2025高考數(shù)學(xué)壓軸專項(xiàng)題型專題6圓錐曲線中的定點(diǎn)問題含答案及解析

專題6圓錐曲線中的定點(diǎn)問題一、考情分析定點(diǎn)問題一直是圓錐曲線中的熱點(diǎn)問題，高考主要考查直線過定點(diǎn)問題，有時(shí)也會(huì)涉及圓過定點(diǎn)問題．二、解題秘籍(一)求解圓錐曲線中定點(diǎn)問題的思路與策略1．處理定點(diǎn)問題的思路：(1)確定題目中的核心變量（此處設(shè)為）(2)利用條件找到與過定點(diǎn)的曲線的聯(lián)系，得到有關(guān)與的等式(3)所謂定點(diǎn)，是指存在一個(gè)特殊的點(diǎn)，使得無論的值如何變化，等式恒成立.此時(shí)要將關(guān)于與的等式進(jìn)行變形，直至易于找到.常見的變形方向如下：①若等式的形式為整式，則考慮將含的項(xiàng)歸在一組，變形為“”的形式，從而只需要先讓括號(hào)內(nèi)的部分為零即可②若等式為含的分式，的取值一方面可以考慮使其分子為0，從而分式與分母的取值無關(guān)；或者考慮讓分子分母消去的式子變成常數(shù)（這兩方面本質(zhì)上可以通過分離常數(shù)進(jìn)行相互轉(zhuǎn)化，但通常選擇容易觀察到的形式）2．處理定點(diǎn)問題兩個(gè)基本策略：(1)引進(jìn)參數(shù)法：引進(jìn)動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)或動(dòng)線中系數(shù)為參數(shù)表示變化量，再研究變化的量與參數(shù)何時(shí)沒有關(guān)系，找到定點(diǎn)．(2)特殊到一般法：根據(jù)動(dòng)點(diǎn)或動(dòng)線的特殊情況探索出定點(diǎn)，再證明該定點(diǎn)與變量無關(guān)．【例1】（2023屆河南省頂級(jí)名校高三上學(xué)期月考）設(shè)分別是橢圓的左?右焦點(diǎn)，是上一點(diǎn)，與軸垂直.直線與的另一個(gè)交點(diǎn)為，且直線的斜率為.(1)求橢圓的離心率；(2)設(shè)是橢圓的上頂點(diǎn)，過任作兩條互相垂直的直線分別交橢圓于兩點(diǎn)，證明直線過定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)坐標(biāo).【解析】（1）由題意知，點(diǎn)在第一象限，是上一點(diǎn)且與軸垂直，的橫坐標(biāo)為.當(dāng)時(shí)，，即.又直線的斜率為，所以，即，即則，解得或（舍去），即.（2）已知是橢圓的上頂點(diǎn)，則，由（1）知，解得，所以，橢圓的方程為，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立可得，所以，又，，化簡(jiǎn)整理有，得或.當(dāng)時(shí)，直線經(jīng)過點(diǎn)，不滿足題意；.當(dāng)時(shí)滿足方程中，故直線經(jīng)過軸上定點(diǎn).【例2】橢圓C的焦點(diǎn)為，，且點(diǎn)在橢圓上．過點(diǎn)的動(dòng)直線l與橢圓相交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)B關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)D（不同于點(diǎn)A）．（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）證明：直線恒過定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)坐標(biāo)．【解析】（1）設(shè)橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為，由已知得.所以，，所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為．由得.設(shè)，，，則，特殊地，當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)為時(shí)，，所以，，，即，所以點(diǎn)B關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)為，則直線的方程為.當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，直線的方程為.如果存在定點(diǎn)Q滿足條件，則為兩直線交點(diǎn)，，，又因?yàn)樗?，即三點(diǎn)共線，故直線恒過定點(diǎn)，定點(diǎn)坐標(biāo)為．【點(diǎn)評(píng)】本題是先根據(jù)兩條特殊的曲線的交點(diǎn)，然后再根據(jù)三點(diǎn)共線，判斷直線恒過定點(diǎn)，(二)直線過定點(diǎn)問題1.直線過定點(diǎn)問題的解題模型2.求解動(dòng)直線過定點(diǎn)問題，一般可先設(shè)出直線的一般方程：，然后利用題中條件整理出的關(guān)系，若，代入得，則該直線過定點(diǎn).【例3】（2023屆福建省泉州市高三畢業(yè)班質(zhì)量監(jiān)測(cè)（一））已知橢圓過點(diǎn)．右焦點(diǎn)為，縱坐標(biāo)為的點(diǎn)在上，且．(1)求的方程：(2)設(shè)過與軸垂直的直線為，縱坐標(biāo)不為的點(diǎn)為上一動(dòng)點(diǎn)，過作直線的垂線交于點(diǎn)，證明：直線過定點(diǎn)．