專題9-2 圓的綜合題型歸類-高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)熱點題型歸納與變式演練

專題9-2圓的綜合題型歸類目錄TOC\o"1-3"\h\u【題型一】點與圓的位置關(guān)系 2【題型二】直線與圓1：到直線的距離為定值的點個數(shù) 3【題型三】直線與圓2：弦心距 4【題型四】直線與圓3：弦心角 5【題型五】直線與圓4：圓心與弦三角形最值 5【題型六】兩個圓公共弦與位置關(guān)系 6【題型七】阿波羅尼斯圓 7【題型八】圓中的“將軍飲馬型” 8【題型九】圓最值 9【題型十】圓中的光學(xué)性質(zhì) 9【題型十一】圓切線1：切線長范圍 10【題型十二】圓切線2：切點三角形與四邊形面積 10【題型十三】圓切線3：切點弦方程 11【題型十四】圓切線4：切點弦含參 12【題型十五】圓切線5：切點弦范圍 12【題型十六】圓切線6：兩圓公切線 13【題型十七】圓切線7：角度范圍 13【題型十八】圓有關(guān)的軌跡 14真題再現(xiàn) 15模擬檢測 16綜述1.圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)，其中(a，b)為圓心，r為半徑．2.圓的一般方程：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0該方程表示圓的充要條件是D2＋E2－4F>0，其中圓心為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(D,2)，－\f(E,2)))，半徑r＝eq\f(\r(D2＋E2－4F),2).3.判斷直線與圓的位置關(guān)系常用的兩種方法(1)幾何法：利用圓心到直線的距離d和圓半徑r的大小關(guān)系：d<r?相交；d＝r?相切；d>r?相離．(2)代數(shù)法：利用判別式Δ＝b2－4ac進(jìn)行判斷：Δ>0?相交；Δ＝0?相切；Δ<0?相離．4．圓與圓的位置關(guān)系：設(shè)圓O1：(x－a1)2＋(y－b1)2＝req\o\al(2,1)(r1>0)，圓O2：(x－a2)2＋(y－b2)2＝req\o\al(2,2)(r2>0).則：d>r1＋r2?外離； d＝r1＋r2?外切； |r1－r2|<d<r1＋r2?相交； d＝|r1－r2|?內(nèi)切； 0≤d<|r1－r2|?內(nèi)含5.圓的切線方程常用結(jié)論(1)過圓x2＋y2＝r2上一點P(x0，y0)的圓的切線方程為：x0x＋y0y＝r2.(2)過圓(x－a)2＋(y－b)2＝r2上一點P(x0，y0)的圓的切線方程為：(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2.(3)過圓C：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0外一點M(x0，y0)作圓的兩條切線，則兩切點所在直線方程的求法：①以M為圓心，切線長為半徑求圓M的方程； ②用圓M的方程減去圓C的方程即得；(x－a)2＋(y－b)2＝r2外一點P(x0，y0)做切線，切點所在直線方程（切點弦方程）為：(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2.6.圓與圓的位置關(guān)系的常用結(jié)論(1)兩圓的位置與公切線的條數(shù)：①內(nèi)含：0條；②內(nèi)切：1條；③相交：2條；④外切：3條；⑤外離：4條．(2)公共弦直線：當(dāng)兩圓相交時，兩圓方程(x2，y2項系數(shù)相同)相減便可得公共弦所在直線的方程．7.圓與圓位置關(guān)系的判定（1）幾何法：若兩圓的半徑分別為，，兩圓連心線的長為d，則兩圓的位置關(guān)系的判斷方法如下：位置關(guān)系外離外切相交內(nèi)切內(nèi)含圖示d與，的關(guān)系__（2）代數(shù)法：通過兩圓方程組成方程組的公共解的個數(shù)進(jìn)行判斷．消元，一元二次方程【題型一】點與圓的位置關(guān)系【典例分析】若點在圓外，則實數(shù)m的取值范圍是（

）A． B． C．（－2，0） D．（0，2）【提分秘籍】基本規(guī)律圓的標(biāo)準(zhǔn)方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2，一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，點M(x0，y0)，則有：(1)點在圓上：(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2，x02＋y02＋Dx0＋Ey0＋F＝0；(2)點在圓外：(x0－a)2＋(y0－b)2>r2，x02＋y02＋Dx0＋Ey0＋F＞0；(3)點在圓內(nèi)：(x0－a)2＋(y0－b)2<r2，x02＋y02＋Dx0＋Ey0＋F＜0.容易錯誤的點：一定要把圓配成標(biāo)準(zhǔn)形式，保證右邊是正數(shù)（半徑平方有意義）【變式演練】1.已知點在外，則直線與圓的位置關(guān)系為（

