2025屆江西省宜春市樟樹中學(xué)高三沖刺模擬數(shù)學(xué)試卷含解析

2025屆江西省宜春市樟樹中學(xué)高三沖刺模擬數(shù)學(xué)試卷注意事項(xiàng)1．考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請認(rèn)真核對(duì)監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對(duì)應(yīng)選項(xiàng)的方框涂滿、涂黑；如需改動(dòng)，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號(hào)等須加黑、加粗．一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知函數(shù)的最小正周期為的圖象向左平移個(gè)單位長度后關(guān)于軸對(duì)稱，則的單調(diào)遞增區(qū)間為()A． B．C． D．2．已知集合M＝{x|﹣1＜x＜2}，N＝{x|x（x+3）≤0}，則M∩N＝（）A．[﹣3，2） B．（﹣3，2） C．（﹣1，0] D．（﹣1，0）3．已知函數(shù)在上可導(dǎo)且恒成立，則下列不等式中一定成立的是（）A．、B．、C．、D．、4．復(fù)數(shù)滿足，則（）A． B． C． D．5．已知函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則,，的大小關(guān)系為（）A． B． C． D．6．已知，，是平面內(nèi)三個(gè)單位向量，若，則的最小值（）A． B． C． D．57．已知命題,；命題若，則，下列命題為真命題的是（）A． B． C． D．8．某工廠利用隨機(jī)數(shù)表示對(duì)生產(chǎn)的600個(gè)零件進(jìn)行抽樣測試，先將600個(gè)零件進(jìn)行編號(hào)，編號(hào)分別為001，002，……，599,600.從中抽取60個(gè)樣本，下圖提供隨機(jī)數(shù)表的第4行到第6行：若從表中第6行第6列開始向右讀取數(shù)據(jù)，則得到的第6個(gè)樣本編號(hào)是（）A．324 B．522 C．535 D．5789．已知全集，集合，，則陰影部分表示的集合是（）A． B． C． D．10．過拋物線的焦點(diǎn)的直線交該拋物線于，兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn).若，則直線的斜率為()A． B． C． D．11．如圖1，《九章算術(shù)》中記載了一個(gè)“折竹抵地”問題:今有竹高一丈,末折抵地,去本三尺，問折者高幾何?意思是:有一根竹子,原高一丈（1丈=10尺）,現(xiàn)被風(fēng)折斷，尖端落在地上，竹尖與竹根的距離三尺，問折斷處離地面的高為（）尺.A． B． C． D．12．已知數(shù)列為等差數(shù)列，且，則的值為（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知直線被圓截得的弦長為2，則的值為__14．如圖，四面體的一條棱長為，其余棱長均為1，記四面體的體積為，則函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間是____；最大值為____.15．已知橢圓，，若橢圓上存在點(diǎn)使得為等邊三角形（為原點(diǎn)），則橢圓的離心率為_________．16．已知，則_____.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數(shù)，.（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）已知在處的切線與軸垂直，若方程有三個(gè)實(shí)數(shù)解、、（），求證：.18．（12分）已知頂點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn)的拋物線的焦點(diǎn)在軸正半軸上，圓心在直線上的圓與軸相切，且關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱.（1）求和的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過點(diǎn)的直線與交于，與交于，求證：.19．（12分）在直角坐標(biāo)系中，圓C的參數(shù)方程（為參數(shù)），以O(shè)為極點(diǎn)，x軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.（1）求圓C的極坐標(biāo)方程；（2）直線l的極坐標(biāo)方程是，射線與圓C的交點(diǎn)為O、P，與直線l的交點(diǎn)為Q，求線段的長.20．（12分）已知函數(shù)（1）解不等式；（2）若均為正實(shí)數(shù)，且滿足，為的最小值，求證：.21．（12分）已知在四棱錐中，平面，，在四邊形中，，，，為的中點(diǎn)，連接，為的中點(diǎn)，連接.（1）求證：.（2）求二面角的余弦值.22．（10分）已知函數(shù)，,使得對(duì)任意兩個(gè)不等的正實(shí)數(shù)，都有恒成立.（1）求的解析式；（2）若方程有兩個(gè)實(shí)根，且，求證：.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解析】

