九年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)《圓》單元測(cè)試題附答案

人教版數(shù)學(xué)九年級(jí)上學(xué)期《圓》單元測(cè)試(滿分120分,考試用時(shí)120分鐘)一、選擇題1.若⊙O的半徑是4cm,點(diǎn)A在⊙O內(nèi),則OA的長(zhǎng)可能是()A.4cm B.6cm C.3cm D.10cm2.如圖,△ABC為⊙O的內(nèi)接三角形,∠BOC＝80°,則∠A等于()A.80° B.60° C.50° D.40°3.如圖,⊙O直徑AB垂直于弦CD,垂足為E,∠A=15°,半徑為2,則弦CD的長(zhǎng)為()A.2 B.3 C. D.44.如圖,AB是⊙O的直徑,點(diǎn)C在⊙O上,弦BD平分∠ABC,則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是()A.AD=DC B. C.∠ADB=∠ACB D.∠DAB=∠CBA5.Rt△ABC中,∠C=90°,AC=3cm,BC=4cm,以C為圓心,r為半徑作圓,若圓C與直線AB相切,則r的值為()A2cm B.2.4cm C.3cm D.4cm6.如圖,在Rt△ABC中,∠ACB＝90°,∠A＝56°．以BC為直徑的⊙O交AB于點(diǎn)D．E是⊙O上一點(diǎn),且弧CE=弧CD,連接OE．過點(diǎn)E作EF⊥OE,交AC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F,則∠F的度數(shù)為()A.92° B.108° C.112° D.124°7.下列說(shuō)法：①三點(diǎn)確定一個(gè)圓；②垂直于弦的直徑平分弦及弦所對(duì)的兩條?。虎廴切蔚耐庑牡饺龡l邊的距離相等；④圓的切線垂直于經(jīng)過切點(diǎn)的半徑．正確的個(gè)數(shù)是()A.0 B.2 C.3 D.48.若正方形的外接圓半徑為2,則其內(nèi)切圓半徑為()A.2 B. C. D.19.如圖,半圓的圓心為O,直徑AB的長(zhǎng)為12,C為半圓上一點(diǎn),∠CAB=30°,的長(zhǎng)是()A.12π B.6π C.5π D.4π10.如圖,在直角坐標(biāo)系中,四邊形OABC為正方形,頂點(diǎn)A,C在坐標(biāo)軸上,以邊AB為弦的⊙M與x軸相切,若點(diǎn)A的坐標(biāo)為(0,8),則圓心M的坐標(biāo)為()A.(4,5) B.(﹣5,4) C.(﹣4,6) D.(﹣4,5)二、填空題11.和平中學(xué)自行車停車棚頂部的剖面如圖所示,已知AB＝16m,半徑OA＝10m,高度CD為____m．12.已知：Rt△ABC中,∠C＝90°,AC＝4cm,BC＝3cm,點(diǎn)D是AB的中點(diǎn),以點(diǎn)B為圓心,BC長(zhǎng)為半徑作⊙B,則點(diǎn)D與⊙B的位置關(guān)系是_______．13.如圖,已知AB是⊙O的直徑,PB是⊙O的切線,PA交⊙O于點(diǎn)C,AB＝3cm,PB＝4cm,則BC＝______cm.14.如圖,已知：⊙O與△ABC的邊AB,AC,BC分別相切于點(diǎn)D,E,F,若AB＝4,AC＝5,AD＝1,則BC＝________．15.如圖,在△ABC中,∠BAC=50°,AC=2,AB=3,將△ABC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)50°,得到△AB1C1,則陰影部分的面積為_______.16.圓錐的底面半徑長(zhǎng)為5,將其側(cè)面展開后得到一個(gè)半圓,則該半圓的半徑長(zhǎng)是______．三、解答題17.