【解析】（1）設(shè)點(diǎn)，其中，則，因?yàn)闄E圓過點(diǎn)，則，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入橢圓的方程，可得可得，解得，因此，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）證明：由對(duì)稱性可知，若直線過定點(diǎn)，則點(diǎn)必在軸上，設(shè)點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)，則，所以，直線的垂線的斜率為，故直線的方程為，在直線的方程中，令，可得，即點(diǎn)，所以，直線的方程為，因?yàn)辄c(diǎn)在直線上，所以，，即，①又因?yàn)椋?，，②將②代入①可得，即，，則，所以，直線過定點(diǎn).(三)圓過定點(diǎn)問題圓過定點(diǎn)問題的常見類型是以為直徑的圓過定點(diǎn)P，求解思路是把問題轉(zhuǎn)化為，也可以轉(zhuǎn)化為【例4】（2022屆廣西“智桂杯”高三上學(xué)期大聯(lián)考）已知橢圓的右焦點(diǎn)為，與軸不重合的直線過焦點(diǎn)，與橢圓交于，兩點(diǎn)，當(dāng)直線垂直于軸時(shí)，.（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)橢圓的左頂點(diǎn)為，，的延長(zhǎng)線分別交直線于，兩點(diǎn)，證明：以為直徑的圓過定點(diǎn).【解析】（1）橢圓的右焦點(diǎn)，則半焦距，當(dāng)軸時(shí)，弦AB為橢圓的通徑，即，則有，即，而，于是得，又，解得，，所以橢圓的方程為：.（2）依題意，直線不垂直于y軸，且過焦點(diǎn)，設(shè)的方程為，，，由得，，，因點(diǎn)，則直線的方程為，令，得，同理可得，于是有，則，因此，，即在以為直徑的圓上，所以以為直徑的圓過定點(diǎn).(四)確定定點(diǎn)使某個(gè)式子的值為定值求解此類問題一般先設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)，然后把所給式子用所設(shè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)或縱坐標(biāo)表示，再觀察該式子為定值的條件，確定所設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo).【例5】（2023屆山西省山西大學(xué)附屬中學(xué)校高三上學(xué)期9月診斷）如圖，橢圓：（，，是橢圓的左焦點(diǎn)，是橢圓的左頂點(diǎn)，是橢圓的上頂點(diǎn)，且，點(diǎn)是長(zhǎng)軸上的任一定點(diǎn)，過點(diǎn)的任一直線交橢圓于兩點(diǎn).(1)求橢圓的方程；(2)是否存在定點(diǎn)，使得為定值，若存在，試求出定點(diǎn)的坐標(biāo)，并求出此定值；若不存在，請(qǐng)說明理由.【解析】（1）由已知知，解得，所以橢圓方程為；（2）假設(shè)存在滿足題意，設(shè)，，，①當(dāng)直線與軸不垂直時(shí)，設(shè)：，代入并整理得∴，（*）（*）式是與無關(guān)的常數(shù)，則解得，此時(shí)為定值；②當(dāng)直線與垂直時(shí)，，，，也成立，所以存在定點(diǎn)，使得為定值．(五)與定點(diǎn)問題有關(guān)的基本結(jié)論1.若直線與拋物線交于點(diǎn)，則直線l過定點(diǎn)；2.若直線與拋物線交于點(diǎn)，則直線l過定點(diǎn)；3.設(shè)點(diǎn)是拋物線上一定點(diǎn)，是該拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，則直線MN過定點(diǎn).4.設(shè)點(diǎn)是拋物線上一定點(diǎn)，是該拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，則直線MN過定點(diǎn)；5.過橢圓的左頂點(diǎn)P作兩條互相垂直的直線與該橢圓交于點(diǎn)，則直線過點(diǎn)；6.過雙曲線的左頂點(diǎn)P作兩條互相垂直的直線與該橢圓交于點(diǎn)，則直線過點(diǎn)；7.設(shè)點(diǎn)是橢圓C：上一定點(diǎn)，點(diǎn)A,B是橢圓C上不同于P的兩點(diǎn)，若，則直線AB過定點(diǎn)；8.設(shè)點(diǎn)是雙曲線C：一定點(diǎn)，點(diǎn)A,B是雙曲線C上不同于P的兩點(diǎn)，若，則直線AB過定點(diǎn).【例6】（2023屆山西省長(zhǎng)治市高三上學(xué)期9月質(zhì)量檢測(cè)）已知點(diǎn)在橢圓：（）上，且點(diǎn)到橢圓右頂點(diǎn)的距離為．(1)求橢圓的方程；(2)若點(diǎn)，是橢圓上不同的兩點(diǎn)（均異于）且滿足直線與斜率之積為．試判斷直線是否過定點(diǎn)，若是，求出定點(diǎn)坐標(biāo)，若不是，說明理由．【解析】（1）點(diǎn)，在橢圓：（）上代入得：，點(diǎn)到橢圓右頂點(diǎn)的距離為，則，解得，，故橢圓的方程為．（2）由題意，直線的斜率存在，可設(shè)直線的方程為（），，，．聯(lián)立得．．∴，，∵直線與直線斜率之積為．∴，∴．化簡(jiǎn)得，∴，化簡(jiǎn)得，解得或．當(dāng)時(shí)，直線方程為，過定點(diǎn)．代入判別式大于零中，解得（）．當(dāng)時(shí)，直線的方程為，過定點(diǎn)，不符合題意．綜上所述：直線過定點(diǎn)．【例7】（2022屆海南華僑中學(xué)高三上學(xué)期月考）已知橢圓的左?右焦點(diǎn)分別為，點(diǎn)是橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)，是等腰直角三角形.（1）求橢圓的方程；（2）過點(diǎn)分別作直線交橢圓于兩點(diǎn)，設(shè)兩直線的斜率分別為，且，求證：直線過定點(diǎn).【解析】（1）由題意可得，解得所以橢圓的方程為.（2）設(shè).①當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)直線方程為，聯(lián)立得.