）A．相交B．相切C．相離D．相交、相切、相離三種情況均有可能2.若坐標(biāo)原點在圓內(nèi)，則的取值范圍是_________.【題型二】直線與圓1：到直線的距離為定值的點個數(shù)【典例分析】若圓上總存在兩個點到原點的距離等于1，則實數(shù)的取值范圍是______.【提分秘籍】基本規(guī)律解決圓上點到直線距離為定值的點的個數(shù)，可以以下幾個圖形來理解和計算.注意，不同的數(shù)據(jù)，圖形會有出入，思維不變?！咀兪窖菥殹?.若圓上至少有三個不同的點到直線的距離為，則該直線的斜率的范圍是_______________________．2.若圓上恰有2個點到直線的距離等于1，則的取值范圍是___________.3.設(shè)過點的直線l的斜率為k，若圓上恰有三點到直線l的距離等于1，則k的值為___________.【題型三】直線與圓2：弦心距【典例分析】若直線與圓交于不同的兩點A、B，且，則（

）A． B． C． D．【提分秘籍】基本規(guī)律圓的弦長的求法：（1）幾何法，設(shè)圓的半徑為，弦心距為，弦長為，則；（2）代數(shù)法，設(shè)直線與圓相交于，，聯(lián)立直線與圓的方程，消去，得到一個關(guān)于的一元二次方程，從而可求出，，根據(jù)弦長公式，即可得出結(jié)果.【變式演練】1.已知圓：，若圓與軸交于，兩點，且，則（

）A． B．2 C． D．12.已知直線與圓交于兩點，且，則（

）A． B． C． D．3.直線l與圓相交于A，B兩點，則弦長且在兩坐標(biāo)軸上截距相等的直線l共有（

）．A．1條 B．2條 C．3條 D．4條【題型四】直線與圓3：弦心角【典例分析】已知直線l：與圓O：相交于不同的兩點A，B，若∠AOB為銳角，則m的取值范圍為（

）A． B．C． D．【提分秘籍】基本規(guī)律直線與圓相交有兩個交點，則與圓心所構(gòu)成的三角形，必是等腰三角形，此時，圓心到直線的垂線段是等腰三角形底邊上的高（中線，角平分線）【變式演練】1.已知直線（其中a，b為非零實數(shù)），與圓x+y2=1相交于A，B兩點，O為坐標(biāo)原點，且△AOB為直角三角形，則的最小值為A．4 B．2 C．5 D．82.若直線與圓相交于，兩點，且（為坐標(biāo)原點），則（

）A．1 B． C．2 D．3.．已知直線：與圓：相交于，兩點，為坐標(biāo)原點，則等于（

）A． B． C． D．【題型五】直線與圓4：圓心與弦三角形最值【典例分析】已知直線與圓相交于兩點，當(dāng)?shù)拿娣e最大時，的值是（

）A． B． C． D．【提分秘籍】基本規(guī)律直線與圓相交，交點與圓心所構(gòu)成的三角形最值范圍，有以下幾類：1.圓圓心與半徑確定，直線過定點，但不知道傾斜角（斜率位置）2.直線已知，圓心或者半徑未知。【變式演練】1.已知直線與x軸，y軸分別交于A，B兩點，且直線l與圓相切，則的面積的最小值為（

）A．1 B．2C．3 D．42.設(shè)m，n∈R，若直線l：mx＋ny－1＝0與x軸相交于點A，與y軸相交于點B，且直線l與圓x2＋y2＝4相交所得的弦長為2，O為坐標(biāo)原點，則面積的最小值為（

）A．5 B．4 C．3 D．23.直線：與圓：交于，兩點，當(dāng)?shù)拿娣e最大時，弦所對的劣弧長為A． B． C． D．【題型六】兩個圓公共弦與位置關(guān)系【典例分析】已知圓，半徑為的圓的圓心沿著直線自下往上運(yùn)動，若當(dāng)圓和圓相交于兩點，且第一次使得時，則兩圓的公共弦所在的直線方程為________.【提分秘籍】基本規(guī)律兩圓的位置關(guān)系應(yīng)考慮圓心距和兩圓的半徑之間的關(guān)系：⑴兩圓外離，⑵兩圓外切，則；⑶兩圓相交，則；⑷兩圓內(nèi)切，則；⑸兩圓內(nèi)含，則．公共弦直線：當(dāng)兩圓相交時，兩圓方程(x2，y2項系數(shù)相同)相減便可得公共弦所在直線的方程．【變式演練】1.已知圓：與圓：的公共弦所在直線恒過定點,且點在直線上,則的取值范圍是（

