高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)《隨機(jī)抽樣、用樣本估計(jì)總體》專項(xiàng)測試卷及答案

第第頁高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)《隨機(jī)抽樣、用樣本估計(jì)總體》專項(xiàng)測試卷及答案學(xué)校:___________班級：___________姓名：___________考號：___________復(fù)習(xí)要點(diǎn)1.理解簡單隨機(jī)抽樣及分層隨機(jī)抽樣的方法.2.了解分布的意義和作用，會(huì)列頻率分布表，會(huì)畫頻率分布直方圖、頻率折線圖，理解它們各自的特點(diǎn).3.理解樣本數(shù)據(jù)標(biāo)準(zhǔn)差的意義和作用，會(huì)計(jì)算數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差.4.能從樣本數(shù)據(jù)中提取基本的數(shù)字特征(如平均數(shù)、標(biāo)準(zhǔn)差等)，并給出合理的解釋.5.會(huì)用樣本的頻率分布估計(jì)總體的頻率分布，會(huì)用樣本的基本數(shù)字特征估計(jì)總體的基本數(shù)字特征，理解用樣本估計(jì)總體的思想．一簡單隨機(jī)抽樣1．定義：一般地，設(shè)一個(gè)總體含有N(N為正整數(shù))個(gè)個(gè)體，從中逐個(gè)抽取n(1≤n＜N)個(gè)個(gè)體作為樣本，如果每次抽取時(shí)總體內(nèi)的各個(gè)個(gè)體被抽到的概率都相等，就把這種抽樣方法叫做簡單隨機(jī)抽樣．2．最常用的簡單隨機(jī)抽樣的方法：抽簽法和隨機(jī)數(shù)法．二分層隨機(jī)抽樣一般地，按一個(gè)或多個(gè)變量把總體劃分成若干個(gè)子總體，每個(gè)個(gè)體屬于且僅屬于一個(gè)子總體，在每個(gè)子總體中獨(dú)立地進(jìn)行簡單隨機(jī)抽樣，再把所有子總體中抽取的樣本合在一起作為總樣本，這樣的抽樣方法稱為分層隨機(jī)抽樣，每一個(gè)子總體稱為層．三統(tǒng)計(jì)圖表1．常見的統(tǒng)計(jì)圖表有條形圖、扇形圖、折線圖、頻率分布直方圖等．2．畫頻率分布直方圖的步驟(1)求極差；(2)決定組距與組數(shù)；(3)將數(shù)據(jù)分組；(4)列頻率分布表；(5)畫頻率分布直方圖．四總體百分位數(shù)定義意義百分位數(shù)一組數(shù)的p%分位數(shù)指的是，將這組數(shù)按照從小到大的順序排列后，處于p%位置的數(shù)．中位數(shù)就是一個(gè)50%分位數(shù)反映該組數(shù)中小于或等于該百分位數(shù)的分布特點(diǎn)五總體集中趨勢估計(jì)1．中位數(shù)將一組數(shù)據(jù)按大小依次排列，處于最中間位置的一個(gè)數(shù)據(jù)(或最中間兩個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù))叫做這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)．2．眾數(shù)一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)叫做這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)．3．平均數(shù)一組數(shù)據(jù)的算術(shù)平均數(shù)即為這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)，n個(gè)數(shù)據(jù)x1，x2，…，xn的平均數(shù)為eq\f(1,n)(x1＋x2＋…＋xn)．六總體離散程度估計(jì)1．假設(shè)一個(gè)樣本中個(gè)體的變量值分別是x1，x2，…，xn，用eq\x\to(x)表示樣本的平均數(shù)，那么樣本的標(biāo)準(zhǔn)差和方差的計(jì)算公式如下：(1)標(biāo)準(zhǔn)差s＝eq\r(\f(1,n)[x1－\x\to(x)2＋x2－\x\to(x)2＋…＋xn－\x\to(x)2]).(2)方差s2＝eq\f(1,n)[(x1－eq\x\to(x))2＋(x2－eq\x\to(x))2＋…＋(xn－eq\x\to(x))2]．