB錯誤。因為函數(shù)在R上遞增，則函數(shù)在R上遞減，所以函數(shù)是增函數(shù)，D錯誤，C正確.故選：C2．設函數(shù)，則（

）A．是偶函數(shù)，且在單調(diào)遞增 B．是奇函數(shù)，且在單調(diào)遞減C．是偶函數(shù)，且在單調(diào)遞增 D．是奇函數(shù)，且在單調(diào)遞減【詳解】由得：，定義域為；又，為定義域內(nèi)的偶函數(shù)，可排除BD；當時，，在上單調(diào)遞減，單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，可排除A；為偶函數(shù)且在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，C正確.故選：C.【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題對于函數(shù)單調(diào)性的判斷的關(guān)鍵是能夠根據(jù)的范圍得到的解析式，利用復合函數(shù)單調(diào)性的判斷，即“同增異減”的方法確定函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的單調(diào)性.3．（2023·全國·模擬預測）函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為（

）A． B． C． D．【詳解】由得，所以函數(shù)的定義域為令，則是減函數(shù)，又，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減由復合函數(shù)的單調(diào)性可得函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為.故選：A.【點睛】本題考查的知識點是復合函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)的定義域，對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，屬于中檔題.技法02函數(shù)奇偶性的應用及解題技巧縱觀歷年考題，函數(shù)奇偶性是函數(shù)及高考的重要考點，要熟悉奇偶性的定義，若能熟悉奇偶性的運算，則可提升解題速度，縱觀歷年考題，函數(shù)奇偶性是函數(shù)及高考的重要考點，要熟悉奇偶性的定義，若能熟悉奇偶性的運算，則可提升解題速度，做到快速求解.知識遷移①具有奇偶性的函數(shù)定義域關(guān)于原點對稱（大前提）②奇偶性的定義：奇函數(shù)：，圖象關(guān)于原點對稱，偶函數(shù)：，圖象關(guān)于軸對稱③奇偶性的運算例2．（2023·全國·統(tǒng)考高考真題）若為偶函數(shù)，則．由題知為偶函數(shù)，定義域為，【法一】奇偶性的運算只需即可【法二】尋找必要條件（特值法）所以，即，則，故1．（2023·全國·統(tǒng)考高考真題）若為偶函數(shù)，則（

）．A． B．0 C． D．1【詳解】因為為偶函數(shù)，則，解得，當時，，，解得或，則其定義域為或，關(guān)于原點對稱.，故此時為偶函數(shù).故選：B.2．（2023·全國·統(tǒng)考高考真題）已知是偶函數(shù)，則（

）A． B． C．1 D．2【詳解】因為為偶函數(shù)，則，又因為不恒為0，可得，即，則，即，解得.故選：D.3．（2021·全國·高考）設是定義域為R的奇函數(shù)，且.若，則（

）A． B． C． D．【詳解】由題意可得：，而，故.故選：C.4．（2020·山東·統(tǒng)考高考真題）若定義在的奇函數(shù)f(x)在單調(diào)遞減，且f(2)=0，則滿足的x的取值范圍是（

）A．B．C． D．【詳解】因為定義在上的奇函數(shù)在上單調(diào)遞減，且，所以在上也是單調(diào)遞減，且，，所以當時，，當時，，所以由可得：或或解得或，所以滿足的的取值范圍是，故選：D.【點睛】本題考查利用函數(shù)奇偶性與單調(diào)性解抽象函數(shù)不等式，考查分類討論思想方法，屬中檔題.5．（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）若是奇函數(shù)，則，．【詳解】[方法一]：奇函數(shù)定義域的對稱性若，則的定義域為，不關(guān)于原點對稱若奇函數(shù)的有意義，則且且，函數(shù)為奇函數(shù)，定義域關(guān)于原點對稱，，解得，由得，，，故答案為：；．[方法二]：函數(shù)的奇偶性求參，函數(shù)為奇函數(shù)，[方法三]：因為函數(shù)為奇函數(shù)，所以其定義域關(guān)于原點對稱．由可得，，所以，解得：，即函數(shù)的定義域為，再由可得，．即，在定義域內(nèi)滿足，符合題意．故答案為：；．技法03函數(shù)周期性的應用及解題技巧縱觀歷年考題，函數(shù)周期性是函數(shù)及高考的重要考點，要熟悉周期性的定義，若能熟悉周期性的運算，則可提升解題速度，縱觀歷年考題，函數(shù)周期性是函數(shù)及高考的重要考點，要熟悉周期性的定義，若能熟悉周期性的運算，則可提升解題速度，做到快速求解.知識遷移①若，則的周期為：②若，則的周期為：③若，則的周期為：（周期擴倍問題）④若，則的周期為：（周期擴倍問題）例3．（全國·高考真題）已知是定義域為的奇函數(shù),滿足.若，則（

）A． B． C． D．因為是定義域為的奇函數(shù)，所以，即，所以周期為4【答案】C1．已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，且，，則（

）A． B．0 C．3 D．6【詳解】因為是定義在上的奇函數(shù)，所以，，因為，所以，則，所以，所以是以為周期的一個周期函數(shù)，所以.故選：A．2．（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù)的定義域為R，且，則（

）A． B． C．0 D．1【詳解】[方法一]：賦值加性質(zhì)因為，令可得，，所以，令可得，，即，所以函數(shù)為偶函數(shù)，令得，，即有，從而可知，，故，即，所以函數(shù)的一個周期為．因為，，，，，所以一個周期內(nèi)的．由于22除以6余4，所以．故選：A．[方法二]：【最優(yōu)解】構(gòu)造特殊函數(shù)由，聯(lián)想到余弦函數(shù)和差化積公式，可設，則由方法一中知，解得，取，所以，則，所以符合條件，因此的周期，，且，所以，由于22除以6余4，所以．故選：A．【整體點評】法一：利用賦值法求出函數(shù)的周期，即可解出，是該題的通性通法；法二：作為選擇題，利用熟悉的函數(shù)使抽象問題具體化，簡化推理過程，直接使用具體函數(shù)的性質(zhì)解題，簡單明了，是該題的最優(yōu)解.3．（2023·全國·模擬預測）若函數(shù)的定義域為，且，，則．【詳解】因為，令，有，則或．若，則令，，有，得，與已知矛盾，所以．令，有，則，得．令，，有，得．令，，有，得．令，，有，得．令，，有，得．令，，有，得．令，有，得，令，有，即，所以，故，所以的周期為12．又因為，所以．【點睛】關(guān)鍵點睛：本題解決的關(guān)鍵是利用賦值法推得的周期性，從而得解.技法04函數(shù)對稱性的應用及解題技巧縱觀歷年考題，函數(shù)對稱性是函數(shù)及高考的重要考點，要熟悉對稱性的定義，若能熟悉對稱性的運算，則可提升解題速度，縱觀歷年考題，函數(shù)對稱性是函數(shù)及高考的重要考點，要熟悉對稱性的定義，若能熟悉對稱性的運算，則可提升解題速度，做到快速求解.知識遷移軸對稱①若，則的對稱軸為②若，則的對稱軸為點對稱①若，則的對稱中心為②若，則的對稱中心為例4-1．（全國·高考真題）下列函數(shù)中，其圖像與函數(shù)的圖像關(guān)于直線對稱的是A． B． C． D．【法一】函數(shù)過定點（1，0），（1，0）關(guān)于x=1對稱的點還是（1，0），只有過此點．故選項B正確，【法二】關(guān)于x=1對稱即，即例4-2．（2016·全國·高考真題）已知函數(shù)滿足，若函數(shù)與圖像的交點為則（）A．0 B． C． D．【詳解】[方法一]：直接法.由得關(guān)于對稱，而也關(guān)于對稱，∴對于每一組對稱點，∴，故選B．[方法二]：特值法.由得不妨設因為，與函數(shù)的交點為∴當時，，故選B．[方法三]：構(gòu)造法.設，則，故為奇函數(shù).設，則，故為奇函數(shù).∴對于每一組對稱點.將，代入，即得∴，故選B．[方法四]：由題意得,函數(shù)和的圖象都關(guān)于對稱,所以兩函數(shù)的交點也關(guān)于對稱,對于每一組對稱點和，都有.從而.故選B.例4-3．（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù)的定義域均為R，且．若的圖像關(guān)于直線對稱，，則（

