二項式定理知識點和各種題型歸納帶答案

二項式定理知識點和各種題型歸納帶答案二項式定理1．二項式定理：(ab)nCn0anCn1an1bCnranrbrCnnbn(nN)，2．基本概念：①二項式展開式：右邊的多項式叫做(abn)的二項展開式。②二項式系數(shù):展開式中各項的系數(shù)Cnr(r0,1,2,,n).③項數(shù)：共(r1)項，是關(guān)于a與b的齊次多項式④通項：展開式中的第r1項Cnranrbr叫做二項式展開式的通項。用Tr1Cnranrbr表示。3．注意關(guān)鍵點：①項數(shù)：展開式中總共有(n1)項。②順序：注意正確選擇a,b,其順序不能更改。(abn與(ba)n是不同的。)③指數(shù)：a的指數(shù)從n逐項減到0，是降冪排列。b的指數(shù)從0逐項減到n，是升冪排列。各項的次數(shù)和等于n.④系數(shù)：注意正確區(qū)分二項式系數(shù)與項的系數(shù)，二項式系數(shù)依次是Cn0,Cn1,Cn2,,Cnr,,Cnn.項的系數(shù)是a與b的系數(shù)（包括二項式系數(shù)）。4．常用的結(jié)論：令a1,bx,(1x)nCn0Cn1xCn2x2CnrxrCnnxn(nN)令a1,bx,(1x)nCn0Cn1xCn2x2Cnrxr(1)nCnnxn(nN)5．性質(zhì)：①二項式系數(shù)的對稱性：與首末兩端“對距離”的兩個二項式系數(shù)相等，即Cn0Cnn，···CnkCnk1②二項式系數(shù)和：令ab1,則二項式系數(shù)的和為Cn0Cn1Cn2CnrCnn2n，變形式Cn1Cn2CnrCnn2n1。③奇數(shù)項的二項式系數(shù)和=偶數(shù)項的二項式系數(shù)和：在二項式定理中，令a1,b1，則Cn0Cn1Cn2Cn3(1)nCnn(11)n0，從而得到：Cn0Cn2Cn4Cn2rCn1Cn3Cn2r112n2n12④奇數(shù)項的系數(shù)和與偶數(shù)項的系數(shù)和：(ax)nCn0anx0Cn1an1xCn2an2x2Cnna0xna0a1x1a2x2anxn(xa)nCn0a0xnCn1axn1Cn2a2xn2Cnnanx0anxna2x2a1x1a0令x1,則a0a1a2a3an(a1)n①令x1,則a0a1a2a3an(a1)n②①②得,a0a2a4an(a1)n2(a1)n(奇數(shù)項的系數(shù)和)①②得,a1a3a5an(a1)n2(a1)n(偶數(shù)項的系數(shù)和)n⑤二項式系數(shù)的最大項：如果二項式的冪指數(shù)n是偶數(shù)時，則中間一項的二項式系數(shù)Cn2取得最大值。n是奇數(shù)時，則中間兩項的二項式系數(shù)n1n1如果二項式的冪指數(shù)Cn2,Cn2同時取得最大值。⑥系數(shù)的最大項：求(abx)n展開式中最大的項，一般采用待定系數(shù)法。設(shè)展開式中各項系數(shù)分別為A1,A2,,An1，設(shè)第r1項系數(shù)最大，應(yīng)有Ar1ArAr，從而解出r來。1Ar26．二項式定理的十一種考題的解法：題型一：二項式定理的逆用；例：Cn1Cn26Cn362Cnn6n1.解：(16)nCn0Cn16Cn262Cn363Cnn6n與已知的有一些差距，Cn1Cn26Cn362Cnn6n11(Cn16Cn262Cnn6n)1611(Cn0Cn16Cn262Cnn6n1)[(16)n1](7n1)666練：Cn13Cn29Cn33n1Cnn.解：設(shè)SC13C29C33n1Cn，則nnnnn3SnCn13Cn232Cn333Cnn3nCn0Cn13Cn232Cn333Cnn3n1(13)n1Sn(13)n14n133題型二：利用通項公式求xn的系數(shù)；例：在二項式(413x2)n的展開式中倒數(shù)第3項的系數(shù)為45，求含有x3的項的系數(shù)？