題型27 5類概率統(tǒng)計(jì)大題綜合解題技巧(分布列與數(shù)字特征、二項(xiàng)分布、超幾何及正態(tài)分布、統(tǒng)計(jì)案例綜合、概率與數(shù)列、概率與導(dǎo)數(shù)綜合)(原卷版)

高中數(shù)學(xué)精編資源2/2題型275類概率統(tǒng)計(jì)大題綜合解題技巧（分布列與數(shù)字特征、二項(xiàng)分布、超幾何及正態(tài)分布、統(tǒng)計(jì)案例綜合、概率與數(shù)列、概率與導(dǎo)數(shù)綜合）技法技法01分布列與數(shù)字特征應(yīng)用及解題技巧技法02二項(xiàng)分布、超幾何及正態(tài)分布的應(yīng)用及解題技巧技法03統(tǒng)計(jì)案例綜合的應(yīng)用及解題技巧技法04概率與數(shù)列的應(yīng)用及解題技巧技法05概率與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用及解題技巧技法01分布列與數(shù)字特征應(yīng)用及解題技巧分布列與數(shù)字特征分布列與數(shù)字特征是新高考卷的常考內(nèi)容，難度中等，常在大題中考查，需重點(diǎn)復(fù)習(xí).知識(shí)遷移1．離散型隨機(jī)變量的分布列及性質(zhì)(1)一般地，若離散型隨機(jī)變量X可能取的不同值為x1，x2，…，xi，…，xn，X取每一個(gè)值xi(i＝1,2，…，n)的概率P(X＝xi)＝pi，則表Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pn稱為離散型隨機(jī)變量X的概率分布列．(2)離散型隨機(jī)變量的分布列的性質(zhì)：①pi≥0(i＝1,2，…，n)；②p1＋p2＋…＋pn＝1.2．離散型隨機(jī)變量均值(1)一般地，若離散型隨機(jī)變量X的分布列為：Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pn則稱E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn為隨機(jī)變量X的均值或數(shù)學(xué)期望，它反映了離散型隨機(jī)變量取值的平均水平．(2)若Y＝aX＋b，其中a，b為常數(shù)，則Y也是隨機(jī)變量，且E(aX＋b)＝aE(X)＋b.(3)①若X服從兩點(diǎn)分布，則E(X)＝p；②若X～B(n，p)，則E(X)＝np.3．離散型隨機(jī)變量方差(1)設(shè)離散型隨機(jī)變量X的分布列為Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pn則(xi－E(X))2描述了xi(i＝1,2，…，n)相對(duì)于均值E(X)的偏離程度．而D(X)＝eq\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))(xi－E(X))2pi為這些偏離程度的加權(quán)平均，刻畫了隨機(jī)變量X與其均值E(X)的平均偏離程度，稱D(X)為隨機(jī)變量X的方差，并稱其算術(shù)平方根eq\r(DX)為隨機(jī)變量X的標(biāo)準(zhǔn)差．(2)D(aX＋b)＝a2D(X)．(3)若X服從兩點(diǎn)分布，則D(X)＝p(1－p)．(4)若X～B(n，p)，則D(X)＝np(1－p)．例1-1．（2023·全國·高三專題練習(xí)）某企業(yè)有甲、乙兩個(gè)研發(fā)小組，甲組研究新產(chǎn)品成功的概率為，乙組研究新產(chǎn)品成功的概率為，現(xiàn)安排甲組研發(fā)新產(chǎn)品，乙組研發(fā)新產(chǎn)品，設(shè)甲、乙兩組的研發(fā)相互獨(dú)立．(1)求恰好有一種新產(chǎn)品研發(fā)成功的概率；(2)若新產(chǎn)品研發(fā)成功，預(yù)計(jì)企業(yè)可獲得利潤120萬元，不成功則會(huì)虧損50萬元；若新產(chǎn)品研發(fā)成功，企業(yè)可獲得利潤100萬元，不成功則會(huì)虧損40萬元，求該企業(yè)獲利萬元的分布列．（1）因?yàn)榧住⒁覂蓚€(gè)研發(fā)小組研究新產(chǎn)品成功的概率分別為為和，且相互獨(dú)立，所以，恰好有一種新產(chǎn)品研發(fā)成功的概率；（2）根據(jù)題意，的可能取值有.，所以分布列為：例1-2．（2021·全國·統(tǒng)考高考真題）某學(xué)校組織“一帶一路”知識(shí)競賽，有A，B兩類問題，每位參加比賽的同學(xué)先在兩類問題中選擇一類并從中隨機(jī)抽取一個(gè)問題回答，若回答錯(cuò)誤則該同學(xué)比賽結(jié)束；若回答正確則從另一類問題中再隨機(jī)抽取一個(gè)問題回答，無論回答正確與否，該同學(xué)比賽結(jié)束.A類問題中的每個(gè)問題回答正確得20分，否則得0分；B類問題中的每個(gè)問題回答正確得80分，否則得0分，已知小明能正確回答A類問題的概率為0.8，能正確回答B(yǎng)類問題的概率為0.6，且能正確回答問題的概率與回答次序無關(guān).（1）若小明先回答A類問題，記為小明的累計(jì)得分，求的分布列；（2）為使累計(jì)得分的期望最大，小明應(yīng)選擇先回答哪類問題？并說明理由.（1）由題可知，的所有可能取值為，，．；；．所以的分布列為（2）由（1）知，．若小明先回答問題，記為小明的累計(jì)得分，則的所有可能取值為，，．；；．所以．因?yàn)?，所以小明?yīng)選擇先回答類問題．1．