先由函數(shù)的周期和圖象的平移后的函數(shù)的圖象性質(zhì)得出函數(shù)的解析式，從而得出的解析式，再根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間得出函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間，可得選項(xiàng).【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)的最小正周期是，所以，即，所以，的圖象向左平移個(gè)單位長度后得到的函數(shù)解析式為，由于其圖象關(guān)于軸對(duì)稱，所以，又，所以，所以，所以，因?yàn)榈倪f增區(qū)間是：，，由，，得：，，所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為（）.故選：D.【點(diǎn)睛】本題主要考查正弦型函數(shù)的周期性，對(duì)稱性，單調(diào)性，圖象的平移，在進(jìn)行圖象的平移時(shí)，注意自變量的系數(shù)，屬于中檔題.2、C【解析】

先化簡N＝{x|x（x+3）≤0}={x|-3≤x≤0}，再根據(jù)M＝{x|﹣1＜x＜2}，求兩集合的交集.【詳解】因?yàn)镹＝{x|x（x+3）≤0}={x|-3≤x≤0}，又因?yàn)镸＝{x|﹣1＜x＜2}，所以M∩N＝{x|﹣1＜x≤0}.故選：C【點(diǎn)睛】本題主要考查集合的基本運(yùn)算，還考查了運(yùn)算求解的能力，屬于基礎(chǔ)題.3、A【解析】

設(shè)，利用導(dǎo)數(shù)和題設(shè)條件，得到，得出函數(shù)在R上單調(diào)遞增，得到，進(jìn)而變形即可求解.【詳解】由題意，設(shè)，則，又由，所以，即函數(shù)在R上單調(diào)遞增，則，即，變形可得.故選：A.【點(diǎn)睛】本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性及其應(yīng)用，以及利用單調(diào)性比較大小，其中解答中根據(jù)題意合理構(gòu)造新函數(shù)，利用新函數(shù)的單調(diào)性求解是解答的關(guān)鍵，著重考查了構(gòu)造思想，以及推理與計(jì)算能力，屬于中檔試題.4、C【解析】

利用復(fù)數(shù)模與除法運(yùn)算即可得到結(jié)果.【詳解】解:，故選：C【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)除法運(yùn)算，考查復(fù)數(shù)的模，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.5、C【解析】

根據(jù)函數(shù)的奇偶性得，再比較的大小，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性可得選項(xiàng).【詳解】依題意得，，當(dāng)時(shí)，，因?yàn)?，所以在上單調(diào)遞增，又在上單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞增，，即，故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的奇偶性的應(yīng)用、冪、指、對(duì)的大小比較，以及根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性比較大小，屬于中檔題.6、A【解析】

由于，且為單位向量，所以可令，，再設(shè)出單位向量的坐標(biāo)，再將坐標(biāo)代入中，利用兩點(diǎn)間的距離的幾何意義可求出結(jié)果．【詳解】解：設(shè)，，，則，從而，等號(hào)可取到．故選：A【點(diǎn)睛】此題考查的是平面向量的坐標(biāo)、模的運(yùn)算，利用整體代換，再結(jié)合距離公式求解，屬于難題．7、B【解析】解：命題p：?x＞0，ln（x+1）＞0，則命題p為真命題，則￢p為假命題；取a=﹣1，b=﹣2，a＞b，但a2＜b2，則命題q是假命題，則￢q是真命題．∴p∧q是假命題，p∧￢q是真命題，￢p∧q是假命題，￢p∧￢q是假命題．故選B．8、D【解析】

因?yàn)橐獙?duì)600個(gè)零件進(jìn)行編號(hào)，所以編號(hào)必須是三位數(shù)，因此按要求從第6行第6列開始向右讀取數(shù)據(jù)，大于600的，重復(fù)出現(xiàn)的舍去，直至得到第六個(gè)編號(hào).【詳解】從第6行第6列開始向右讀取數(shù)據(jù)，編號(hào)內(nèi)的數(shù)據(jù)依次為:，因?yàn)?35重復(fù)出現(xiàn)，所以符合要求的數(shù)據(jù)依次為，故第6個(gè)數(shù)據(jù)為578.選D.【點(diǎn)睛】本題考查了隨機(jī)數(shù)表表的應(yīng)用，正確掌握隨機(jī)數(shù)表法的使用方法是解題的關(guān)鍵.9、D【解析】

