1-4無窮小無窮大

第一章二、無窮大三、無窮小與無窮大的關(guān)系一、無窮小第四節(jié)無窮小與無窮大當(dāng)一、無窮小

1、概念定義1.

若時(shí),函數(shù)則稱函數(shù)例如:函數(shù)當(dāng)時(shí)為無窮小;函數(shù)時(shí)為無窮小;函數(shù)當(dāng)為時(shí)的無窮小

.時(shí)為無窮小.說明:1、除0以外任何很小的常數(shù)都不是無窮小

!因?yàn)楫?dāng)時(shí),顯然C

只能是0!CC時(shí),函數(shù)(或)則稱函數(shù)為定義1.

若(或)時(shí)的無窮小

.說明2、強(qiáng)調(diào),當(dāng)發(fā)生改變，則可能不是無窮小。例如：

3、記法特殊。

、β、γ(或)思考：1、無窮小是不是一個(gè)很小的數(shù)？函數(shù)（變量）2、零是不是無窮小？特殊函數(shù)。是3、極限是不是數(shù)？是常數(shù)4、無窮小與極限的和是不是數(shù)？函數(shù)

由之，引入二者關(guān)系其中

為時(shí)的無窮小量.2、無窮小與函數(shù)極限的關(guān)系

定理1.證:當(dāng)時(shí),有對(duì)自變量的其它變化過程類似可證.P30例函數(shù)與其極限的差為一個(gè)無窮小量。3、無窮小的性質(zhì)

1.定理2：有限個(gè)無窮小的和也是無窮小.時(shí),有證:

考慮兩個(gè)無窮小的和.設(shè)當(dāng)時(shí),有當(dāng)時(shí),有取則當(dāng)因此這說明當(dāng)時(shí),為無窮小量.類似可證:有限個(gè)無窮小之和仍為無窮小.

兩無窮小的差呢？和與差在代數(shù)中可互相轉(zhuǎn)化

因此結(jié)論同樣成立

2.定理3.

有界函數(shù)與無窮小的乘積是無窮小.證:

設(shè)又設(shè)即當(dāng)取則當(dāng)時(shí),就有即是時(shí)的無窮小.推論1

.

常數(shù)與無窮小的乘積是無窮小.上頁問題可解推論2.

有限個(gè)無窮小的乘積是無窮小.P31例二、無窮大

1、概念定義2

.

若任給

M>0,一切滿足不等式的

x,總有則稱函數(shù)當(dāng)時(shí)為無窮大,使對(duì)若在定義中將①式改為①則記作(正數(shù)X),記作總存在將x換為正整數(shù)n，即為數(shù)列無窮大的定義。思考:無窮大是不是一個(gè)很大的數(shù)？它是變量，描述函數(shù)的一種狀態(tài).2.函數(shù)為無窮大,必定無界.但無窮大與無界量是否一樣？不是。P32反例例如,

函數(shù)當(dāng)?shù)詴r(shí),不是無窮大!例.證明證:

任給正數(shù)

M,要使即只要取則對(duì)滿足的一切x,有所以若則直線為曲線的鉛直漸近線

.漸近線說明:三、無窮小與無窮大的關(guān)系若為無窮大,為無窮小;若為無窮小,且則為無窮大.則(P40)據(jù)此定理,關(guān)于無窮大的問題都可轉(zhuǎn)化為無窮小來討論.P34思考定理4.