由，得.所以．所以，即，所以，即，所以，所以，所以直線過定點(diǎn).②當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，，則，所以，則直線也過定點(diǎn).綜合①②，可得直線過定點(diǎn).三、跟蹤檢測(cè)1．（2023屆江蘇省金陵中學(xué)、海安中學(xué)高三上學(xué)期10月聯(lián)考）在一張紙上有一個(gè)圓：，定點(diǎn)，折疊紙片使圓上某一點(diǎn)好與點(diǎn)重合，這樣每次折疊都會(huì)留下一條直線折痕，設(shè)折痕與直線的交點(diǎn)為．(1)求證：為定值，并求出點(diǎn)的軌跡方程；(2)設(shè)，為曲線上一點(diǎn)，為圓上一點(diǎn)（，均不在軸上）．直線，的斜率分別記為，，且，求證：直線過定點(diǎn)，并求出此定點(diǎn)的坐標(biāo)．2．（2023屆廣東省廣東廣雅中學(xué)高三上學(xué)期9月測(cè)試）已知橢圓：（）的離心率為．圓（為坐標(biāo)原點(diǎn)）在橢圓的內(nèi)部，半徑為．，分別為橢圓和圓上的動(dòng)點(diǎn)，且，兩點(diǎn)的最小距離為．(1)求橢圓的方程；(2)，是橢圓上不同的兩點(diǎn)，且直線與以為直徑的圓的一個(gè)交點(diǎn)在圓上．求證：以為直徑的圓過定點(diǎn)．3（2023屆湖南省永州市高三上學(xué)期第一次考試）點(diǎn)在雙曲線上，離心率.(1)求雙曲線的方程；(2)是雙曲線上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)（異于點(diǎn)），分別表示直線的斜率，滿足，求證：直線恒過一個(gè)定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo).4．（2023屆陜西師范大學(xué)附屬中學(xué)、渭北中學(xué)等高三上學(xué)期聯(lián)考）已知拋物線，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，F(xiàn)是C的焦點(diǎn)，M是C上一點(diǎn)，，．(1)求拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)設(shè)點(diǎn)在C上，過Q作兩條互相垂直的直線，分別交C于A，B兩點(diǎn)（異于Q點(diǎn)）．證明：直線恒過定點(diǎn)．5．（2023屆四川省部分重點(diǎn)中學(xué)高三上學(xué)期9月聯(lián)考）已知橢圓C：的右頂點(diǎn)是M（2，0），離心率為．(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程．(2)過點(diǎn)T（4，0）作直線l與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)A，B，點(diǎn)B關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為D，問直線AD是否過定點(diǎn)？若是，求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)；若不是，請(qǐng)說明理由．6．（2023屆安徽省滁州市定遠(yuǎn)縣高三上學(xué)期9月月考）設(shè)直線與雙曲線的兩條漸近線分別交于A，B兩點(diǎn)，且三角形的面積為．(1)求m的值；(2)已知直線l與x軸不垂直且斜率不為0，l與C交于兩個(gè)不同的點(diǎn)M，N，M關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為，F(xiàn)為C的右焦點(diǎn)，若，F(xiàn)，N三點(diǎn)共線，證明：直線l經(jīng)過x軸上的一個(gè)定點(diǎn)．7．（2023屆江西省智慧上進(jìn)高三上學(xué)期考試）已知橢圓C：的右焦點(diǎn)為F，過點(diǎn)F作一條直線交C于R，S兩點(diǎn)，線段RS長(zhǎng)度的最小值為，C的離心率為．(1)求C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)斜率不為0的直線l與C相交于A，B兩點(diǎn)，，且總存在實(shí)數(shù)，使得，問：l是否過一定點(diǎn)？若過定點(diǎn)，求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)；若不過定點(diǎn)，試說明理由．8．（2023屆山西省高三上學(xué)期第一次摸底）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別是，，點(diǎn)，若的內(nèi)切圓的半徑與外接圓的半徑的比是．(1)求橢圓的方程；(2)過的左焦點(diǎn)作弦，，這兩條弦的中點(diǎn)分別為，，若，證明：直線過定點(diǎn)．9．（2023屆湖北省“宜荊荊恩”高三上學(xué)期考試）已知雙曲線與雙曲線有相同的漸近線，且過點(diǎn).(1)求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)已知是雙曲線上不同于的兩點(diǎn)，且于，證明：存在定點(diǎn)，使為定值.10．（2023屆江蘇省南京市高三上學(xué)期9月學(xué)情調(diào)研）已知拋物線C：的焦點(diǎn)為F，過點(diǎn)P(0，2)的動(dòng)直線l與拋物線相交于A，B兩點(diǎn)．當(dāng)l經(jīng)過點(diǎn)F時(shí)，點(diǎn)A恰好為線段PF中點(diǎn)．(1)求p的值；(2)是否存在定點(diǎn)T，使得為常數(shù)？若存在，求出點(diǎn)T的坐標(biāo)及該常數(shù)；若不存在，說明理由．11．