）A． B． C． D．因為的圖像關(guān)于直線對稱，所以，因為，所以，即，因為，所以，代入得，即，所以，.因為，所以，即，所以.因為，所以，又因為，聯(lián)立得，，所以的圖像關(guān)于點中心對稱，因為函數(shù)的定義域為R，所以，因為，所以.所以.1．）已知曲線與曲線交于點，則（

）A． B． C． D．【詳解】令，則，，，關(guān)于中心對稱；，關(guān)于中心對稱；，當時，；當時，；在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，極小值為，極大值為；當時，單調(diào)遞減，且，當時，；作出與在時的圖象如下圖所示，由圖象可知：與在上有且僅有兩個不同的交點，由對稱性可知：與在上有且僅有兩個不同的交點，.故選：B.【點睛】關(guān)鍵點睛：本題考查函數(shù)對稱性的應用，解題關(guān)鍵是能夠根據(jù)函數(shù)的解析式，確定兩函數(shù)關(guān)于同一對稱中心對稱，結(jié)合兩函數(shù)圖象確定交點個數(shù)后，即可根據(jù)對稱性求得交點橫縱坐標之和.2．（2023·全國·模擬預測）已知定義在上的函數(shù)滿足對任意實數(shù)有，若的圖象關(guān)于直線對稱，，則（

）A．2 B．1 C． D．【詳解】因為，所以，從而可得，所以，所以函數(shù)的一個周期為6．因為的圖象關(guān)于直線對稱，所以，即函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱．又，，所以，所以，所以．由于23除以6余5，所以．故選：C．3．（多選）已知函數(shù)，則（

）A．的圖象關(guān)于直線軸對稱B．的圖象關(guān)于點中心對稱C．的所有零點為D．是以為周期的函數(shù)【詳解】對于A：因為，所以的圖象關(guān)于直線軸對稱，故A正確；對于B：因為，，所以的圖象不關(guān)于點中心對稱，B錯誤.對于C：因為，注意到，令，得，即，故的所有零點為，故C正確；對于D：因為，所以不是的周期，故D錯誤；故選：AC.4．（多選）已知函數(shù)，則下列判斷正確的是（

）A．函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱 B．是函數(shù)的一個周期C．函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱 D．當時，的最小值為1【詳解】對于A項，因為，所以函數(shù)的定義域為，又，所以是奇函數(shù)，其圖象關(guān)于原點對稱，故A項正確；對于B項，，所以是函數(shù)的一個周期，故B項正確；對于C項，由B項知，由A項知，所以，所以的圖象關(guān)于點對稱，故C項錯誤；對于D項，，令，又，則，所以，即，所以，（），又在上單調(diào)遞減，所以當時，取得最小值為，故D項正確.故選：ABD.技法05函數(shù)4大性質(zhì)的綜合應用及解題技巧縱觀歷年考題，函數(shù)奇偶性是函數(shù)及高考的重要考點，要熟悉奇偶性的定義，若能熟悉奇偶性的運算，則可提升解題速度，縱觀歷年考題，函數(shù)奇偶性是函數(shù)及高考的重要考點，要熟悉奇偶性的定義，若能熟悉奇偶性的運算，則可提升解題速度，做到快速求解.知識遷移周期性對稱性綜合問題①若，，其中，則的周期為：②若，，其中，則的周期為：③若，，其中，則的周期為：奇偶性對稱性綜合問題①已知為偶函數(shù)，為奇函數(shù)，則的周期為：②已知為奇函數(shù)，為偶函數(shù)，則的周期為：例5．（2021·全國·統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù)的定義域為，為偶函數(shù)，為奇函數(shù)，則（

）A． B． C． D．因為函數(shù)為偶函數(shù)，則，可得，因為函數(shù)為奇函數(shù)，則，所以，，所以，，即，故函數(shù)是以為周期的周期函數(shù)，因為函數(shù)為奇函數(shù)，則，故，其它三個選項未知.【答案】B1．（2021·全國·統(tǒng)考高考真題）設函數(shù)的定義域為R，為奇函數(shù)，為偶函數(shù)，當時，．若，則（

）A． B． C． D．【詳解】[方法一]：因為是奇函數(shù)，所以①；因為是偶函數(shù)，所以②．令，由①得：，由②得：，因為，所以，令，由①得：，所以．思路一：從定義入手．，所以．[方法二]：因為是奇函數(shù)，所以①；因為是偶函數(shù)，所以②．令，由①得：，由②得：，因為，所以，令，由①得：，所以．思路二：從周期性入手，由兩個對稱性可知，函數(shù)的周期．所以．故選：D．2．已知定義在上的函數(shù)滿足為奇函數(shù)，為偶函數(shù)．若，則（

）A． B．0 C．2 D．2024【詳解】由為奇函數(shù)，為偶函數(shù)，可知函數(shù)的圖像關(guān)于點中心對稱，且關(guān)于直線軸對稱，故，所以函數(shù)是周期為4的函數(shù)，由．得，所以．故選：A【點睛】方法點睛：（1）若函數(shù)的圖像同時關(guān)于直線與軸對稱，則函數(shù)必為周期函數(shù)，且．（2）若函數(shù)的圖像同時關(guān)于點與點中心對稱，則函數(shù)必為周期函數(shù)，且．（3）若函數(shù)的圖像既關(guān)于點中心對稱，又關(guān)于直線軸對稱，則函數(shù)必為周期函數(shù)，且．3．設函數(shù)的定義域為，為奇函數(shù)，為偶函數(shù)，若，則．【詳解】由為奇函數(shù)，可得，則的圖象關(guān)于點對稱，又的定義域為，則有．由為偶函數(shù)得，則的圖象關(guān)于直線對稱，則，從而，則，則，故是周期為4的偶函數(shù)，所以．而，所以，，故.答案：5.4．設函數(shù)的定義域為，且為偶函數(shù)，為奇函數(shù)，當時，，則.【詳解】因為函數(shù)的定義域為，且為偶函數(shù)，為奇函數(shù)，則，，所以，函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，也關(guān)于點對稱，所以，，，所以，，則，所以，函數(shù)是周期為的周期函數(shù)，當時，，則，，，，，，，，所以，，又因為，所以，.故答案為：.【點睛】結(jié)論點睛：對稱性與周期性之間的常用結(jié)論：（1）若函數(shù)的圖象關(guān)于直線和對稱，則函數(shù)的周期為；（2）若函數(shù)的圖象關(guān)于點和點對稱，則函數(shù)的周期為；（3）若函數(shù)的圖象關(guān)于直線和點對稱，則函數(shù)的周期為.題型03“奇函數(shù)+常函數(shù)”的最大值+最小值及f(a)+f(-a)解題技巧技法01技法01“奇函數(shù)+常函數(shù)”的最大值+最小值解題技巧技法02“奇函數(shù)+常函數(shù)”的f(a)+f(-a)解題技巧技法01“奇函數(shù)+常函數(shù)”的最大值+最小值解題技巧在模擬考試及高考考試中，會遇到在模擬考試及高考考試中，會遇到“奇函數(shù)+常函數(shù)”類型求解，如能掌握相關(guān)本質(zhì)結(jié)論和兩類指對函數(shù)的奇偶性，則最大值+最小值可秒解.知識遷移在定義域內(nèi)，若，其中為奇函數(shù)，為常數(shù)，則最大值，最小值有即倍常數(shù)（1）與指數(shù)函數(shù)相關(guān)的奇函數(shù)和偶函數(shù)，（，且）為偶函數(shù)，，（，且）為奇函數(shù)和，（，且）為其定義域上的奇函數(shù)和，（，且）為其定義域上的奇函數(shù)為偶函數(shù)（2）與對數(shù)函數(shù)相關(guān)的奇函數(shù)和偶函數(shù)，（且）為奇函數(shù)，，（且）為奇函數(shù)例1-1．已知分別是函數(shù)++1的最大值、最小值，則倍常數(shù)=2例1-2．已知函數(shù)，的最大值為M，最小值為m，則.【法一】倍常數(shù)=14，【法二】例1-3．函數(shù)，，記的最大值為，最小值為，則.，【法一】倍常數(shù)=4，【法二】1．已知函數(shù)在區(qū)間上的最大值為最小值為，則.【詳解】設函數(shù)，則的最大值為，最小值為，，則，所以是奇函數(shù)，所以，所以．故答案為：.2．函數(shù)，當時的最大值為M，最小值為N，則．【詳解】由題意，在中，，函數(shù)是奇函數(shù)，，在中，當時的最大值為M，最小值為N，，故答案為：.3．設函數(shù)在區(qū)間上的最大值為M，最小值為N，則的值為．【詳解】由，設，，則，所以函數(shù)在上為奇函數(shù)，所以，由題意，得，所以.故答案為：8.4．設函數(shù)的最大值為M，最小值為m，則.【詳解】，設，定義域關(guān)于原點對稱，由，知函數(shù)為奇函數(shù)，因為，，所以.故答案為：4046.5．若關(guān)于x的函數(shù)的最大值和最小值之和為4，則．【詳解】當時，，當或時，，所以的定義域為.又，設，則，∴?g(x)?為奇函數(shù)；設g(x)?的最大數(shù)值為M，最小值為N，則，則的最大數(shù)值為，最小值為，∴的最大值與最小值之和為，得．故答案為：2．6．函數(shù)的最大值為，最小值為，若，則．【詳解】因為，設，則，設，則，所以是上的奇函數(shù)，最大值為，最小值為，所以，由，得，故答案為：7．已知分別是函數(shù)的最大值、最小值，則．【詳解】由可得定義域為R，，令，則，則函數(shù)是奇函數(shù)，設其最大值為，則其最小值為，所以，，從而．故答案為：2.8．已知函數(shù)，若存在正實數(shù)a，使得函數(shù)在區(qū)間有最大值及最小值m，則.【詳解】令，其定義域為，，即為奇函數(shù)，即函數(shù)在區(qū)間上滿足，所以，即故答案為：技法02“奇函數(shù)+常函數(shù)”的f(a)+f(-a)解題技巧在模擬考試及高考考試中，會遇到在模擬考試及高考考試中，會遇到“奇函數(shù)+常函數(shù)”類型求解，如能掌握相關(guān)本質(zhì)結(jié)論和兩類指對函數(shù)的奇偶性，則f(a)+f(-a)可秒解.知識遷移知識遷移在定義域內(nèi)，若，其中為奇函數(shù)，為常數(shù)，有即倍常數(shù)例2-1．（全國·高考真題）已知函數(shù)，，則．在定義域內(nèi)為奇函數(shù)，所以倍常數(shù)=2，解得【答案】－2例2-2．已知函數(shù)，則．，和在定義域內(nèi)為奇函數(shù)，所以2倍常數(shù)=-2【答案】－21．函數(shù)，若，則．【詳解】由題得，∴，所以．故答案為：3.2．已知，若，則.【詳解】解：令，因為，所以函數(shù)為奇函數(shù)，因為，即，所以，所以.故答案為：3．若定義在R上的函數(shù)為奇函數(shù)，設，且，則的值為．【詳解】由可得，因為為奇函數(shù)，所以的對稱中心為，則的對稱中心為，又，則.故答案為：-5.4．已知函數(shù)，若，則．【詳解】令，可得為奇函數(shù)，所以，因為，所以，所以，則.故答案為：5.5．設（其中a?b?c為常數(shù)，），若.則.【詳解】（其中，，為常數(shù)，，，，，，．故答案為：31．6．函數(shù)，且，則的值為.【詳解】令，定義域為或且，關(guān)于原點對稱，則，故為奇函數(shù)，又，故，解得.故答案為：0題型04函數(shù)圖象問題解題技巧（奇偶性+特值法+極限法）技法01技法01已知函數(shù)解析式判斷函數(shù)圖象解題技巧技法02已知函數(shù)圖象判斷函數(shù)解析式解題技巧技法01已知函數(shù)解析式判斷函數(shù)圖象解題技巧本題型本題型在高考中以小題形式考查，是高頻考題；本題型可以用方法技巧作答，結(jié)合奇偶性的判斷，特值的輔助，極限思想的應用可以快速求解，所以幾類特值需重點掌握.知識遷移函數(shù)的奇偶性①具有奇偶性的函數(shù)定義域關(guān)于原點對稱（大前提）②奇偶性的定義：奇函數(shù)：，圖象關(guān)于原點對稱，偶函數(shù)：，圖象關(guān)于軸對稱③奇偶性的運算特值與極限①②③④特別地：當時例如：，當時，例1-1．（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）函數(shù)在區(qū)間的圖象大致為（