）A． B． C． D．2.已知圓O1的方程為x2＋(y＋1)2＝6，圓O2的圓心坐標(biāo)為(2，1).若兩圓相交于A，B兩點，且|AB|＝4，則圓O2的方程為（

）A．(x－2)2＋(y－1)2＝6B．(x－2)2＋(y－1)2＝22C．(x－2)2＋(y－1)2＝6或(x－2)2＋(y－1)2＝22D．(x－2)2＋(y－1)2＝36或(x－2)2＋(y－1)2＝323.已知圓和圓，垂直平分兩圓的公共弦的直線的一般式方程為___________.【題型七】阿波羅尼斯圓【典例分析】古希臘著名數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯發(fā)現(xiàn)：平面內(nèi)到兩個定點的距離之比為定值的點的軌跡是圓，此圓被稱為“阿波羅尼斯圓”.在平面直角坐標(biāo)系中，，點滿足.設(shè)點的軌跡為，則下列說法錯誤的是（

）A．軌跡的方程為B．在軸上存在異于的兩點，使得C．在上存在點，使得D．當(dāng)三點不共線時，射線是的角平分線【提分秘籍】基本規(guī)律已知平面上兩點A、B，則所有滿足PA/PB=k，且K不等于1的點P的軌跡，是一個圓心在A、B兩個點的所在直線上的圓。這個軌跡最先由\t"/item/%E9%98%BF%E6%B0%8F%E5%9C%86/_blank"古希臘數(shù)學(xué)家\t"/item/%E9%98%BF%E6%B0%8F%E5%9C%86/_blank"阿波羅尼斯發(fā)現(xiàn)，故稱作阿氏圓即PA=KPB，k不等于1，則P點軌跡是一個圓，可直接設(shè)點推導(dǎo)【變式演練】1.古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼奧斯的著作《圓錐曲線論》中給出了圓的另一種定義：平面內(nèi)到兩個定點，距離之比是常數(shù)的點的軌跡是圓，若兩定點，的距離為3，動點滿足，則點的軌跡圍成區(qū)域的面積為（

）A． B． C． D．2.已知點，動點滿足，則的取值范圍（

）A． B． C． D．3.已知邊長為2的等邊三角形，是平面內(nèi)一點，且滿足，則三角形面積的最小值是（

）A． B． C． D．【題型八】圓中的“將軍飲馬型”【典例分析】唐代詩人李頎的詩《古從軍行》開頭兩句說：“白日登山望烽火，黃昏飲馬傍交河．”詩中隱含著一個有趣的數(shù)學(xué)問題——“將軍飲馬”，即將軍在觀望烽火之后從山腳下某處出發(fā)，先到河邊飲馬后再回軍營，怎樣走才能使總路程最短？在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)軍營所在區(qū)域為，若將軍從點處出發(fā)，河岸線所在直線方程為，并假定將軍只要到達(dá)軍營所在區(qū)域即回到軍營，則“將軍飲馬”的最短總路程為___________．【提分秘籍】基本規(guī)律圓中將軍飲馬型規(guī)律：已知圓（x－a)2＋(y－b)2＝R2上任意一點P和坐標(biāo)軸上任意兩點A,B.求的最值問題，可逆用阿波羅尼斯圓轉(zhuǎn)化為三點共線計算【變式演練】1.在平面直角坐標(biāo)系中，和是圓上的兩點，且，點，則的取值范圍是（）A． B．C． D．2.2020年11月，我國用長征五號遙五運(yùn)載火箭成功發(fā)射探月工程嫦娥五號探測器，探測器在進(jìn)入近圓形的環(huán)月軌道后，將實施著陸器和上升器組合體與軌道器和返回器組合體分離.我們模擬以下情景：如圖，假設(shè)月心位于坐標(biāo)原點，探測器在處以的速度勻速直線飛向距月心的圓形軌道上的某一點，在點處分離出著陸器和上升器組合體后，軌道器和返回器組合體立即以的速度勻速直線飛至，這一過程最少用時_______________s.3.已知點A(6，0)，B(6，2)，圓，點P在圓C上運(yùn)動，則的最大值為（