2．總體方差和總體標(biāo)準(zhǔn)差(1)一般式：如果總體中所有個(gè)體的變量值分別為Y1，Y2，…，YN，總體平均數(shù)為eq\x\to(Y)，則總體方差S2＝eq\f(1,N)eq\i\su(i＝1,N,)(Yi－eq\x\to(Y))2.(2)加權(quán)式：如果總體的N個(gè)變量值中，不同的值共有k(k≤N)個(gè)，不妨記為Y1，Y2，…，Yk，其中Yi出現(xiàn)的頻數(shù)為fi(i＝1,2，…，k)，則總體方差為S2＝eq\f(1,N)eq\i\su(i＝1,k,f)i(Yi－eq\x\to(Y))2.常/用/結(jié)/論1．從總體中，逐個(gè)不放回地隨機(jī)抽取n個(gè)個(gè)體作為樣本，一次性批量隨機(jī)抽取n個(gè)個(gè)體作為樣本，兩種方法是等價(jià)的．2．頻率分布直方圖中的常見結(jié)論(1)眾數(shù)的估計(jì)值為最高矩形底邊的中點(diǎn)對應(yīng)的橫坐標(biāo)；(2)平均數(shù)的估計(jì)值等于頻率分布直方圖中每個(gè)小矩形的面積乘小矩形底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和；即每組的頻率．(3)中位數(shù)的估計(jì)值的左邊和右邊的小矩形的面積和是相等的．即從左到右頻率和為0.5的位置．3．簡單隨機(jī)抽樣樣本平均數(shù)、方差的計(jì)算公式的推廣(1)若數(shù)據(jù)x1，x2，…，xn的平均數(shù)為eq\x\to(x)，則數(shù)據(jù)mx1＋a，mx2＋a，mx3＋a，…，mxn＋a的平均數(shù)是meq\x\to(x)＋a；(2)若數(shù)據(jù)x1，x2，…，xn的方差為s2，則數(shù)據(jù)ax1＋b，ax2＋b，…，axn＋b的方差為a2s2.4．分層隨機(jī)抽樣樣本均值、方差的計(jì)算公式的推廣如果將總體分為k層，第j層抽取的樣本量為nj，樣本均值為eq\x\to(x)j，樣本方差為seq\o\al(2,j)，j＝1,2，…，k，記n＝eq\i\su(j＝1,k,n)j，那么所有數(shù)據(jù)的樣本均值eq\x\to(x)和方差s2為eq\x\to(x)＝eq\f(1,n)eq\i\su(j＝1,k,)(njeq\x\to(x)j)，s2＝eq\f(1,n)eq\i\su(j＝1,k,[)njseq\o\al(2,j)＋nj(eq\x\to(x)j－eq\x\to(x))2]．1．判斷下列結(jié)論是否正確．(1)分層隨機(jī)抽樣中，每個(gè)個(gè)體被抽到的可能性與層數(shù)及分層有關(guān)．()(2)頻率分布直方圖中，小長方形的面積越大，表示樣本數(shù)據(jù)落在該區(qū)間的頻率越大．(√)(3)如果一組數(shù)中每個(gè)數(shù)減去同一個(gè)非零常數(shù)，則這組數(shù)的平均數(shù)改變，方差不變．(√)(4)一組數(shù)據(jù)的眾數(shù)可以是一個(gè)或幾個(gè)，那么中位數(shù)也具有相同的結(jié)論．()(5)一組數(shù)據(jù)的方差越大，說明這組數(shù)據(jù)越集中．()2．(多選)下列說法正確的是()A．眾數(shù)可以準(zhǔn)確地反映出總體的情況B．一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)一定大于這組數(shù)據(jù)中的每個(gè)數(shù)據(jù)C．平均數(shù)、眾數(shù)與中位數(shù)從不同的角度描述了一組數(shù)據(jù)的集中趨勢D．一組數(shù)據(jù)的方差越大，說明這組數(shù)據(jù)的波動(dòng)越大解析：對于A，眾數(shù)體現(xiàn)了樣本數(shù)據(jù)的最大集中點(diǎn)，但對其他數(shù)據(jù)信息的忽略使得其無法客觀反映總體特征，所以A錯(cuò)誤；對于B，一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)不可能大于這組數(shù)據(jù)中的每一個(gè)數(shù)據(jù)，所以B錯(cuò)誤；對于C，平均數(shù)、眾數(shù)與中位數(shù)從不同的角度描述了一組數(shù)據(jù)的集中趨勢，所以C正確；對于D，方差可以用來衡量一組數(shù)據(jù)波動(dòng)的大小，方差越小，數(shù)據(jù)波動(dòng)越小，方差越大，數(shù)據(jù)波動(dòng)越大，所以D正確．