先求出集合N的補(bǔ)集，再求出集合M與的交集，即為所求陰影部分表示的集合.【詳解】由，，可得或，又所以.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查了韋恩圖表示集合，集合的交集和補(bǔ)集的運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.10、D【解析】

根據(jù)拋物線的定義，結(jié)合，求出的坐標(biāo)，然后求出的斜率即可．【詳解】解：拋物線的焦點(diǎn)，準(zhǔn)線方程為，設(shè)，則，故，此時(shí)，即．則直線的斜率．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了拋物線的定義，直線斜率公式，屬于中檔題．11、B【解析】如圖，已知，，

∴，解得

，∴，解得

.∴折斷后的竹干高為4.55尺故選B.12、B【解析】

由等差數(shù)列的性質(zhì)和已知可得，即可得到，代入由誘導(dǎo)公式計(jì)算可得．【詳解】解：由等差數(shù)列的性質(zhì)可得，解得，，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列的下標(biāo)和公式的應(yīng)用，涉及三角函數(shù)求值，屬于基礎(chǔ)題．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、1【解析】

根據(jù)弦長為半徑的兩倍，得直線經(jīng)過圓心，將圓心坐標(biāo)代入直線方程可解得．【詳解】解：圓的圓心為（1，1），半徑，

因?yàn)橹本€被圓截得的弦長為2，

所以直線經(jīng)過圓心（1，1），

，解得．故答案為：1．【點(diǎn)睛】本題考查了直線與圓相交的性質(zhì)，屬基礎(chǔ)題．14、(或?qū)懗?【解析】試題分析：設(shè)，取中點(diǎn)則,因此,所以，因?yàn)樵趩握{(diào)遞增，最大值為所以單調(diào)增區(qū)間是，最大值為考點(diǎn)：函數(shù)最值，函數(shù)單調(diào)區(qū)間15、【解析】

根據(jù)題意求出點(diǎn)N的坐標(biāo)，將其代入橢圓的方程，求出參數(shù)m的值，再根據(jù)離心率的定義求值.【詳解】由題意得，將其代入橢圓方程得，所以.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及幾何性質(zhì)，屬于中檔題.16、【解析】

對(duì)原方程兩邊求導(dǎo)，然后令求得表達(dá)式的值.【詳解】對(duì)等式兩邊求導(dǎo)，得，令，則.【點(diǎn)睛】本小題主要考查二項(xiàng)式展開式，考查利用導(dǎo)數(shù)轉(zhuǎn)化已知條件，考查賦值法，屬于中檔題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）①當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞增,②當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增區(qū)間為,,單調(diào)遞減區(qū)間為（2）證明見解析【解析】

