中考數(shù)學(xué)幾何專項(xiàng)沖刺專題13幾何變換之翻折（軸對稱）鞏固練習(xí)（基礎(chǔ)）含答案及解析

幾何變換之翻折（軸對稱）鞏固練習(xí)1．如圖，在正方形網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長均為1個(gè)單位，每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)叫做格點(diǎn)，△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上．（1）在網(wǎng)格中畫出△ABC向下平移4個(gè)單位得到的△A1B1C1．（2）在網(wǎng)格中畫出△ABC關(guān)于直線m對稱的△A2B2C2．2．已知點(diǎn)A（2a﹣b，5+a），B（2b﹣1，﹣a+b）．（1）若點(diǎn)A，B關(guān)于x軸對稱，求a，b的值；（2）若點(diǎn)A，B關(guān)于y軸對稱，求（4a+b）2019的值．3．如圖，△ABC的點(diǎn)C與C′關(guān)于AB對稱，點(diǎn)B與B′關(guān)于AC對稱，連結(jié)BB′、CC′，交于點(diǎn)O．（1）如圖（1），若∠BAC＝30°，①求∠B'AC'的度數(shù)；②觀察并描述：△ABC'可以由△AB'C通過什么變換得來？求出∠BOC'的角度；（2）如圖（2），若∠BAC＝α，點(diǎn)D、E分別在AB、AC上，且C′D∥BC∥B′E，BE、CD交于點(diǎn)F，設(shè)∠BFD＝β，試探索α與β之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．4．請?jiān)诰W(wǎng)格中完成下列問題：（1）如圖1，網(wǎng)格中的△ABC與△DEF為軸對稱圖形，請用所學(xué)軸對稱的知識作出△ABC與△DEF的對稱軸l；（2）如圖2，請?jiān)趫D中作出△ABC關(guān)于直線MN成軸對稱的圖形△A′B′C′．5．如圖，在矩形紙片ABCD中，AD＝9，AB＝3，將其折疊，使點(diǎn)D與點(diǎn)B重合，折痕為EF，求折疊后DE的長和折痕EF的長．6．如圖，已知點(diǎn)E是矩形一邊AD上的一點(diǎn)，沿CE折疊矩形使點(diǎn)D落在對角線AC上的點(diǎn)F處，點(diǎn)G為BC上一點(diǎn)，且CG＝DE，連FG．（1）求證：FG∥EC；（2）若∠DAC＝30°，CD＝4，求四邊形EFGC的面積．7．如圖所示，正方形ABCD的邊長為2，⊙O的直徑為AD．將正方形沿EC折疊，點(diǎn)B落在⊙O上F點(diǎn)．（1）求證：E，F(xiàn)，O三點(diǎn)共線；（2）求線段BE及AF的長．8．如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，邊AB的垂直平分線交BC于點(diǎn)D，垂足為E，AD平分∠BAC．（1）求∠B的度數(shù)；（2）求證：CD=13（3）若AC＝2，點(diǎn)P是直線AD上的動點(diǎn)，求|PB﹣PC|的最大值．9．如圖，在長方形紙片ABCD中，AB＝12，BC＝18，將紙片折疊壓平，使點(diǎn)C與點(diǎn)A重合，折痕為EF．（1）求證：AF＝AE．（2）求線段AF的長．10．如圖，把長方形紙片ABCD沿EF折疊后，使得點(diǎn)D與點(diǎn)B重合，點(diǎn)C落在點(diǎn)C'的位置上．（1）若∠1＝50°，求∠2，∠3的度數(shù)；（2）若AB＝4，AD＝8，求AE的長度．11．如圖，將長方形ABCD沿著對角線BD折疊，使點(diǎn)C落在C'處，BC'交AD于點(diǎn)E．AB＝4，AD＝8．（1）試判斷△BDE的形狀，并說明理由；（2）求DE的長．（3）求△BDE的面積．12．如圖，直線a∥b，點(diǎn)A，點(diǎn)D在直線b上，射線AB交直線a于點(diǎn)B，CD⊥a于點(diǎn)C，交射線AB于點(diǎn)E，AB＝12cm，AE：BE＝1：2，P為射線AB上一動點(diǎn)，P從A點(diǎn)開始沿射線AB方向運(yùn)動，速度為1cm/s，設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動時(shí)間為t，M為直線a上一定點(diǎn)，連接PC，PD．