答案：CD3．某校從參加高二年級學(xué)業(yè)水平測試的學(xué)生中抽出80名學(xué)生，其數(shù)學(xué)成績(均為整數(shù))的頻率分布直方圖如圖所示，則這次測試數(shù)學(xué)成績的眾數(shù)為________，這次測試數(shù)學(xué)成績的中位數(shù)為________(精確到0.1)，這次測試數(shù)學(xué)成績的平均數(shù)為________．解析：由圖知眾數(shù)為eq\f(70＋80,2)＝75.設(shè)中位數(shù)為x，由于前三個(gè)矩形面積之和為0.4，第四個(gè)矩形面積為0.3,0.3＋0.4>0.5，因此中位數(shù)位于第四個(gè)矩形內(nèi)，得0.1＝0.03(x－70)，所以x≈73.3.由圖知這次測試數(shù)學(xué)成績的平均數(shù)為eq\f(40＋50,2)×0.005×10＋eq\f(50＋60,2)×0.015×10＋eq\f(60＋70,2)×0.020×10＋eq\f(70＋80,2)×0.030×10＋eq\f(80＋90,2)×0.025×10＋eq\f(90＋100,2)×0.005×10＝72.答案：7573.3724．(2024·河北名校聯(lián)考)9月19日，航天科技集團(tuán)五院發(fā)布消息稱，近日，在法國巴黎召開的第73屆國際宇航大會(huì)上，我國首次火星探測天問一號任務(wù)團(tuán)隊(duì)獲得國際宇航聯(lián)合會(huì)2022年度“世界航天獎(jiǎng)”．為科普航天知識，某校組織學(xué)生參與航天知識競答活動(dòng)，某班8位同學(xué)成績?nèi)缦拢?,6,8,9,8,7,10，m.若去掉m，該組數(shù)據(jù)的第25百分位數(shù)保持不變，則整數(shù)m(1≤m≤10)的值可以是________．(寫出一個(gè)滿足條件的m的值即可)解析：原數(shù)據(jù)去掉m后，剩余數(shù)據(jù)從小到大依次為6,7,7,8,8,9,10，因?yàn)?×0.25＝1.75，所以這7個(gè)數(shù)據(jù)的第25百分位數(shù)為7，所以數(shù)據(jù)7,6,8,9,8,7,10，m的第25百分位數(shù)為7，又8×0.25＝2，所以7為這8個(gè)數(shù)據(jù)從小到大排序后的第2個(gè)數(shù)與第3個(gè)數(shù)的平均數(shù)，所以m(1≤m≤10)的值可以是7或8或9或10.答案：7(8,9,10也可)題型抽樣方法典例1(1)用簡單隨機(jī)抽樣的方法從含有每個(gè)個(gè)體被抽到的可能性相等．10個(gè)個(gè)體的總體中，抽取一個(gè)容量為3的樣本，其中某一個(gè)體a“第一次被抽到”的可能性與“第二次被抽到”的可能性分別是()A．eq\f(1,10)，eq\f(1,10) B．eq\f(3,10)，eq\f(1,5)C．eq\f(1,5)，eq\f(3,10) D．eq\f(3,10)，eq\f(3,10)(2)(2024·四川成都檢測)中國古代科舉制度始于隋而成于唐，興盛于明、清兩朝．明代會(huì)試分南卷、北卷、中卷，按11∶7∶2的比例錄取，若某年會(huì)試錄取人數(shù)為100，則中卷錄取人數(shù)為()A．10 B．35C．55 D．75(3)(2024·江西吉安模擬)總體由編號為00,01,02，…，48,49的50個(gè)個(gè)體組成，利用下面的隨機(jī)數(shù)表選取6個(gè)個(gè)體，選取方法是從隨機(jī)數(shù)表第6行的第9列和第10列數(shù)數(shù)字3.數(shù)字3.字開始從左到右依次選取兩個(gè)數(shù)字，則選出的第3個(gè)個(gè)體的編號為()附：第6行至第9行的隨機(jī)數(shù)表如下：26357900337091601620388277574950eq\a\vs4\al(第1個(gè)數(shù))321149197306491676778733997467322748619871644148708628888519162074770111163024042979799196835125A．3 B．16C．38 D．20(4)將一個(gè)總體分為A，B，C三層，其個(gè)體數(shù)之比為5∶3∶2.