專題9-3 求橢圓雙曲線離心率題型歸類-高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)熱點(diǎn)題型歸納與變式演練

專題9-3橢圓雙曲線離心率題型歸類目錄TOC\o"1-3"\h\u【題型一】 2【題型二】 2【題型三】 3【題型四】 5【題型五】 6【題型六】 7【題型七】 7【題型八】 8【題型九】 9【題型十】 10真題再現(xiàn) 12模擬檢測(cè) 14綜述1.離心率是雙曲線最重要的幾何性質(zhì)，求的離心率(或離心率的取值范圍)，常見有兩種方法：①求出a，c，代入公式；②只需要根據(jù)一個(gè)條件得到關(guān)于a，b，c的齊次式，結(jié)合b2＝c2－a2轉(zhuǎn)化為a，c的齊次式，然后等式(不等式)兩邊分別除以a或a2轉(zhuǎn)化為關(guān)于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范圍)．2.橢圓離心率：.e＝eq\f(c,a)＝eq\r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)))2)e∈(0,1)橢圓扁平程度：因?yàn)閑＝eq\f(c,a)＝eq\r(\f(c2,a2))＝eq\r(\f(a2－b2,a2))＝eq\r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)))2)，所以e越大，橢圓越扁；e越小，橢圓越圓3.雙曲線離心率：e＝eq\f(c,a)＝eq\r(1+\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)))2)e∈(1,)【題型一】定義與幾何性質(zhì)求離心率【典例分析】設(shè)橢圓的左右焦點(diǎn)分別為，，焦距為，點(diǎn)在橢圓的內(nèi)部，點(diǎn)P是橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，且恒成立，則橢圓的離心率的取值范圍為（

）A． B． C． D．【提分秘籍】基本規(guī)律1.橢圓第一定義：雙曲線第一定義：2.一般情況下，見到與一個(gè)焦點(diǎn)有關(guān)的長(zhǎng)度，則利用第一定義轉(zhuǎn)化為與另一個(gè)焦點(diǎn)的距離。（橢圓是減，雙曲線是結(jié)合左右兩支判斷加減）【變式演練】1.若橢圓的頂點(diǎn)和焦點(diǎn)中，存在不共線的三點(diǎn)恰為菱形的中心和頂點(diǎn)，則的離心率等于（

）A． B． C．或 D．或2.已知雙曲線的左焦點(diǎn)為F，虛軸的上端點(diǎn)為B，P為雙曲線右支上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，若周長(zhǎng)的最小值等于實(shí)軸長(zhǎng)的4倍，則該雙曲線的離心率為（

）A． B． C． D．3.過雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)作垂直于實(shí)軸的直線,交雙曲線于,是另一焦點(diǎn),若,則雙曲線的離心率等于（

）A． B． C． D．【題型二】利用點(diǎn)差法求離心率【典例分析】已知橢圓，，，過點(diǎn)的直線與橢圓交于，，過點(diǎn)的直線與橢圓交于，，且滿足，設(shè)和的中點(diǎn)分別為，，若四邊形為矩形，且面積為，則該橢圓的離心率為（

）．A． B． C． D．【變式演練】1.已知直線與橢圓相交于兩點(diǎn)，且線段的中點(diǎn)在直線上，則此橢圓的離心率為_______2.已知雙曲線：斜率為的直線與的左右兩支分別交于，兩點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)為，直線交于另一點(diǎn)，直線交于另一點(diǎn)，如圖1.若直線的斜率為，則的離心率為（