）A． B． C． D．8【題型九】圓最值【典例分析】已知直線與圓相交于兩點，直線與圓相交于兩點，圓心到直線的距離分別為，若，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【變式演練】1.已知直線與圓交于兩點，過分別作的垂線與軸交于兩點，則當(dāng)最小時，（

）A．4 B． C．8 D．2.直線分別與x軸，y軸交于兩點，點在圓，則面積的取值范圍是（

）A． B．C． D．3.已知直線與圓：相交于不同兩點，，點為線段的中點，若平面上一動點滿足，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．【題型十】圓中的光學(xué)性質(zhì)【典例分析】已知點，點是圓上的動點，點是圓上的動點，則的最大值為A． B． C． D．【變式演練】1.一束光線，從點出發(fā)，經(jīng)軸反射到圓上的最短路徑的長度是（

）A． B． C． D．2.已知分別是直線和圓上的動點，圓與軸正半軸交于點，則的最小值為A． B． C． D．3.已知圓的方程為，直線：恒過定點A.若一條光線從點A射出，經(jīng)直線上一點M反射后到達(dá)圓C上的一點N，則的最小值為（

）A．6 B．5 C．4 D．3【題型十一】圓切線1：切線長范圍【典例分析】已知點P為橢圓，上的一個動點，過點P作圓的一條切線，切點為A，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【變式演練】1.由直線上的點P向圓C：引切線PT(T為切點)，當(dāng)|PT|最小時，點P的坐標(biāo)是（

）A．(－1，1) B．(0，2） C．(－2，0） D．(1，3)2.由直線x+2y-7=0上一點P引圓的一條切線，切點為A,則的最小值為A． B． C． D．3.過圓上的點P作圓的切線，切點為Q，則的最小值為（

）A．2 B． C． D．【題型十二】圓切線2：切點三角形與四邊形面積【典例分析】由直線上的一點向圓：引切線，切點分別為，，則四邊形面積的最小值為A．1 B． C． D．3【變式演練】1.已知是圓外一點，過點作圓的切線，切點為，記四邊形的面積為，當(dāng)在圓上運(yùn)動時，的取值范圍為（

）A． B． C． D．2.已知圓，P為直線上的動點，過點P作圓C的切線，切點為A，當(dāng)?shù)拿娣e最小時，的外接圓的方程為（

）A． B．C． D．3.過x軸上一點P向圓作圓的切線，切點為A、B，則面積的最小值是（

）A． B． C． D．【題型十三】圓切線3：切點弦方程【典例分析】已知圓，過直線在第一象限內(nèi)一動點P作圓O的兩條切線，切點分別是A，B，直線AB與兩坐標(biāo)軸分別交于M，N兩點，則面積的最小值為（

）A． B．1 C． D．2【提分秘籍】基本規(guī)律切點弦方程求解，可以有如下兩種思路1.公共弦法：過圓外一點作圓的切線，則切點與四點共圓，線段就是圓的一條直徑．兩圓方程相減可得公共弦所在直線方程．2二級結(jié)論法：(x－a)2＋(y－b)2＝r2外一點P(x0，y0)做切線，切點所在直線方程（切點弦方程）為：(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2.【變式演練】1.已知直線，過直線l上的動點P作圓的兩條切線，切點分別為A，B，則點到直線的距離最大值為（

）A． B． C． D．2.過點作圓的兩條切線，設(shè)切點分別為、，則直線的方程為（

）A． B． C． D．3.已知，直線．P為上的動點．過點P作的切線，切點為，當(dāng)最小時，直線的方程為（

）A． B． C． D．【題型十四】圓切線4：切點弦含參【典例分析】已知圓，點為直線上一動點，過點向圓引兩條切線為切點，則直線經(jīng)過定點.A． B． C． D．【變式演練】1.圓：，點為直線上的一個動點，過點向圓作切線，切點分別為、，則直線過定點A． B． C． D．2.已知圓，直線，P為直線l上的動點，過點P作圓C的切線，切點分別為A，B，則直線過定點（

）A． B． C． D．3.已知圓.若動點在直線上，過點引圓的兩條切線、，切點分別為，.則直線恒過定點，點的坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．【題型十五】圓切線5：切點弦范圍【典例分析】若為直線上一個動點，從點引圓的兩條切線，（切點為，），則線段的長度的取值范圍是（