若用比例分配的分層隨機(jī)抽樣的方法抽取容量為100的樣本，則應(yīng)從C中抽取________個(gè)個(gè)體；若A，B，C三層的樣本的平均數(shù)分別為15,30,20，則樣本的平均數(shù)為________．直接利用分層隨機(jī)抽樣的平均數(shù)公式．解析：(1)方法一：在抽樣過程中，個(gè)體a每一次被抽中的概率是相等的，因?yàn)榭傮w容量為10，故個(gè)體a“第一次被抽到”的可能性與“第二次被抽到”的可能性均為eq\f(1,10).方法二：第一次被抽到，顯然為eq\f(1,10)；第二次被抽到，也可這樣理解：第一次沒抽到，第二次抽到：9×1，則概率P＝eq\f(9×1,10×9)＝eq\f(1,10).首先第一次不能被抽到，第二次才可能被抽到，可能性為eq\f(9,10)×eq\f(1,9)＝eq\f(1,10).故選A．(2)由題意，知會(huì)試錄取人數(shù)為100，根據(jù)比例分配的分層隨機(jī)抽樣的性質(zhì)可知，中卷錄取人數(shù)為100×eq\f(2,11＋7＋2)＝10.故選A．(3)按隨機(jī)數(shù)法，從隨機(jī)數(shù)表第6行的第9列和第10列數(shù)字開始從左到右依次選取兩個(gè)數(shù)字，超出因?yàn)榫幪栍?個(gè)數(shù)字組成．00～49及重復(fù)的不選，則編號依次為33,16,20,38,49,32，…，則選出的第3個(gè)個(gè)體的編號為20.故選D．(4)∵A，B，C三層的個(gè)體數(shù)之比為5∶3∶2，總體中每個(gè)個(gè)體被抽到的概率相等，∴應(yīng)從C中抽取100×eq\f(2,5＋3＋2)＝20(個(gè))個(gè)體．樣本的平均數(shù)為eq\x\to(ω)＝eq\f(5,5＋3＋2)×15＋eq\f(3,5＋3＋2)×30＋eq\f(2,5＋3＋2)×20＝20.5.故答案為2020.5.1．在簡單隨機(jī)抽樣、分層隨機(jī)抽樣中，總體中每個(gè)個(gè)體入樣的可能性是相同的．2．分層隨機(jī)抽樣是按比例抽樣，抽樣比＝eq\f(樣本容量,總體容量)＝eq\f(各層樣本量,各層個(gè)體數(shù)量).3．在分層隨機(jī)抽樣中，如果第一層的樣本量為m，平均數(shù)為eq\x\to(x)；第二層的樣本量為n，平均數(shù)為eq\x\to(y)，則樣本的平均數(shù)為eq\f(m\x\to(x)＋n\x\to(y),m＋n).對點(diǎn)練1(1)隨著人們環(huán)保意識的增強(qiáng)，一次性筷子的使用率在降低．某調(diào)查小組為了了解目前一次性筷子的使用情況，在街頭隨機(jī)抽取了一部分人做了一次問卷調(diào)查，其中老年人、中年人、青年人填寫的問卷分別有200份、300份、500份，現(xiàn)在用比例分配的分層隨機(jī)抽樣方法抽出樣本進(jìn)行研究，若抽取的樣本中中年人填寫的問卷有60份，則樣本量為()A．60 B．150C．200 D．300(2)(2024·河北正定中學(xué)考試)假設(shè)要檢驗(yàn)?zāi)彻旧a(chǎn)的狂犬疫苗的劑量是否達(dá)標(biāo)，現(xiàn)從500支疫苗中抽取50支進(jìn)行檢驗(yàn)，利用隨機(jī)數(shù)法抽取樣本時(shí)，先將500支疫苗按000,001，…，499進(jìn)行編號，如果從隨機(jī)數(shù)表第7行第8列的數(shù)開始向右讀，則抽取的第3支疫苗的編號為()(下面摘取了隨機(jī)數(shù)表第7行至第9行)844217533157245506887704744767217633502583921205766301637859169556671998105071751286735807443952387933211234297864560782524207443815510013429962027954A．331 B．068C．455 D．572(3)記樣本x1，x2，…，xm的平均數(shù)為eq\x\to(x)，樣本y1，y2，…，yn的平均數(shù)為eq\x\to(y)(eq\x\to(x)≠eq\x\to(y))．若樣本x1，x2，…，xm，y1，y2，…，yn的平均數(shù)為eq\x\to(z)＝eq\f(1,4)eq\x\to(x)＋eq\f(3,4)eq\x\to(y)，則eq\f(m,n)的值為()A．3 B．4C．eq\f(1,4) D．eq\f(1,3)解析：(1)設(shè)樣本量為n，則eq\f(n,200＋300＋500)＝eq\f(60,300)，解得n＝200.