x解：由條件知Cnn245，即Cn245，n2n900，解得n9(舍去)或n10，由1210r2rTr1C10r(x4)10r(x3)rC10rx43，由題意10r2r3,解得r6，43則含有x3的項是第7項T61C106x3210x3,系數(shù)為210。練：求(x21)9展開式中x9的系數(shù)？2x解：r1r29r1rr182r1rrr1r183r，令183r9則r3C9(x)()9x()x9()x,TCC2x22故x9的系數(shù)為C93(1)321。22題型三：利用通項公式求常數(shù)項；例：求二項式(x21)10的展開式中的常數(shù)項？2x解：Tr1C10r(x2)10r(1)rC10r(1)rx5，令205r0，得r8，所以T9C108(1)84520r2x222256練：求二項式(2x1)6的展開式中的常數(shù)項？2x解：Tr1C6r(2x)6r(1)r(1)r(1)rC6r26r(1)rx62r，令62r0，得r3，所以2x2T4(1)3C6320練：若(x21)n的二項展開式中第5項為常數(shù)項，則n____.x解：T5Cn4(x2)n4(1)4Cn4x2n12，令2n120，得n6.x題型四：利用通項公式，再討論而確定有理數(shù)項；例：求二項式(x3x)9展開式中的有理項？1127r27r解：Tr1C9r(x2)9r(x3)r(1)rC9rx6，令Z,(0r9)得r3或r9，6所以當(dāng)r3時，27r4，T4(1)3C93x484x4，6當(dāng)r9時，27r3，T10(1)3C99x3x3。6題型五：奇數(shù)項的二項式系數(shù)和=偶數(shù)項的二項式系數(shù)和；例：若(x21)n展開式中偶數(shù)項系數(shù)和為256，求n.3x2解：設(shè)(x231)n展開式中各項系數(shù)依次設(shè)為a0,a1,an,x2令x1,則有a0a1an0,①，令x1,則有a0a1a2a3(1)nan2n,②將①-②得：2(a1a3a5)2n,a1a3a52n1,有題意得，2n125628，n9。11n的展開式中，所有的奇數(shù)項的系數(shù)和為1024，求它的中間項。練：若(35x2)x解：Cn0Cn2Cn4Cn2rCn1Cn3Cn2r12n1，2n11024，解得n1151615461所以中間兩個項分別為n6,n7，T5(5462x，T61462x151Cn(3x)x2)題型六：最大系數(shù)，最大項；例：已知(12x)n，若展開式中第5項，第6項與第7項的二項式系數(shù)成等差數(shù)列，求展開式中二2項式系數(shù)最大項的系數(shù)是多少？解：Cn4Cn62Cn5,n221n980,解出n7或n14，當(dāng)n7時，展開式中二項式系數(shù)最大的項是T4和T5T4的系數(shù)C73(1)42335,，T5的系數(shù)C74(1)32470,當(dāng)n14222時，展開式中二項式系數(shù)最大的項是T8，T8的系數(shù)C147(1)7273432。2練：在(ab)2n的展開式中，二項式系數(shù)最大的項是多少？解：二項式的冪指數(shù)是偶數(shù)2n，則中間一項的二項式系數(shù)最大，即T2nTn1，也就是第n1項。12練：在(x1)n的展開式中，只有第5項的二項式最大，則展開式中的常數(shù)項是多少？23x解：只有第5項的二項式最大，則n15，即n8,所以展開式中常數(shù)項為第七項等于2C86(1)272例：寫出在(ab)7的展開式中，系數(shù)最大的項？系數(shù)最小的項？解：因為二項式的冪指數(shù)7是奇數(shù)，所以中間兩項(第4,5項)的二項式系數(shù)相等，且同時取得最大值，從而有T4C73a4b3的系數(shù)最小，T5C74a3b4系數(shù)最大。例：若展開式前三項的二項式系數(shù)和等于79，求(12x)n的展開式中系數(shù)最大的項？