（2023·河北保定·統(tǒng)考二模）某學(xué)校為了提高學(xué)生的運(yùn)動(dòng)興趣，增強(qiáng)學(xué)生身體素質(zhì)，該校每年都要進(jìn)行各年級(jí)之間的球類大賽，其中乒乓球大賽在每年“五一”之后舉行，乒乓球大賽的比賽規(guī)則如下：高中三個(gè)年級(jí)之間進(jìn)行單循環(huán)比賽，每個(gè)年級(jí)各派5名同學(xué)按順序比賽（賽前已確定好每場的對(duì)陣同學(xué)），比賽時(shí)一個(gè)年級(jí)領(lǐng)先另一個(gè)年級(jí)兩場就算勝利（即每兩個(gè)年級(jí)的比賽不一定打滿5場），若兩個(gè)年級(jí)之間打成則第5場比賽定勝負(fù)．已知高三每位隊(duì)員戰(zhàn)勝高二相應(yīng)對(duì)手的可能性均為，高三每位隊(duì)員戰(zhàn)勝高一相應(yīng)對(duì)手的可能性均為，高二每位隊(duì)員戰(zhàn)勝高一相應(yīng)對(duì)手的可能性均為，且隊(duì)員、年級(jí)之間的勝負(fù)相互獨(dú)立．(1)求高二年級(jí)與高一年級(jí)比賽時(shí)，高二年級(jí)與高一年級(jí)在前兩場打平的條件下，最終戰(zhàn)勝高一年級(jí)的概率．(2)若獲勝年級(jí)積3分，被打敗年級(jí)積0分，求高三年級(jí)獲得積分的分布列和期望．2．（2022·北京·統(tǒng)考高考真題）在校運(yùn)動(dòng)會(huì)上，只有甲、乙、丙三名同學(xué)參加鉛球比賽，比賽成績達(dá)到以上（含）的同學(xué)將獲得優(yōu)秀獎(jiǎng)．為預(yù)測(cè)獲得優(yōu)秀獎(jiǎng)的人數(shù)及冠軍得主，收集了甲、乙、丙以往的比賽成績，并整理得到如下數(shù)據(jù)（單位：m）：甲：9.80，9.70，9.55，9.54，9.48，9.42，9.40，9.35，9.30，9.25；乙：9.78，9.56，9.51，9.36，9.32，9.23；丙：9.85，9.65，9.20，9.16．假設(shè)用頻率估計(jì)概率，且甲、乙、丙的比賽成績相互獨(dú)立．(1)估計(jì)甲在校運(yùn)動(dòng)會(huì)鉛球比賽中獲得優(yōu)秀獎(jiǎng)的概率；(2)設(shè)X是甲、乙、丙在校運(yùn)動(dòng)會(huì)鉛球比賽中獲得優(yōu)秀獎(jiǎng)的總?cè)藬?shù)，估計(jì)X的數(shù)學(xué)期望E（X）；(3)在校運(yùn)動(dòng)會(huì)鉛球比賽中，甲、乙、丙誰獲得冠軍的概率估計(jì)值最大？（結(jié)論不要求證明）3．（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）甲、乙兩個(gè)學(xué)校進(jìn)行體育比賽，比賽共設(shè)三個(gè)項(xiàng)目，每個(gè)項(xiàng)目勝方得10分，負(fù)方得0分，沒有平局．三個(gè)項(xiàng)目比賽結(jié)束后，總得分高的學(xué)校獲得冠軍．已知甲學(xué)校在三個(gè)項(xiàng)目中獲勝的概率分別為0.5，0.4，0.8，各項(xiàng)目的比賽結(jié)果相互獨(dú)立．(1)求甲學(xué)校獲得冠軍的概率；(2)用X表示乙學(xué)校的總得分，求X的分布列與期望．4．（2023·江蘇南京·南京市第一中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）為了宣傳航空科普知識(shí)，某校組織了航空知識(shí)競賽活動(dòng)．活動(dòng)規(guī)定初賽需要從8道備選題中隨機(jī)抽取4道題目進(jìn)行作答．假設(shè)在8道備選題中，小明正確完成每道題的概率都是且每道題正確完成與否互不影響，小宇能正確完成其中6道題且另外2道題不能完成．(1)求小明至少正確完成其中3道題的概率；(2)設(shè)隨機(jī)變量X表示小宇正確完成題目的個(gè)數(shù)，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望；(3)現(xiàn)規(guī)定至少完成其中3道題才能進(jìn)入決賽，請(qǐng)你根據(jù)所學(xué)概率知識(shí)，判斷小明和小宇兩人中選擇誰去參加市級(jí)比賽（活動(dòng)規(guī)則不變）會(huì)更好，并說明理由．技法02二項(xiàng)分布、超幾何及正態(tài)分布的應(yīng)用及解題技巧二項(xiàng)分布、超幾何及正態(tài)分布二項(xiàng)分布、超幾何及正態(tài)分布是新高考卷的常考內(nèi)容，難度中等，常在大題中考查，需重點(diǎn)復(fù)習(xí).知識(shí)遷移兩點(diǎn)分布X01P1－pp這樣的分布列叫做兩點(diǎn)分布列．如果隨機(jī)變量X的分布列為兩點(diǎn)分布列，就稱X服從兩點(diǎn)分布，而稱p＝P(X＝1)為成功概率．超幾何分布列一般地，在含有M件次品的N件產(chǎn)品中，任取n件，其中恰有X件次品，則事件{X＝k}發(fā)生的概率為P(X＝k)＝eq\f(C\o\al(k,M)C\o\al(n－k,N－M),C\o\al(n,N))，k＝0,1,2，…，m，其中m＝min{M，n}，且n≤N，M≤N，n，M，N∈N*，稱分布列為超幾何分布列．