（2023屆江蘇省百校聯(lián)考高三上學(xué)期第一次考試）設(shè)為橢圓：的右焦點(diǎn)，過點(diǎn)且與軸不重合的直線交橢圓于，兩點(diǎn).(1)當(dāng)時(shí)，求；(2)在軸上是否存在異于的定點(diǎn)，使為定值（其中，分別為直線，的斜率）？若存在，求出的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.【例12】（2022屆遼寧省名校聯(lián)盟高三上學(xué)期12月聯(lián)考）已知拋物線的焦點(diǎn)為，點(diǎn)在上，且．（1）求點(diǎn)的坐標(biāo)及的方程；（2）設(shè)動(dòng)直線與相交于兩點(diǎn)，且直線與的斜率互為倒數(shù)，試問直線是否恒過定點(diǎn)？若過，求出該點(diǎn)坐標(biāo)；若不過，請(qǐng)說明理由．13.（2022屆廣東省茂名市五校聯(lián)盟高三上學(xué)期聯(lián)考）已知橢圓：的左、右焦點(diǎn)分別為，.離心率等于，點(diǎn)在軸正半軸上，為直角三角形且面積等于2.（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）已知斜率存在且不為0的直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)在直線上時(shí)，直線是否過定點(diǎn)？若過定點(diǎn)，求出此定點(diǎn)；若不過，請(qǐng)說明理由.14．（2022屆江蘇省南通市高三上學(xué)期期末）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知雙曲線C：－＝1(a、b為正常數(shù))的右頂點(diǎn)為A，直線l與雙曲線C交于P、Q兩點(diǎn)，且P、Q均不是雙曲線的頂點(diǎn)，M為PQ的中點(diǎn)．（1）設(shè)直線PQ與直線OM的斜率分別為k1、k2，求k1·k2的值；（2）若＝，試探究直線l是否過定點(diǎn)？若過定點(diǎn)，求出該定點(diǎn)坐標(biāo)；否則，說明理由．15．已知拋物線的焦點(diǎn)為F，過點(diǎn)F的直線l交拋物線C于A，B兩點(diǎn)，當(dāng)軸時(shí)，.（1）求拋物線C的方程；（2）若直線l交y軸于點(diǎn)D，過點(diǎn)D且垂直于y軸的直線交拋物線C于點(diǎn)P，直線PF交拋物線C于另一點(diǎn)Q.①是否存在定點(diǎn)M，使得四邊形AQBM為平行四邊形？若存在，求出定點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.②求證：為定值.

專題6圓錐曲線中的定點(diǎn)問題一、考情分析定點(diǎn)問題一直是圓錐曲線中的熱點(diǎn)問題，高考主要考查直線過定點(diǎn)問題，有時(shí)也會(huì)涉及圓過定點(diǎn)問題．二、解題秘籍(一)求解圓錐曲線中定點(diǎn)問題的思路與策略1．處理定點(diǎn)問題的思路：(1)確定題目中的核心變量（此處設(shè)為）(2)利用條件找到與過定點(diǎn)的曲線的聯(lián)系，得到有關(guān)與的等式(3)所謂定點(diǎn)，是指存在一個(gè)特殊的點(diǎn)，使得無論的值如何變化，等式恒成立.此時(shí)要將關(guān)于與的等式進(jìn)行變形，直至易于找到.常見的變形方向如下：①若等式的形式為整式，則考慮將含的項(xiàng)歸在一組，變形為“”的形式，從而只需要先讓括號(hào)內(nèi)的部分為零即可②若等式為含的分式，的取值一方面可以考慮使其分子為0，從而分式與分母的取值無關(guān)；或者考慮讓分子分母消去的式子變成常數(shù)（這兩方面本質(zhì)上可以通過分離常數(shù)進(jìn)行相互轉(zhuǎn)化，但通常選擇容易觀察到的形式）2．處理定點(diǎn)問題兩個(gè)基本策略：(1)引進(jìn)參數(shù)法：引進(jìn)動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)或動(dòng)線中系數(shù)為參數(shù)表示變化量，再研究變化的量與參數(shù)何時(shí)沒有關(guān)系，找到定點(diǎn)．(2)特殊到一般法：根據(jù)動(dòng)點(diǎn)或動(dòng)線的特殊情況探索出定點(diǎn)，再證明該定點(diǎn)與變量無關(guān)．【例1】（2023屆河南省頂級(jí)名校高三上學(xué)期月考）設(shè)分別是橢圓的左?右焦點(diǎn)，是上一點(diǎn)，與軸垂直.直線與的另一個(gè)交點(diǎn)為，且直線的斜率為.(1)求橢圓的離心率；(2)設(shè)是橢圓的上頂點(diǎn)，過任作兩條互相垂直的直線分別交橢圓于兩點(diǎn)，證明直線過定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)坐標(biāo).【解析】（1）由題意知，點(diǎn)在第一象限，是上一點(diǎn)且與軸垂直，的橫坐標(biāo)為.當(dāng)時(shí)，，即.又直線的斜率為，所以，即，即則，解得或（舍去），即.（2）已知是橢圓的上頂點(diǎn)，則，由（1）知，解得，所以，橢圓的方程為，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立可得，所以，又，，化簡(jiǎn)整理有，得或.當(dāng)時(shí)，直線經(jīng)過點(diǎn)，不滿足題意；.當(dāng)時(shí)滿足方程中，故直線經(jīng)過軸上定點(diǎn).【例2】橢圓C的焦點(diǎn)為，，且點(diǎn)在橢圓上．過點(diǎn)的動(dòng)直線l與橢圓相交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)B關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)D（不同于點(diǎn)A）．