(2)從隨機(jī)數(shù)表第7行第8列的數(shù)開始向右讀，依次為331,572(舍去)，455,068，…，則第3支疫苗的編號為068.故選B．(3)由題意知x1＋x2＋…＋xm＝meq\x\to(x)，y1＋y2＋…＋yn＝neq\x\to(y)，eq\x\to(z)＝eq\f(x1＋x2＋…＋xm＋y1＋y2＋…＋yn,m＋n)＝eq\f(m\x\to(x)＋n\x\to(y),m＋n)＝eq\f(m\x\to(x),m＋n)＋eq\f(n\x\to(y),m＋n)＝eq\f(1,4)eq\x\to(x)＋eq\f(3,4)eq\x\to(y)，所以eq\f(m,m＋n)＝eq\f(1,4)，eq\f(n,m＋n)＝eq\f(3,4)，可得3m＝n，所以eq\f(m,n)＝eq\f(1,3).答案：(1)C(2)B(3)D

題型總體取值規(guī)律、百分位數(shù)的估計(jì)典例2某市為了鼓勵(lì)市民節(jié)約用電，實(shí)行“階梯式”電價(jià)，將該市每戶居民的月用電量劃分為三檔，月用電量不超過200千瓦時(shí)的部分按0.5元/千瓦時(shí)收費(fèi)，超過200千瓦時(shí)但不超過400千瓦時(shí)的部分按0.8元/千瓦時(shí)收費(fèi)，超過400千瓦時(shí)的部分按1.0元/千瓦時(shí)收費(fèi)．(1)求某戶居民月用電費(fèi)用y(單位：元)關(guān)于月用電量x(單位：千瓦時(shí))的函數(shù)解析式；(2)為了了解居民的用電情況，通過抽樣獲得了今年1月份100戶居民的用電量，統(tǒng)計(jì)分析后得到如圖所示的頻率分布直方圖，若這100戶居民中，今年1月份用電費(fèi)用不超過260元的占80%，求a，b的值；由(1)知，當(dāng)y＝260時(shí)，x＝400，即400左側(cè)頻率和為0.8，右側(cè)頻率和為0.2.(3)根據(jù)(2)中求得的數(shù)據(jù)計(jì)算用電量的75%分位數(shù)．類比中位數(shù)求法，設(shè)75%分位數(shù)是m，則m左側(cè)的頻率和為0.75.解：(1)當(dāng)0≤x≤200時(shí)，y＝0.5x；當(dāng)200<x≤400時(shí)，y＝0.5×200＋0.8×(x－200)＝0.8x－60；當(dāng)x>400時(shí)，y＝0.5×200＋0.8×200＋1.0×(x－400)＝x－140.所以y與x之間的函數(shù)解析式為y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0.5x，0≤x≤200，,0.8x－60，200<x≤400，,x－140，x>400.))(2)由(1)可知，當(dāng)y＝260時(shí)，x＝400，即用電量不超過400千瓦時(shí)的占80%，結(jié)合頻率分布直方圖可知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0.0010×100＋2×100b＋0.0030×100＝0.8，,100a＋0.0005×100＝0.2，))解得a＝0.0015，b＝0.0020.(3)設(shè)75%分位數(shù)為m，因?yàn)橛秒娏康陀?00千瓦時(shí)的所占比例為(0.0010＋0.0020＋0.0030)×100×100%＝60%，用電量不超過400千瓦時(shí)的占80%，所以75%分位數(shù)m在[300,400)內(nèi)，所以0.6＋(m－300)×0.0020＝0.75，解得m＝375，即用電量的75%分位數(shù)為375.1．頻率分布直方圖的相關(guān)結(jié)論(1)頻率分布直方圖中各小長方形的面積之和為1.(2)頻率分布直方圖中縱軸表示eq\f(頻率,組距)，所以每組的頻率＝eq\f(頻率,組距)×組距，即小長方形的面積．2．總體百分位數(shù)的估計(jì)的注意事項(xiàng)(1)數(shù)據(jù)要從小到大排序．(2)確定要求的p%分位數(shù)所在分組[A，B)，由頻率分布直方圖可知，樣本中小于A的頻率為a，小于B的頻率為b，所以p%分位數(shù)＝A＋組距×eq\f(p%－a,b－a).eq\o(,,\s\do4())對點(diǎn)練2(1)(2024·江蘇南通質(zhì)檢)“雙減”政策實(shí)施后，學(xué)生的課外閱讀時(shí)間增多．