（1）當(dāng)t＝m為何值時(shí)，PC+PD有最小值，求m的值；（2）當(dāng)t＜m（m為（1）中的取值）時(shí)探究∠PCM、∠PDA與∠CPD的關(guān)系，并說明理由；（3）當(dāng)t＞m（m為（1）中的取值）時(shí)，直接寫出∠PCM、∠PDA與∠CPD的關(guān)系．幾何變換之翻折（軸對稱）鞏固練習(xí)1．如圖，在正方形網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長均為1個(gè)單位，每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)叫做格點(diǎn)，△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上．（1）在網(wǎng)格中畫出△ABC向下平移4個(gè)單位得到的△A1B1C1．（2）在網(wǎng)格中畫出△ABC關(guān)于直線m對稱的△A2B2C2．【分析】（1）利用網(wǎng)格特點(diǎn)和平移的性質(zhì)畫出A、B、C的對應(yīng)點(diǎn)A1、B1、C1即可；（2）利用網(wǎng)格特點(diǎn)和對稱的性質(zhì)畫出A、B、C關(guān)于直線l的對對稱點(diǎn)A2、B2、C2即可．【解答】解：（1）如圖，△A1B1C1為所作；（2）如圖，△A2B2C2為所作；【點(diǎn)評】本題考查了作圖﹣軸對稱變換：幾何圖形都可看做是由點(diǎn)組成，我們在畫一個(gè)圖形的軸對稱圖形時(shí)，也是先從確定一些特殊的對稱點(diǎn)開始的，也考查了平移變換．2．已知點(diǎn)A（2a﹣b，5+a），B（2b﹣1，﹣a+b）．（1）若點(diǎn)A，B關(guān)于x軸對稱，求a，b的值；（2）若點(diǎn)A，B關(guān)于y軸對稱，求（4a+b）2019的值．【分析】（1）根據(jù)“關(guān)于x軸對稱的點(diǎn)，橫坐標(biāo)相同，縱坐標(biāo)互為相反數(shù)”列方程組求解即可；（2）根據(jù)“關(guān)于y軸對稱的點(diǎn)，縱坐標(biāo)相同，橫坐標(biāo)互為相反數(shù)；”列方程組求出a、b的值，然后代入代數(shù)式進(jìn)行計(jì)算即可得解．【解答】解：（1）∵點(diǎn)A，B關(guān)于x軸對稱，∴2a?解得a=?（2）∵點(diǎn)A，B關(guān)于y軸對稱，∴2a?解得a=?∴（4a+b）2019＝[4×（﹣1）+3]2019＝﹣1．【點(diǎn)評】本題考查了關(guān)于x、y軸對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)特征：點(diǎn)P（x，y）關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)P′的坐標(biāo)是（x，﹣y）．點(diǎn)P（x，y）關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)P′的坐標(biāo)是（﹣x，y）．3．如圖，△ABC的點(diǎn)C與C′關(guān)于AB對稱，點(diǎn)B與B′關(guān)于AC對稱，連結(jié)BB′、CC′，交于點(diǎn)O．（1）如圖（1），若∠BAC＝30°，①求∠B'AC'的度數(shù)；②觀察并描述：△ABC'可以由△AB'C通過什么變換得來？求出∠BOC'的角度；（2）如圖（2），若∠BAC＝α，點(diǎn)D、E分別在AB、AC上，且C′D∥BC∥B′E，BE、CD交于點(diǎn)F，設(shè)∠BFD＝β，試探索α與β之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．【分析】（1）①利用軸對稱的性質(zhì)求解即可．②如圖（1）中，設(shè)AC交BB′于J．利用“8字型”證明∠B′OC＝∠BAJ即可．（2）如圖（2）中，結(jié)論：β＝2α．首先證明四邊形BCDC′是菱形，推出CD∥BC′，同法可證，BE∥CB′，推出∠FCB+∠CBC′＝180°，即∠FCB+2∠ABC＝180°，同法可得，∠FBC+2∠ACB＝180°，再根據(jù)∠BFD＝∠FBC+∠FCB轉(zhuǎn)化可得結(jié)論．【解答】解：（1）①∵C，C′關(guān)于AB對稱，B，B′關(guān)于AC對稱，∴∠CAB＝∠BAC′＝∠CAB′＝30°，∴∠B′AC′＝90°．