函數(shù)與方程思想在數(shù)列問題的解題研究

函數(shù)與方程思想在數(shù)列問題的解題研究目錄TOC\o"1-3"\h\u254891.緒論 5178851.1.研究現(xiàn)狀 531671.2.研究意義 562301.3.研究內(nèi)容與方法 579142.理論基礎(chǔ) 6289172.1.數(shù)學的思想與方法 6230162.2.函數(shù)與方程思想的概述 642282.3.函數(shù)與方程的聯(lián)系 6113332.4.數(shù)列的基礎(chǔ)理論 777992.5.普通高中課程標準中函數(shù)與方程部分解讀 8109903.函數(shù)與方程思想在數(shù)列問題的解題研究 85283.1.在數(shù)列含參量問題中的應(yīng)用 8220223.2.在數(shù)列最值中的應(yīng)用 985153.3.函數(shù)的周期性和單調(diào)性的應(yīng)用 10124493.4.函數(shù)的不動點和函數(shù)變換的應(yīng)用 1171644.數(shù)列解題教與學的建議 1219124.1.學習建議 1237204.2.教學建議 1326174參考文獻 1431773致謝 14摘要：數(shù)學教育擔負著立德樹人的根本任務(wù)、發(fā)揮了綜合性教育的重要功效。它反映出強烈的教育取向,其中一項主要的特征就是數(shù)學學科基本知識,涵蓋了數(shù)學抽象、邏輯推理、數(shù)字構(gòu)造、直覺思維、數(shù)學計算與統(tǒng)計分析。為了在高考中獲得理想的分數(shù),最關(guān)鍵的要具有良好的數(shù)學思想品質(zhì)與較好的數(shù)學素質(zhì),而良好的思想品質(zhì)和較好的數(shù)學素質(zhì)的形成,離不開對數(shù)學思維方式的訓練。函數(shù)與方程思想是高中數(shù)學思想之一，它在數(shù)學解題過程中廣泛應(yīng)用，包含了在解三角、不等式、解析幾何、立體幾何、數(shù)列問題各個方面的應(yīng)用，貫穿了整個高中。數(shù)列作為一種特殊的函數(shù)，數(shù)列問題的解題思路往往與函數(shù)與方程思想密切相關(guān)，在一些數(shù)列的綜合創(chuàng)新應(yīng)用問題中,可以回歸數(shù)列的函數(shù)本質(zhì),借助相應(yīng)函數(shù)的構(gòu)建與應(yīng)用,利用函數(shù)的單調(diào)性、最值等基本性質(zhì)來分析與解決相應(yīng)的數(shù)列問題。因此，研究函數(shù)與方程思想在數(shù)列問題的解題中的應(yīng)用，可以幫助學生更好地理解和掌握數(shù)列問題的解題方法，提高其解題能力。關(guān)鍵詞:函數(shù)與方程思想；數(shù)列；解題緒論研究現(xiàn)狀在數(shù)學思想方法的研究領(lǐng)域，已經(jīng)涌現(xiàn)出大量的論文。然而，關(guān)于“函數(shù)與方程思想”的應(yīng)用和解題方面的研究相對較少。盡管一些學者已經(jīng)探討了該思想的應(yīng)用和教學指導，但這些研究還不夠全面，也沒有形成完整的體系。因此，本文將重點研究“函數(shù)與方程思想”在數(shù)列問題中解題的應(yīng)用。研究意義函數(shù)與方程思想是高中數(shù)學教學的基石，對于解決數(shù)列問題尤為重要。在高考中，與函數(shù)和數(shù)列相關(guān)的題目占據(jù)顯著比例，尤其是與函數(shù)相關(guān)的試題大約占20%的比重。這些題目往往結(jié)合其他知識點進行綜合考察，不僅要求考生掌握豐富的知識，還要求他們靈活應(yīng)用函數(shù)與方程思想。因此，本文的研究具有雙重意義：一方面幫助學生從函數(shù)的新視角理解數(shù)列，另一方面拓寬他們的思維視野，提升解決復雜問題的能力。研究內(nèi)容與方法對函數(shù)與方程思想在數(shù)學教育中的重要性研究，對函數(shù)與方程思想的基本概念和數(shù)列問題的解題難點研究，函數(shù)與方程思想在數(shù)列問題中的應(yīng)用方法和實例分析研究。