銳角三角函數(shù)的應(yīng)用2024-2025學(xué)年九年級(jí)數(shù)學(xué)上學(xué)期復(fù)習(xí)講義（下冊(cè)）（人教版）

20242025學(xué)年九年級(jí)數(shù)學(xué)上學(xué)期同步復(fù)習(xí)講義（下冊(cè)）（人教版）銳角三角函數(shù)的應(yīng)用教學(xué)目標(biāo)1、理解銳角三角函數(shù)的定義，掌握銳角三角函數(shù)的表示法；2、掌握特殊角的三角函數(shù)值，會(huì)計(jì)算含有特殊角的三角函數(shù)的運(yùn)算式；3、會(huì)運(yùn)用銳角三角函數(shù)解直角三角形。教學(xué)重難點(diǎn)重點(diǎn)：特殊角的三角函數(shù)值、解直角三角形；難點(diǎn)：通過(guò)做高線構(gòu)造直角三角形。教學(xué)內(nèi)容銳角三角函數(shù)的應(yīng)用銳角三角函數(shù)的應(yīng)用知識(shí)點(diǎn)一：銳角三角函數(shù)的應(yīng)用1、仰角與俯角：在視線與水平線所成的角中，視線在水平線上方的叫做仰角，在水平線下方的叫做俯角．如圖（1）；2、坡角與坡度：坡面的垂直高度和水平寬度的比叫做坡度（或叫做坡比），用字母表示為，坡面與水平面的夾角記作，叫做坡角，則．坡度越大，坡面就越陡．如圖（2）；3、方向角（或方位角）：方向角一般是指以觀測(cè)者的位置為中心，將正北或正南方向作為起始方向旋轉(zhuǎn)到目標(biāo)的方向線所成的角（一般指銳角），通常表達(dá)為北（南）偏東（西）××度.如圖（3）。考點(diǎn)一：與仰角、俯角有關(guān)的實(shí)際問(wèn)題【例1】如圖，建筑物AB后有一座小山，∠DCF=30°，測(cè)得小山坡腳C點(diǎn)與建筑物水平距離BC=25米，若山坡上E點(diǎn)處有一涼亭，且涼亭與坡腳距離CE=20米，某人從建筑物頂端A點(diǎn)測(cè)得E點(diǎn)處的俯角為48°．求建筑物AB的高（精確到0.1m）．（參考數(shù)據(jù)：3≈1.7，sin48°≈0.7，cos48°≈0.6，tan48°≈1.1，sin

【答案】57.0米【詳解】解：如圖，過(guò)E作EM⊥BF于M，

∵∠DCF=30°，CE=20米，∴EM=CE?sin過(guò)E作EN⊥AB，交AB于點(diǎn)N，BN=EM=10米，NE=BM，∠BNE=90°，在Rt△CME中，CM=CE?∴NE=BM=BC+CM=(25+103∵α=48°，∴∠EAN=90°?α=42°，在Rt△ANE中，AN=∴AB=AN+BN=57.0米，答：建筑物AB的高約為57.0米【變式訓(xùn)練1】河南省登封市境內(nèi)的嵩岳寺塔是中國(guó)現(xiàn)存年代最久的佛塔，堪稱世界上最早的筒體建筑．某校數(shù)學(xué)社閉的同學(xué)利用所學(xué)知識(shí)來(lái)測(cè)量嵩岳寺塔的高度，如圖，CD是嵩岳寺塔附近不遠(yuǎn)處的某建筑物，他們?cè)诮ㄖ顲D底端D處利用測(cè)角儀測(cè)得嵩岳寺塔頂端B的仰角為60°，在建筑物CD頂端C處利用測(cè)角儀測(cè)得嵩岳寺塔底端A的俯角為35°，已知建筑物CD的高為15米，AB⊥AD，CD⊥AD，點(diǎn)A，D在同一水平線上，求嵩岳寺塔AB的高度．（結(jié)果精確到0.1m，參考數(shù)據(jù)：sin