某班50名學(xué)生到圖書館借書數(shù)量統(tǒng)計(jì)如下：借書數(shù)量(單位：本)5678910頻數(shù)(單位：人)58131194則這50名學(xué)生的借書數(shù)量的上四分位數(shù)是()A．8 B．8.5C．9 D．10(2)(多選)在某次高中學(xué)科競賽中，4000名考生的參賽成績統(tǒng)計(jì)如圖所示，60分以下視為不及格，若同一組中數(shù)據(jù)用該組區(qū)間中點(diǎn)作代表，則下列說法中正確的有()A．成績在[70,80]分的考生人數(shù)最多B．不及格的考生人數(shù)為1000C．考生競賽成績的平均分約為70.5分D．考生競賽成績的中位數(shù)約為75分解析：(1)由50×75%＝37.5，故第75百分位數(shù)為借書數(shù)量從小到大排序后的第38個(gè)，又5＋8＋13＋11＝37<38<5＋8＋13＋11＋9＝46，故上四分位數(shù)(第75百分位數(shù))是9.(2)根據(jù)頻率分布直方圖得，成績出現(xiàn)在[70,80]的頻率最大，故A正確；不及格的考生人數(shù)為10×(0.010＋0.015)×4000＝1000，故B正確；根據(jù)頻率分布直方圖估計(jì)考生競賽成績的平均分為45×0.1＋55×0.15＋65×0.2＋75×0.3＋85×0.15＋95×0.1＝70.5(分)，故C正確；0.1＋0.15＋0.2＝0.45<0.5,0.1＋0.15＋0.2＋0.3＝0.75>0.5，所以考生競賽成績的中位數(shù)約為70＋eq\f(0.5－0.45,0.03)≈71.67(分)，故D錯(cuò)誤．故選ABC．答案：(1)C(2)ABC題型總體集中趨勢、離散程度的估計(jì)典例3(1)(多選)(2023·新高考全國Ⅰ卷)有一組樣本數(shù)據(jù)x1，x2，…，x6，其中x1是最小值，x6是最大值，則()A．x2，x3，x4，x5的平均數(shù)等于x1，x2，…，x6的平均數(shù)即判斷x2＋x3＋x4＋x5與2(x1＋x6)的大?。瓸．x2，x3，x4，x5的中位數(shù)等于x1，x2，…，x6的中位數(shù)本質(zhì)也是研究x2，x3，x4，x5的中位數(shù)．C．x2，x3，x4，x5的標(biāo)準(zhǔn)差不小于x1，x2，…，x6的標(biāo)準(zhǔn)差x1，x2，…，x6的波動(dòng)性≥x2，x3，x4，x5的波動(dòng)性．D．x2，x3，x4，x5的極差不大于x1，x2，…，x6的極差最大值－最小值：x5－x2≤x6－x1.(2)(多選)(2024·湖北荊州中學(xué)模擬)某公司為提高職工政治素養(yǎng)，對全體職工進(jìn)行了一次時(shí)事政治測試，隨機(jī)抽取了100名職工的成績，并將其制成如圖所示的頻率分布直方圖，以樣本估計(jì)總體，則下列結(jié)論中正確的是()A．該公司職工的測試成績不低于60分的人數(shù)約占總?cè)藬?shù)的80%B．該公司職工測試成績的中位數(shù)約為70分C．該公司職工測試成績的平均值約為68分D．該公司職工測試成績的眾數(shù)約為60分3個(gè)選項(xiàng)研究頻率分布直方圖中的眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)的求法．(3)(2024·安徽宣城模擬)某學(xué)校有男生400人，女生600人，為調(diào)查該校全體學(xué)生每天運(yùn)動(dòng)時(shí)間的情況，按照男女比例通過分層隨機(jī)抽樣的方法取到一個(gè)樣本，樣本中男生每天運(yùn)動(dòng)時(shí)間的平均值為80分鐘，方差為10，女生每天運(yùn)動(dòng)時(shí)間的平均值為60分鐘，方差為20.結(jié)合數(shù)據(jù)，估計(jì)該校全體學(xué)生每天運(yùn)動(dòng)時(shí)間的方差為()考查分層隨機(jī)抽樣的方差，要在理解的基礎(chǔ)上準(zhǔn)確應(yīng)用公式．A．15 B．16C．96 D．112(4)(2023·全國乙卷，理)某廠為比較甲、乙兩種工藝對橡膠產(chǎn)品伸縮率的處理效應(yīng)，進(jìn)行10次配對試驗(yàn)，每次配對試驗(yàn)選用材質(zhì)相同的兩個(gè)橡膠產(chǎn)品，隨機(jī)地選其中一個(gè)用甲工藝處理，另一個(gè)用乙工藝處理，測量處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率．