）A．B．C．D．令，由奇偶性定義知為奇函數(shù)，排除BD；【法一】特值，，故選：A.【法二】極限法，當時，，所以當時，故選：A.【法三】當時，，所以【答案】A例1-2．（2022·天津·統(tǒng)考高考真題）函數(shù)的圖像為（

）A．B．C．D．【詳解】函數(shù)的定義域為，且，函數(shù)為奇函數(shù)，A選項錯誤；【法一】特值，排除C，，，故選：D.【法二】極限，當時，排除C，當時，故選：D.【法三】當時，，C選項錯誤；當時，函數(shù)單調(diào)遞增，故B選項錯誤；【答案】D1．函數(shù)的圖像大致為（

）A．

B．

C．

D．

【詳解】設，對任意，，所以，所以的定義域為，，所以函數(shù)為奇函數(shù).令，可得，即，所以，可得，由可得，解得，所以的定義域為，又，所以函數(shù)為奇函數(shù)，排除BD選項，當時，是減函數(shù)，則，，所以，排除A選項.故選：C2．函數(shù)的圖象大致為（

）A． B．C． D．【詳解】解:由題知,定義域為,解得,所以,故為奇函數(shù),排除A,B;令可得,即,解得,當時,,,此時,故選項D錯誤,選項C正確.故選:C3．函數(shù)的部分圖象是（

）A．B．C． D．【詳解】函數(shù)得定義域為，則，故該函數(shù)為奇函數(shù)，故可排除B選項；又，故可排除C選項；又，，可以排除D選項.故符合的函數(shù)圖象為A.故選：A.4．函數(shù)在上的大致圖象為（

）A．

B．

C．

D．

【詳解】由于函數(shù)的定義域為，關(guān)于原點對稱，且，所以為偶函數(shù)，故圖象關(guān)于軸對稱，且，故此時可排除AD,當時，，因此排除C，故選：B5．函數(shù)的部分圖象大致為（

）A．B．C． D．【詳解】由，得，所以為偶函數(shù)，故排除BD.當時，，排除A.故選：C.6．函數(shù)的部分圖象可能為（

）A．

B．

C．

D．

【詳解】的定義域為，關(guān)于原點對稱，又因為，所以是奇函數(shù)，其圖象關(guān)于原點對稱，故D不正確；當時，，則，故B不正確；當時，，故，故C不正確.故選：A7．函數(shù)的圖象大致是（

）A．

B．

C．

D．

【詳解】由函數(shù)，都可其定義域為關(guān)于原點對稱，又由，所以函數(shù)為奇函數(shù)，所以函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱，可排除A、B選項；當時，；當時，；當時，，根據(jù)指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的增長趨勢，可得時，，可排除C選項.故選：D.技法02已知函數(shù)圖象判斷函數(shù)解析式解題技巧本題型本題型在高考中以小題形式考查，是高頻考題；本題型可以用方法技巧作答，結(jié)合奇偶性的判斷，特值的輔助，極限思想的應用可以快速求解，所以幾類特值需重點掌握.例2-1．（2022·全國·高考真題）如圖是下列四個函數(shù)中的某個函數(shù)在區(qū)間的大致圖像，則該函數(shù)是（

） B． C．D．【法一】特值，由圖知：，對于A，，對于B，，對于C，，對于D，，排除BD，結(jié)合函數(shù)零點位置可選A【法二】猜測近似函數(shù)值，由圖知，分別計算四個函數(shù)值即可得到答案【法三】設，則，故排除B;設，當時，，所以，故排除C;設，則，故排除D.【答案】A例2-2．函數(shù)的圖象如下圖所示，則的解析式可能為（

）

A． B．C． D．由圖知：函數(shù)圖象關(guān)于y軸對稱，其為偶函數(shù)，且，由且定義域為R，即B中函數(shù)為奇函數(shù)，排除；當時、，即A、C中上函數(shù)值為正，排除?！敬鸢浮緿1．（2021·浙江·統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù)，則圖象為如圖的函數(shù)可能是（

）A．B．C．D．【詳解】對于A，，該函數(shù)為非奇非偶函數(shù)，與函數(shù)圖象不符，排除A；對于B，，該函數(shù)為非奇非偶函數(shù)，與函數(shù)圖象不符，排除B；對于C，，則，當時，，與圖象不符，排除C.故選：D.2．（2023·全國·模擬預測）已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，則的解析式可能為（

）

A．B．C．D．【詳解】從圖象可知函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱，所以函數(shù)是奇函數(shù)．因為，是偶函數(shù)，是奇函數(shù)，所以都是偶函數(shù)，可排除A，D．對于，對于C，，結(jié)合題圖可知選B．故選：B3．如圖是下列四個函數(shù)中某一個的部分圖象，則該函數(shù)為（