【答案】約為37.1米【詳解】解：由題意得CD=15米，∠BDA=60°，在Rt△CAD中，tan∴AD=CD在Rt△ABD中，tan∴AB=AD·tan∴AB=15tan35°?tan答：嵩岳寺塔AB的高度約為37.1米．【變式訓(xùn)練2】某校數(shù)學(xué)興趣小組借助無(wú)人機(jī)測(cè)量一條河流的寬度CD，如圖所示，一架水平飛行的無(wú)人機(jī)在A處測(cè)得正前方河流的左岸C處的俯角為α，無(wú)人機(jī)沿水平線AF方向繼續(xù)飛行60米至B處，測(cè)得正前方河流右岸D處的俯角為30°．線段AM的長(zhǎng)為無(wú)人機(jī)距地面的垂直高度，點(diǎn)M，C，D在同一條直線上，其中tanα=3，MC=60

（1）求無(wú)人機(jī)的飛行高度AM；（結(jié)果保留根號(hào)）（2）求河流的寬度CD．（結(jié)果精確到0.1米，參考數(shù)據(jù)：2≈1.41，3【答案】（1）1803米（2）河流的寬度CD【詳解】（1）解：解：由題意得：AF∥∴∠ACM=∠FAC=α，在Rt△AMC中，MC=603，∴AM=MC?tan∴無(wú)人機(jī)的飛行高度AM為1803（2）解：過(guò)點(diǎn)B作BN⊥DM，垂足為N，

則AB=MN=60，AM＝∵AF∥∴∠FBD=∠BDC=30°，在Rt△BDN中，DN=∴DM=MN+DN=60+540=600，∴CD=DM?MC=600?603∴河流的寬度CD約為496米．考點(diǎn)二：與坡角、坡比有關(guān)的應(yīng)用問(wèn)題【例2】如實(shí)景圖，由華菱漣鋼集團(tuán)捐建的早元街人行天橋于2019年12月18日動(dòng)工，2020年2月28日竣工，彰顯了國(guó)企的擔(dān)當(dāng)精神，展現(xiàn)了高效的“婁底速度”.該橋的引橋兩端各由2個(gè)斜面和一個(gè)水平面構(gòu)成，如示意圖所示:引橋一側(cè)的橋墩頂端E點(diǎn)距地面5m，從E點(diǎn)處測(cè)得D點(diǎn)俯角為30°，斜面ED長(zhǎng)為4m，水平面DC長(zhǎng)為2m，斜面BC的坡度為1∶4，求處于同一水平面上引橋底部AB的長(zhǎng).（結(jié)果精確到0.1m，2≈1.41，3≈1.73）【解析】如圖，延長(zhǎng)CD，與AE相交于F，過(guò)點(diǎn)D，C兩點(diǎn)分別作AB的垂線交AB于點(diǎn)G，H，則在Rt△DEF中，∵DE=4，∠EDF=30°，∴EF=2，DF=DE·cos30°=4×32=23=AG∴GH=DC=2，CH=AF=52=3.在Rt△BCH中，∵CH∶BH=1∶4，∴BH=12.AB=AG+GH+BH=23+2+12≈17.46≈17.5（m）答：引橋橋墩底端A點(diǎn)到起點(diǎn)B之間的距離為17.5m.【變式訓(xùn)練1】如圖，某地下車庫(kù)的入口處有斜坡AB，它的坡度為i=1:2，斜坡AB的長(zhǎng)為65m，斜坡的高度為AHAH⊥BC，為了讓行車更安全，現(xiàn)將斜坡的坡角改造為14°