如圖,AB是⊙O的一條弦,OD⊥AB,垂足為點(diǎn)C,交⊙O于點(diǎn)D,點(diǎn)E在⊙O上．(1)若∠AOD=52°,求∠DEB的度數(shù)；(2)若CD=2,AB=8,求半徑的長(zhǎng)．18.如圖,△ABC中,AB＝AC,以AB為直徑作⊙O,交BC于點(diǎn)D,交CA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E,連接AD,DE.(1)求證：D是BC中點(diǎn)；(2)若DE＝3,BD－AD＝2,求⊙O的半徑．19.如圖,PA,PB是⊙O的切線,A,B為切點(diǎn)．連接AO并延長(zhǎng)交PB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)C,連接PO交⊙O于點(diǎn)D.(1)求證：PO平分∠APC；(2)連接BD,若∠C＝30°,求證：DB∥AC.20.如圖,已知⊙O的直徑AB=12,弦AC=10,D是弧BC的中點(diǎn),過點(diǎn)D作DE⊥AC,交AC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E．(1)求證：DE是⊙O切線；(2)求AE的長(zhǎng)．21.如圖,在四邊形ABCD中,AB∥CD,∠DAB＝90°,且∠ABC＝60°,AB＝AC,△ADC的外接圓⊙O交BC于點(diǎn)E,連接DE并延長(zhǎng)交AB延長(zhǎng)線于點(diǎn)F.(1)求證：CF＝DB；(2)當(dāng)AD＝時(shí),求AB的長(zhǎng)．22.如圖,在直角三角形ABC中,∠ABC＝90°.(1)先作∠ACB的平分線；設(shè)它交AB邊于點(diǎn)O,再以點(diǎn)O為圓心,OB為半徑作⊙O(尺規(guī)作圖,保留作圖痕跡,不寫作法)；(2)證明：AC是所作⊙O的切線；(3)若BC＝,∠A＝30°,求△AOC的面積．23.如圖,AB是⊙O直徑,BC為⊙O的切線,D為⊙O上的一點(diǎn),CD=CB,延長(zhǎng)CD交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E．(1)求證：CD為⊙O的切線；(2)求證：∠C=2∠DBE．(3)若EA=AO=2,求圖中陰影部分的面積．(結(jié)果保留π)24.如圖,已知：AB是⊙O的直徑,點(diǎn)C在⊙O上,AD⊥CD于點(diǎn)D.AC平分∠DAO,E是AB延長(zhǎng)線上一點(diǎn),CE交⊙O于點(diǎn)F,連接OC,AC.(1)求證：CD是⊙O的切線；(2)若∠DAO＝105°,∠E＝30°.①求∠OCE的度數(shù)；②若⊙O的半徑為2,求線段EF的長(zhǎng)．

參考答案一、選擇題1.若⊙O的半徑是4cm,點(diǎn)A在⊙O內(nèi),則OA的長(zhǎng)可能是()A.4cm B.6cm C.3cm D.10cm【答案】C【解析】【分析】設(shè)點(diǎn)A與圓心O的距離d,已知點(diǎn)A在圓內(nèi),則d<r．結(jié)合選項(xiàng)可得解.【詳解】當(dāng)點(diǎn)A是⊙O內(nèi)一點(diǎn)時(shí),OA<4cm,A、B、D均不符．故選C．【點(diǎn)睛】本題考查了點(diǎn)與圓的位置關(guān)系,確定點(diǎn)與圓的位置關(guān)系,就是比較點(diǎn)與圓心的距離和半徑的大小關(guān)系．2.如圖,△ABC為⊙O的內(nèi)接三角形,∠BOC＝80°,則∠A等于()A.80° B.60° C.50° D.40°【答案】D【解析】試題解析：由圓周角定理得,故選D.點(diǎn)睛：在同圓或等圓中,同弧或等弧所對(duì)的圓周角等于圓心角的一半.3.