（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）證明：直線恒過定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)坐標(biāo)．【解析】（1）設(shè)橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為，由已知得.所以，，所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為．由得.設(shè)，，，則，特殊地，當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)為時(shí)，，所以，，，即，所以點(diǎn)B關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)為，則直線的方程為.當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，直線的方程為.如果存在定點(diǎn)Q滿足條件，則為兩直線交點(diǎn)，，，又因?yàn)樗裕慈c(diǎn)共線，故直線恒過定點(diǎn)，定點(diǎn)坐標(biāo)為．【點(diǎn)評(píng)】本題是先根據(jù)兩條特殊的曲線的交點(diǎn)，然后再根據(jù)三點(diǎn)共線，判斷直線恒過定點(diǎn)，(二)直線過定點(diǎn)問題1.直線過定點(diǎn)問題的解題模型2.求解動(dòng)直線過定點(diǎn)問題，一般可先設(shè)出直線的一般方程：，然后利用題中條件整理出的關(guān)系，若，代入得，則該直線過定點(diǎn).【例3】（2023屆福建省泉州市高三畢業(yè)班質(zhì)量監(jiān)測(cè)（一））已知橢圓過點(diǎn)．右焦點(diǎn)為，縱坐標(biāo)為的點(diǎn)在上，且．(1)求的方程：(2)設(shè)過與軸垂直的直線為，縱坐標(biāo)不為的點(diǎn)為上一動(dòng)點(diǎn)，過作直線的垂線交于點(diǎn)，證明：直線過定點(diǎn)．【解析】（1）設(shè)點(diǎn)，其中，則，因?yàn)闄E圓過點(diǎn)，則，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入橢圓的方程，可得可得，解得，因此，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）證明：由對(duì)稱性可知，若直線過定點(diǎn)，則點(diǎn)必在軸上，設(shè)點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)，則，所以，直線的垂線的斜率為，故直線的方程為，在直線的方程中，令，可得，即點(diǎn)，所以，直線的方程為，因?yàn)辄c(diǎn)在直線上，所以，，即，①又因?yàn)?，所以，，②將②代入①可得，即，，則，所以，直線過定點(diǎn).(三)圓過定點(diǎn)問題圓過定點(diǎn)問題的常見類型是以為直徑的圓過定點(diǎn)P，求解思路是把問題轉(zhuǎn)化為，也可以轉(zhuǎn)化為【例4】（2022屆廣西“智桂杯”高三上學(xué)期大聯(lián)考）已知橢圓的右焦點(diǎn)為，與軸不重合的直線過焦點(diǎn)，與橢圓交于，兩點(diǎn)，當(dāng)直線垂直于軸時(shí)，.（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)橢圓的左頂點(diǎn)為，，的延長(zhǎng)線分別交直線于，兩點(diǎn)，證明：以為直徑的圓過定點(diǎn).【解析】（1）橢圓的右焦點(diǎn)，則半焦距，當(dāng)軸時(shí)，弦AB為橢圓的通徑，即，則有，即，而，于是得，又，解得，，所以橢圓的方程為：.（2）依題意，直線不垂直于y軸，且過焦點(diǎn)，設(shè)的方程為，，，由得，，，因點(diǎn)，則直線的方程為，令，得，同理可得，于是有，則，因此，，即在以為直徑的圓上，所以以為直徑的圓過定點(diǎn).(四)確定定點(diǎn)使某個(gè)式子的值為定值求解此類問題一般先設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)，然后把所給式子用所設(shè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)或縱坐標(biāo)表示，再觀察該式子為定值的條件，確定所設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo).【例5】（2023屆山西省山西大學(xué)附屬中學(xué)校高三上學(xué)期9月診斷）如圖，橢圓：（，，是橢圓的左焦點(diǎn)，是橢圓的左頂點(diǎn)，是橢圓的上頂點(diǎn)，且，點(diǎn)是長(zhǎng)軸上的任一定點(diǎn)，過點(diǎn)的任一直線交橢圓于兩點(diǎn).(1)求橢圓的方程；(2)是否存在定點(diǎn)，使得為定值，若存在，試求出定點(diǎn)的坐標(biāo)，并求出此定值；若不存在，請(qǐng)說明理由.【解析】（1）由已知知，解得，所以橢圓方程為；（2）假設(shè)存在滿足題意，設(shè)，，，①當(dāng)直線與軸不垂直時(shí)，設(shè)：，代入并整理得∴，（*）（*）式是與無關(guān)的常數(shù)，則解得，此時(shí)為定值；②當(dāng)直線與垂直時(shí)，，，，也成立，所以存在定點(diǎn)，使得為定值．(五)與定點(diǎn)問題有關(guān)的基本結(jié)論1.若直線與拋物線交于點(diǎn)，則直線l過定點(diǎn)；2.若直線與拋物線交于點(diǎn)，則直線l過定點(diǎn)；3.