（1）求車庫(kù)的高度AH；（2）求點(diǎn)B與點(diǎn)C之間的距離（結(jié)果精確到1m，參考數(shù)據(jù)：sin14°≈0.24，cos14°≈0.97【答案】（1）6m（2）【詳解】（1）根據(jù)題意，得AHBH所以，sin∠ABH=所以，AH=AB·sin所以，車庫(kù)的高度AH為6m（2）根據(jù)題意，得BH=2AH=12m，CH=所以，BC=CH?BH≈24?12≈12m所以，點(diǎn)B與點(diǎn)C之間的距離為12m【變式訓(xùn)練2】如圖，在一次數(shù)學(xué)實(shí)踐活動(dòng)中，小明同學(xué)要測(cè)量一座與地面垂直的古塔的高度，他從古塔底部點(diǎn)處前行到達(dá)斜坡的底部點(diǎn)處，然后沿斜坡前行到達(dá)最佳測(cè)量點(diǎn)處，在點(diǎn)處測(cè)得塔頂?shù)难鼋菫椋阎逼碌男泵嫫露?，且點(diǎn)，，，，在同一平面內(nèi)，求古塔的高度?！驹斀狻拷猓哼^(guò)作于，于，，，斜坡的斜面坡度，，設(shè)，，，，，，，，，考點(diǎn)三：與方位角有關(guān)的實(shí)際問(wèn)題【例3】如圖，某巡邏艇在海上例行巡邏，上午10時(shí)在C處接到海上搜救中心從B處發(fā)來(lái)的救援任務(wù)，此時(shí)事故船位于B處的南偏東25°方向上的A處，巡邏艇位于B處的南偏西28°方向上1260米處，事故船位于巡邏艇的北偏東58°方向上，巡邏艇立刻前往A處救援，已知巡邏艇每分鐘行駛120米，請(qǐng)估計(jì)幾分鐘可以到達(dá)事故船A處．（結(jié)果保留整數(shù)．參考數(shù)據(jù)：3≈1.73，sin53°≈45，【答案】估計(jì)8分鐘可以到達(dá)事故船A處【詳解】解：過(guò)點(diǎn)A作AD⊥BC，垂足為D，由題意得：BC=1260m，∠ABD=28°+25°=53°，∠ACB=58°?28°=30°設(shè)AD=xm在Rt△ABD中，BD=在Rt△ADC中，CD=∵CD+BD=BC，∴3x+解得：x≈508.1，∴AD≈508.1m在Rt△ADC中，∠ACD=30°∴AC=2AD=1016.2m∴1016.2÷120≈8（分鐘），∴估計(jì)8分鐘可以到達(dá)事故船A處．【變式訓(xùn)練1】如圖所示，A、B兩城市相距200km．現(xiàn)計(jì)劃在這兩座城市間修筑一條高速公路（即線段AB），經(jīng)測(cè)量，森林保護(hù)中心P在A城市的北偏東30°和B城市的北偏西45°的方向上，已知森林保護(hù)區(qū)的范圍在以P點(diǎn)為圓心，100km為半徑的圓形區(qū)域內(nèi)，請(qǐng)問(wèn)：計(jì)劃修筑的這條高速公路會(huì)不會(huì)穿越保護(hù)區(qū)．為什么？（參考數(shù)據(jù)：≈1.732，≈1.414）【答案】解：過(guò)點(diǎn)P作PC⊥AB，C是垂足．則∠APC＝30°，∠BPC＝45°，AC＝PC?tan30°，BC＝PC?tan45°．∵AC+BC＝AB，∴PC?tan30°+PC?tan45°＝200，即：PC+PC＝200，PC＝200，∴PC＝×200＝×200＝100（3﹣）≈100×（3﹣1.732）≈126.8＞100．答：森林保護(hù)區(qū)的中心與直線AB的距離大于保護(hù)區(qū)的半徑，所以計(jì)劃修筑的這條高速公路不會(huì)穿越保護(hù)區(qū)．【變式訓(xùn)練2】小明和小華約定一同去公園游玩，公園有南北兩個(gè)門，北門A在南門B的正北方向，小明自公園北門A處出發(fā)，沿南偏東方向前往游樂(lè)場(chǎng)D處；小華自南門B處出發(fā)，沿正東方向行走到達(dá)C處，再沿北偏東方向前往游樂(lè)場(chǎng)D處與小明匯合（如圖所示），兩人所走的路程相同．求公園北門A與南門B之間的距離．（結(jié)果取整數(shù)．參考數(shù)據(jù)：，，，）【答案】【詳解】解：如圖，作于E，于F，，四邊形BCFE是矩形，，，設(shè)，則，在中，，，在中，，，，，解得：，，，，，由勾股定理得，，，答：公園北門A與南門B之間的距離約為．考點(diǎn)四：解直角三角形的應(yīng)用之實(shí)物建模問(wèn)題【例4】如圖1是某工廠生產(chǎn)的某種多功能兒童車，根據(jù)需要可變形為滑板車或三輪車，圖2、圖3是其示意圖，已知前后車輪半徑相同，車桿AB的長(zhǎng)為60cm，點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，前支撐板DE=30cm，后支撐板EC=40cm，車桿AB與BC所成的