甲、乙兩種工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率分別記為xi，yi(i＝1,2，…，10)．試驗(yàn)結(jié)果如下：試驗(yàn)序號i12345678910伸縮率xi545533551522575544541568596548伸縮率yi536527543530560533522550576536記zi＝xi－yi(i＝1,2，…，10)，記z1，z2，…，z10的樣本平均數(shù)為eq\x\to(z)，樣本方差為s2.①求eq\x\to(z)，s2；根據(jù)表中數(shù)據(jù)計(jì)算zi＝xi－yi，再求eq\x\to(z)和s2.②判斷甲工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率較乙工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率是否有顯著提高(如果eq\x\to(z)≥2eq\r(\f(s2,10))，則認(rèn)為甲工藝計(jì)算eq\x\to(z)和2eq\r(\f(s2,10))，比較大小即可得出結(jié)論.,處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率較乙工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率有顯著提高，否則不認(rèn)為有顯著提高).解析：(1)對于選項(xiàng)A，設(shè)x2，x3，x4，x5的平均數(shù)為m，x1，x2，…，x6的平均數(shù)為n，則n－m＝eq\f(x1＋x2＋x3＋x4＋x5＋x6,6)－eq\f(x2＋x3＋x4＋x5,4)＝eq\f(2x1＋x6－x2＋x3＋x4＋x5,12)，因?yàn)闆]有確定2(x1＋x6)，x2＋x3＋x4＋x5的大小關(guān)系，所以無法判斷m，n的大小，例如1,2,3,4,5,6，可得m＝n＝3.5；例如1,1,1,1,1,7，可得m＝1，n＝2；例如1,2,2,2,2,2，可得m＝2，n＝eq\f(11,6)，故A錯(cuò)誤．對于選項(xiàng)B，不妨設(shè)x1≤x2≤x3≤x4≤x5≤x6，可知x2，x3，x4，x5的中位數(shù)等于x1，x2，…，x6的中位數(shù)均為eq\f(x3＋x4,2)，故B正確．對于選項(xiàng)C，因?yàn)閤1是最小值，x6是最大值，則x2，x3，x4，x5的波動(dòng)性不大于x1，x2，…，x6的波動(dòng)性，即x2，x3，x4，x5的標(biāo)準(zhǔn)差不大于x1，x2，…，x6的標(biāo)準(zhǔn)差，例如2,4,6,8,10,12，則平均數(shù)n＝eq\f(1,6)×(2＋4＋6＋8＋10＋12)＝7，通過舉反例說明選項(xiàng)說法的錯(cuò)誤性．標(biāo)準(zhǔn)差s1＝eq\r(\f(1,6)×[2－72＋4－72＋6－72＋8－72＋10－72＋12－72])＝eq\f(\r(105),3)，4,6,8,10，則平均數(shù)m＝eq\f(1,4)×(4＋6＋8＋10)＝7，標(biāo)準(zhǔn)差s2＝eq\r(\f(1,4)×[4－72＋6－72＋8－72＋10－72])＝eq\r(5)，顯然eq\f(\r(105),3)>eq\r(5)，即s1>s2.故C錯(cuò)誤．對于選項(xiàng)D，不妨設(shè)x1≤x2≤x3≤x4≤x5≤x6，則x6－x1≥x5－x2，當(dāng)且僅當(dāng)x1＝x2，x5＝x6時(shí)，等號成立，故D正確．故選BD．(2)對于A，該公司職工的測試成績不低于60分的頻率為(0.02＋0.015)×20＝0.70，∴該公司職工的測試成績不低于60分的人數(shù)約占總?cè)藬?shù)的70%，故A錯(cuò)誤；對于B，測試成績在[20,60)的頻率為(0.005＋0.01)×20＝0.3，測試成績在[60,80)的頻率為0.02×20＝0.4，∴該公司職工測試成績的中位數(shù)約為60＋eq\f(0.5－0.3,0.4)×20＝70(分)，故B正確；對于C，該公司職工測試成績的平均值約為30×0.005×20＋50×0.01×20＋70×0.02×20＋90×0.015×20＝68(分)，故C正確；對于D，該公司職工測試成績的眾數(shù)約為eq\f(60＋80,2)＝70(分)，故D錯(cuò)誤．故選BC．