如圖,⊙O的直徑AB垂直于弦CD,垂足為E,∠A=15°,半徑為2,則弦CD的長(zhǎng)為()A.2 B.3 C. D.4【答案】A【解析】【分析】先求出∠BOC=2∠A＝30°,再根據(jù)垂徑定理得CD=2BC,同時(shí)利用含有30?角直角三角形的性質(zhì)得BC=OC,可求得結(jié)果.【詳解】因?yàn)椤螦＝15°,所以,∠BOC=2∠A＝30°,因?yàn)?⊙O的直徑AB垂直于弦CD,所以,∠ABC=90?,CD=2BC,又BC=OC=×2=1,所以,CD=2BC=2故選A【點(diǎn)睛】本題考核知識(shí)點(diǎn)：垂徑定理,圓心角和圓周角,直角三角形.解題關(guān)鍵點(diǎn)：推出含有30?角的直角三角形,并運(yùn)用垂徑定理.4.如圖,AB是⊙O的直徑,點(diǎn)C在⊙O上,弦BD平分∠ABC,則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是()A.AD=DC B. C.∠ADB=∠ACB D.∠DAB=∠CBA【答案】D【解析】【分析】根據(jù)圓周角定理,圓心角、弧、弦的關(guān)系對(duì)各選項(xiàng)進(jìn)行逐一分析．【詳解】解：∵弦BD平分∠ABC,∴∠DBC=∠ABD,∴,AD=DC,故A、B正確；∵AB是⊙O的直徑,∴∠ADB=∠ACB=90°,故C正確；∵,∴∠DAB＞∠CBA,故D錯(cuò)誤．故選D．5.Rt△ABC中,∠C=90°,AC=3cm,BC=4cm,以C為圓心,r為半徑作圓,若圓C與直線AB相切,則r的值為()A.2cm B.2.4cm C.3cm D.4cm【答案】B【解析】試題分析：Rt△ABC中,∠C=90°,AC=3cm,BC=4cm；由勾股定理,得：AB2=32+42=25,∴AB=5；又∵AB是⊙C的切線,∴CD⊥AB,∴CD=R；∵S△ABC=AC?BC=AB?r；∴r=2.4cm,故選B．考點(diǎn)：直線與圓的位置關(guān)系．6.如圖,在Rt△ABC中,∠ACB＝90°,∠A＝56°．以BC為直徑的⊙O交AB于點(diǎn)D．E是⊙O上一點(diǎn),且弧CE=弧CD,連接OE．過點(diǎn)E作EF⊥OE,交AC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F,則∠F的度數(shù)為()A.92° B.108° C.112° D.124°【答案】C【解析】分析】直接利用互余的性質(zhì)再結(jié)合圓周角定理得出∠COE的度數(shù),再利用四邊形內(nèi)角和定理得出答案．【詳解】∵∠ACB=90°,∠A=56°,∴∠ABC=34°,∵,∴∠COE=2∠ABC=68°,又∵∠OCF=∠OEF=90°,∴∠F=360°-90°-90°-68°=112°．故選C．【點(diǎn)睛】考查了圓周角定理以及四邊形內(nèi)角和定理,解題關(guān)鍵根據(jù)得到∠COE∠DOC＝2∠ABC．7.下列說(shuō)法：①三點(diǎn)確定一個(gè)圓；②垂直于弦的直徑平分弦及弦所對(duì)的兩條弧；③三角形的外心到三條邊的距離相等；④圓的切線垂直于經(jīng)過切點(diǎn)的半徑．正確的個(gè)數(shù)是()A.0 B.2 C.3 D.4【答案】B【解析】【分析】根據(jù)確定圓的條件對(duì)(1)進(jìn)行判斷；根據(jù)垂徑定理對(duì)(2)進(jìn)行判斷；根據(jù)三角形外心的性質(zhì)對(duì)(3)進(jìn)行判斷；根據(jù)切線的性質(zhì)對(duì)(4)進(jìn)行判斷．【詳解】不共線的三點(diǎn)確定一個(gè)圓,所以①錯(cuò)誤；垂直于弦的直徑平分弦及弦所對(duì)的兩條弧,所以②正確；三角形的外心到三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等,所以③錯(cuò)誤；圓的切線垂直于經(jīng)過切點(diǎn)的半徑,所以④正確．