（1）如圖2，當(dāng)支撐點(diǎn)E在水平線BC上時(shí)，支撐點(diǎn)E與前輪軸心B之間的距離BE的長(zhǎng)；（2）如圖3，當(dāng)座板DE與地面保持平行時(shí)，問(wèn)變形前后兩軸心BC的長(zhǎng)度有沒(méi)有發(fā)生變化？若不變，請(qǐng)通過(guò)計(jì)算說(shuō)明；若變化，請(qǐng)求出變化量．（參考數(shù)據(jù)：sin53°≈45，cos【答案】（1）36cm；（2）變化了，長(zhǎng)度增加了4cm．【詳解】（1）解：如圖1，過(guò)點(diǎn)D作DF⊥BE于點(diǎn)F，由題意知BD=DE=30cm∴BF=BDcos∠ABC=30×3∴BE=2BF=36cm（2）如圖2，過(guò)點(diǎn)D作DM⊥BC于M，過(guò)點(diǎn)E作EN⊥BC于點(diǎn)N，由題意知四邊形DENM是矩形，∴MN=DE=30cm在Rt△DBMBM=BDcos∠ABC=30×3在Rt△CEN中，CE=40∴由勾股定理可得CN=C則BC=18+30+32=80cm，原來(lái)BC=36+40=76cm80?76=4cm∴變形前后兩軸心BC的長(zhǎng)度增加了4cm