設(shè)點(diǎn)是拋物線上一定點(diǎn)，是該拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，則直線MN過定點(diǎn).4.設(shè)點(diǎn)是拋物線上一定點(diǎn)，是該拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，則直線MN過定點(diǎn)；5.過橢圓的左頂點(diǎn)P作兩條互相垂直的直線與該橢圓交于點(diǎn)，則直線過點(diǎn)；6.過雙曲線的左頂點(diǎn)P作兩條互相垂直的直線與該橢圓交于點(diǎn)，則直線過點(diǎn)；7.設(shè)點(diǎn)是橢圓C：上一定點(diǎn)，點(diǎn)A,B是橢圓C上不同于P的兩點(diǎn)，若，則直線AB過定點(diǎn)；8.設(shè)點(diǎn)是雙曲線C：一定點(diǎn)，點(diǎn)A,B是雙曲線C上不同于P的兩點(diǎn)，若，則直線AB過定點(diǎn).【例6】（2023屆山西省長(zhǎng)治市高三上學(xué)期9月質(zhì)量檢測(cè)）已知點(diǎn)在橢圓：（）上，且點(diǎn)到橢圓右頂點(diǎn)的距離為．(1)求橢圓的方程；(2)若點(diǎn)，是橢圓上不同的兩點(diǎn)（均異于）且滿足直線與斜率之積為．試判斷直線是否過定點(diǎn)，若是，求出定點(diǎn)坐標(biāo)，若不是，說明理由．【解析】（1）點(diǎn)，在橢圓：（）上代入得：，點(diǎn)到橢圓右頂點(diǎn)的距離為，則，解得，，故橢圓的方程為．（2）由題意，直線的斜率存在，可設(shè)直線的方程為（），，，．聯(lián)立得．．∴，，∵直線與直線斜率之積為．∴，∴．化簡(jiǎn)得，∴，化簡(jiǎn)得，解得或．當(dāng)時(shí)，直線方程為，過定點(diǎn)．代入判別式大于零中，解得（）．當(dāng)時(shí)，直線的方程為，過定點(diǎn)，不符合題意．綜上所述：直線過定點(diǎn)．【例7】（2022屆海南華僑中學(xué)高三上學(xué)期月考）已知橢圓的左?右焦點(diǎn)分別為，點(diǎn)是橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)，是等腰直角三角形.（1）求橢圓的方程；（2）過點(diǎn)分別作直線交橢圓于兩點(diǎn)，設(shè)兩直線的斜率分別為，且，求證：直線過定點(diǎn).【解析】（1）由題意可得，解得所以橢圓的方程為.（2）設(shè).①當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)直線方程為，聯(lián)立得.由，得.所以．所以，即，所以，即，所以，所以，所以直線過定點(diǎn).②當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，，則，所以，則直線也過定點(diǎn).綜合①②，可得直線過定點(diǎn).三、跟蹤檢測(cè)1．（2023屆江蘇省金陵中學(xué)、海安中學(xué)高三上學(xué)期10月聯(lián)考）在一張紙上有一個(gè)圓：，定點(diǎn)，折疊紙片使圓上某一點(diǎn)好與點(diǎn)重合，這樣每次折疊都會(huì)留下一條直線折痕，設(shè)折痕與直線的交點(diǎn)為．(1)求證：為定值，并求出點(diǎn)的軌跡方程；(2)設(shè)，為曲線上一點(diǎn)，為圓上一點(diǎn)（，均不在軸上）．直線，的斜率分別記為，，且，求證：直線過定點(diǎn)，并求出此定點(diǎn)的坐標(biāo)．【解析】（1）由題意得，所以，即的軌跡是以，為焦點(diǎn)，實(shí)軸長(zhǎng)為2的雙曲線，即：；（2）由已知得：，：，聯(lián)立直線方程與雙曲線方程，由韋達(dá)定理得，所以，即，所以，聯(lián)立直線方程與圓方程，由韋達(dá)定理得，所以，即，因?yàn)?，即，所以，若直線所過定點(diǎn)，則由對(duì)稱性得定點(diǎn)在軸上，設(shè)定點(diǎn)，由三點(diǎn)共線得，即，所以直線過定點(diǎn)．2．（2023屆廣東省廣東廣雅中學(xué)高三上學(xué)期9月測(cè)試）已知橢圓：（）的離心率為．圓（為坐標(biāo)原點(diǎn)）在橢圓的內(nèi)部，半徑為．，分別為橢圓和圓上的動(dòng)點(diǎn)，且，兩點(diǎn)的最小距離為．(1)求橢圓的方程；(2)，是橢圓上不同的兩點(diǎn)，且直線與以為直徑的圓的一個(gè)交點(diǎn)在圓上．求證：以為直徑的圓過定點(diǎn)．【解析】（1）設(shè)橢圓的長(zhǎng)半軸為，短半軸為，半焦距為，由圓的性質(zhì)，當(dāng)點(diǎn)在橢圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，當(dāng)處于上下頂點(diǎn)時(shí)最小，故，即依題意得，解得，所以的方程為.（2）因?yàn)橹本€與以為直徑的圓的一個(gè)交點(diǎn)在圓上，所以直線與圓相切.（i）當(dāng)直線垂直于軸時(shí)，不妨設(shè)，，此時(shí)，所以，故以為直徑的圓過點(diǎn).（ii）當(dāng)直線不垂直于軸時(shí)，設(shè)直線的方程為，，.因?yàn)榕c圓相切，所以到直線的距離，即.由得，所以，，所以，故以為直徑的圓過點(diǎn).綜上，以為直徑的圓過點(diǎn).3（2023屆湖南省永州市高三上學(xué)期第一次考試）點(diǎn)在雙曲線上，離心率.(1)求雙曲線的方程；(2)是雙曲線上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)（異于點(diǎn)），分別表示直線的斜率，滿足，求證：直線恒過一個(gè)定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo).【解析】（1）由題意點(diǎn)在雙曲線上，離心率可得；，解出，，所以，雙曲線的方程是（2）①當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，則可設(shè)，代入，得，則，即，解得或，當(dāng)時(shí)，，其中一個(gè)與點(diǎn)重合，不合題意；當(dāng)時(shí)，直線的方程為，它與雙曲線不相交，故直線的斜率存在；②當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程代入，整理得，，設(shè)，則，由，所以所以，，即,整理得，即，所以或，若，則，直線化為，過定點(diǎn)；若，則，直線化為，它過點(diǎn)，舍去綜上，直線恒過定點(diǎn)4．（2023屆陜西師范大學(xué)附屬中學(xué)、渭北中學(xué)等高三上學(xué)期聯(lián)考）已知拋物線，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，F(xiàn)是C的焦點(diǎn)，M是C上一點(diǎn)，，．(1)求拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)設(shè)點(diǎn)在C上，過Q作兩條互相垂直的直線，分別交C于A，B兩點(diǎn)（異于Q點(diǎn)）．證明：直線恒過定點(diǎn)．【解析】（1）由，可得，代入．解得或（舍），所以拋物線的方程為：．（2）由題意可得，直線的斜率不為0，設(shè)直線的方程為，設(shè)，由，得，從而，則．所以，，∵，∴，故，整理得．即，從而或，即或．若，則，過定點(diǎn)，與Q點(diǎn)重合，不符合；若，則，過定點(diǎn)．綜上，直線過異于Q點(diǎn)的定點(diǎn)．5．（2023屆四川省部分重點(diǎn)中學(xué)高三上學(xué)期9月聯(lián)考）已知橢圓C：的右頂點(diǎn)是M（2，0），離心率為．(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程．(2)過點(diǎn)T（4，0）作直線l與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)A，B，點(diǎn)B關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為D，問直線AD是否過定點(diǎn)？若是，求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)；若不是，請(qǐng)說明理由．【解析】（1）由右頂點(diǎn)是M（2，0），得a＝2，又離心率，所以，所以，所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為．（2）設(shè)，，顯然直線l的斜率存在．直線l的方程為，聯(lián)立方程組消去y得，由，得，所以，．因?yàn)辄c(diǎn)，所以直線AD的方程為．又，所以直線AD的方程可化為，即，所以直線AD恒過點(diǎn)（1，0）．（方法二）設(shè)，，直線l的方程為，聯(lián)立方程組消去x得，由，得或，所以，．因?yàn)辄c(diǎn)，則直線AD的方程為．又，所以直線AD的方程可化為，此時(shí)直線AD恒過點(diǎn)（1,0），當(dāng)直線l的斜率為0時(shí)，直線l的方程為y＝0，也過點(diǎn)（1，0）．綜上，直線AD恒過點(diǎn)（1，0）．6．（2023屆安徽省滁州市定遠(yuǎn)縣高三上學(xué)期9月月考）設(shè)直線與雙曲線的兩條漸近線分別交于A，B兩點(diǎn)，且三角形的面積為．(1)求m的值；(2)已知直線l與x軸不垂直且斜率不為0，l與C交于兩個(gè)不同的點(diǎn)M，N，M關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為，F(xiàn)為C的右焦點(diǎn)，若，F(xiàn)，N三點(diǎn)共線，證明：直線l經(jīng)過x軸上的一個(gè)定點(diǎn)．【解析】（1）雙曲線的漸近線方程為，則不妨令點(diǎn)，，而點(diǎn)O到直線AB的距離為m，因此，解得，所以．（2）由（1）知，雙曲線C的方程為，右焦點(diǎn)，因直線l與x軸不垂直且斜率不為0，設(shè)直線l與x軸交于點(diǎn)，直線l的方程為，設(shè)，則，由消去y并整理得，顯然有且，化簡(jiǎn)得且，則，，而，F(xiàn)，N三點(diǎn)共線，即，則，因此，又，有，整理得，于是得，化簡(jiǎn)得，即直線：，過定點(diǎn)，所以直線l經(jīng)過x軸上的一個(gè)定點(diǎn)．7．（2023屆江西省智慧上進(jìn)高三上學(xué)期考試）已知橢圓C：的右焦點(diǎn)為F，過點(diǎn)F作一條直線交C于R，S兩點(diǎn)，線段RS長(zhǎng)度的最小值為，C的離心率為．(1)求C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)斜率不為0的直線l與C相交于A，B兩點(diǎn)，，且總存在實(shí)數(shù)，使得，問：l是否過一定點(diǎn)？若過定點(diǎn)，求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)；若不過定點(diǎn)，試說明理由．【解析】（1）由線段RS長(zhǎng)度的最小值為，得，又，所以，解得所以C的標(biāo)準(zhǔn)方程為．（2）由，可知PF平分，∴．設(shè)直線AB的方程為，，，由得，，即，∴，，∴，∴，∴，整理得，∴當(dāng)時(shí)，上式恒為0，即直線l恒過定點(diǎn)．8．（2023屆山西省高三上學(xué)期第一次摸底）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別是，，點(diǎn)，若的內(nèi)切圓的半徑與外接圓的半徑的比是．(1)求橢圓的方程；(2)過的左焦點(diǎn)作弦，，這兩條弦的中點(diǎn)分別為，，若，證明：直線過定點(diǎn)．