故選B．【點(diǎn)睛】本題考查了切線的性質(zhì)：圓的切線垂直于經(jīng)過切點(diǎn)的半徑．也考查了垂徑定理和三角形外心．8.若正方形的外接圓半徑為2,則其內(nèi)切圓半徑為()A.2 B. C. D.1【答案】B【解析】試題解析：如圖所示,連接OA、OE,∵AB是小圓的切線,∴OE⊥AB,∵四邊形ABCD是正方形,∴AE=OE,∴△AOE是等腰直角三角形,故選B.9.如圖,半圓的圓心為O,直徑AB的長(zhǎng)為12,C為半圓上一點(diǎn),∠CAB=30°,的長(zhǎng)是()A.12π B.6π C.5π D.4π【答案】D【解析】【分析】如圖,連接OC,利用圓周角定理和鄰補(bǔ)角的定義求得∠AOC的度數(shù),然后利用弧長(zhǎng)公式進(jìn)行解答即可．【詳解】如圖,連接OC,∵∠CAB=30°,∴∠BOC=2∠CAB=60°,∴∠AOC=120°．又直徑AB的長(zhǎng)為12,∴半徑OA=6,∴的長(zhǎng)是：=4π．故選D．【點(diǎn)睛】本題考查了弧長(zhǎng)的計(jì)算,圓周角定理．根據(jù)題意求得∠AOC的度數(shù)是解題的關(guān)鍵．10.如圖,在直角坐標(biāo)系中,四邊形OABC為正方形,頂點(diǎn)A,C在坐標(biāo)軸上,以邊AB為弦的⊙M與x軸相切,若點(diǎn)A的坐標(biāo)為(0,8),則圓心M的坐標(biāo)為()A.(4,5) B.(﹣5,4) C.(﹣4,6) D.(﹣4,5)【答案】D【解析】試題分析：過點(diǎn)M作MD⊥AB于D,連接AM,設(shè)⊙M的半徑為R,∵四邊形OABC為正方形,頂點(diǎn)A,C在坐標(biāo)軸上,以邊AB為弦的⊙M與x軸相切,點(diǎn)A的坐標(biāo)為(0,8),∴DA=4,AB=8,DM=8-R,AM=R,又∵△ADM是直角三角形,根據(jù)勾股定理可得AM2=DM2+AD2,∴R2=(8-R)2+42,解得R=5,∴M(-4,5)．故選D考點(diǎn)：1.正方形的性質(zhì)；2.垂經(jīng)定理；3.勾股定理.二、填空題11.和平中學(xué)自行車停車棚頂部的剖面如圖所示,已知AB＝16m,半徑OA＝10m,高度CD為____m．【答案】4．【解析】【分析】由CD⊥AB,根據(jù)垂徑定理得到AD＝DB＝8,再在Rt△OAD中,利用勾股定理計(jì)算出OD,則通過CD＝OC?OD求出CD．詳解】解：∵CD⊥AB,AB＝16,∴AD＝DB＝8,在Rt△OAD中,AB＝16m,半徑OA＝10m,∴OD＝＝6,∴CD＝OC﹣OD＝10﹣6＝4(m)．故答案為4．【點(diǎn)睛】本題考查了垂徑定理：垂直于弦的直徑平分弦,并且平分弦所對(duì)的?。部疾榱饲芯€的性質(zhì)定理以及勾股定理．12.已知：Rt△ABC中,∠C＝90°,AC＝4cm,BC＝3cm,點(diǎn)D是AB的中點(diǎn),以點(diǎn)B為圓心,BC長(zhǎng)為半徑作⊙B,則點(diǎn)D與⊙B的位置關(guān)系是_______．【答案】點(diǎn)D在⊙B內(nèi)【解析】【分析】先根據(jù)勾股定理求出AB的長(zhǎng),再由點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)求出BD的長(zhǎng),進(jìn)而可得出結(jié)論．【詳解】∵在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=3cm,AC=4cm,∴AB=．∵D為AB的中點(diǎn),∴BD=AB=2.5cm．∵以B為圓心,BC為半徑作⊙B,BD＜3,∴點(diǎn)D在圓內(nèi)．