高考數(shù)學中涉及到很多數(shù)列問題，因此，系統(tǒng)研究函數(shù)與方程思想在高考數(shù)學中的應(yīng)用，可以深入挖掘函數(shù)與方程思想在數(shù)列問題中的應(yīng)用，提高學生的高考數(shù)學解題能力。探究學生在函數(shù)與方程思想方法方面的短板和優(yōu)勢，并提出相應(yīng)的教學策略和方法，以提高學生的數(shù)學解題能力。本研究采用文獻綜述和實證研究相結(jié)合的方法，以收集和分析現(xiàn)有的研究和實踐資料為主，以問卷調(diào)查為輔。具體方法如下：1.文獻綜述：通過查閱相關(guān)的學術(shù)論文、研究報告、政策文件等，對己有的研究和實踐進行系統(tǒng)分析和綜合評價。2.實證研究：通過收集有關(guān)函數(shù)與方程思想再數(shù)列問題的應(yīng)用的資料，對現(xiàn)狀和存在的問題進行深入了解和分析。3.綜合分析：將文獻綜述和實證研究的結(jié)果進行綜合分析，提出相應(yīng)的解決方案和發(fā)展建議。理論基礎(chǔ)數(shù)學的思想與方法數(shù)學思維方法從小學就開始滲透，實際上，在知識大爆炸的新時代，無論是成人還是兒童，無論是教師還是學生，我們大多數(shù)人無法像智能機器人那樣記憶大量的知識，但我們掌握了思考的方法、學習的方法、創(chuàng)新的方法，就能夠不斷進步，具備可持續(xù)發(fā)展的終身學習能力，適應(yīng)日新月異的時代，因此數(shù)學思想方法對人的影響是終身的。數(shù)學思想是人們對數(shù)學理論與內(nèi)容核心概念的深入領(lǐng)悟。在常見的數(shù)學四大思想中，函數(shù)與方程的思想揭示了變量之間的動態(tài)關(guān)系與靜態(tài)等式；分類討論的思想則有助于我們按照不同情況細分問題，逐一攻克；變換與化歸的思想則是將復雜問題轉(zhuǎn)化為簡單問題的有力工具；數(shù)形結(jié)合的思想則通過直觀圖形與抽象數(shù)學語言的結(jié)合，深化了我們對問題的理解。此外，還有許多其他數(shù)學思想在實際應(yīng)用中發(fā)揮著重要作用，它們從不同角度幫助我們解決數(shù)學問題，拓寬了我們的思維視野。函數(shù)與方程思想的概述函數(shù)思想的核心在于忽略非數(shù)學特征，為考慮的數(shù)學對象構(gòu)建數(shù)學模型。這涉及到建立各變量間的函數(shù)關(guān)系，并利用函數(shù)表達式結(jié)合其性質(zhì)，如奇偶性、單調(diào)性、周期性、最值以及不動點變換等來解決問題。作為最基礎(chǔ)的數(shù)學思想之一，函數(shù)思想不僅有助于提升學生的問題分析觀察能力，還能培養(yǎng)他們的獨創(chuàng)性和發(fā)散性思維。此外，函數(shù)思想常常與方程思想、化歸思想以及建模思想相互交融，共同應(yīng)用于數(shù)學問題的解決中。鑒于函數(shù)知識涉及的內(nèi)容如此豐富，學生需要熟練掌握函數(shù)相關(guān)的橫向和縱向知識，并能夠靈活應(yīng)用。方程思想是基于題目中各個變量的等量關(guān)系，通過設(shè)立未知量并建立包含已知條件的方程或方程組來解決問題的思維方式。作為最基礎(chǔ)的數(shù)學思想之一，它對于解決數(shù)學問題具有重要意義。深入掌握函數(shù)與方程思想，不僅有助于解決數(shù)列問題，還能夠促進數(shù)學素養(yǎng)的培養(yǎng)。REF_Ref32566\r\h[1]函數(shù)與方程的聯(lián)系函數(shù)與方程，這兩者間存在著深刻的內(nèi)在聯(lián)系，猶如數(shù)學中的一對親密伙伴。在解題或?qū)嶋H應(yīng)用中，它們往往能夠相互轉(zhuǎn)化，共同揭示問題的本質(zhì)。方程的解，實質(zhì)上是尋找函數(shù)圖像的零點，或是兩個函數(shù)圖像交點的橫坐標值。這一過程，實際上是在利用函數(shù)的大小關(guān)系，確定方程中自變量的取值范圍，從而深刻體現(xiàn)了函數(shù)與方程之間的內(nèi)在聯(lián)系。正是這種相互轉(zhuǎn)化的靈活性，使得我們在解決問題時能夠游刃有余，將復雜的問題簡化，從而更容易找到答案。