）A．B．C． D．【詳解】對于A，要使函數(shù)有意義，則，即，所以或或或，所以函數(shù)的定義域為，A不正確；對于B，，而已知函數(shù)圖象過原點，B不正確；對于C，對于函數(shù)，則，當時，，則函數(shù)在上單調(diào)遞增，不符合題中圖象，C不正確，對于D，對于函數(shù)，定義域為，且，，當時，，當時，，當時，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，符合圖象，故D正確.故選：D.4．某個函數(shù)的大致圖象如圖所示，則該函數(shù)可能是（

）A．B．C．D．【詳解】4個選項函數(shù)定義域均為R，對于A,，故為奇函數(shù)，且對于B,故為奇函數(shù)，，對于C,,故為偶函數(shù)，對于D，故為奇函數(shù)，，由圖知為奇函數(shù)，故排除C；由，排除A,由，排除D,故選：B．5．已知的圖象如圖，則的解析式可能是（

）A．B．C．D．【詳解】由函數(shù)的圖象可知函數(shù)的定義域為，而選項B，的定義域為，由此即可排除選項；函數(shù)圖象關(guān)于原點對稱，即為奇函數(shù)，而選項A,，，所以為偶函數(shù)，由此可排除選項A；根據(jù)圖象可知，而選項D,，,由此可排除D，選項C滿足圖象特征.故選：C.題型054類比較函數(shù)值大小關(guān)系解題技巧（構(gòu)造函數(shù)、兩類經(jīng)典的超越不等式、泰勒不等式、不等式放縮合集）技法01技法01構(gòu)造函數(shù)比較函數(shù)值大小關(guān)系解題技巧技法02兩類經(jīng)典超越不等式比較函數(shù)值大小關(guān)系解題技巧技法03泰勒不等式比較函數(shù)值大小關(guān)系解題技巧技法04不等式放縮合集比較函數(shù)值大小關(guān)系解題技巧技法01構(gòu)造函數(shù)比較函數(shù)值大小關(guān)系解題技巧本題型本題型在高考中以小題形式考查，是高頻考題；本題型可以用方法技巧作答，能用分析法找打構(gòu)造函數(shù)的本體是解決此類問題的突破口，需重點掌握.例1．（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）設，則（

）A． B． C． D．【法一】分析法假設待證法比較大小→構(gòu)造函數(shù)假設成立，即令，則等價證明：，即證：（原式得證，略）假設成立，即令，則等價證明：，證明略所以函數(shù)在單調(diào)遞增，所以，即：，所以假設不成立，即，綜上所述：，故選：C【法二】構(gòu)造法，設，因為，當時，，當時，所以函數(shù)在單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，所以，故，即，所以，所以，故，所以，故，設，則,令，，當時，，函數(shù)單調(diào)遞減，當時，，函數(shù)單調(diào)遞增，又，所以當時，，所以當時，，函數(shù)單調(diào)遞增，所以，即，所以，故選：C.1．設，，，則（

）A． B． C． D．【詳解】因為，，，令，，則，令，則，所以在上單調(diào)遞增，，所以，所以在上單調(diào)遞增，所以，則，即，即，令，，則，所以在上單調(diào)遞減，則，則，即，即，所以，綜上可得.故選：D2．，則（

）A．B．C． D．【詳解】令，，則，所以當時，即在上單調(diào)遞增，所以，即，即，即，令，則，在時，，則為減函數(shù)，∴，即；令，，則，故在為減函數(shù)，∴，即；∴，令，則，即，∴，所以．故選：D．3．設，則（

）A．B．C． D．【詳解】，又，所以令，，則，令，則，當時,,，所以，故,故在上是增函數(shù)，又∵，∴當時,,故在上是增函數(shù)，故,即，故.故選:A.技法02兩類經(jīng)典超越不等式比較函數(shù)值大小關(guān)系解題技巧本題型本題型在高考中以小題形式考查，是高頻考題；本題型可以用方法技巧作答，能用兩類超越不等式是解決此類問題的突破口，需重點掌握.知識遷移，，，例2．已知,則的大小關(guān)系為()A.B.C.D.，，【答案】1．已知，，，則（

）A． B． C． D．【詳解】令，則，所以函數(shù)在單調(diào)遞減，且，所以，即，令，則有，所以，即，又由，可得，所以，即，又因為，所以，綜上可得，故選：D.2．已知，，，則（

）A．B．C． D．【詳解】，，，設，所以，所以在上單調(diào)遞增，所以，即.所以，即.設，則，所以在上單調(diào)遞減，所以，即.所以，即.所以.故選:C.3．已知，，，則（

）A． B． C． D．【詳解】令，其中，則，所以，函數(shù)在上為增函數(shù)，故當時，，則，所以，因為，則，當時，證明，令，其中，則，所以函數(shù)在上為增函數(shù)，故當時，，所以當時，，則，所以，所以，因此.故選：D.技法03泰勒不等式比較函數(shù)值大小關(guān)系解題技巧本題型本題型在高考中以小題形式考查，是高頻考題；本題型可以用方法技巧作答，能用泰勒公式展開是解決此類問題的突破口，需重點掌握.知識遷移常見函數(shù)的泰勒展開式：（1），其中；（2），其中；（3），其中；（4），其中；（5）；（6）；（7）；（8）．由泰勒公式，我們得到如下常用的不等式：，，，，，，，，．3．常見函數(shù)的泰勒展開式：結(jié)論1．結(jié)論2．結(jié)論3（）．結(jié)論4．結(jié)論5；；．結(jié)論6；結(jié)論7；結(jié)論8；結(jié)論9．例3．（2022年新Ⅰ卷高考真題第7題）設，，則（

）A． B． C． D．泰勒公式法：因為，所以，所以因為所以，綜上所述：，故選：C1．（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）已知，則（

）A． B． C． D．泰勒展開設，則，，，計算得，故選A.2．（2021·全國·統(tǒng)考高考真題）設，，．則（

）A． B． C． D．[方法一]：由泰勒公式,可知將,分別相應代入估算,得.由此可知.[方法二]：，所以；下面比較與的大小關(guān)系.記，則，，由于，所以當0<x<2時，，即，，所以在上單調(diào)遞增，所以，即，即；令，則，，由于，在x>0時，，所以，即函數(shù)在[0，+∞)上單調(diào)遞減，所以，即，即b<c；綜上，，故選：B.[方法三]：令，，即函數(shù)在（1，+∞)上單調(diào)遞減，令，即函數(shù)在（1，3)上單調(diào)遞增，，綜上，，故選：B.3．已知，，，則（

）A．B．C． D．【詳解】先比較和的大?。簶?gòu)造，則對恒成立，則在單調(diào)遞增，此時，當且僅當時取等，所以，則；構(gòu)造，則對恒成立，則在單調(diào)遞減，此時，當且僅當時取等，所以，則；構(gòu)造，則對恒成立，則在單調(diào)遞減，此時，當且僅當時取等，所以，則；則，；下面比較b和c的大?。涸O，，，設，，，易知在上單調(diào)遞增，則，所以在上單調(diào)遞減，，即在上恒成立，則在上單調(diào)遞減，由，則，即，則.綜上，故選：B技法04不等式放縮合集比較函數(shù)值大小關(guān)系解題技巧本題型本題型在高考中以小題形式考查，是高頻考題；本題型可以用方法技巧作答，能用不等式來放縮是解決此類問題的突破口，需重點掌握.知識遷移，，，，，，放縮程度綜合，例4-1．（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）設，則（

）A． B． C． D．放縮法：因為，所以，即因為，所以，即綜上所述：，故選：C例4-2．（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）已知，則（

）A． B． C． D．【法一】：不等式放縮一，因為當，取得：，故，其中，且當時，，及，此時，故，故，所以，所以，故選A【法二】不等式放縮二因為，因為當，所以,即，所以；因為當，取得，故，所以．故選：A．1．設，，，則下列正確的是（

）A． B． C． D．【詳解】先來證明當時，.令，，則，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，可得，即得；令，，則，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，可得，即得；所以當時，.因為，由，因為，所以，則，所以，又，所以，所以.故選：D.2．已知，，，則a，b，c的大小關(guān)系正確的是（

）A． B． C． D．【詳解】令，則，，有.故函數(shù)在單調(diào)遞增，故，即，所以，即，令，則，，有.故函數(shù)在單調(diào)遞減，故，即，所以，即.綜上：.故選：D3．設，，，則下列正確的是（