故答案為點(diǎn)D在圓內(nèi).【點(diǎn)睛】本題考查的是點(diǎn)與圓的位置關(guān)系,熟知點(diǎn)與圓的3種位置關(guān)系是解答此題的關(guān)鍵．13.如圖,已知AB是⊙O的直徑,PB是⊙O的切線,PA交⊙O于點(diǎn)C,AB＝3cm,PB＝4cm,則BC＝______cm.【答案】【解析】試題解析：是的切線,是的直徑,即為的高,即故答案為14.如圖,已知：⊙O與△ABC的邊AB,AC,BC分別相切于點(diǎn)D,E,F,若AB＝4,AC＝5,AD＝1,則BC＝________．【答案】7【解析】【分析】由切線長(zhǎng)定理得AD=AE,BD=BF,CE=CF,根據(jù)已知條件,先求出BD,即BF的長(zhǎng),再求出CE=4,即CF的長(zhǎng),求和即可．【詳解】∵AB、AC、BC都是⊙O的切線,∴AD=AE,BD=BF,CE=CF,∵AB=4,AC=5,AD=1,∴AE=1,BD=3,CE=CF=4,∴BC=BF+CF=3+4=7．【點(diǎn)睛】本題考查的是切線長(zhǎng)定理,分析圖形時(shí)關(guān)鍵是要仔細(xì)探索,找出圖形的各對(duì)相等切線長(zhǎng)．15.如圖,在△ABC中,∠BAC=50°,AC=2,AB=3,將△ABC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)50°,得到△AB1C1,則陰影部分的面積為_______.【答案】π【解析】試題分析：∵,∴S陰影===．故答案為．考點(diǎn)：旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)；扇形面積的計(jì)算．16.圓錐的底面半徑長(zhǎng)為5,將其側(cè)面展開后得到一個(gè)半圓,則該半圓的半徑長(zhǎng)是______．【答案】10【解析】試題分析：側(cè)面展開后得到一個(gè)半圓就是底面圓的周長(zhǎng)．依此列出方程即可．設(shè)該半圓的半徑長(zhǎng)為x,根據(jù)題意得：2πx÷2=2π×5,解得x=10．故答案為10．考點(diǎn)：圓錐的計(jì)算.三、解答題17.如圖,AB是⊙O的一條弦,OD⊥AB,垂足為點(diǎn)C,交⊙O于點(diǎn)D,點(diǎn)E在⊙O上．(1)若∠AOD=52°,求∠DEB的度數(shù)；(2)若CD=2,AB=8,求半徑的長(zhǎng)．【答案】(1)26°；(2)5；【解析】【分析】(1)由OD⊥AB,可得,然后由圓周角定理求得∠DEB的度數(shù)．(2)由垂徑定理可得AC=4,然后設(shè)⊙O的半徑為x,由勾股定理即可求得方程：x2=42+(x-2)2,解此方程即可求得答案．【詳解】(1)∵OD⊥AB,∴,∵∠AOD=52°,∴∠DEB=×52°=26°．(2)設(shè)⊙O的半徑為x,則OC=OD-CD=x-2,∵OD⊥AB,∴AC=AB=×8=4,在Rt△AOC中,OA2=AC2+OC2,∴x2=42+(x-2)2,解得：x=5,∴⊙O的半徑為5．【點(diǎn)睛】此題考查了圓周角定理、垂徑定理以及勾股定理．此題難度不大,注意掌握數(shù)形結(jié)合思想與方程思想的應(yīng)用．18.如圖,△ABC中,AB＝AC,以AB為直徑作⊙O,交BC于點(diǎn)D,交CA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E,連接AD,DE.(1)求證：D是BC的中點(diǎn)；(2)若DE＝3,BD－AD＝2,求⊙O的半徑．【答案】(1)詳見解析；(2).