②如圖（1）中，設(shè)AC交BB′于J．△ABC'可以由△AB'C繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到．∵AC＝AC′，AB＝AB′，∠CAC′＝∠BAB′＝60°，∴∠AB′A＝∠ACO＝60°，∵∠AJB′＝∠OJC，∴∠B′OC＝∠B′AJ＝30°．（2）如圖（2）中，結(jié)論：β＝2α．理由：由對稱的性質(zhì)可知：BC＝BC′，DC′＝DC，∠ABC′＝∠ABC，∵DC′∥BC，∴∠C′DB＝∠ABC＝∠C′BD，∴C′D＝C′B，∴BC＝BC′＝C′D＝DC，∴四邊形BCDC′是菱形，∴CD∥BC′，同法可證，BE∥CB′，∴∠FCB+∠CBC′＝180°，即∠FCB+2∠ABC＝180°，同法可得，∠FBC+2∠ACB＝180°，∵∠BFD＝∠FBC+∠FCB，∴∠DFB＝180°﹣2∠ABC+180°﹣2∠ACB＝360°﹣2（∠ABC+∠ACB）＝360°﹣2（180°﹣∠BAC）＝2∠BAC，∴β＝2α．【點(diǎn)評】本題考查軸對稱的性質(zhì)，菱形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)變換等知識，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運(yùn)用所學(xué)知識解決問題．4．請?jiān)诰W(wǎng)格中完成下列問題：（1）如圖1，網(wǎng)格中的△ABC與△DEF為軸對稱圖形，請用所學(xué)軸對稱的知識作出△ABC與△DEF的對稱軸l；（2）如圖2，請?jiān)趫D中作出△ABC關(guān)于直線MN成軸對稱的圖形△A′B′C′．【分析】（1）利用網(wǎng)格特點(diǎn)，作AD的垂直平分線即可；（2）利用網(wǎng)格特點(diǎn)，分別作A、B、C關(guān)于直線MN的對稱點(diǎn)A′、B′、C′，從而得到△A′B′C′．【解答】解：（1）如圖1，直線PQ為所作；（2）如圖2，△A′B′C′為所作．【點(diǎn)評】本題考查了作圖﹣軸對稱變換：在畫一個(gè)圖形的軸對稱圖形時(shí)，也是先從確定一些特殊的對稱點(diǎn)開始的，一般的方法是：由已知點(diǎn)出發(fā)向所給直線作垂線，并確定垂足；直線的另一側(cè)，以垂足為一端點(diǎn)，作一條線段使之等于已知點(diǎn)和垂足之間的線段的長，得到線段的另一端點(diǎn)，即為對稱點(diǎn)；連接這些對稱點(diǎn)，就得到原圖形的軸對稱圖形．5．如圖，在矩形紙片ABCD中，AD＝9，AB＝3，將其折疊，使點(diǎn)D與點(diǎn)B重合，折痕為EF，求折疊后DE的長和折痕EF的長．【分析】作FM⊥AD于M，則∠FME＝90°，F(xiàn)M＝AB＝3cm，由折疊的性質(zhì)得出BE＝DE，∠BEF＝∠DEF，再求出BF＝BE，設(shè)AE＝x，則BE＝DE＝9﹣x，根據(jù)勾股定理得出方程，解方程求出AE，得出DE、BF、EM，根據(jù)勾股定理求出EF即可，【解答】解：作FM⊥AD于M，則∠FME＝90°，F(xiàn)M＝AB＝3，根據(jù)題意得：BE＝DE，∠BEF＝∠DEF，∵四邊形ABCD是矩形，∴∠A＝90°，AD∥BC，∴∠BFE＝∠DEF，∴∠BEF＝∠BFE，∴BF＝BE，設(shè)AE＝x，則BE＝DE＝BF＝9﹣x，根據(jù)勾股定理得：AB2+AE2＝BE2，即32+x2＝（9﹣x）2，解得：x＝4，∴AE＝4，∴DE＝BF＝5，∴CF＝DM＝4，∴EM＝1，根據(jù)勾股定理得：EF=E答：DE的長為5，折痕EF的長為10．【點(diǎn)評】本題考查了翻折變換的性質(zhì)、矩形的性質(zhì)、勾股定理、等腰三角形的判定；熟練掌握翻折變換和矩形的性質(zhì)，并能進(jìn)行推理計(jì)算是解決問題的關(guān)鍵．6．如圖，已知點(diǎn)E是矩形一邊AD上的一點(diǎn)，沿CE折疊矩形使點(diǎn)D落在對角線AC上的點(diǎn)F處，點(diǎn)G為BC上一點(diǎn)，且CG＝DE，連FG．（1）求證：FG∥EC；（2）若∠DAC＝30°，CD＝4，求四邊形EFGC的面積．