）A． B． C． D．【詳解】對，因為，則，即函數(shù)在單調(diào)遞減，且時，，則，即；當時，，則，且當時，，則，所以函數(shù)在單調(diào)遞增，則，即，先考慮函數(shù)，，則.故，從而.再考慮函數(shù)，，則.故，即，故.綜上，，故選：B.題型065類函數(shù)選填壓軸題解題技巧（對稱性、解不等式（含分段函數(shù)）、整數(shù)解、零點、切線與公切線）技法01技法01函數(shù)對稱性的應用及解題技巧技法02解不等式（含分段函數(shù)）的應用及解題技巧技法03整數(shù)解的應用及解題技巧技法04零點的應用及解題技巧技法05切線與公切線的應用及解題技巧技法01函數(shù)對稱性的應用及解題技巧本題型通常本題型通常由對稱性考查參數(shù)值及解析式的求解，靈活運用對稱性反解函數(shù)是解題的關(guān)鍵，常以小題形式考查.例1．（全國·高考真題）設函數(shù)的圖像與的圖像關(guān)于直線對稱，且，則（）A． B． C． D．反解的解析式，可得，即，因為，所以，解得解得，故選C1．已知函數(shù)的圖象與的圖象關(guān)于直線對稱，且滿足，則（

）A．4 B．2 C．1 D．【詳解】函數(shù)的圖象與的圖象關(guān)于直線對稱，所以點，在函數(shù)的圖象上，所以，所以，所以，又，所以，所以.故選：B2．若函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，則（

）A． B． C． D．【詳解】函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，由得，∴，把互換得：，即，因為，所以．故選：B．3．已知函數(shù)和的圖象與直線交點的橫坐標分別，，則（

）A．1 B．2 C．3 D．4【詳解】作出函數(shù)和的圖象以及直線的圖象，如圖，

由函數(shù)和的圖象與直線交點的橫坐標分別為，，由題意知，也即,由于函數(shù)和互為反函數(shù)，二者圖像關(guān)于直線對稱，而為和的圖象與直線的交點,故關(guān)于對稱，故.故選：B.4．若滿足，滿足，則等于（

）A．2 B．3 C．4 D．5【詳解】由題意，故有，故和是直線和曲線、曲線交點的橫坐標.根據(jù)函數(shù)和函數(shù)互為反函數(shù)，它們的圖象關(guān)于直線對稱，故曲線和曲線的圖象交點關(guān)于直線對稱.即點（x1，5﹣x1）和點（x2，5﹣x2）構(gòu)成的線段的中點在直線y=x上，即，求得x1+x2=5，故選：D.技法02解不等式（含分段函數(shù)）的應用及解題技巧在已知函數(shù)解析式，解抽象不等式快速求解的方法就是特值法，因此小題要學會特值法的使用來快速求解在已知函數(shù)解析式，解抽象不等式快速求解的方法就是特值法，因此小題要學會特值法的使用來快速求解例2．（全國·高考真題）設函數(shù),則使成立的的取值范圍是A．B．C． D．【特值法】當時，不成立，排除D，當時，則判斷是否成立，計算，，不成立，故排除B、C,【答案】A1．（全國·高考真題）設函數(shù)，則滿足的x的取值范圍是（）A．B．C．D．詳解：將函數(shù)的圖像畫出來，觀察圖像可知會有，解得，所以滿足的x的取值范圍是，故選D.2．已知函數(shù)，則的解集是（

）A．B．C．D．【詳解】根據(jù)題意當時,，當時,,作出函數(shù)的圖象如圖，在同一坐標系中作出函數(shù)的圖象，由圖象可得不等式解集為，故選：C3．已知函數(shù)，若成立，則實數(shù)a的取值范圍為（

）A．B．C． D．【詳解】因為的定義域為R，又，故函數(shù)為偶函數(shù)，又時，，單調(diào)遞增，故由復合函數(shù)單調(diào)性可得函數(shù)在單調(diào)遞增，函數(shù)在定義域上單調(diào)遞增，所以在單調(diào)遞增，所以，所以關(guān)于直線對稱，且在單調(diào)遞增．所以，兩邊平方，化簡得，解得．故選：C．技法03整數(shù)解的應用及解題技巧在在整數(shù)解問題中，通常我們用猜根法比較快，先找到臨界條件得到端點值，再利用整數(shù)解區(qū)間為一開一閉，能做到快速求解.例3．（2024·全國·模擬預測）已知關(guān)于x的不等式恰有一個整數(shù)解，則實數(shù)k的取值范圍為（

）A． B．C． D．【猜根法，尋找臨界條件】由題知整數(shù)解不可能為1，若整數(shù)解為2，則整數(shù)解3不可取，代入有，，根據(jù)整數(shù)解問題區(qū)間為一開一閉，則選D.1．若關(guān)于x的不等式有且只有一個整數(shù)解，則正實數(shù)a的取值范圍是（

）A．B．C． D．【詳解】原不等式可化簡為，設，，由得，，令可得，時，，時，，易知函數(shù)在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，且，作出的圖象如下圖所示，而函數(shù)恒過點，要使關(guān)于的不等式有且只有一個整數(shù)解，則函數(shù)的圖象應介于直線與直線之間（可以為直線），又，，∴，，∴，∴．故選：A．2．已知函數(shù)，若不等式有3個整數(shù)解，則實數(shù)a的取值范圍為（

）A．B．C． D．【詳解】函數(shù)的定義域為．由，得，則不等式有3個整數(shù)解．設，則，當時，，單調(diào)遞增，當時，，單調(diào)遞減，又，所以當時，，當時，，易知的圖象恒過點，在同一直角坐標系中，分別作出與函數(shù)的圖象，如圖所示．由圖象可知，要使不等式有3個整數(shù)解，則，解得，故選：A．3．已知函數(shù)，若恰有3個正整數(shù)解，則的取值范圍為（

）A．B．C． D．【詳解】解：由題意，恰有3個正整數(shù)解，轉(zhuǎn)換為的圖象與的圖象交點問題，作出和的圖象，如圖：要使恰有3個正整數(shù)解，則需滿足：，解得：，故選：A．4．偶函數(shù)滿足，當時，，不等式在上有且只有100個整數(shù)解，則實數(shù)a的取值范圍是（

）A．B．C． D．【詳解】由題意，函數(shù)為偶函數(shù)，所以，所以，所以是周期函數(shù)，且周期為，且關(guān)于對稱，又由在上含有50個周期，且在每個周期內(nèi)都是對稱圖形，關(guān)于的不等式在上有且只有100個整數(shù)解，所以關(guān)于不等式在上有且只有1個整數(shù)解，當時，，則，令，解得，所以當時，，為增函數(shù)，當時，，為減函數(shù)，因為當時，，且，，，所以當時，可得，當時，在上有且只有3個整數(shù)解，不合題意；所以，由，可得或，因為，當時，令，可得，當時，，且在為增函數(shù)，所以在上無整數(shù)解，所以在上有一個整數(shù)解，因為，所以在上有一個整數(shù)解，這個整數(shù)解只能為，從而有且，解得，即實數(shù)a的取值范圍是．故選：C技法04零點的應用及解題技巧零點問題是高考中常考內(nèi)容，解決唯一零點問題在于觀察發(fā)現(xiàn)零點的具體值零點問題是高考中?？純?nèi)容，解決唯一零點問題在于觀察發(fā)現(xiàn)零點的具體值，多個零點數(shù)形結(jié)合能做到快速求解.例4-1．（全國·高考真題）已知函數(shù)有唯一零點，則A． B． C． D．1通過觀察發(fā)現(xiàn)關(guān)于對稱，也關(guān)于對稱，則唯一零點為1，解得解得.故選：C.例4-2．已知函數(shù)若函數(shù)有四個不同的零點，則實數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．【詳解】

依題意，函數(shù)有四個不同的零點，即有四個解，轉(zhuǎn)化為函數(shù)與圖象由四個交點，由函數(shù)函數(shù)可知，當時，函數(shù)為單調(diào)遞減函數(shù)，；當時，函數(shù)為單調(diào)遞增函數(shù)，；當時，函數(shù)為單調(diào)遞減函數(shù)，；當時，函數(shù)為單調(diào)遞增函數(shù)，；結(jié)合圖象，可知實數(shù)的取值范圍為.故選：A1．若函數(shù)有唯一零點，則實數(shù)（