2解：由Cn0Cn1Cn279,解出n12,假設(shè)Tr1項最大，(12x)12(1)12(14x)1222Ar1ArC12r4rC12r14r1，化簡得到9.4r10.4，又0r12，r10，Ar1ArC12r4rC12r14r12展開式中系數(shù)最大的項為T11,有T11(1)12C1210410x1016896x102練：在(12x)10的展開式中系數(shù)最大的項是多少？解：假設(shè)Tr1項最大，Tr1C10r2rxrAr1ArC10r2rC10r12r12(11r)r，化簡得到6.3k7.3，又解得Ar1Ar2C10r2rC10r12r1,r12(10r)0r10，r7，展開式中系數(shù)最大的項為T8C10727x715360x7.題型七：含有三項變兩項；例：求當(dāng)(x23x2)5的展開式中x的一次項的系數(shù)？解法①：(x23x2)5[(x22)3x]5，Tr1C5r(x22)5r(3x)r，當(dāng)且僅當(dāng)r1時，Tr1的展開式中才有x的一次項，此時Tr1T2C51(x22)43x，所以x得一次項為C51C44243x它的系數(shù)為C51C44243240。解法②：(x23x2)5(x1)5(x2)5(C50x5C51x4C55)(C50x5C51x42C5525)故展開式中含x的項為C54xC5525C54x24240x，故展開式中x的系數(shù)為240.練：求式子(x12)3的常數(shù)項？x解：(x12)3(x1)6，設(shè)第r1項為常數(shù)項，則xxTr1C6r(1)r6r62rT31(1)3C6320.x(1)r(1)6C6rx，得62r0,r3,x題型八：兩個二項式相乘；例：求(12x)3(1x)4展開式中x2的系數(shù).解：(12x)3的展開式的通項是C3m(2x)mC3m2mxm,(1x)4的展開式的通項是C4n(x)nC4n1nxn,其中m0,1,2,3,n0,1,2,3,4,令mn2,則m0且n2,m1且n1,m2且n0,因此(12x)3(1x)4的展開式中x2的系數(shù)等于C3020C42(1)2C3121C41(1)1C3222C40(1)06.練：求(13x)6(11)10展開式中的常數(shù)項.4x3x)6(11mn4m3n解：(1)10展開式的通項為C6mx3C10nx4C6mC10nx124x其中m0,1,2,,6,n0,1,2,當(dāng)且僅當(dāng)4m3n,即m0,或m3,或m6,,10,n0,n4,n8,時得展開式中的常數(shù)項為C0CC3C4C6C84246.610610610練：已知(1xx2)(x13)n的展開式中沒有常數(shù)項,nN*且2n8,則n______.x解：(x13)n展開式的通項為Cnrxnrx3rCnrxn4r,通項分別與前面的三項相乘可得xCnrxn4r,Cnrxn4r1,Cnrxn4r2,展開式中不含常數(shù)項,2n8n4r且n4r1且n4r2，即n4,8且n3,7且n2,6,n5.題型九：奇數(shù)項的系數(shù)和與偶數(shù)項的系數(shù)和；例：在(x2)2006的二項展開式中,含x的奇次冪的項之和為S,當(dāng)x2時,S_____.解：設(shè)(x2)2006=a0a1x1a2x2a3x3a2006x2006-------①(x2)2006=a0a1x1a2x2a3x3a2006x2006-------②①②得2(a1xa3x3a5x5a2005x2005)(x2)2006(x2)2006(x2)2006展開式的奇次冪項之和為S(x)1[(x2)2006(x2)2006]232006當(dāng)x2時,S(2)12)2006(22)2006]2223008[(222題型十：賦值法；例：設(shè)二項式(33x1)n的展開式的各項系數(shù)的和為p，所有二項式系數(shù)的和為s,若xps272,則n等于多少？解：若(33x1)na0a1xa2x2anxn，有Pa0a1an，SCn0Cnn2n，x令x1得