）A． B． C． D．3.已知，分別為雙曲線的左、右焦點(diǎn)，以為直徑的圓與雙曲線在第一象限和第三象限的交點(diǎn)分別為，，設(shè)四邊形的周長(zhǎng)為，面積為，且滿足，則該雙曲線的離心率為______.【題型三】焦點(diǎn)三角形與離心率【典例分析】已知橢圓的左，右焦點(diǎn)分別為，，以坐標(biāo)原點(diǎn)O為圓心，線段為直徑的圓與橢圓C在第一象限相交于點(diǎn)A．若，則橢圓C的離心率的取值范圍為______．【提分秘籍】基本規(guī)律焦點(diǎn)三角形（1）焦點(diǎn)三角形面積：橢圓：，雙曲線：2．頂角橢圓頂角在短軸頂點(diǎn)處最大。3．與正余弦定理結(jié)合設(shè)橢圓（a＞0,b＞0）的兩個(gè)焦點(diǎn)為F1、F2,P（異于長(zhǎng)軸端點(diǎn)）為橢圓上任意一點(diǎn)，在△PF1F2中，記,,，則有.設(shè)雙曲線（a＞0，b＞0）的兩個(gè)焦點(diǎn)為F1、F2,P（異于長(zhǎng)軸端點(diǎn)）為雙曲線上任意一點(diǎn)，在△PF1F2中，記,,，則有【變式演練】1.已知橢圓的左右焦點(diǎn)分別為，直線與C相交于M，N兩點(diǎn)（其中M在第一象限），若M，，N，四點(diǎn)共圓，且直線傾斜角不小于，則橢圓C的離心率e的取值范圍是（

）A． B． C． D．2.已知，分別是雙曲線，的左、右焦點(diǎn)，雙曲線上有一點(diǎn)，滿足，且，則該雙曲線離心率的取值范圍是____3.已知，是雙曲線：的左，右焦點(diǎn)，過點(diǎn)傾斜角為30°的直線與雙曲線的左，右兩支分別交于點(diǎn)，.若，則雙曲線的離心率為（

）A． B． C．2 D．【題型四】第三定義與離心率【典例分析】已知雙曲線的兩個(gè)頂點(diǎn)分別為，，點(diǎn)為雙曲線上除，外任意一點(diǎn)，且點(diǎn)與點(diǎn)，連線的斜率為，，若，則雙曲線的離心率為（

）A． B． C．2 D．3【提分秘籍】基本規(guī)律第三定義：1.A,B是橢圓C:eq\f(x2,a2)+eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)上兩點(diǎn)，M為A,B中點(diǎn)，則（可用點(diǎn)差法快速證明）結(jié)論拓展已知直線：與橢圓相交于，兩點(diǎn)，為的中點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，則.2.A,B是雙曲線C:eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)上兩點(diǎn)，M為A,B中點(diǎn)，則（可用點(diǎn)差法快速證明）結(jié)論拓展已知直線：與雙曲線相交于，兩點(diǎn)，為的中點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，則.【變式演練】1.已知平行四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)均在雙曲線上，為坐標(biāo)原點(diǎn)，為線段的中點(diǎn)且的斜率之積為3，則雙曲線的離心率為_________.2.若A，B分別是橢圓，短軸上的兩個(gè)頂點(diǎn)，點(diǎn)P是橢圓上異于A，B的任意一點(diǎn)，若直線AP與BP的斜率之積為，則橢圓的離心率為_________.3..已知A，B是不過原點(diǎn)O的直線l與橢圓C：的兩個(gè)交點(diǎn)，E為A，B中點(diǎn)，設(shè)直線AB、OE的斜率分別為且、，若，則該橢圓的離心率為_________．【題型五】第二定義與離心率【典例分析】已知橢圓C：的左，右焦點(diǎn)，過原點(diǎn)的直線l與橢圓C相交于M，N兩點(diǎn)．其中M在第一象限．，則橢圓C的離心率的取值范圍為（

）A． B．C． D．【提分秘籍】基本規(guī)律橢圓雙曲線第二定義：動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)的距離與它到直線的距離的比為常數(shù)（即離心率）.【變式演練】1.已知，分別是橢圓的左頂點(diǎn)和右焦點(diǎn)，是橢圓上一點(diǎn)，直線與直線相交于點(diǎn).且是頂角為120°的等腰三角形，則該橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．2.已知為雙曲線(，)左支上一點(diǎn)，，為其左右焦點(diǎn)，若的最小值為，則雙曲線的離心率為（