【分析】（1）作FN∥AD交EC于N，根據(jù)翻折變換的性質(zhì)證明四邊形EFGC是平行四邊形，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)證明即可；（2）作FM⊥BC于M，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)和翻折變換的性質(zhì)分別求出△EFC的面積和△GFC的面積即可．【解答】（1）證明：作FN∥AD交EC于N，則FN∥BC，∠DEC＝∠ENF，由折疊的性質(zhì)可知，∠DEC＝∠FEN，F(xiàn)E＝DE，∴∠FEN＝∠FNE，∴FE＝FN，又CG＝DE，∴FN＝CG，又FN∥BC，∴四邊形NFGC是平行四邊形，∴FG∥EC；（2）作FM⊥BC于M，∵∠DAC＝30°，∴∠ACD＝60°，∴∠DCE＝∠FCE＝30°，又CD＝4，∴DE=4∴△EFC的面積＝△EDC的面積=12×∵∠ACB＝90°﹣∠ACD＝30°，∴FM=12∴△FGC的面積=12×∴四邊形EFGC的面積＝△EFC的面積+△GFC的面積＝43．【點(diǎn)評】本題考查的是翻折變換和平行四邊形的判定，掌握翻折變換是一種對稱變換，它屬于軸對稱，折疊前后圖形的形狀和大小不變，位置變化，對應(yīng)邊和對應(yīng)角相等是解題的關(guān)鍵．7．如圖所示，正方形ABCD的邊長為2，⊙O的直徑為AD．將正方形沿EC折疊，點(diǎn)B落在⊙O上F點(diǎn)．（1）求證：E，F(xiàn)，O三點(diǎn)共線；（2）求線段BE及AF的長．【分析】（1）連接CF、BF，證明△OFC≌△ODC，得到∠OFC＝90°，根據(jù)平角的概念證明結(jié)論；（2）設(shè)BE＝x，根據(jù)勾股定理列出方程，解方程得到BE的長；證明△AFD∽△ODC，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到比例式求出AF的長．【解答】解：（1）連接CF、BF，由題意得，∠EFC＝∠ABC＝90°，∵CF＝CB，CB＝CD，∴CF＝CD，在△OFC和△ODC中，OF=ODCF=CD∴△OFC≌△ODC，∴∠OFC＝∠ADC＝90°，∴∠EF0＝180°，∴E，F(xiàn)，O三點(diǎn)共線；（2）設(shè)BE＝x，則EF＝x，AE＝2﹣x，∵AE2+OA2＝OE2，∴（2﹣x）2+1＝（x+1）2，解得，x=23，即BE連接AF、DF，OC=C∵AD為⊙O的直徑，∴∠AFD＝90°，又∠ODC＝90°，∴△AFD∽△ODC，∴AFOD=AD解得AF=2【點(diǎn)評】本題考查的是翻折變換的性質(zhì)、正方形的性質(zhì)和相似三角形的判定和性質(zhì)，掌握折疊前后圖形的形狀和大小不變，位置變化，對應(yīng)邊和對應(yīng)角相等是解題的關(guān)鍵．8．如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，邊AB的垂直平分線交BC于點(diǎn)D，垂足為E，AD平分∠BAC．（1）求∠B的度數(shù)；（2）求證：CD=13（3）若AC＝2，點(diǎn)P是直線AD上的動點(diǎn)，求|PB﹣PC|的最大值．【分析】（1）根據(jù)線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)的距離相等可得AD＝BD，根據(jù)等邊對等角可得∠BAD＝∠B，然后利用直角三角形兩銳角互余列式求出∠CAD＝∠BAD＝∠B＝30°；（2）根據(jù)直角三角形30°角所對的直角邊等于斜邊的一半可得AD＝2CD，根據(jù)AD＝BD，從而得出BD＝2CD，得出BC＝BD+CD＝3CD，即可證得CD=13（3）作C點(diǎn)關(guān)于直線AD的對稱點(diǎn)C′，作直線BC′交AD于P，此時(shí)|PB﹣PC|的值最大，最大值為AC的長．【解答】解：（1）∵DE是AB的垂直平分線，∴AD＝BD，∴∠BAD＝∠B，∵AD平分∠BAC，∴∠CAD＝∠BAD，∵∠C＝90°，∴∠B+2∠B＝90°，∴∠B＝30°．（2）∵∠CAD＝∠BAD＝∠B＝30°，∴AD＝2CD，∵AD＝BD，∴BD＝2CD，∴BC＝BD+CD＝3CD，∴CD=13（3）作C點(diǎn)關(guān)于直線AD的對稱點(diǎn)C′，∵AD平分∠BAC．∴C′在直線AB上，連接BC′的直線就是AB，∴P點(diǎn)就是A點(diǎn)，此時(shí)|PB﹣PC|的最大值為AC′，∵AC＝AC′，∴|PB﹣PC|的最大值＝2．