如果隨機(jī)變量X的分布列為超幾何分布列，則稱隨機(jī)變量X服從超幾何分布.X01…mPeq\f(C\o\al(0,M)C\o\al(n－0,N－M),C\o\al(n,N))eq\f(C\o\al(1,M)C\o\al(n－1,N－M),C\o\al(n,N))…eq\f(C\o\al(m,M)C\o\al(n－m,N－M),C\o\al(n,N))正態(tài)分布正態(tài)曲線的特點(diǎn)(1)曲線位于x軸上方，與x軸不相交；(2)曲線是單峰的，它關(guān)于直線x＝μ對(duì)稱；(3)曲線在x＝μ處達(dá)到峰值eq\f(1,σ\r(2π))；(4)曲線與x軸之間的面積為1；(5)當(dāng)σ一定時(shí)，曲線的位置由μ確定，曲線隨著μ的變化而沿x軸平移；(6)當(dāng)μ一定時(shí)，曲線的形狀由σ確定，σ越小，曲線越“瘦高”，表示總體的分布越集中；σ越大，曲線越“矮胖”，表示總體的分布越分散．正態(tài)分布的三個(gè)常用數(shù)據(jù)(1)P(μ－σ<X≤μ＋σ)＝0．6826；(2)P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)＝0．9544；(3)P(μ－3σ<X≤μ＋3σ)＝0．9974.例2-1．（2024·全國·模擬預(yù)測(cè)）某地文旅部門為了增強(qiáng)游客對(duì)本地旅游景區(qū)的了解，提高旅游景區(qū)的知名度和吸引力，促進(jìn)旅游業(yè)的發(fā)展，在2023年中秋國慶雙節(jié)之際舉辦“十佳旅游景區(qū)”評(píng)選活動(dòng)，在堅(jiān)持“公平、公正公開”的前提下，經(jīng)過景區(qū)介紹、景區(qū)參觀、評(píng)選投票、結(jié)果發(fā)布、頒發(fā)獎(jiǎng)牌等環(huán)節(jié)，當(dāng)?shù)氐?個(gè)“自然景觀類景區(qū)”和4個(gè)“人文景觀類景區(qū)”榮獲“十佳旅游景區(qū)”的稱號(hào)．評(píng)選活動(dòng)結(jié)束后，文旅部門為了進(jìn)一步提升“十佳旅游景區(qū)”的影響力和美譽(yù)度，擬從這10個(gè)景區(qū)中選取部分景區(qū)進(jìn)行重點(diǎn)推介.(1)若文旅部門從這10個(gè)景區(qū)中先隨機(jī)選取1個(gè)景區(qū)面向本地的大學(xué)生群體進(jìn)行重點(diǎn)推介、再選取另一個(gè)景區(qū)面向本地的中學(xué)生群體進(jìn)行重點(diǎn)推介，記面向大學(xué)生群體重點(diǎn)推介的景區(qū)是“自然景觀類景區(qū)”為事件A，面向中學(xué)生群體重點(diǎn)推介的景區(qū)是“人文景觀類景區(qū)”為事件B，求，；(2)現(xiàn)需要從“十佳旅游景區(qū)”中選4個(gè)景區(qū)，且每次選1個(gè)景區(qū)（可以重復(fù)），分別向北京、上海、廣州、深圳這四個(gè)一線城市進(jìn)行重點(diǎn)推介，記選取的景區(qū)中“人文景觀類景區(qū)”的個(gè)數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望．【詳解】（1）由古典概型的計(jì)算公式可得，，，由條件概率的計(jì)算公式得：，同理，則．（2）由題意知的所有可能取值為0，1，2，3，4，且，；；；；．所以X的分布列為01234的數(shù)學(xué)期望．例2-2．（2023·內(nèi)蒙古呼和浩特·統(tǒng)考二模）文化月活動(dòng)中，某班級(jí)在宣傳欄貼出標(biāo)語“學(xué)好數(shù)學(xué)好”，可以不同斷句產(chǎn)生不同意思，“學(xué)/好數(shù)學(xué)/好”指要學(xué)好的數(shù)學(xué)，“學(xué)好/數(shù)學(xué)/好”強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要性，假設(shè)一段時(shí)間后，隨機(jī)有個(gè)字脫落．(1)若，用隨機(jī)變量表示脫落的字中“學(xué)”的個(gè)數(shù)，求隨機(jī)變量的分布列及期望；(2)若，假設(shè)某同學(xué)檢起后隨機(jī)貼回，求標(biāo)語恢復(fù)原樣的概率．【詳解】（1）方法一：隨機(jī)變量X的可能取值為0，1，2，，，，隨機(jī)變量X的分布列如下表：X012P隨機(jī)變量X的期望為法二：隨機(jī)變量X服從超幾何分布，所以.（2）設(shè)脫落一個(gè)“學(xué)”為事件，脫落一個(gè)“好”為事件，脫落一個(gè)“數(shù)”為事件，事件為脫落兩個(gè)字，，，，，，所以某同學(xué)撿起后隨機(jī)貼回，標(biāo)語恢復(fù)原樣的概率為，法二：掉下的兩個(gè)字不同的概率為，所以標(biāo)語恢復(fù)原樣的概率為．例2-3．（2023·陜西咸陽·?？寄M預(yù)測(cè)）2015年5月，國務(wù)院印發(fā)《中國制造》，是我國由制造業(yè)大國轉(zhuǎn)向制造業(yè)強(qiáng)國戰(zhàn)略的行動(dòng)綱領(lǐng).經(jīng)過多年的發(fā)展，我國制造業(yè)的水平有了很大的提高，出現(xiàn)了一批在國際上有影響的制造企業(yè).我國的造船業(yè)?光伏產(chǎn)業(yè)?5G等已經(jīng)在國際上處于領(lǐng)先地位，我國的精密制造也有了長足發(fā)展.已知某精密設(shè)備制造企業(yè)生產(chǎn)某種零件，根據(jù)長期檢測(cè)結(jié)果，得知生產(chǎn)該零件的生產(chǎn)線的產(chǎn)品質(zhì)量指標(biāo)值服從正態(tài)分布，且質(zhì)量指標(biāo)值在內(nèi)的零件稱為優(yōu)等品.