）A． B． C． D．3.若點(diǎn)P為雙曲線上任意一點(diǎn)，則P滿足性質(zhì)：點(diǎn)P到右焦點(diǎn)的距離與它到直線的距離之比為離心率e，若C的右支上存在點(diǎn)Q，使得Q到左焦點(diǎn)的距離等于它到直線的距離的6倍，則雙曲線的離心率的取值范圍是______．【題型六】焦點(diǎn)弦余弦定理與離心率【典例分析】已知橢圓的左焦點(diǎn)和右焦點(diǎn)，上頂點(diǎn)為，的中垂線交橢圓于點(diǎn)，若左焦點(diǎn)在線段上，則橢圓離心率為____．【提分秘籍】基本規(guī)律焦點(diǎn)弦型雙三角形雙余弦定理，常見的一般模型如下圖：可分別在倆三角形中各自用余弦定理，聯(lián)立解離心率【變式演練】1.已知橢圓=1（a>b>0）的右焦點(diǎn)為F，橢圓上的A，B兩點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，|FA|=2|FB|，且·≤a2，則該橢圓離心率的取值范圍是（

）A．（0，] B．（0，] C．，1) D．，1)2.已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，分別過，作斜率為2的直線交C在x軸上半平面部分于P，Q兩點(diǎn)．記面積分別為，若，則雙曲線C的離心率為_____________．3.已知，分別是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)在雙曲線右支上且不與頂點(diǎn)重合，過作的角平分線的垂線，垂足為．若，則該雙曲線離心率的取值范圍為（

）A． B．C． D．【題型七】定比分點(diǎn)與離心率【典例分析】橢圓的左右焦點(diǎn)分別為，，過點(diǎn)的直線l交橢圓C于A，B兩點(diǎn)，已知，，則橢圓C的離心率為（

）A． B． C． D．【提分秘籍】基本規(guī)律過圓錐曲線的焦點(diǎn)F的弦AB與對(duì)稱軸（橢圓是長(zhǎng)軸，雙曲線是實(shí)軸）的夾角為【變式演練】1.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)F是橢圓的左焦點(diǎn)，A為橢圓的上頂點(diǎn)，過點(diǎn)A作垂直于AF的直線分別與x軸正半軸和橢圓交于點(diǎn)M，N，若，則橢圓C的離心率e的值為（

）A． B． C． D．2.已知點(diǎn)F為雙曲線(，)的左焦點(diǎn)，過原點(diǎn)O的直線與雙曲線交于A、B兩點(diǎn)(點(diǎn)B在雙曲線左支上)，連接BF并延長(zhǎng)交雙曲線于點(diǎn)C，且，AF⊥BC，則該雙曲線的離心率為(

)A． B． C． D．3.設(shè)為雙曲線（，）的右焦點(diǎn)，過且斜率為的直線與雙曲線的兩條漸近線分別交于，兩點(diǎn)，且，則雙曲線的離心率為________.【題型八】三角形四心與離心率【典例分析】已知橢圓的左右焦點(diǎn)為F1、F2，點(diǎn)P為橢圓上一點(diǎn)，的重心、內(nèi)心分別為G、I，若，則橢圓的離心率e等于（

）A． B． C． D．【變式演練】1.已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為、，經(jīng)過的直線交橢圓于，，的內(nèi)切圓的圓心為，若，則該橢圓的離心率是（

）A． B． C． D．2.已知雙曲線的左?右頂點(diǎn)分別是，，點(diǎn)，點(diǎn)在過點(diǎn)且垂直于軸的直線上，當(dāng)?shù)耐饨訄A面積達(dá)到最小時(shí)，點(diǎn)恰好在雙曲線上，則雙曲線的離心率為（）A． B． C． D．3.已知雙曲線()的左?右焦點(diǎn)分別為為雙曲線上的一點(diǎn)，為的內(nèi)心，且，則的離心率為（

）A． B． C． D．【題型九】切線與離心率【典例分析】已知橢圓與圓，若在橢圓上不存在點(diǎn)P，使得由點(diǎn)P所作的圓的兩條切線互相垂直，則橢圓的離心率的取值范圍是（