【變式訓(xùn)練1】我市的前三島是眾多海釣人的夢(mèng)想之地．小明的爸爸周末去前三島釣魚(yú)，將魚(yú)竿擺成如圖1所示．已知，魚(yú)竿尾端A離岸邊，即．海面與地面平行且相距，即．（1）如圖1，在無(wú)魚(yú)上鉤時(shí)，海面上方的魚(yú)線與海面的夾角，海面下方的魚(yú)線與海面垂直，魚(yú)竿與地面的夾角．求點(diǎn)O到岸邊的距離；（2）如圖2，在有魚(yú)上鉤時(shí)，魚(yú)竿與地面的夾角，此時(shí)魚(yú)線被拉直，魚(yú)線，點(diǎn)O恰好位于海面．求點(diǎn)O到岸邊的距離．（參考數(shù)據(jù)：，，，，，）【答案】（1）8.1m；（2）4.58m【詳解】（1）過(guò)點(diǎn)作，垂足為，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，則，垂足為．由，∴，∴，即，∴，由，∴，∴，即，∴．又，∴，∴，即，∴，即到岸邊的距離為．（2）過(guò)點(diǎn)作，垂足為，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，則，垂足為．由，∴，∴，即，∴．由，∴，∴，即，∴．∴，∴，即點(diǎn)到岸邊的距離為．【變式訓(xùn)練2】某數(shù)學(xué)小組要測(cè)量學(xué)校路燈P﹣M﹣N的頂部到地面的距離，他們借助皮尺、測(cè)角儀進(jìn)行測(cè)量，測(cè)量結(jié)果如下：測(cè)量項(xiàng)目測(cè)量數(shù)據(jù)從A處測(cè)得路燈頂部P的仰角αα＝58°從D處測(cè)得路燈頂部P的仰角ββ＝31°測(cè)角儀到地面的距離AB＝DC＝1.6m兩次測(cè)量時(shí)測(cè)角儀之間的水平距離BC＝2m計(jì)算路燈頂部到地面的距離PE約為多少米？（結(jié)果精確到0.1米．參考數(shù)據(jù)：cos31°≈0.86，tan31°≈0.60，cos58°≈0.53，tan58°≈1.60）【解答】解：如圖：延長(zhǎng)DA，交PE于點(diǎn)F，則DF⊥PE，AD＝BC＝2m，AB＝CD＝EF＝1.6m，設(shè)AF＝xm，∴DF＝AF+AD＝（x+2）m，在Rt△PFA中，∠PAF＝58°，∴PF＝AF?tan58°≈1.6x（m），在Rt△PDF中，∠PDF＝31°，∴tan31°＝＝≈0.6，∴x＝1.2，經(jīng)檢驗(yàn)：x＝1.2是原方程的根，∴PF＝1.6x＝1.92（m），∴PE＝PF+EF＝1.92+1.6≈3.5（m），∴路燈頂部到地面的距離PE約為3.5米．1、交通安全心系千萬(wàn)家，高速公路管理局在某隧道內(nèi)安裝了測(cè)速儀，如圖所示的是該段隧道的截面示意圖．測(cè)速儀C和測(cè)速儀E到路面之間的距離CD＝EF＝7m，測(cè)速儀C和E之間的距離CE＝750m，一輛小汽車在水平的公路上由西向東勻速行駛，在測(cè)速儀C處測(cè)得小汽車在隧道入口A點(diǎn)的俯角為25°，在測(cè)速儀E處測(cè)得小汽車在B點(diǎn)的俯角為60°，小汽車在隧道中從點(diǎn)A行駛到點(diǎn)B所用的時(shí)間為38s（圖中所有點(diǎn)都在同一平面內(nèi)）．（1）求A，B兩點(diǎn)之間的距離（結(jié)果精確到1m）；（2）若該隧道限速22m/s，判斷小汽車從點(diǎn)A行駛到點(diǎn)B是否超速？通過(guò)計(jì)算說(shuō)明理由．（參考數(shù)據(jù)：≈1.7，sin25°≈0.4，cos25°≈0.9，tan25°≈0.5，sin65°≈0.9，cos65°≈0.4，tan65°≈2.1）【解答】解：（1）由題意得：∠CAD＝25°，∠EBF＝60°，CE＝DF＝750米，在Rt△ACD中，CD＝7米，∴AD＝≈＝14（米），在Rt△BEF中，EF＝7米，∴BF＝＝≈4.1（米），∴AB＝AD+DF﹣BF＝14+750﹣4.1≈760（米），∴A，B兩點(diǎn)之間的距離約為760米；（2）小汽車從點(diǎn)A行駛到點(diǎn)B沒(méi)有超速，理由：由題意得：760÷38＝20米/秒，∵20米/秒＜22米/秒，∴小汽車從點(diǎn)A行駛到點(diǎn)B沒(méi)有超速．2、下圖是測(cè)溫員使用測(cè)溫槍的側(cè)面示意圖，其中槍柄BC與手臂MC始終在同一直線上，槍身BA與額頭保持垂直．量得胳膊MN=28cm，MB=42cm，肘關(guān)節(jié)M與槍身端點(diǎn)A之間的水平寬度為25.3cm（即MP

（1）求∠PMB的度數(shù)；（2）測(cè)溫時(shí)規(guī)定槍身端點(diǎn)，A與額頭距離范圍為3~5cm，若測(cè)得∠BMN=68.6°，小紅與測(cè)溫員之間距離為50cm．問(wèn)此時(shí)槍身端點(diǎn)（參考數(shù)據(jù)：sin66.4°≈0.92,【答案】（1）∠PMB=66.4°（2）端點(diǎn)A與額頭距離在規(guī)定范圍，理由見(jiàn)解析【詳解】（1）解：如圖，過(guò)點(diǎn)B作BH⊥MP．

可得四邊形ABHP是矩形，∴HP=AB=8.5，∴MH=MP?HP=25.3?8.5=16.8，在Rt△BMH中，cos∵cos∴∠BMH=66.4°，即∠PMB=66.4°；（2）解：端點(diǎn)A與額頭距離在規(guī)定范圍．理由如下：如圖，延長(zhǎng)PM交FG于Q，