【解析】【分析】(1)根據(jù)圓周角定理求得AD⊥BC,根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)即可證得結(jié)論；(2)先求得∠E=∠C,根據(jù)等角對(duì)等邊求得BD=DC=DE=3,進(jìn)而求得AD=1,然后根據(jù)勾股定理求得AB,即可求得圓的半徑.【詳解】(1)證明：∵AB是圓O的直徑,∴AD⊥BC,∵AB=AC,∴BD=DC；(2)解：∵AB=AC,∠B=∠C,∵∠B=∠E,∴∠E=∠C,∴BD=DC=DE=3,∵BD-AD=2,∴AD=1,在RT△ABD中,AB=,∴⊙O的半徑為.【點(diǎn)睛】本題考查了圓周角定理,等腰三角形的判定和性質(zhì),勾股定理的應(yīng)用,熟練掌握性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．19.如圖,PA,PB是⊙O的切線,A,B為切點(diǎn)．連接AO并延長(zhǎng)交PB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)C,連接PO交⊙O于點(diǎn)D.(1)求證：PO平分∠APC；(2)連接BD,若∠C＝30°,求證：DB∥AC.【答案】詳見解析【解析】【分析】(1)連接OB,根據(jù)切線長(zhǎng)定理即可解答；(2)先證明△ODB是等邊三角形,得到∠OBD=60°,再由∠DBP=∠C,即可得到DB∥AC．【詳解】(1)如圖,連接OB,∵PA,PB是⊙O的切線,∴PO平分∠APC；(2)∵OA⊥AP,OB⊥BP,∴∠CAP=∠OBP=90°,∵∠C=30°,∴∠APC=90°-∠C=90°-30°=60°,∵PO平分∠APC,∴∠OPC=∠APC=×60°=30°,∴∠POB=90°-∠OPC=90°-30°=60°,又OD=OB,∴△ODB是等邊三角形,∴∠OBD=60°,∴∠DBP=∠OBP-∠OBD=90°-60°=30°,∴∠DBP=∠C,∴DB∥AC．【點(diǎn)睛】本題考查了切線的性質(zhì),角平分線的判定,等邊三角形的判定和性質(zhì),解本題的關(guān)鍵是判斷出△ODB是等邊三角形．20.如圖,已知⊙O的直徑AB=12,弦AC=10,D是弧BC的中點(diǎn),過點(diǎn)D作DE⊥AC,交AC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E．(1)求證：DE是⊙O的切線；(2)求AE的長(zhǎng)．【答案】(1)見解析；(2)11．【解析】分析：(1)連接OD,由D為弧BC的中點(diǎn),得到兩條弧相等,進(jìn)而得到兩個(gè)同位角相等,確定出OD與AE平行,利用兩直線平行同旁內(nèi)角互補(bǔ)得到OD與DE垂直,即可得證；(2)過O作OF垂直于AC,利用垂徑定理得到F為AC中點(diǎn),再由四邊形OFED為矩形,求出FE的長(zhǎng),由AF+EF求出AE的長(zhǎng)即可．詳解：(1)連接OD,∵D為弧BC的中點(diǎn),∴弧BD=弧CD,∴∠BOD=∠BAE,∴OD∥AE,∵DE⊥AC,∴∠ADE=90°,∴∠AED=90°,∴OD⊥DE,則DE為圓O的切線；(2)過點(diǎn)O作OF⊥AC,∵AC=10,∴AF=CF=AC=5,∵∠OFE=∠DEF=∠ODE=90°,∴四邊形OFED為矩形,∴FE=OD=AB,∵AB=12,∴FE=6,則AE=AF+FE=5+6=11．點(diǎn)睛：此題考查了切線的性質(zhì)與判定,勾股定理,以及垂徑定理,熟練掌握各自的性質(zhì)及定理是解本題的關(guān)鍵．21.如圖,在四邊形ABCD中,AB∥CD,∠DAB＝90°,且∠ABC＝60°,AB＝AC,△ADC的外接圓⊙O交BC于點(diǎn)E,連接DE并延長(zhǎng)交AB延長(zhǎng)線于點(diǎn)F.(1)求證：CF＝DB；(2)當(dāng)AD＝時(shí),求AB的長(zhǎng)．