）A． B． C． D．【提分秘籍】基本規(guī)律圓的切線：(x－a)2＋(y－b)2＝r2外一點(diǎn)P(x0，y0)做切線，切點(diǎn)所在直線方程（切點(diǎn)弦方程）為：(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2.同理，橢圓雙曲線的切線與切點(diǎn)弦統(tǒng)一方程為：【變式演練】1.國(guó)家體育場(chǎng)“鳥巢”的鋼結(jié)構(gòu)鳥瞰圖如圖1所示，內(nèi)外兩圈的鋼骨架是離心率相同的橢圓；某校體育館的鋼結(jié)構(gòu)與“鳥巢”相同，其平面圖如圖2所示，若由外層橢圓長(zhǎng)軸一端點(diǎn)A和短軸一端點(diǎn)分別向內(nèi)層橢圓引切線，，且兩切線斜率之積等于，則橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．2.在直角平面坐標(biāo)系中，分別是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，過點(diǎn)作圓的切線，與雙曲線左、右兩支分別交于點(diǎn)，若，則的值是_________．3.已知雙曲線的左，右焦點(diǎn)分別為，，過作圓的切線，切點(diǎn)為，延長(zhǎng)交雙曲線的左支于點(diǎn)．若，則雙曲線的離心率的取值范圍是（

）A． B． C． D．【題型十】共焦點(diǎn)橢圓與雙曲線離心率【典例分析】設(shè)，分別為橢圓：與雙曲線：的公共焦點(diǎn)，它們?cè)诘谝幌笙迌?nèi)交于點(diǎn)，，若橢圓的離心率，則雙曲線的離心率的取值范圍為________________________．【提分秘籍】基本規(guī)律.橢圓與雙曲線共焦點(diǎn)、，它們的交點(diǎn)對(duì)兩公共焦點(diǎn)、的張角為，橢圓與雙曲線的離心率分別為、，則【變式演練】1.我們把焦點(diǎn)相同，且離心率互為倒數(shù)的橢圓和雙曲線稱為一對(duì)“相關(guān)曲線”．已知是一對(duì)相關(guān)曲線的焦點(diǎn)，是橢圓和雙曲線在第一象限的交點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，這一對(duì)相關(guān)曲線中橢圓的離心率為A． B． C． D．2.設(shè)，分別為橢圓：與雙曲線：的公共焦點(diǎn)，它們?cè)诘谝幌笙迌?nèi)交于點(diǎn)，，若橢圓的離心率，則雙曲線的離心率的取值范圍為A． B．C． D．3.已知中心在原點(diǎn)的橢圓與雙曲線有公共焦點(diǎn)，左、右焦點(diǎn)分別為，且兩條曲線在第一象限的交點(diǎn)為，是以為底邊的等腰三角形，若，橢圓與雙曲線的離心率分別為，則的取值范圍是A． B．C． D．【題型十一】雙曲線漸近線與離心率【典例分析】已知雙曲線的左?右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)是雙曲線漸近線上一點(diǎn)，且(其中為坐標(biāo)原點(diǎn))，交雙曲線于點(diǎn)，且，則雙曲線的離心率為（

）A． B． C． D．【變式演練】1.已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，過作一條漸近線的垂線，垂足為點(diǎn)，與另一漸近線交于點(diǎn)，若，則的離心率為（

）A． B． C． D．22.已知雙曲線，過的右焦點(diǎn)作垂直于漸近線的直線交兩漸近線于、兩點(diǎn)、兩點(diǎn)分別在一、四象限，若，則雙曲線的離心率為（

）A． B． C． D．3.已知為雙曲線：的一個(gè)焦點(diǎn)，過作的一條漸近線的垂線，垂足為點(diǎn)，與的另一條漸近線交于點(diǎn)，若，則的離心率為（

）A．2 B． C． D．【題型十二】“小題大做”計(jì)算離心率（韋達(dá)定理型）【典例分析】.，分別是橢圓的左右焦點(diǎn)，B是橢圓的上頂點(diǎn)，過點(diǎn)作的垂線交橢圓C于P，Q兩點(diǎn)，若，則橢圓的離心率是（