(1)求該企業(yè)生產(chǎn)的零件為優(yōu)等品的概率（結(jié)果精確到0.01）；(2)從該生產(chǎn)線生產(chǎn)的零件中隨機(jī)抽取5件，隨機(jī)變量表示抽取的5件中優(yōu)等品的個(gè)數(shù)，求的分布列?數(shù)學(xué)期望和方差.附：0.9973.【詳解】（1）因?yàn)楫a(chǎn)品質(zhì)量指標(biāo)值，則，所以優(yōu)等品的概率，所以該企業(yè)生產(chǎn)零件為優(yōu)等品的概率約為0.82.（2）由（1）知產(chǎn)品為優(yōu)等品的概率為0.82，由題意知，隨機(jī)變量的取值為：0，1，2，3，4，5；故的分布列為，即012345所以.1．（2023·全國·模擬預(yù)測(cè)）為慶祝中國共產(chǎn)黨成立周年，某市開展了黨史知識(shí)競賽活動(dòng)，競賽結(jié)束后，為了解本次競賽的成績情況，從所有參賽學(xué)生中隨機(jī)抽取了名學(xué)生的競賽成績作為樣本，數(shù)據(jù)整理后，統(tǒng)計(jì)結(jié)果如表所示．成績區(qū)間頻數(shù)假設(shè)用樣本頻率估計(jì)總體概率，且每個(gè)學(xué)生的競賽成績相互獨(dú)立．(1)為了激勵(lì)學(xué)生學(xué)習(xí)黨史的熱情，決定對(duì)競賽成績優(yōu)異的學(xué)生進(jìn)行表彰，如果獲得表彰的學(xué)生占樣本總?cè)藬?shù)的，試估計(jì)獲獎(jiǎng)分?jǐn)?shù)線；(2)該市決定從全市成績不低于分的學(xué)生中隨機(jī)抽取人參加省級(jí)黨史知識(shí)競賽，成績?cè)诘娜藬?shù)為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望．2．（2023·四川宜賓·統(tǒng)考一模）自1996年起，我國確定每年3月份最后一周的星期一為全國中小學(xué)生“安全教育日”.我國設(shè)立這一制度是為全面深入地推動(dòng)中小學(xué)生安全教育工作，大力降低各類傷亡事故的發(fā)生率，切實(shí)做好中小學(xué)生的安全保護(hù)工作，促進(jìn)他們健康成長.為了迎接“安全教育日”，某市將組織中學(xué)生進(jìn)行一次安全知識(shí)有獎(jiǎng)競賽，競賽獎(jiǎng)勵(lì)規(guī)則如下，得分在內(nèi)的學(xué)生獲三等獎(jiǎng)，得分在內(nèi)的學(xué)生獲二等獎(jiǎng)，得分在內(nèi)的學(xué)生獲一等獎(jiǎng)，其他學(xué)生不獲獎(jiǎng).為了解學(xué)生對(duì)相關(guān)知識(shí)的掌握情況，隨機(jī)抽取100名學(xué)生的競賽成績，統(tǒng)計(jì)如下：成績（分）.頻數(shù)6121824181210(1)若現(xiàn)從該樣本中隨機(jī)抽取兩名學(xué)生的競賽成績，求這兩名學(xué)生中恰有一名學(xué)生獲一等獎(jiǎng)的概率；(2)若該市所有參賽學(xué)生的成績X近似服從正態(tài)分布，利用所得正態(tài)分布模型解決以下問題：（i）若該市共有10000名學(xué)生參加了競賽，試估計(jì)參賽學(xué)生中成績超過85分的學(xué)生數(shù)（結(jié)果四舍五入到整數(shù)）；（ii）若從所有參賽學(xué)生中（參賽學(xué)生數(shù)大于100000）隨機(jī)抽取4名學(xué)生進(jìn)行訪談，設(shè)其中競賽成績?cè)?5分以上的學(xué)生數(shù)為Y，求隨機(jī)變量Y的分布列及數(shù)學(xué)期望.附參考數(shù)據(jù)：若隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布，則：3．（2023·吉林長春·統(tǒng)考一模）樹人中學(xué)某班同學(xué)看到有關(guān)產(chǎn)品抽檢的資料后，自己設(shè)計(jì)了一個(gè)模擬抽檢方案的摸球?qū)嶒?yàn)．在一個(gè)不透明的箱子中放入10個(gè)小球代表從一批產(chǎn)品中抽取出的樣本（小球除顏色外均相同），其中有個(gè)紅球（，），代表合格品，其余為黑球，代表不合格品，從箱中逐一摸出個(gè)小球，方案一為不放回摸取，方案二為放回后再摸下一個(gè)，規(guī)定：若摸出的個(gè)小球中有黑色球，則該批產(chǎn)品未通過抽檢．(1)若采用方案一，，，求該批產(chǎn)品未通過抽檢的概率；(2)（?。┤?，試比較方案一和方案二，哪個(gè)方案使得該批產(chǎn)品通過抽檢的概率大？并判斷通過抽檢的概率能否大于？并說明理由．（ⅱ）若，，現(xiàn)采用（?。┲懈怕首畲蟮姆桨福O(shè)在一次實(shí)驗(yàn)中抽得的紅球?yàn)閭€(gè)，求的分布列及數(shù)學(xué)期望．4．（2023·全國·模擬預(yù)測(cè)）大氣污染是指大氣中污染物質(zhì)的濃度達(dá)到有害程度，以至破壞生態(tài)系統(tǒng)和人類正常生存和發(fā)展的條件，對(duì)人和物造成危害的現(xiàn)象．某環(huán)境保護(hù)社團(tuán)組織“大氣污染的危害以及防治措施”講座，并在講座后對(duì)參會(huì)人員就講座內(nèi)容進(jìn)行知識(shí)測(cè)試，從中隨機(jī)抽取了100份試卷，將這100份試卷的成績（單位：分，滿分100分）整理得如下頻率分布直方圖（同一組中的數(shù)據(jù)以該組區(qū)間的中點(diǎn)值為代表）．