∵∠PMB=66.4°，∠BMN=68.6°，∴∠NMQ=180°?∠PMB?∠BMN=180°?66.4°?68.6°=45°，∵Rt△NMQ中cos∴MQ=MN?2∴端點(diǎn)A與小紅額頭的距離為50?MQ?MP=50?19.8?25.3=4.9，∵3<4.9<5，∴端點(diǎn)A與額頭距離在規(guī)定范圍．3、如圖，堤壩AB長(zhǎng)為10m，坡度i為1:0.75，底端A在地面上，堤壩與對(duì)面的山之間有一深溝，山頂D處立有高20m的鐵塔CD．小明欲測(cè)量山高DE，他在A處看到鐵塔頂端C剛好在視線AB上，又在壩頂B處測(cè)得塔底D的仰角α為26°35′．求堤壩高及山高DE．（sin26°35′

【答案】堤壩高為8米，山高DE為20米．【詳解】解：過(guò)B作BH⊥AE于H，

∵坡度i為1:0.75，∴設(shè)BH=4x，AH=3x，∴AB=A∴x=2，∴AH=6，過(guò)B作BF⊥CE于F，則EF=BH=8，設(shè)DF=a，∵α=26°35∴BF=DF∴AE=6+2a，∵坡度i為1:0.75，∴CE：∴a=12，∴DF=12（米），∴DE=DF+EF=12+8=20（米），答：堤壩高為8米，山高DE為20米．4、如圖，一艘軍艦在A處測(cè)得小島P位于南偏東60°方向，向正東航行40海里后到達(dá)B處，此時(shí)測(cè)得小島P位于南偏西75°方向，求小島P離觀測(cè)點(diǎn)B的距離．【答案】202【詳解】解∶過(guò)點(diǎn)P作PD⊥AB于D，在AB上取一點(diǎn)C，使∠PCD=30°，則∠CPB=∠CBP=15°，CP=CB，∵∠PAC=90°60°=30°，∴∠PCD=∠PAC=30°，∴PA=PC=BC，∵PD⊥AB，∴AD=CD，PD=12PA，AD=CD=3PD=32PA=設(shè)PD=x海里，則PA=2x海里，BD=CD+BC=（3x+2x）海里，∵AB=2AD+BC=40，∴40=23x+2x，解得∶x=10（31），∴PA=20（31）=（20320）海里，BD=3×10（31）+20320=（103+10）海里，∴PB=PD2+5、圖①是一種平板支架，由托板、支撐板和底座構(gòu)成，放置在托板上，圖②是其側(cè)面結(jié)構(gòu)示意圖，托板長(zhǎng)AB＝115mm，支撐板長(zhǎng)CD＝70mm，板AB固定在支撐板頂點(diǎn)C處，且CB＝35mm，托板AB可繞點(diǎn)C轉(zhuǎn)動(dòng)，支撐板CD可繞點(diǎn)D轉(zhuǎn)動(dòng)，∠CDE＝60°．（1）若∠DCB＝70°時(shí)，求點(diǎn)A到直線DE的距離（計(jì)算結(jié)果精確到個(gè)位）；（2）為了觀看舒適，把（1）中∠DCB＝70°調(diào)整為90°，再將CD繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)B落在直線DE上即可，求CD旋轉(zhuǎn)的角度．（參考數(shù)據(jù)：sin50°≈0.8，cos50°≈0.6，tan50°≈1.2，sin26.6°≈0.4，cos26.6°≈0.9，tan26.6°≈0.5，≈1.7）【解答】解：（1）過(guò)點(diǎn)C作CG∥DE，過(guò)點(diǎn)A作AH⊥CG于H，過(guò)點(diǎn)C作CF⊥DE于點(diǎn)F，則點(diǎn)A到直線DE的距離為：AH+CF．在Rt△CDF中，∵sin∠CDE＝，∴CF＝CD?sin60°＝70×＝35≈59.5（mm）．∵∠DCB＝70°，∴∠ACD＝180°﹣∠DCB＝110°，∵CG∥DE，∴∠GCD＝∠CDE＝60°．∴∠ACH＝∠ACD﹣∠DCG＝50°．在Rt△ACH中，∵sin∠ACH＝，∴AH＝AC?sin∠ACH＝（115﹣35）×sin50°≈80×0.8＝64