）A．2 B． C．4 D．1【詳解】由，得，即函數(shù)的圖象關(guān)于對稱，要使函數(shù)有唯一的零點，則，即，得．故選：A．2．已知函數(shù)有唯一零點，則（

）A． B． C． D．【詳解】函數(shù)的定義域為，則，，則，所以，函數(shù)在上為增函數(shù)，當時，，當時，，則存在，使得，則，當時，，此時函數(shù)單調(diào)遞減，當時，，此時函數(shù)單調(diào)遞增，，由于函數(shù)有唯一零點，則，由，解得，所以，，令，其中，，，則，，，則，所以，函數(shù)在上單調(diào)遞減，且，，從而可得，解得.故選：C.【點睛】方法點睛：利用導數(shù)解決函數(shù)零點問題的方法：（1）直接法：先對函數(shù)求導，根據(jù)導數(shù)的方法求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與極值，根據(jù)函數(shù)的基本性質(zhì)作出圖象，然后將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象與軸的交點問題，突出導數(shù)的工具作用，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化與化歸思想、數(shù)形結(jié)合思想和分類討論思想的應用；（2）構(gòu)造新函數(shù)法：將問題轉(zhuǎn)化為研究兩函數(shù)圖象的交點問題；（3）參變量分離法：由分離變量得出，將問題等價轉(zhuǎn)化為直線與函數(shù)的圖象的交點問題.3．已知函數(shù)有唯一零點，則的值為（

）A． B． C． D．【詳解】有零點，則，令，則上式可化為，因為恒成立，所以，令，則，故為偶函數(shù)，因為有唯一零點，所以函數(shù)的圖象與有唯一交點，結(jié)合為偶函數(shù)，可得此交點的橫坐標為0，故.故選：D4．若函數(shù)有兩個不同的零點，則實數(shù)的取值范圍是（

）A．B．C． D．【詳解】函數(shù)的定義域為，，設，則，令，令，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，且，所以，所以，函數(shù)有兩個不同的零點等價于方程有兩個不同的解，則，等價于函數(shù)與圖象有兩個不同的交點.令，，則函數(shù)與圖象有一個交點，則，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，且趨向于正無窮時，趨向于正無窮，所以，解得.故選：A.5．（全國·高考真題）已知函數(shù)．若g（x）存在2個零點，則a的取值范圍是（）A．[–1，0） B．[0，+∞） C．[–1，+∞） D．[1，+∞）詳解：畫出函數(shù)的圖像，在y軸右側(cè)的去掉，再畫出直線，之后上下移動，可以發(fā)現(xiàn)當直線過點A時，直線與函數(shù)圖像有兩個交點，并且向下可以無限移動，都可以保證直線與函數(shù)的圖像有兩個交點，即方程有兩個解，也就是函數(shù)有兩個零點，此時滿足，即，故選C.6．已知函數(shù)，其中，若在區(qū)間內(nèi)恰好有4個零點，則a的取值范圍是（

）A． B． C． D．【詳解】由函數(shù)，其中，當時，對任意，函數(shù)在內(nèi)最多有1個零點，不符題意，所以，當時，，由可得或，則在上，有一個零點，所以在內(nèi)有3個零點，即在內(nèi)有3個零點，因為，所以，，所以，解得，綜上所述，實數(shù)的取值范圍為.故選：C.技法05切線與公切線的應用及解題技巧對于切線及公切線問題，熟練掌握導數(shù)的幾何意義及其應用，能做到基本題型求解，熟練解方程也有助于快速解題對于切線及公切線問題，熟練掌握導數(shù)的幾何意義及其應用，能做到基本題型求解，熟練解方程也有助于快速解題.例5-1．（2021·全國·統(tǒng)考高考真題）若過點可以作曲線的兩條切線，則（

）A．B．C． D．畫出函數(shù)曲線的圖象如圖所示，根據(jù)直觀即可判定點在曲線下方和軸上方時才可以作出兩條切線.由此可知.

故選：D.例5-2．（全國·高考真題）若直線是曲線的切線，也是曲線的切線，則．對函數(shù)求導得，對求導得，設直線與曲線相切于點，與曲線相切于點，則，由點在切線上得，由點在切線上得，這兩條直線表示同一條直線，所以，解得.1．（2023·全國·高三專題練習）若兩曲線與存在公切線，則正實數(shù)a的取值范圍是．【詳解】由題可知，，，設與曲線相切的切點為，與相切的切點為，則有公共切線斜率為，則，，又，，可得，即有，即，可得，，設，，，可得時，，在上單調(diào)遞增，當時，，在上單調(diào)遞減，,可得處取得極大值，且為最大值，則正實數(shù)a的取值范圍，故答案為：2．若曲線與曲線存在公切線，則實數(shù)的最小值為（

）A． B． C． D．【詳解】因為，，所以，，設公切線與切于點，與曲線切于點，，所以，所以，所以，所以或，因為，所以，所以，所以，令，，則，所以當時，當時，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，所以實數(shù)的最小值為.故選：A3．若曲線與曲線有公切線，則實數(shù)a的取值范圍（

）A．B．C． D．【詳解】設是曲線的切點，設是曲線的切點，對于曲線，其導數(shù)為，對于曲線，其導數(shù)為，所以切線方程分別為：，，兩切線重合，對照斜率和縱截距可得：，解得（），令（），，得：，當時，，是減函數(shù)，當時，，是增函數(shù)，∴且當x趨于時，，趨于；當趨于時，趨于；∴，∴；故選：D．4．若函數(shù)與函數(shù)有公切線，則實數(shù)的取值范圍是（