(1)根據(jù)頻率分布直方圖確定的值，再求出這100份樣本試卷成績的眾數(shù)和75%分位數(shù)（精確到0.1）；(2)根據(jù)頻率分布直方圖可認(rèn)為此次測(cè)試的成績近似服從正態(tài)分布，其中近似為樣本平均數(shù)，近似為樣本的標(biāo)準(zhǔn)差，約為6.75．用樣本估計(jì)總體，假設(shè)有84.14%的參會(huì)人員的測(cè)試成績不低于測(cè)試前預(yù)估的平均成績，求測(cè)試前預(yù)估的平均成績大約為多少分（精確到0.1）?參考數(shù)據(jù)：若，則，，．5．（2023·全國·統(tǒng)考高考真題）一項(xiàng)試驗(yàn)旨在研究臭氧效應(yīng).實(shí)驗(yàn)方案如下：選40只小白鼠，隨機(jī)地將其中20只分配到實(shí)驗(yàn)組，另外20只分配到對(duì)照組，實(shí)驗(yàn)組的小白鼠飼養(yǎng)在高濃度臭氧環(huán)境，對(duì)照組的小白鼠飼養(yǎng)在正常環(huán)境，一段時(shí)間后統(tǒng)計(jì)每只小白鼠體重的增加量（單位：g）.(1)設(shè)表示指定的兩只小白鼠中分配到對(duì)照組的只數(shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；(2)實(shí)驗(yàn)結(jié)果如下：對(duì)照組的小白鼠體重的增加量從小到大排序?yàn)椋?5.2