【答案】詳見解析.【解析】【分析】(1)連結(jié)AE,由∠ABC=60°,AB=BC可判斷△ABC為等邊三角形,由AB∥CD,∠DAB=90°得∠ADC=∠DAB=90°,則根據(jù)圓周角定理可得到AC為⊙O的直徑,則∠AEC=90°,即AE⊥BC,根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得BE=CE,再證明△DCE≌△FBE,得到DE=FE,于是可判斷四邊形BDCF為平行四邊形,根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得CF=DB；(2)作EH⊥CF于H,由△ABC為等邊三角形得∠BAC=60°,則∠DAC=30°,在Rt△ADC中,根據(jù)含30度的直角三角形三邊的關(guān)系得DC=AD=1,AC=2CD=2.則AB=AC=2【詳解】(1)證明：連結(jié)AE,如圖,∵∠ABC=60°,AB=BC,∴△ABC為等邊三角形,∵AB∥CD,∠DAB=90°,∴∠ADC=∠DAB=90°,∴AC為⊙O的直徑,∴∠AEC=90°,即AE⊥BC,∴BE=CE,CD∥BF,∴∠DCE=∠FBE,在△DCE和△FBE中,,∴△DCE≌△FBE(ASA),∴DE=FE,∴四邊形BDCF為平行四邊形,∴CF=DB；(2)解：作EH⊥CF于H,如圖,∵△ABC為等邊三角形,∴∠BAC=60°,∴∠DAC=30°,在Rt△ADC中,AD=,∴DC=AD=1,AC=2CD=2,∴AB=AC=2.【點(diǎn)睛】本題考查了圓的綜合題：熟練掌握?qǐng)A周角定理、等邊三角形的性質(zhì)和平行四邊形的判定與性質(zhì)；會(huì)運(yùn)用三角形全等的知識(shí)解決線段相等的問題.22.如圖,在直角三角形ABC中,∠ABC＝90°.(1)先作∠ACB平分線；設(shè)它交AB邊于點(diǎn)O,再以點(diǎn)O為圓心,OB為半徑作⊙O(尺規(guī)作圖,保留作圖痕跡,不寫作法)；(2)證明：AC是所作⊙O的切線；(3)若BC＝,∠A＝30°,求△AOC的面積．【答案】(1)詳見解析；(2)詳見解析；(3)【解析】【分析】(1)根據(jù)角平分線的作法求出角平分線FC,進(jìn)而得出⊙O；(2)根據(jù)切線判定定理求出EO=BO,即可得出答案；(3)根據(jù)銳角三角函數(shù)的關(guān)系求出AC,EO的長(zhǎng),即可得出答案．【詳解】(1)解：如圖所示：(2)證明：過點(diǎn)O作OE⊥AC于點(diǎn)E,∵FC平分∠ACB,∴OB=OE,∴AC是所作⊙O的切線；(3)解：∵∠A=30°,∠ABC=90°∴∠ACO=∠OCB=∠ACB=30°,∵BC=,∴AC=2,BO=tan30°BC==1,∴△AOC的面積為：×AC×OE=×2×1=．【點(diǎn)睛】此題主要考查了復(fù)雜作圖以及切線的判定和銳角三角函數(shù)的關(guān)系等知識(shí),正確把握切線的判定定理是解題關(guān)鍵．23.如圖,AB是⊙O的直徑,BC為⊙O的切線,D為⊙O上的一點(diǎn),CD=CB,延長(zhǎng)CD交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E．(1)求證：CD為⊙O的切線；(2)求證：∠C=2∠DBE．(3)若EA=AO=2,求圖中陰影部分的面積．(結(jié)果保留π)【答案】(1)證明見解析；(2)證明見解析；(3)．【解析】【分析】(1)連接OD,由BC是⊙O的切線,可得∠ABC=90°,由CD=CB,OB=OD,易證得∠ODC=∠ABC=90°,即可證得CD為⊙O的切線;(2)在Rt△OBF中,∠ABD=30°,OF=1,可求得BD的長(zhǎng),∠BOD的度數(shù),又由S