【點(diǎn)評】本題考查了線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)的距離相等的性質(zhì)，角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等的性質(zhì)，等邊對等角的性質(zhì)，軸對稱的性質(zhì)以及三角形的內(nèi)角和定理，熟記各性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．9．如圖，在長方形紙片ABCD中，AB＝12，BC＝18，將紙片折疊壓平，使點(diǎn)C與點(diǎn)A重合，折痕為EF．（1）求證：AF＝AE．（2）求線段AF的長．【分析】（1）由折疊的性質(zhì)可得AE＝CE，∠CEF＝∠AEF，由矩形的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)可得∠AFE＝∠FEC＝∠CEF，可得結(jié)論；（2）由勾股定理可求AE的長，即可求解．【解答】證明：（1）由折疊的性質(zhì)可得AE＝CE，∠CEF＝∠AEF，∵四邊形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠AFE＝∠FEC，∴∠AFE＝∠AEF，∴AF＝AE；（2）∵AE2＝AB2+BE2，∴AE2＝144+（18﹣AE）2，∴AE＝13，∴AF＝AE＝13．【點(diǎn)評】本題考查了翻折變換的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，勾股定理，銳角三角函數(shù)的定義，全等三角形的判定與性質(zhì)，熟記各性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．10．如圖，把長方形紙片ABCD沿EF折疊后，使得點(diǎn)D與點(diǎn)B重合，點(diǎn)C落在點(diǎn)C'的位置上．（1）若∠1＝50°，求∠2，∠3的度數(shù)；（2）若AB＝4，AD＝8，求AE的長度．【分析】（1）由矩形的性質(zhì)及平行線的性質(zhì)可得出答案；（2）設(shè)AE＝x，則DE＝8﹣x，由勾股定理得出x2+42＝（8﹣x）2，解方程即可得出答案．【解答】解：（1）∵四邊形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠1＝∠2＝50°．又∠2＝∠BEF，∴∠3＝180°﹣50°﹣50°＝80°；（2）設(shè)AE＝x，則DE＝8﹣x，由翻折得：BE＝DE＝8﹣x，在Rt△AEB中，AE2+AB2＝BE2，∴x2+42＝（8﹣x）2，∴x＝3，∴AE＝3．【點(diǎn)評】本題考查了矩形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，勾股定理，平行線的性質(zhì)，熟練掌握折疊的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．11．如圖，將長方形ABCD沿著對角線BD折疊，使點(diǎn)C落在C'處，BC'交AD于點(diǎn)E．AB＝4，AD＝8．（1）試判斷△BDE的形狀，并說明理由；（2）求DE的長．（3）求△BDE的面積．【分析】（1）由折疊可知，∠CBD＝∠EBD，再由AD∥BC，得到∠CBD＝∠EDB，即可得到∠EBD＝∠EDB，于是得到BE＝DE，等腰三角形即可證明；（2）設(shè)DE＝x，則BE＝x，AE＝8﹣x，在Rt△ABE中，由勾股定理求出x的值，則可得出答案；（3）由三角形的面積公式求出面積的值．【解答】解：（1）△BDE是等腰三角形．理由：由折疊可知，∠CBD＝∠EBD，∵AD∥BC，∴∠CBD＝∠EDB，∴∠EBD＝∠EDB，∴BE＝DE，即△BDE是等腰三角形；（2）設(shè)DE＝x，則BE＝x，AE＝8﹣x，在Rt△ABE中，由勾股定理得：AB2+AE2＝BE2即42+（8﹣x）2＝x2，解得：x＝5，∴DE＝5；（3）∵DE＝5，AB＝4，∴S△BDE=12DE×AB【點(diǎn)評】本題主要考查翻折變換的知識點(diǎn)，解答本題的關(guān)鍵是熟練掌握等腰三角形的判定與勾股定理的知識．12．如圖，直線a∥b，點(diǎn)A，點(diǎn)D在直線b上，射線AB交直線a于點(diǎn)B，CD⊥a于點(diǎn)C，交射線AB于點(diǎn)E，AB＝12cm，AE：BE＝1：2，P為射