18.8

20.2

21.3

22.5

23.2

25.8

26.5

27.5

30.132.6

34.3

34.8

35.6

35.6

35.8

36.2

37.3

40.5

43.2實(shí)驗(yàn)組的小白鼠體重的增加量從小到大排序?yàn)椋?.8

9.2

11.4

12.4

13.2

15.5

16.5

18.0

18.8

19.219.8

20.2

21.6

22.8

23.6

23.9

25.1

28.2

32.3

36.5（i）求40只小鼠體重的增加量的中位數(shù)m，再分別統(tǒng)計(jì)兩樣本中小于m與不小于的數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)，完成如下列聯(lián)表：對(duì)照組實(shí)驗(yàn)組（ii）根據(jù)（i）中的列聯(lián)表，能否有95%的把握認(rèn)為小白鼠在高濃度臭氧環(huán)境中與正常環(huán)境中體重的增加量有差異．附：0.1000.0500.0102.7063.8416.635技法03統(tǒng)計(jì)案例綜合的應(yīng)用及解題技巧統(tǒng)計(jì)案例綜合統(tǒng)計(jì)案例綜合是新高考卷的常考內(nèi)容，難度中等，常在大題中考查，需重點(diǎn)復(fù)習(xí).例3-1．（2023·全國·統(tǒng)考高考真題）一項(xiàng)試驗(yàn)旨在研究臭氧效應(yīng).實(shí)驗(yàn)方案如下：選40只小白鼠，隨機(jī)地將其中20只分配到實(shí)驗(yàn)組，另外20只分配到對(duì)照組，實(shí)驗(yàn)組的小白鼠飼養(yǎng)在高濃度臭氧環(huán)境，對(duì)照組的小白鼠飼養(yǎng)在正常環(huán)境，一段時(shí)間后統(tǒng)計(jì)每只小白鼠體重的增加量（單位：g）.(1)設(shè)表示指定的兩只小白鼠中分配到對(duì)照組的只數(shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；(2)實(shí)驗(yàn)結(jié)果如下：對(duì)照組的小白鼠體重的增加量從小到大排序?yàn)椋?5.2

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43.2實(shí)驗(yàn)組的小白鼠體重的增加量從小到大排序?yàn)椋?.8