無論是利用方程求解函數(shù)的零點，還是通過函數(shù)關(guān)系確定方程的自變量范圍，都體現(xiàn)了函數(shù)與方程在解題中的相輔相成，共同引領(lǐng)我們走向問題的深處，揭示其內(nèi)在的奧秘。函數(shù)思想的核心在于構(gòu)建相應(yīng)的函數(shù)模型，深入探究問題中的變量變化。這種思想強調(diào)從發(fā)展和聯(lián)系的角度觀察變量的動態(tài)運動，從而有效應(yīng)用函數(shù)原理解決數(shù)學問題。相對地，方程思想則側(cè)重于建立等式關(guān)系，即研究運動中的靜態(tài)部分。函數(shù)與方程，一動一靜，相互補充，它們的靈活運用能夠顯著提升解題效率。實際上，函數(shù)的研究與方程的研究緊密相連，包括方程的建立與求解過程，都是函數(shù)研究中不可或缺的一環(huán)。函數(shù)與方程思想是將函數(shù)思想與方程思想相互融合，通過二者的聯(lián)系形成的一種綜合性的數(shù)學思維方式。我們需靈活運用函數(shù)與方程思想來解決相關(guān)的數(shù)列問題。這不僅是深化數(shù)學理解的關(guān)鍵，也是高考中考察學生能力的重要方面。數(shù)列的基礎(chǔ)理論數(shù)列的定義：數(shù)列是按照一定順序排列著的一列數(shù)，在函數(shù)的意義下，數(shù)列是某一定義域為正整數(shù)或它的有限子集1,2,3,4?n的函數(shù)，即當自變量從小到大依次取值時對應(yīng)的一列函數(shù)值，其圖像是無限個或者有限個孤立的點，數(shù)列的一般形式為a1a2數(shù)列的通項公式：當數(shù)列的第n項an與項數(shù)n數(shù)列的表示方法：解析法，列表法，圖像法。表一：等差（等比）數(shù)列的基本性質(zhì)等差數(shù)列等比數(shù)列定義一般地，如果一個數(shù)列從第二項起，每一項與它的前一項的差等于同一個常數(shù)，這個數(shù)列就叫做等差數(shù)列，這個常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差，公差通常用字母d表示。一般地，如果一個數(shù)列從第二項起，每一項與它的前一項的比等于同一個常數(shù)，那么這個數(shù)列就叫做等比數(shù)列，這個常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比，公比通常用字母q表示（q≠通項公式aa等差（等比）中項對任意兩個數(shù)a,b有且僅有一個等差中項a+b如果a,b,c成等比數(shù)列，那么b叫做a與c的等比中項，即b2前n項和公式SS=特殊性質(zhì)在等差數(shù)列{an}中，若m,n,p,q∈N?，則有若m+n=p+q，則有am+an=ap+a在等比數(shù)列{an}中，若m,n,p,q∈N?，則有若m+n=p+q，則有aman=apaq,特別地，若普通高中課程標準中函數(shù)與方程部分解讀普通高中數(shù)學課程標準強調(diào)數(shù)學素養(yǎng)的培養(yǎng)，注重數(shù)學知識與實際生活的結(jié)合，倡導自主學習、合作學習和探究學習。新版高中數(shù)學課程標準提出核心素養(yǎng)的概念，注重數(shù)學學科的本質(zhì)和特點，強調(diào)數(shù)學思想和方法的培養(yǎng)。同時，新版標準還強調(diào)培養(yǎng)學生的創(chuàng)新意識和實踐能力。相比較而言，新版標準更注重數(shù)學學科的本質(zhì)和特點，強調(diào)數(shù)學思維方法的培養(yǎng)。函數(shù)與方程在高中的很多知識點中占據(jù)重要地位，應(yīng)用廣博，是學習的重點之一。函數(shù)與方程思想在數(shù)列問題的解題研究在數(shù)列含參量問題中的應(yīng)用數(shù)列作為一種特殊的函數(shù)，考慮等差數(shù)列{an}，其通項公式an可以看作關(guān)于n的一次函數(shù)，記為an=dn+(a1?d)，前n項和Sn可以看作關(guān)于n的二次函數(shù)，記為Sn=例一：已知數(shù)列{an}的通項公式滿足6n2?