【解析】（1）由題設(shè)，又，，若內(nèi)切圓半徑為，則外接圓半徑為，所以，即，，而，即，綜上，，即，可得，所以，，則.（2）當(dāng)直線斜率都存在時(shí)，令為，聯(lián)立，整理得：，且，所以，則，故，由，即，故為，聯(lián)立，所以，有，則，故，所以，則為，整理得，所以過定點(diǎn)；當(dāng)一條直線斜率不存在時(shí)對(duì)應(yīng)，故即為x軸，也過定點(diǎn)；綜上，直線過定點(diǎn)．9．（2023屆湖北省“宜荊荊恩”高三上學(xué)期考試）已知雙曲線與雙曲線有相同的漸近線，且過點(diǎn).(1)求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)已知是雙曲線上不同于的兩點(diǎn)，且于，證明：存在定點(diǎn)，使為定值.【解析】（1）因?yàn)殡p曲線C與已知雙曲線有相同的漸近線，設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為代入點(diǎn)坐標(biāo)，解得所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為（2）（i）當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)，設(shè)，聯(lián)立與雙曲線，化簡(jiǎn)得，，即，則有，又，因?yàn)?，所以，所以，化?jiǎn)，得，即，所以，且均滿足，當(dāng)時(shí)，直線的方程為，直線過定點(diǎn)，與已知矛盾，當(dāng)時(shí)，直線的方程為，過定點(diǎn)（ii）當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，由對(duì)稱性不妨設(shè)直線DE：，與雙曲線方程聯(lián)立解得，此時(shí)也過點(diǎn)，綜上，直線過定點(diǎn).由于，所以點(diǎn)在以為直徑的圓上，為該圓圓心，為該圓半徑，所以存在定點(diǎn)，使為定值.10．（2023屆江蘇省南京市高三上學(xué)期9月學(xué)情調(diào)研）已知拋物線C：的焦點(diǎn)為F，過點(diǎn)P(0，2)的動(dòng)直線l與拋物線相交于A，B兩點(diǎn)．當(dāng)l經(jīng)過點(diǎn)F時(shí)，點(diǎn)A恰好為線段PF中點(diǎn)．(1)求p的值；(2)是否存在定點(diǎn)T，使得為常數(shù)？若存在，求出點(diǎn)T的坐標(biāo)及該常數(shù)；若不存在，說明理由．【解析】（1）因?yàn)?，且點(diǎn)A恰好為線段PF中點(diǎn)，所以，又因?yàn)锳在拋物線上，所以，即，解得（2）設(shè)，可知直線l斜率存在；設(shè)l：，聯(lián)立方程得：，所以，所以，又：，令，解之得：，即，此時(shí)11．（2023屆江蘇省百校聯(lián)考高三上學(xué)期第一次考試）設(shè)為橢圓：的右焦點(diǎn)，過點(diǎn)且與軸不重合的直線交橢圓于，兩點(diǎn).(1)當(dāng)時(shí)，求；(2)在軸上是否存在異于的定點(diǎn)，使為定值（其中，分別為直線，的斜率）？若存在，求出的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.【解析】（1）設(shè)直線的方程為，，，聯(lián)立，得，又因?yàn)椋?，解得，，所以，?（2）假設(shè)在軸上存在異于點(diǎn)的定點(diǎn)，使得為定值.設(shè)直線的方程為，聯(lián)立，得，則，，所以.所以.要使為定值，則，解得或（舍去），此時(shí).故在軸上存在異于的定點(diǎn)，使得為定值.【例12】（2022屆遼寧省名校聯(lián)盟高三上學(xué)期12月聯(lián)考）已知拋物線的焦點(diǎn)為，點(diǎn)在上，且．（1）求點(diǎn)的坐標(biāo)及的方程；（2）設(shè)動(dòng)直線與相交于兩點(diǎn)，且直線與的斜率互為倒數(shù)，試問直線是否恒過定點(diǎn)？若過，求出該點(diǎn)坐標(biāo)；若不過，請(qǐng)說明理由．【分析】(1)利用拋物線定義求出，進(jìn)而求出p值即可得解.(2)設(shè)出直線的方程，再聯(lián)立直線l與拋物線C的方程，借助韋達(dá)定理探求出m與n的關(guān)系，再根據(jù)求解.【解析】（1）拋物線的準(zhǔn)線：，于是得，解得，而點(diǎn)在上，即，解得，又，則，所以的坐標(biāo)為，的方程為.（2）設(shè)，直線的方程為，由消去x并整理得：，則，，，因此，，化簡(jiǎn)得，即，代入方程得，即，則直線過定點(diǎn)，所以直線過定點(diǎn).13.（2022屆廣東省茂名市五校聯(lián)盟高三上學(xué)期聯(lián)考）已知橢圓：的左、右焦點(diǎn)分別為，.離心率等于，點(diǎn)在軸正半軸上，為直角三角形且面積等于2.（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）已知斜率存在且不為0的直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)在直線上時(shí)，直線是否過定點(diǎn)？若過定點(diǎn)，求出此定點(diǎn)；若不過，請(qǐng)說明理由.【解析】（1）根據(jù)題意，由對(duì)稱性得為等腰直角三角形，且，因?yàn)榈拿娣e等于，所以，即，因?yàn)闄E圓的離心率等于，即，解得，所以，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：.（2）由（1）得，設(shè)直線的方程為，，因?yàn)辄c(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)