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28.2

32.3

36.5（i）求40只小鼠體重的增加量的中位數(shù)m，再分別統(tǒng)計(jì)兩樣本中小于m與不小于的數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)，完成如下列聯(lián)表：對(duì)照組實(shí)驗(yàn)組（ii）根據(jù)（i）中的列聯(lián)表，能否有95%的把握認(rèn)為小白鼠在高濃度臭氧環(huán)境中與正常環(huán)境中體重的增加量有差異．附：0.1000.0500.0102.7063.8416.635【詳解】（1）依題意，的可能取值為，則，，，所以的分布列為：故.（2）（i）依題意，可知這40只小白鼠體重增量的中位數(shù)是將兩組數(shù)據(jù)合在一起，從小到大排后第20位與第21位數(shù)據(jù)的平均數(shù)，觀察數(shù)據(jù)可得第20位為，第21位數(shù)據(jù)為，所以，故列聯(lián)表為：合計(jì)對(duì)照組61420實(shí)驗(yàn)組14620合計(jì)202040（ii）由（i）可得，，所以能有的把握認(rèn)為小白鼠在高濃度臭氧環(huán)境中與正常環(huán)境中體重的增加量有差異.例3-2．（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）某地經(jīng)過多年的環(huán)境治理，已將荒山改造成了綠水青山．為估計(jì)一林區(qū)某種樹木的總材積量，隨機(jī)選取了10棵這種樹木，測(cè)量每棵樹的根部橫截面積（單位：）和材積量（單位：），得到如下數(shù)據(jù)：樣本號(hào)ｉ12345678910總和根部橫截面積0.040.060.040.080.080.050.050.070.070.060.6材積量0.250.400.220.540.510.340.360.460.420.403.9并計(jì)算得．(1)估計(jì)該林區(qū)這種樹木平均一棵的根部橫截面積與平均一棵的材積量；(2)求該林區(qū)這種樹木的根部橫截面積與材積量的樣本相關(guān)系數(shù)（精確到0.01）；(3)現(xiàn)測(cè)量了該林區(qū)所有這種樹木的根部橫截面積，并得到所有這種樹木的根部橫截面積總和為．已知樹木的材積量與其根部橫截面積近似成正比．利用以上數(shù)據(jù)給出該林區(qū)這種樹木的總材積量的估計(jì)值．附：相關(guān)系數(shù)．【詳解】（1）樣本中10棵這種樹木的根部橫截面積的平均值樣本中10棵這種樹木的材積量的平均值據(jù)此可估計(jì)該林區(qū)這種樹木平均一棵的根部橫截面積為，平均一棵的材積量為（2）則（3）設(shè)該林區(qū)這種樹木的總材積量的估計(jì)值為，又已知樹木的材積量與其根部橫截面積近似成正比，可得，解之得．則該林區(qū)這種樹木的總材積量估計(jì)為1．（2024·陜西西安·統(tǒng)考一模）某公司對(duì)其產(chǎn)品研發(fā)的年投資額（單位：百萬元）與其年銷售量（單位：千件）的數(shù)據(jù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，整理后得到如下統(tǒng)計(jì)表：x12345y1.523.5815(1)求變量和的樣本相關(guān)系數(shù)（精確到0.01），并推斷變量和的線性相關(guān)程度；（若，則線性相關(guān)性程度很強(qiáng)；若，則線性相關(guān)性程度一般，若，則線性相關(guān)性程度很弱．）(2)求年銷售量關(guān)于年投資額的回歸方程．并預(yù)測(cè)投資額為700萬元時(shí)的銷售量．（參考：）2．（2023·全國·模擬預(yù)測(cè)）為了落實(shí)發(fā)展新能源汽車的國家戰(zhàn)略，規(guī)范新能源汽車生產(chǎn)活動(dòng)，某新能源汽車品牌2019年到2023年年銷量（萬）如下表：其中2019~2023年對(duì)應(yīng)的年份代碼為1~5．年份代碼12345銷量（萬）49141825(1)判斷兩個(gè)變量是否線性相關(guān)，并用樣本相關(guān)系數(shù)加以說明（精確到0.01）；(2)（?。┘僭O(shè)變量與變量的對(duì)觀測(cè)數(shù)據(jù)為，，…，，兩個(gè)變量滿足一元線性回歸模型（隨機(jī)誤差），請(qǐng)寫出參數(shù)的最小二乘估計(jì)；（ⅱ）令變量，，則變量與變量滿足一元線性回歸模型，利用（?。┲薪Y(jié)論求關(guān)于的經(jīng)驗(yàn)回歸方程，并預(yù)測(cè)2025年該品牌新能源汽車的銷售量．附：樣本相關(guān)系數(shù)，，，，．3．（2024·全國·模擬預(yù)測(cè)）2023年11月，世界首屆人工智能峰會(huì)在英國舉行，我國因?yàn)樵谠擃I(lǐng)域取得的巨大成就受邀進(jìn)行大會(huì)發(fā)言.為了研究不同性別的學(xué)生對(duì)人工智能的了解情況，我市某著名高中進(jìn)行了一次抽樣調(diào)查，分別抽取男?女生各50人作為樣本.設(shè)事件“了解人工智能”，“學(xué)生為男生”，據(jù)統(tǒng)計(jì).(1)根據(jù)已知條件，填寫下列列聯(lián)表，是否有把握推斷該校學(xué)生對(duì)人工智能的了解情況與性別有關(guān)？了解人工智能不了解人工智能合計(jì)男生女生合計(jì)(2)①現(xiàn)從所抽取的女生中利用分層抽樣的方法抽取20人，再從這20人中隨機(jī)選取3人贈(zèng)送科普材料，求選取的3人中至少有2人了解人工智能的概率；②將頻率視為概率，從我市所有參與調(diào)查的學(xué)生中隨機(jī)抽取20人科普材料，記其中了解人工智能的人數(shù)為X，求隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望和方差.參考公式：.常用的小概率值和對(duì)應(yīng)的臨界值如下表：0.1500.1000.0500.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.8284．（2022·全國·模擬預(yù)測(cè)）中國職業(yè)籃球聯(lián)賽（CBA聯(lián)賽）分為常規(guī)賽和季后賽.由于新冠疫情關(guān)系，今年聯(lián)賽采用賽會(huì)制：所有球隊(duì)集中在同一個(gè)地方比賽，分兩個(gè)階段進(jìn)行，每個(gè)階段采用循環(huán)賽，分主場比賽和客場比賽，積分排名前8的球隊(duì)進(jìn)入季后賽.季后賽的總決賽采用五場三勝制（“五場三勝制”是指在五場比賽中先勝三場者獲得比賽勝利，勝者成為本賽季的總冠軍）.下表是隊(duì)在常規(guī)賽60場比賽中的比賽結(jié)果記錄表.階段比賽場數(shù)主場場數(shù)獲勝場數(shù)主場獲勝場數(shù)第一階段30152010第二階段30152515(1)根據(jù)表中信息，填寫下列列聯(lián)表，并判斷是否有的把握認(rèn)為比賽的“主客場”與“勝負(fù)”之間有關(guān)？隊(duì)勝隊(duì)負(fù)合計(jì)主場客場合計(jì)60(2)已知隊(duì)與B隊(duì)在季后賽的總決賽中相遇，假設(shè)每場比賽結(jié)果相互獨(dú)立，隊(duì)除第五場比賽獲勝的概率為外，其他場次比賽獲勝的概率為.記為隊(duì)在總決賽中獲勝的場數(shù).求的分布列與數(shù)學(xué)期望.附：，其中.0.1000.0500.0252.7063.8415.024技法04概率與數(shù)列的應(yīng)用及解題技巧概率與數(shù)列的綜合概率與數(shù)列的綜合是新高考卷的新命題內(nèi)容，難度中等偏難，常在大題中考查，需重點(diǎn)復(fù)習(xí).例4．（2024·山東濟(jì)南·山東省實(shí)驗(yàn)中學(xué)校考一模）一只LED燈能閃爍紅、黃、藍(lán)三種顏色的光，受智能程序控制每隔1秒閃一次光，相鄰兩次閃光的顏色不相同.若某次閃紅光，則下次有的概率閃黃光；若某次閃黃光，則下次有的概率閃藍(lán)光；若某次閃藍(lán)光，則下次有的概率閃紅光.已知第1次閃光為紅光.