）A．或 B．或 C．或 D．或【提分秘籍】基本規(guī)律韋達(dá)定理型解題思維：（1）設(shè)直線方程，設(shè)交點(diǎn)坐標(biāo)為；（2）聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程，得到關(guān)于（或）的一元二次方程，必要時(shí)計(jì)算；（3）列出韋達(dá)定理；（4）將所求問題或題中的關(guān)系轉(zhuǎn)化為、（或、）的形式；（5）代入韋達(dá)定理求解.【變式演練】1.點(diǎn)，是曲線C：的左右焦點(diǎn)，過作互相垂直的兩條直線分別與曲線交于A，B和C，D；線段AB，CD的中點(diǎn)分別為M，N，直線與x軸垂直且點(diǎn)G在C上.若以G為圓心的圓與直線MN恒有公共點(diǎn)，則圓面積的最小值為（

）A． B． C． D．2.已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，雙曲線上有A，B兩點(diǎn)滿足，且點(diǎn)O到直線的距離為c，則雙曲線的離心率為__________.1．（2022·全國(guó)·高考真題（理））橢圓的左頂點(diǎn)為A，點(diǎn)P，Q均在C上，且關(guān)于y軸對(duì)稱．若直線的斜率之積為，則C的離心率為（

）A． B． C． D．2．（山東·高考真題）已知是雙曲線（，）的左焦點(diǎn)，點(diǎn)在雙曲線上，直線與軸垂直，且，那么雙曲線的離心率是（

）A． B． C．2 D．33．（2021·天津·高考真題）已知雙曲線的右焦點(diǎn)與拋物線的焦點(diǎn)重合，拋物線的準(zhǔn)線交雙曲線于A，B兩點(diǎn)，交雙曲線的漸近線于C、D兩點(diǎn)，若．則雙曲線的離心率為（

）A． B． C．2 D．34．（2021·北京·高考真題）若雙曲線離心率為，過點(diǎn)，則該雙曲線的方程為（

）A． B． C． D．5．（2021·全國(guó)·高考真題（理））設(shè)是橢圓的上頂點(diǎn)，若上的任意一點(diǎn)都滿足，則的離心率的取值范圍是（

）A． B． C． D．6．（2021·全國(guó)·高考真題（理））已知是雙曲線C的兩個(gè)焦點(diǎn)，P為C上一點(diǎn)，且，則C的離心率為（

）A． B． C． D．7．（2022·浙江·高考真題）已知雙曲線的左焦點(diǎn)為F，過F且斜率為的直線交雙曲線于點(diǎn)，交雙曲線的漸近線于點(diǎn)且．若，則雙曲線的離心率是_________．8．（2020·山東·高考真題）已知拋物線的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)與雙曲線的左焦點(diǎn)重合，若兩曲線相交于，兩點(diǎn)，且線段的中點(diǎn)是點(diǎn)，則該雙曲線的離心率等于______.9．（2020·全國(guó)·高考真題（理））已知F為雙曲線的右焦點(diǎn)，A為C的右頂點(diǎn)，B為C上的點(diǎn)，且BF垂直于x軸.若AB的斜率為3，則C的離心率為______________.10．（浙江·高考真題（文））橢圓（）的右焦點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)在橢圓上，則橢圓的離心率是．11．（重慶·高考真題（理））已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，若雙曲線上存在一點(diǎn)使，則該雙曲線的離心率的取值范圍是__________.12．（2019·全國(guó)·高考真題（理））已知雙曲線C：的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，過F1的直線與C的兩條漸近線分別交于A，B兩點(diǎn)．若，，則C的離心率為____________．1．已知，分別為橢圓E：的左、右焦點(diǎn)，E上存在兩點(diǎn)A，B使得梯形的高為c（其中c為半焦距），且，則E的離心率為（

）A． B． C． D．2．如圖，已知雙曲線：的左，右焦點(diǎn)分別為，，正六邊形的一邊的中點(diǎn)恰好在雙曲線上，則雙曲線的離心率是（

）A． B． C． D．3．已