(t+3a解答：設(shè)等差數(shù)列{an}的通項公式為an=kn+b，把通項公式代入條件得6n2?t+3(kn+b)n+2(kn+b)=0例二：設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn,且滿足Sn解答：設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d,則an=dn+(a1?d)，Sn=d例三：設(shè){an}是首項為a，公差為d(d≠0)的等差數(shù)列，且前n項和為Sn，令bn=nSnn解答：由已知{bn}為等差數(shù)列，令bn=kn+b,Sn=An2+Bn，則有kn+b=nSnn在數(shù)列最值中的應(yīng)用若數(shù)列{an}是等差數(shù)列，并設(shè)Sn為其前n項和，根據(jù)等差數(shù)列的定義有Sn由于等差數(shù)列的前n項和Sn=d2n2+(a1?d2)n，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，可以討論a1,d的符號，以及對稱軸x=?a1?d2d若d<0，則函數(shù)m+k=2n即m+k2=n為正整數(shù)，則等差數(shù)列{anm+k=2n+1，則等差數(shù)列{an}的第m+k?1若d>0，則函數(shù)m+k=2n即m+k2=n為正整數(shù)，則等差數(shù)列{anm+k=2n+1，則等差數(shù)列{an}的第m+k?1例一：等差數(shù)列{an}中，a1>0，Sn解答：由S9=S18有9a1+9×82例二：公比為q的等比數(shù)列{an}滿足：a9=lna解答：由于a9=lna10=lna9q=lna9+lnq>0，則有l(wèi)nq=a9例三：設(shè){an}是公差為2的等差數(shù)列，Sn為其前n項和，若{nSn}為遞增數(shù)列，求a1的取值范圍。解答：由已知Sn=na1+n(n?1)2×2=n2+(a1?1)n，則nSn=n3+(a1?1)n2，由{函數(shù)的周期性和單調(diào)性的應(yīng)用數(shù)列是一種特殊的函數(shù)，所以可以從函數(shù)的角度，利用函數(shù)與方程思想解決數(shù)列問題，其中函數(shù)的單調(diào)性和周期性都是函數(shù)的重要性質(zhì)。因此可以利用函數(shù)的性質(zhì)解決數(shù)列的有關(guān)問題，不僅實現(xiàn)了函數(shù)思想方法的正遷移，還有利于利用單調(diào)性解決數(shù)列有關(guān)問題進行分類解析并作一定層次的挖掘REF_Ref1241\r\h[5]；由于數(shù)列是定義域為正整數(shù)或它的有限子集的函數(shù)，可以通過導數(shù)等方法確定相關(guān)函數(shù)的單調(diào)性，在正整數(shù)的定義域內(nèi)求數(shù)列的最值，解決相關(guān)數(shù)列最值問題。例一：已知等差數(shù)列{an}的通項公式為an=2n，Sn為其前n項和，設(shè)bn=1解答：由于an=2n，Sn=n(n+1)，bn=1Sn+1+1Sn+2+1Sn+3+?+1S2n=1(n+1)(n+2)+1數(shù)列作為特殊的函數(shù)，相應(yīng)于周期函數(shù)有周期數(shù)列的定義：若對任意的n∈N?，存在一個常數(shù)T(T∈N?)，恒有an+T=an，則稱{an}是以T表二：常見的周期數(shù)列及其周期數(shù)列的遞推關(guān)系周期a3a3a4a2a6例二：已知定義在R上的函數(shù)f(x)對于任意的x都有f(x+2)=1+f(x)1?f(x)成立，設(shè)an=f(n)解答：由函數(shù)的遞推關(guān)系得：f(x+4)=1+f(x+2)1?f(x+2)=1+1+f(x)1?f(x)1?1+f(x)1?f(x)=?1f(x)，則有例三：已知數(shù)列{an}中，an+1+(?1)na解答：由于an+1+(?1)nan=2n?1，變形則有an+2+(?1)n+1an+1=2n+1，(?1)nan+1+an=(?1)例四：數(shù)列{an}中，a1=1，a2=2，若對一切n∈N?有ana解答：取n=1得a3=3，n=2得a4=1，n=3得a5=2，n=4得a6=3；可以猜測數(shù)列是周期為3的周期數(shù)列，由已知有對一切n∈函數(shù)的不動點和函數(shù)變換的應(yīng)用不動點原理是數(shù)學上一個重要的定理，也叫壓縮映像原理或巴拿赫不動點原理，完整表述為完備的度量空間上，到自身的一個壓縮映射存在唯一的不動點。