(1)求第4次閃光為紅光的概率；(2)求第次閃光為紅光的概率.【詳解】（1）由題意，前4次閃光的順序?yàn)椤凹t黃藍(lán)紅”或“紅藍(lán)黃紅”，所以.（2）設(shè)事件表示“第n次閃光為紅光”，事件表示“第n次閃光為黃光”，事件表示“第n次閃光為藍(lán)光”，且，，則，由題意知，當(dāng)時(shí)，，即，整理得，所以，所以是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，所以，故，即第次閃紅光的概率為.1．（2024·廣東中山·中山一中?？家荒＃┚W(wǎng)球運(yùn)動(dòng)是一項(xiàng)激烈且耗時(shí)的運(yùn)動(dòng)，對(duì)于力量的消耗是很大的，這就需要網(wǎng)球運(yùn)動(dòng)員提高自己的耐力．耐力訓(xùn)練分為無氧和有氧兩種訓(xùn)練方式．某網(wǎng)球俱樂部的運(yùn)動(dòng)員在某賽事前展開了一輪為期90天的封閉集訓(xùn)，在封閉集訓(xùn)期間每名運(yùn)動(dòng)員每天選擇一種方式進(jìn)行耐力訓(xùn)練．由訓(xùn)練計(jì)劃知，在封閉集訓(xùn)期間，若運(yùn)動(dòng)員第天進(jìn)行有氧訓(xùn)練，則第天進(jìn)行有氧訓(xùn)練的概率為，第天進(jìn)行無氧訓(xùn)練的概率為；若運(yùn)動(dòng)員第天進(jìn)行無氧訓(xùn)練，則第天進(jìn)行有氧訓(xùn)練的概率為，第天進(jìn)行無氧訓(xùn)練的概率為．若運(yùn)動(dòng)員封閉集訓(xùn)的第1天進(jìn)行有氧訓(xùn)練與無氧訓(xùn)練的概率相等．(1)封閉集訓(xùn)期間，記3名運(yùn)動(dòng)員中第2天進(jìn)行有氧訓(xùn)練的人數(shù)為，求的分布列與數(shù)學(xué)期望；(2)封閉集訓(xùn)期間，記某運(yùn)動(dòng)員第天進(jìn)行有氧訓(xùn)練的概率為，求．2．（2024上·河北邢臺(tái)·高三統(tǒng)考期末）杭州亞運(yùn)會(huì)吉祥物為一組名為“江南憶”的三個(gè)吉祥物“宸宸”，“琮琮”，“蓮蓮”，聚焦共同的文化基因，蘊(yùn)含獨(dú)特的城市元素．本次亞運(yùn)會(huì)極大地鼓舞了中國人民參與運(yùn)動(dòng)的熱情．某體能訓(xùn)練營為了激勵(lì)參訓(xùn)隊(duì)員，在訓(xùn)練之余組織了一個(gè)“玩骰子贏禮品”的活動(dòng)，他們來到一處訓(xùn)練場地，恰有20步臺(tái)階，現(xiàn)有一枚質(zhì)地均勻的骰子，游戲規(guī)則如下：擲一次骰子，出現(xiàn)3的倍數(shù)，則往上爬兩步臺(tái)階，否則爬一步臺(tái)階，再重復(fù)以上步驟，當(dāng)隊(duì)員到達(dá)第7或第8步臺(tái)階時(shí)，游戲結(jié)束．規(guī)定：到達(dá)第7步臺(tái)階，認(rèn)定失??；到達(dá)第8步臺(tái)階可贏得一組吉祥物．假設(shè)平地記為第0步臺(tái)階．記隊(duì)員到達(dá)第步臺(tái)階的概率為（），記．(1)投擲4次后，隊(duì)員站在的臺(tái)階數(shù)為第階，求的分布列；(2)①求證：數(shù)列（）是等比數(shù)列；②求隊(duì)員贏得吉祥物的概率．3．（2023·全國·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）遺傳學(xué)在培育作物新品種中有著重要的應(yīng)用．已知某種農(nóng)作物植株有，，三種基因型，根據(jù)遺傳學(xué)定律可知，個(gè)體自交產(chǎn)生的子代全部為個(gè)體，個(gè)體自交產(chǎn)生的子代全部為個(gè)體，個(gè)體自交產(chǎn)生的子代中，，，，個(gè)體均有，且其數(shù)量比為．假設(shè)每個(gè)植株自交產(chǎn)生的子代數(shù)量相等，且所有個(gè)體均能正常存活．(1)現(xiàn)取個(gè)數(shù)比為的，，植株個(gè)體進(jìn)行自交，從其子代所有植株中任選一株，已知該植株的基因型為，求該植株是由個(gè)體自交得到的概率；(2)已知基因型為AA的植株具備某種優(yōu)良性狀且能保持該優(yōu)良性狀的穩(wěn)定遺傳，是理想的作物新品種．農(nóng)科院研究人員為了獲得更多的植株用于農(nóng)業(yè)生產(chǎn)，將通過誘變育種獲得的Aa植株進(jìn)行第一次自交，根據(jù)植株表現(xiàn)型的差異將其子代中的個(gè)體人工淘汰掉后，再將剩余子代植株全部進(jìn)行第二次自交，再將第二次自交后代中的個(gè)體人工淘汰掉后，再將剩余子代植株全部進(jìn)行第三次自交……此類推，不斷地重復(fù)此操作，從第次自交產(chǎn)生的子代中任選一植株，該植株的基因型恰為AA的概率記為（且）①證明：數(shù)列為等比數(shù)列；②求，并根據(jù)的值解釋該育種方案的可行性．4．（2024·江蘇·徐州市第一中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）在游戲中，玩家可通過祈愿池獲取新角色和新武器．某游戲的角色活動(dòng)祈愿池的祈愿規(guī)則為：①每次祈愿獲取五星角色的概率；②若連續(xù)次祈愿都沒有獲取五星角色，那么第次祈愿必定通過“保底機(jī)制”獲取五星角色；③除觸發(fā)“保底機(jī)制”外，每次祈愿相互獨(dú)立．設(shè)表示在該祈愿池中連續(xù)祈愿直至獲取五星角色為止的祈愿次數(shù)．(1)求的概率分布；(2)求的數(shù)學(xué)期望（保留小數(shù)點(diǎn)后兩位）．參考數(shù)據(jù)：．5．（2024·河北石家莊·石家莊二中?？家荒＃R爾科夫鏈?zhǔn)歉怕式y(tǒng)計(jì)中的一個(gè)重要模型，也是機(jī)器學(xué)習(xí)和人工智能的基石，為狀態(tài)空間中經(jīng)過從一個(gè)狀態(tài)到另一個(gè)狀態(tài)的轉(zhuǎn)換的隨機(jī)過程．該過程要求具備“無記憶”的性質(zhì)：下一狀態(tài)的概率分布只能由當(dāng)前狀態(tài)決定，在時(shí)間序列中它前面的事件均與之無關(guān)．甲、乙兩口袋中各裝有1個(gè)黑球和2個(gè)白球，現(xiàn)從甲、乙兩口袋中各任取一個(gè)球交換放入另一口袋，重復(fù)進(jìn)行次這樣的操作，記口袋甲中黑球的個(gè)數(shù)為，恰有1個(gè)黑球的概率為．(1)求的值；(2)求的值（用表示）；(3)求證：的數(shù)學(xué)期望為定值．6．（2024·浙江嘉興·嘉興一中?？家荒＃榱吮苊饩筒途奂蜏p少排隊(duì)時(shí)間，某校食堂從開學(xué)第1天起，每餐只推出即點(diǎn)即取的米飯?zhí)撞秃兔媸程撞?某同學(xué)每天中午都會(huì)在食堂提供的兩種套餐中選擇一種套餐，如果他第1天選擇了米飯?zhí)撞?，那么?天選擇米飯?zhí)撞偷母怕蕿椋蝗绻?天選擇了面食套餐，那么第2天選擇米飯?zhí)撞偷母怕蕿?已知他開學(xué)第1天中午選擇米飯?zhí)撞偷母怕蕿?(1)求該同學(xué)開學(xué)第2天中午選擇米飯?zhí)撞偷母怕剩?2)記該同學(xué)第天選擇米飯?zhí)撞偷母怕蕿椋╥）證明：為等比數(shù)列；（ii）證明：當(dāng)時(shí)，.技法05概率與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用及解題技巧概率與導(dǎo)數(shù)的綜合概率與導(dǎo)數(shù)的綜合是新高考卷的新命題內(nèi)容，難度中等偏難，常在大題中考查，需重點(diǎn)復(fù)習(xí).例5．（2024·全國·模擬預(yù)測(cè)）在信道內(nèi)傳輸0，1信號(hào)，信號(hào)的傳輸相互獨(dú)立．發(fā)送0時(shí)，收到1的概率為，收到0的概率為；發(fā)送1時(shí)，收到0的概率為，收到1的概率為．考慮兩種傳輸方案：單次傳輸和三次傳輸．單次傳輸是指每個(gè)信號(hào)只發(fā)送1次，三次傳輸是指每個(gè)信號(hào)重復(fù)發(fā)送3次．收到的信號(hào)需要譯碼，譯碼規(guī)則如下：單次傳輸時(shí)，收到的信號(hào)