（1）先求解導(dǎo)函數(shù)，然后對(duì)參數(shù)分類討論，分析出每種情況下函數(shù)的單調(diào)性即可；（2）根據(jù)條件先求解出的值，然后構(gòu)造函數(shù)分析出之間的關(guān)系，再構(gòu)造函數(shù)分析出之間的關(guān)系，由此證明出.【詳解】（1），①當(dāng)時(shí)，恒成立，則在單調(diào)遞增②當(dāng)時(shí)，令得，解得，又，∴∴當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增.（2）依題意得，，則由（1）得，在單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增∴若方程有三個(gè)實(shí)數(shù)解，則法一：雙偏移法設(shè)，則∴在上單調(diào)遞增，∴，∴，即∵，∴，其中，∵在上單調(diào)遞減，∴，即設(shè)，∴在上單調(diào)遞增，∴，∴，即∵，∴，其中，∵在上單調(diào)遞增，∴，即∴.法二：直接證明法∵，，在上單調(diào)遞增，∴要證，即證設(shè)，則∴在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增∴，∴，即（注意：若沒有證明，扣3分）關(guān)于的證明：（1）且時(shí)，（需要證明），其中∴∴∴（2）∵，∴∴，即∵，，∴，則∴【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)與倒導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，難度較難.（1）對(duì)于含參函數(shù)單調(diào)性的分析，可通過分析參數(shù)的臨界值，由此分類討論函數(shù)單調(diào)性；（2）利用導(dǎo)數(shù)證明不等式常用方法：構(gòu)造函數(shù)，利用新函數(shù)的單調(diào)性確定函數(shù)的最值，從而達(dá)到證明不等式的目的.18、（1）,；（2）證明見解析.【解析】分析：（1）設(shè)的標(biāo)準(zhǔn)方程為，由題意可設(shè)．結(jié)合中點(diǎn)坐標(biāo)公式計(jì)算可得的標(biāo)準(zhǔn)方程為．半徑，則的標(biāo)準(zhǔn)方程為．（2）設(shè)的斜率為，則其方程為，由弦長公式可得．聯(lián)立直線與拋物線的方程有．設(shè)，利用韋達(dá)定理結(jié)合弦長公式可得．則．即．詳解：（1）設(shè)的標(biāo)準(zhǔn)方程為，則．已知在直線上，故可設(shè)．因?yàn)殛P(guān)于對(duì)稱，所以解得所以的標(biāo)準(zhǔn)方程為．因?yàn)榕c軸相切，故半徑，所以的標(biāo)準(zhǔn)方程為．（2）設(shè)的斜率為，那么其方程為，則到的距離，所以．由消去并整理得：．設(shè)，則，那么．所以．所以，即．點(diǎn)睛：(1)直線與拋物線的位置關(guān)系和直線與橢圓、雙曲線的位置關(guān)系類似，一般要用到根與系數(shù)的關(guān)系；(2)有關(guān)直線與拋物線的弦長問題，要注意直線是否過拋物線的焦點(diǎn)，若過拋物線的焦點(diǎn)，可直接使用公式|AB|＝x1＋x2＋p，若不過焦點(diǎn)，則必須用一般弦長公式．19、（1）；（2）2【解析】

（1）首先利用對(duì)圓C的參數(shù)方程（φ為參數(shù)）進(jìn)行消參數(shù)運(yùn)算，化為普通方程，再根據(jù)普通方程化極坐標(biāo)方程的公式得到圓C的極坐標(biāo)方程．（2）設(shè)，聯(lián)立直線與圓的極坐標(biāo)方程，解得；設(shè)，聯(lián)立直線與直線的極坐標(biāo)方程，解得，可得．【詳解】（1）圓C的普通方程為，又，所以圓C的極坐標(biāo)方程為.（2）設(shè)，則由解得，，得；設(shè)，則由解得，，得；所以【點(diǎn)睛】本題考查圓的參數(shù)方程與普通方程的互化，考查圓的極坐標(biāo)方程，考查極坐標(biāo)方程的求解運(yùn)算，考查了學(xué)生的計(jì)算能力以及轉(zhuǎn)化能力，屬于基礎(chǔ)題.20、（1）或（2）證明見解析【解析】

（1）將寫成分段函數(shù)的形式，由此求得不等式的解集.（2）由（1）求得最小值，由此利用基本不等式，證得不等式成立.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，恒成立，解得；當(dāng)時(shí)，由，解得；當(dāng)時(shí)，由解得所以的解集為或（2）由（1）可求得最小值為，即因?yàn)榫鶠檎龑?shí)數(shù)，且（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取“”）所以，即.【點(diǎn)睛】本小題主要考查絕對(duì)值不等式的求法，考查利用基本不等式證明不等式，屬于中檔題.21、（1）見解析；（2）【解析】

（1）連接，證明，得到面，得到證明.（2）以，，所在直線分別為，，軸建立空間直角坐標(biāo)系，為平面的法向量，平面的一個(gè)法向量為，計(jì)算夾角得到答案.【詳解】（1）連接，在四邊形中，，平面，面，，，面，又面，，又在直角三角形中，，為的中點(diǎn)，，，面，面，.（2）以，，所在直線分別為，，軸建立空間直角坐標(biāo)系，，，，，，，設(shè)為平面的法向量，，，，，令，則，，，同理可得平面的一個(gè)法向量為.設(shè)向量與的所成的角為，，由圖形知，二面角為銳二面角，所以余弦值為.【點(diǎn)睛】本題考查了線線垂直，二面角，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和空間想象能力.22、（1）；（2）證明見解析.【解析】

（1）根據(jù)題意，在上單調(diào)遞減，求導(dǎo)得，分類討論的單調(diào)性，結(jié)合題意，得出的解析式；（