）A．B．C． D．【詳解】設公切線與函數(shù)切于點，，切線的斜率為，則切線方程為，即設公切線與函數(shù)切于點，，切線的斜率為，則切線方程為，即，所以有因為，所以，可得，，即，由可得：，所以，令，則，，設，則，所以在上為減函數(shù)，則，所以，所以實數(shù)的取值范圍是，故選：B．題型073類導數(shù)綜合問題解題技巧（端點效應（必要性探索）、函數(shù)的凹凸性、洛必達法則）技法01技法01端點效應（必要性探索）解題技巧技法02函數(shù)凹凸性解題技巧技法03洛必達法則解題技巧技法01端點效應（必要性探索）解題技巧導數(shù)壓軸中我們經(jīng)常遇到恒成立問題，含有參數(shù)的不等式恒成立求參數(shù)的取值范圍問題，是熱點和重點題型，方法靈活多樣，常見的方法有:導數(shù)壓軸中我們經(jīng)常遇到恒成立問題，含有參數(shù)的不等式恒成立求參數(shù)的取值范圍問題，是熱點和重點題型，方法靈活多樣，常見的方法有:①分離參數(shù)（全分離或半分離）＋函數(shù)最值;②直接（或移項轉(zhuǎn)化）求導＋分類討論.但以上兩種方法都有缺陷，首先對于方法①可能會出現(xiàn)參數(shù)分離困難或是無法分離，抑或函數(shù)最值點無法取到，即無定義，這時就需要用到超綱的方法：洛必達法則。其次，對于方法②直接分類討論可能會出現(xiàn)在某些區(qū)間無法討論下去，或是無法排除原問題在該區(qū)間是否恒成立，即討論界點不明。基于以上兩點，我們今天這講就來解決這兩個不足之處，基本對策就是先必要后充分的思想。該思想就是當參變分離較為困難、帶參討論界點不明時，含參不等式問題還可以采用先必要、后充分的做法，即先抓住一些關(guān)鍵點（區(qū)間端點，可使不等式部分等于零的特殊值等），將關(guān)鍵點代入不等式解出參數(shù)的范圍，獲得結(jié)論成立的必要條件，再論證充分性，從而解決問題.知識遷移端點效應的類型1.如果函數(shù)在區(qū)間上,恒成立,則或.2.如果函數(shù)在區(qū)問上,恒成立,且(或),則或.3.如果函數(shù)在區(qū)問上,恒成立,且(或,則或.例1．（2023·全國·統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù)(1)當時，討論的單調(diào)性；(2)若恒成立，求a的取值范圍．【法一】端點效應一令，得，且在上恒成立畫出草圖：根據(jù)端點效應,需要滿足，而則,令,得當時,由于,只需證即可而含有參數(shù),故可對進行放縮即令,其中，設，則令，則,故在上遞減,得則,得在上單調(diào)遞增,則即,滿足成立，當時，故存在,使得在上,所以在上單調(diào)遞增,則,不成立，綜上所述:.【法二】端點效應二(2)由于,且,注意到當,即時,使在成立,故此時單調(diào)遞減,不成立.另一方面,當時,,下證它小于等于0.單調(diào)遞減,.特上所述:.【法三】設設，，所以.若,，即在上單調(diào)遞減,所以.所以當,符合題意.若，當,所以..所以,使得,即,使得.當,即當單調(diào)遞增.所以當,不合題意.綜上,的取值范圍為.1．（2023·全國·統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù)．(1)當時，討論的單調(diào)性；(2)若，求的取值范圍．【詳解】（1）因為，所以，則，令，由于，所以，所以，因為，，，所以在上恒成立，所以在上單調(diào)遞減.（2）法一：構(gòu)建，則，若，且，則，解得，當時，因為，又，所以，，則，所以，滿足題意；當時，由于，顯然，所以，滿足題意；綜上所述：若，等價于，所以的取值范圍為.法二：因為，因為，所以，，故在上恒成立，所以當時，，滿足題意；當時，由于，顯然，所以，滿足題意；當時，因為，令，則，注意到，若，，則在上單調(diào)遞增，注意到，所以，即，不滿足題意；若，，則，所以在上最靠近處必存在零點，使得，此時在上有，所以在上單調(diào)遞增，則在上有，即，不滿足題意；綜上：.2．（2020·全國·統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù).（1）當a=1時，討論f（x）的單調(diào)性；（2）當x≥0時，f（x）≥x3+1，求a的取值范圍.【詳解】(1)當時，，，由于，故單調(diào)遞增，注意到，故：當時，單調(diào)遞減，當時，單調(diào)遞增.(2)[方法一]【最優(yōu)解】：分離參數(shù)由得，，其中，①.當x=0時，不等式為：，顯然成立，符合題意；②.當時，分離參數(shù)a得，，記，，令，則，，故單調(diào)遞增，，故函數(shù)單調(diào)遞增，，由可得：恒成立，故當時，，單調(diào)遞增；當時，，單調(diào)遞減；因此，,綜上可得，實數(shù)a的取值范圍是.[方法二]：特值探路當時，恒成立．只需證當時，恒成立．當時，．只需證明⑤式成立．⑤式，令，則，所以當時，單調(diào)遞減；當單調(diào)遞增；當單調(diào)遞減．從而，即，⑤式成立．所以當時，恒成立．綜上．[方法三]：指數(shù)集中當時，恒成立，記，，①.當即時，，則當時，，單調(diào)遞增，又，所以當時，，不合題意；②.若即時，則當時，，單調(diào)遞減，當時，，單調(diào)遞增，又，所以若滿足，只需，即，所以當時，成立；③當即時，，又由②可知時，成立，所以時，恒成立，所以時，滿足題意.綜上，.【整體點評】導數(shù)是研究函數(shù)的單調(diào)性、極值(最值)最有效的工具，而函數(shù)是高中數(shù)學中重要的知識點，本題主要考查利用導數(shù)解決恒成立問題，常用方法技巧有：方法一，分離參數(shù)，優(yōu)勢在于分離后的函數(shù)是具體函數(shù)，容易研究；方法二，特值探路屬于小題方法，可以快速縮小范圍甚至得到結(jié)果，但是解答題需要證明，具有風險性；方法三，利用指數(shù)集中，可以在求導后省去研究指數(shù)函數(shù)，有利于進行分類討論，具有一定的技巧性！3．（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù)．(1)當時，討論的單調(diào)性；(2)當時，，求a的取值范圍；(3)設，證明：．【詳解】（1）當時，，則，當時，，當時，，故的減區(qū)間為，增區(qū)間為.（2）設，則，又，設，則，若，則，因為為連續(xù)不間斷函數(shù)，故存在，使得，總有，故在為增函數(shù)，故，故在為增函數(shù)，故，與題設矛盾.若，則，下證：對任意，總有成立，證明：設，故，故在上為減函數(shù)，故即成立.由上述不等式有，故總成立，即在上為減函數(shù)，所以.當時，有，

所以在上為減函數(shù)，所以.綜上，.（3）取，則，總有成立，令，則，故即對任意的恒成立.所以對任意的，有，整理得到：，故，故不等式成立.技法02函數(shù)凹凸性解題技巧函數(shù)凹凸性是函數(shù)的一種特殊特征,近年來,以函數(shù)凹凸性為背景的題目屢見不鮮,這些試題情景新穎,能考查學生的創(chuàng)新能力和潛在的數(shù)學素質(zhì),常作為壓軸題出現(xiàn).雖然在高中課本中沒有這方面的內(nèi)容,但高中教師若能多了解一些函數(shù)凹凸性的相關(guān)理論知識,可以函數(shù)凹凸性是函數(shù)的一種特殊特征,近年來,以函數(shù)凹凸性為背景的題目屢見不鮮,這些試題情景新穎,能考查學生的創(chuàng)新能力和潛在的數(shù)學素質(zhì),常作為壓軸題出現(xiàn).雖然在高中課本中沒有這方面的內(nèi)容,但高中教師若能多了解一些函數(shù)凹凸性的相關(guān)理論知識,可以“登高望遠”,便于找到問題的本質(zhì)內(nèi)涵,確定解題方向,尋找簡捷的解題途徑.知識遷移凹函數(shù)：對于某區(qū)間內(nèi),都有.凸函數(shù)：對于某區(qū)間內(nèi),都有.例2-1．在中,求的最大值.因為函數(shù)在區(qū)間上是上凸函數(shù),則即,當且僅當時,即時,取等號.上述例題是三角形中一個重要的不等式:在中,例2-2（2021·黑龍江模擬）丹麥數(shù)學家琴生是19世紀對數(shù)學分析做出卓越貢獻的數(shù)學家，特別是在函數(shù)的凹凸性與不等式方面留下了很多寶貴的成果．設函數(shù)在上的導函數(shù)為，在上的導函數(shù)為，若在上恒成立，則稱函數(shù)在上為“凸函數(shù)”．已知在上為“凸函數(shù)”，則實數(shù)m的取值范圍是（

）A． B． C． D．因為，所以，，因為在上為“凸函數(shù)”，所以對于恒成立，可得對于恒成立，令，則，因為，所以在單調(diào)遞增，所以，所以，【答案】C1．（全國·高考真題）已知函數(shù)有兩個零點.（Ⅰ）求a的取值范圍；（Ⅱ）設x1，x2是的兩個零點，證明：.試題解析：（Ⅰ）．（Ⅰ）設，則，只有一個零點．（Ⅱ）設，則當時，；當時，．所以在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增．又，，取滿足且，則，故存在兩個零點．（Ⅲ）設，由得或．若，則，故當時，，因此在單調(diào)遞增．又當時，所以不存在兩個零點．若，則，故當時，；當時，．因此在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增．又當時，，所以不存在兩個零點．綜上，的取值范圍為．（Ⅱ）不妨設，由（Ⅰ）知，，在單調(diào)遞減，所以等價于，即．由于，而，所以．設，則．所以當時，，而，故當時，．從而，故．2．（2021·全國·統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù).（1）討論的單調(diào)性；（2）設，為兩個不相等的正數(shù)，且，證明：.【詳解】(1)的定義域為．由得，，當時，；當時；當時，．故在區(qū)間內(nèi)為增函數(shù)，在區(qū)間內(nèi)為減函數(shù)，(2)[方法一]：等價轉(zhuǎn)化，由得，即．由，得．由（1）不妨設，則，從而，得，①令，則，當時，，在區(qū)間內(nèi)為減函數(shù)，，從而，所以，由（1）得即．①令，則，當時，，在區(qū)間內(nèi)為增函數(shù)，，從而，所以．又由，可得，所以．②，由①②得．[方法二]【最優(yōu)解】：變形為，所以．令．則上式變?yōu)?，于是命題轉(zhuǎn)換為證明：．令，則有，不妨設．由（1）知，先證．要證：．令，則，在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，所以，即．再證．因為，所以需證．令，所以，故在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增．所以．故，即．綜合可知．[方法三]：比值代換證明同證法2．以下證明．不妨設，則，由得，，要證，只需證，兩邊取對數(shù)得，即，即證．記，則.記，則，所以，在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減．，則，所以在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減．由得，所以，即．[方法四]：構(gòu)造函數(shù)法由已知得，令，不妨設，所以．由（Ⅰ）知，，只需證．證明同證法2．再證明．令．令，則．所以，在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增．因為，所以，即又因為，所以，即．因為，所以，即．綜上，有結(jié)論得證．3．（陜西·高考真題）已知函數(shù).(1)若直線y＝kx＋1與f(x)的反函數(shù)的圖像相切,求實數(shù)k的值;(2)設x>0,討論曲線y＝f(x)與曲線公共點的個數(shù).(3)設a<b,比較與的大小,并說明理由.【詳解】函數(shù)(1)函數(shù)，的反函數(shù)為，設切點坐標為則，.