用初等數(shù)學表達為連續(xù)映射f的定義域包含值域，存在一個x使得f(x)=x。函數(shù)的不動點在解方程，求函數(shù)的解析式以及求解數(shù)列問題中應(yīng)用廣泛。REF_Ref1421\r\h[7]定理：若數(shù)列{xn}滿足xn+1=f(xn)，且存在α(0<α<1)，使dfdx證明：由已知結(jié)合拉格朗日中值定理有xn+1?xn=f(xn)?f(xn?1)=dfdx(例一：函數(shù)f(x)=x2?2x?3，定義數(shù)列{xn}如下：x1=2，xn+1是過兩點P(4,5),解答：由已知由直線PQn的方程為y=f(xn)?5xn?4(x?4)+5=(xn2?2xn?3)?5xn?4(x?4)+5=(xn+2)(x?4)+5對于等差數(shù)列和等比數(shù)列，我們對其已經(jīng)有了了解，對于不是這兩類的數(shù)列，可以通過函數(shù)變換，轉(zhuǎn)化為這兩類數(shù)列，使問題簡化從而解決相關(guān)問題。例二：已知數(shù)列{an}中，a1=2，當n≥2時，解答：對an=an?12an?1+1取倒數(shù)有2+1an?1=例三：數(shù)列{an}中，a1=1，解答：由已知有(n+4)an+1=3nan，等式兩邊同乘以(n+1)(n+2)(n+3)得(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)an+1=3n(n+1)(n+2)(n+3)an，通過觀察令bn=n(n+1)(n+2)(n+3)a數(shù)列解題教與學的建議學習建議“紙上得來終覺淺，絕知此事要躬行”，提升數(shù)列解題能力，不僅要學會靈活應(yīng)用函數(shù)與方程思想解決數(shù)列問題的各種題型，還需要學生通過大量的練習，在不斷的重復訓練下能形成永久記憶，最終為學生的數(shù)列解題打下扎實的基礎(chǔ)?？梢酝ㄟ^練習相關(guān)的綜合題目，培養(yǎng)其解決綜合問題的能力。學生應(yīng)該具有舉一反三的能力，學會剖析問題的本質(zhì)，找到構(gòu)建解決問題的數(shù)學模型。平時練習中可以從多個角度思考，嘗試一提多解，即用兩種或兩種以上的解法解答問題，課余時間可多與同學交流，互相學習，不僅可以開拓自己的思維角度，還可以相互提出比較個性的解題方法，查漏補缺，促進其解題能力的提高。同時，可以多查閱輔導書等資料中的典型一題多解問題，適當應(yīng)用“題海戰(zhàn)術(shù)”，開拓思維。REF_Ref2766\r\h[8]在考試中，學生難免會緊張，面對關(guān)于數(shù)列的綜合問題，其實都是紙老虎，我們只要平時訓練到位，加上扎實的基本功和良好的心態(tài)，就能解答出來了。以平常心對待考試，就能發(fā)揮出最佳水平。在考試前，我們應(yīng)該保持適當?shù)姆潘刹灰^度焦慮以及充足的睡眠時間，可以使我們在考試保持清醒的頭腦和更加聚精會神的思考數(shù)學問題，保證考試質(zhì)量，更好的發(fā)現(xiàn)自己的不足以便查漏補缺。REF_Ref2796\r\h[9]教學建議數(shù)列，本質(zhì)上是一種特殊的函數(shù)，其定義域僅限于正整數(shù)。在教學過程中，教師可以巧妙地從函數(shù)的角度來闡述數(shù)列的概念，并列舉一些生活中常見的數(shù)列實例，從而幫助學生將抽象的數(shù)列概念具體化。隨后，教師可以循序漸進地引導學生了解一般數(shù)列的定義。解決數(shù)列問題時，通常需要運用函數(shù)知識。為此，教師可以針對性地選擇一些題目，指導學生運用函數(shù)與方程的思想去解答數(shù)列問題，并鼓勵學生嘗試一題多解，培養(yǎng)他們的思維靈活性和創(chuàng)新能力。值得注意的是，函數(shù)與方程思想在數(shù)列問題中占據(jù)著舉足輕重的地位，是解決這類問題的基本且重要的思維方式。因此，在數(shù)列教學中，教師應(yīng)強調(diào)其重要性，并讓學生認識到轉(zhuǎn)化思想等其他數(shù)學方法在數(shù)列問題中同樣有著廣泛的應(yīng)用。當然，教師在這一過程中主要扮演引導者的角色，而學生則是學習的主體。教