）A． B． C． D．【變式演練】1.已知圓和圓，過圓上任意一點作圓的兩條切線，設(shè)兩切點分別為，則線段長度的取值范圍為（

）A． B． C． D．2.在平面直角坐標(biāo)系中，已知點滿足，過作單位圓的兩條切線，切點分別為，則線段長度的取值范圍是______.3.瑞士著名數(shù)學(xué)家歐拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心位于同一直線上.這條直線被后人稱為三角形的“歐拉線”.在平面直角坐標(biāo)系中作，，點，點，過其“歐拉線”上一點Р作圓O：的兩條切線，切點分別為M，N，則的最小值為（

）A． B． C． D．【題型十六】圓切線6：兩圓公切線【典例分析】若圓與圓相交于A，B兩點，且兩圓在點A處的切線互相垂直，則線段的長為（

）A．2 B．3 C．4 D．5【變式演練】1.已知圓，圓，兩圓的內(nèi)公切線交于點，外公切線交于點，若，則等于（）A． B． C． D．2.兩個圓與恰有三條公切線，則的最小值為（）A． B． C． D．3.已知圓和圓恰有三條公共切線，則的最小值為（

）A． B．2 C． D．4【題型十七】圓切線7：角度范圍【典例分析】已知平面直角坐標(biāo)系內(nèi)一動點P，滿足圓上存在一點Q使得，則所有滿足條件的點P構(gòu)成圖形的面積為（

）A． B． C． D．【提分秘籍】基本規(guī)律和圓的切線有關(guān)的角度問題，難度較難.圓有關(guān)的角度恒成立求參數(shù)范圍問題，可通過數(shù)形結(jié)合的方式將角度問題轉(zhuǎn)化為長度問題，尋求恒成立的臨界條件，由此構(gòu)建不等式求解出參數(shù)范圍.【變式演練】1.在平面直角坐標(biāo)系中，若圓：上存在兩點、滿足：，則實數(shù)的最大值是______.2.在平面直角坐標(biāo)系中，已知圓C滿足：圓心在軸上，且與圓相外切.設(shè)圓C與軸的交點為M，N，若圓心C在軸上運(yùn)動時，在軸正半軸上總存在定點，使得為定值，則點的縱坐標(biāo)為_________.3.已知圓，為圓上的兩個動點，且，為弦的中點.直線上有兩個動點，且.當(dāng)在圓上運(yùn)動時，恒為銳角，則線段中點的橫坐標(biāo)取值范圍為________．【題型十八】圓有關(guān)的軌跡【典例分析】平面直角坐標(biāo)系中，已知圓，點為直線上的動點，以為直徑的圓交圓于、兩點，點在上且滿足，則點的軌跡方程是________．【提分秘籍】基本規(guī)律求軌跡思維：①直譯法：直接根據(jù)題目提供的動點條件，直接列出方程，化簡可得；②幾何法：根據(jù)動點滿足的幾何特征，判斷其軌跡類型，然后根據(jù)軌跡定義直接寫出方程．③代入法：找到要求點與已知點的關(guān)系，代入已知點滿足的關(guān)系式等．【變式演練】1.如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，邊長為2的正方形ABCD沿x軸滾動（無滑動滾動），點D恰好經(jīng)過坐標(biāo)原點，設(shè)頂點的軌跡方程是，則_____________.2.過軸下方的一動點作拋物線的兩切線，切點分別為，若直線到圓相切，則點的軌跡方程為A． B． C． D．3.已知圓：與圓：，過動點分別作圓、圓的切線、(、分別為切點），若，則的最小值是（

）A． B． C． D．1．（2021·北京·高考真題）已知直線（為常數(shù)）與圓交于點，當(dāng)變化時，若的最小值為2，則

A． B． C． D．2．（2020·全國·高考真題（文））已知圓，過點（1，2）的直線被該圓所截得的弦的長度的最小值為（

）A．1 B．2C．3 D．43．（2020·全國·高考真題（理））已知⊙M：，直線：，為上的動點，過點作⊙M的切線，切點為，當(dāng)最小時，直線的方程為（

）A． B． C． D．4．（2018·北京·高考真題（理））在平面直角坐標(biāo)系中，記為點到直線的距離，當(dāng)、變化時，的最大值為A． B．C． D．5．（江西·高考真題（理））過點（，0）引直線ι與曲線交于A,B兩點，O為坐標(biāo)原點，當(dāng)△AOB的面積取最大值時，直線ι的斜率等于A． B．- C．D-6．（·重慶·高考真題（理））在圓x2+y2﹣2x﹣6y=0內(nèi)，過點E（0，1）的最長弦和最短弦分別為AC和BD，則四邊形ABCD的面積為A． B． C． D．7．（2021·全國·高考真題）已知直線與圓，點，則下列說法正確的是（

）A