（2）令即，設有，當，，當，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，所以當時，兩曲線有2個交點；當時，兩曲線有1個交點；當時，兩曲線沒有交點.（3），令，上式令，則恒成立，，而，，故【點睛】本題考查函數(shù)、導數(shù)、不等式、參數(shù)等問題，屬于難題.第二問運用數(shù)形結(jié)合思想解決問題，能夠比較清晰的分類，做到不吃不漏.最后一問,考查函數(shù)的凹凸性，富有明顯的幾何意義,為考生探索結(jié)論提供了明確的方向,對代數(shù)手段的解決起到導航作用.技法03洛必達法則解題技巧洛必達法則只是一個求極限的工具，是在一定條件下通過對分子分母分別求導再求極限來確定未定式極限值的方法。詳細的洛必達法則應用是大學高等數(shù)學中才介紹，這里用高中生最能看懂的方式說明，能備考使用即可.洛必達法則只是一個求極限的工具，是在一定條件下通過對分子分母分別求導再求極限來確定未定式極限值的方法。詳細的洛必達法則應用是大學高等數(shù)學中才介紹，這里用高中生最能看懂的方式說明，能備考使用即可.知識遷移洛必達法則：法則1若函數(shù)f(x)和g(x)滿足下列條件：(1)及；

(2)在點a的去心鄰域內(nèi)，f(x)與g(x)可導且g'(x)≠0；

(3)，那么=。型

法則2若函數(shù)f(x)和g(x)滿足下列條件：(1)及；

(2)在點a的去心鄰域內(nèi)，f(x)與g(x)可導且g'(x)≠0；

(3)，那么=。型注意：1.將上面公式中的換成洛必達法則也成立。2.洛必達法則可處理型。3.在著手求極限前,首先要檢查是否滿足,型定式,否則濫用洛必達法則會出錯。當不滿足三個前提條件時,就不能用洛必達法則,這時稱洛必達法則不適用,應從另外途徑求極限。4.若條件符合,洛必達法則可連續(xù)多次使用,直到求出極限為止。,如滿足條件,可繼續(xù)使用洛必達法則。例3．（全國高考）已知恒成立,求的取值范圍。解:記,則則，所以,在單調(diào)遞增,且所以時,時,即在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增，所以所以分析：上式中求用了洛必達法則當時,分子,分母,符合不定形式,所以1．（全國高考）恒成立,求的取值范圍解:，記,則，記則，所以,在單調(diào)遞增,所以所以,在單調(diào)遞增,所以即在上,所以在上單調(diào)遞增，所以，所以2．（天津高考）恒成立,求的取值范圍解:記,則，則，所以,當時,單調(diào)遞減,所以即所以，所以所以3．已知函數(shù)（I）求證（II）若取值范圍.試題解析：（1）要證時，，只需證明.記，則，當時，，因此在上是增函數(shù)，故，所以.要證時，，只需證明，記，則，當時，，因此在上是增函數(shù)，故，所以，.綜上，，.（2）（解法一）.設，則，記，則，當時，，于是在上是減函數(shù)，從而當時，，故在上是減函數(shù)，于是，從而，所以，當時，在上恒成立.下面證明，當時，在上不恒成立，.記，則，當時，，故在上是減函數(shù).于是在上的值域為.因為當時，，所以存在，使得此時，即在上不恒成立.綜上，實數(shù)的取值范圍是.（解法二）先證當時，.記，則，記，則，當時，，于是在上是增函數(shù)，因此當時，，從而在上是增函數(shù)，因此.所以當時，.同理可證，當時，.綜上，當時，.因為當時，，所以當時，在上恒成立.下面證明，當時，在上不恒成立，因為.所以存在（例如取和中的較小值）滿足.即在上不恒成立.綜上，實數(shù)的取值范圍是.題型084類函數(shù)單調(diào)性與函數(shù)極值最值（單調(diào)性、含參函數(shù)、二階導數(shù)、極值最值）技法01技法01具體函數(shù)的單調(diào)性技法02含參函數(shù)且導函數(shù)可分解型函數(shù)的單調(diào)性技法03含參函數(shù)且導函數(shù)不可分解型函數(shù)的單調(diào)性技法04二階導函數(shù)求函數(shù)的單調(diào)性技法05函數(shù)的極值最值技法01具體函數(shù)的單調(diào)性函數(shù)是高中數(shù)學主干知識,單調(diào)性是函數(shù)的重要性質(zhì),用導數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性是導數(shù)的一個主要應用,可以說在高考導數(shù)函數(shù)是高中數(shù)學主干知識,單調(diào)性是函數(shù)的重要性質(zhì),用導數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性是導數(shù)的一個主要應用,可以說在高考導數(shù)解答題中單調(diào)性問題是繞不開的一個問題.這是因為單調(diào)性是解決后續(xù)問題的關(guān)鍵。單調(diào)性在研究函數(shù)圖象、比較函數(shù)值大小、確定函數(shù)的極值與零點、解不等式及證明不等式中都起著至關(guān)重要的作用，函數(shù)單調(diào)性的討論與應用一直是高考考查的熱點、而具體函數(shù)的單調(diào)性是要掌握的基礎(chǔ)知識點知識遷移導函數(shù)與原函數(shù)的關(guān)系，單調(diào)遞增，單調(diào)遞減例1-1．（2021·全國·統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù)，討論的單調(diào)性【詳解】的定義域為．由得，，令，則，當時；當時，．故在區(qū)間內(nèi)為增函數(shù)，在區(qū)間內(nèi)為減函數(shù)，例1-2．（全國·高考真題）已知函數(shù)．若，求的單調(diào)區(qū)間【詳解】當a=3時，，．令解得x=或x=．當時，，當時．所以函數(shù)的增區(qū)間是和，減區(qū)間是．1．（2023·全國·統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù)．當時，討論的單調(diào)性【詳解】因為，所以，則，令，由于，所以，所以，因為，，，所以在上恒成立，所以在上單調(diào)遞減.（2022·浙江·統(tǒng)考高考真題）設函數(shù)．求的單調(diào)區(qū)間?！驹斀狻浚?，；當，，故的減區(qū)間為，的增區(qū)間為.3．（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù)．當時，討論的單調(diào)性【詳解】（1）當時，，則，當時，，當時，，故的減區(qū)間為，增區(qū)間為.4．（2021·全國·統(tǒng)考高考真題）已知且，函數(shù)．當時，求的單調(diào)區(qū)間【詳解】當時，,令得,當時，,當時，,∴函數(shù)在上單調(diào)遞增；上單調(diào)遞減；5．（2020·全國·統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù)，當a=1時，討論f（x）的單調(diào)性【詳解】(1)當時，，，由于，故單調(diào)遞增，注意到，故：當時，單調(diào)遞減，當時，單調(diào)遞增.技法02含參函數(shù)且導函數(shù)可分解型函數(shù)的單調(diào)性函數(shù)是高中數(shù)學主干知識,單調(diào)性是函數(shù)的重要性質(zhì),用導數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性是導數(shù)的一個主要應用,可以說在高考導數(shù)函數(shù)是高中數(shù)學主干知識,單調(diào)性是函數(shù)的重要性質(zhì),用導數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性是導數(shù)的一個主要應用,可以說在高考導數(shù)解答題中單調(diào)性問題是繞不開的一個問題.這是因為單調(diào)性是解決后續(xù)問題的關(guān)鍵。單調(diào)性在研究函數(shù)圖像、比較函數(shù)值大小、確定函數(shù)的極值與零點、解不等式及證明不等式中都起著至關(guān)重要的作用，函數(shù)單調(diào)性的討論與應用一直是高考考查的熱點、而含有參數(shù)的函數(shù)單調(diào)性的討論與應用更是高考中的難點例2-1．（2023·河北唐山模擬）已知函數(shù)．討論的單調(diào)性；【詳解】因為，定義域為，所以，當時，由于，則，故恒成立，所以在上單調(diào)遞減；當時，令，解得，當時，則在上單調(diào)遞減；當時，，則在上單調(diào)遞增；綜上：當時，在上單調(diào)遞減；當時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.例2-2．（2023·全