(3)由題意，按比例分配的分層隨機(jī)抽樣的方式抽取樣本，且該樣本中男、女生的比為eq\f(400,600)＝eq\f(2,3)，不妨設(shè)抽取的男、女生分別為2n,3n，那么樣本的總數(shù)為5n.則所有樣本的平均值為eq\f(1,5n)×(80×2n＋60×3n)＝68，方差為eq\f(2n,5n)×[10＋(80－68)2]＋eq\f(3n,5n)×[20＋(60－68)2]＝112.故選D．(4)解：①eq\x\to(x)＝eq\f(1,10)×(545＋533＋551＋522＋575＋544＋541＋568＋596＋548)＝552.3，eq\x\to(y)＝eq\f(1,10)×(536＋527＋543＋530＋560＋533＋522＋550＋576＋536)＝541.3，則eq\x\to(z)＝eq\x\to(x)－eq\x\to(y)＝552.3－541.3＝11，zi＝xi－yi的值分別為9,6,8，－8,15,11,19,18,20,12，故s2＝eq\f(1,10)×[(9－11)2＋(6－11)2＋(8－11)2＋(－8－11)2＋(15－11)2＋0＋(19－11)2＋(18－11)2＋(20－11)2＋(12－11)2]＝61.②由①知，eq\x\to(z)＝11,2eq\r(\f(s2,10))＝2eq\r(6.1)＝eq\r(24.4)，滿足eq\x\to(z)≥2eq\r(\f(s2,10))，所以認(rèn)為甲工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率較乙工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率有顯著提高．1．方差公式可變形為s2＝eq\f(1,n)eq\i\su(i＝1,n,x)eq\o\al(2,i)－eq\x\to(x)2.如何推導(dǎo)呢？s2＝eq\f(1,n)[(x1－eq\x\to(x))2＋(x2－eq\x\to(x))2＋…＋(xn－eq\x\to(x))2]＝eq\f(1,n)[(xeq\o\al(2,1)＋xeq\o\al(2,2)＋…＋xeq\o\al(2,n))－2eq\x\to(x)(x1＋x2＋…＋xn)＋neq\x\to(x)2]＝eq\f(1,n)eq\i\su(i＝1,n,x)eq\o\al(2,i)－eq\f(1,n)×2neq\x\to(x)2＋eq\x\to(x)2＝eq\f(1,n)eq\i\su(i＝1,n,x)eq\o\al(2,i)－eq\x\to(x)2.2．分層隨機(jī)抽樣中，如果第一層的樣本量為m，平均數(shù)為eq\x\to(x)，方差為seq\o\al(2,1)；第二層的樣本量為n，平均數(shù)為eq\x\to(y)，方差為seq\o\al(2,2)，則樣本的平均數(shù)為eq\x\to(z)＝eq\f(m\x\to(x)＋n\x\to(y),m＋n)，方差為s2＝eq\f(m,m＋n)[seq\o\al(2,1)＋(eq\x\to(x)－eq\x\to(z))2]＋eq\f(n,m＋n)[seq\o\al(2,2)＋(eq\x\to(y)－eq\x\to(z))2].對點(diǎn)練3(1)為了調(diào)查某廠工人生產(chǎn)某種產(chǎn)品的能力，隨機(jī)抽查了20名工人某天生產(chǎn)該產(chǎn)品的數(shù)量，得到頻率分布直方圖如圖所示，則：①這20名工人中一天生產(chǎn)該產(chǎn)品數(shù)量在[55,75)的人數(shù)是________；②這20名工人中一天生產(chǎn)該產(chǎn)品數(shù)量的中位數(shù)為________；③這20名工人中一天生產(chǎn)該產(chǎn)品數(shù)量的平均數(shù)為________．(2)為調(diào)查我市高中生對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的喜好程度，從甲、乙兩所高中各隨機(jī)抽取了40名學(xué)生，記錄他們在一周內(nèi)平均每天學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的時(shí)間，并將其分成了6個(gè)區(qū)間：[0,10]，(10,20]，(20,30]，(30,40]，(40,50]，(50,60]，整理得到如下頻率分布直方圖：圖1甲高中圖2乙高中①求圖1中a的值，并估計(jì)甲高中學(xué)生一周內(nèi)平均每天學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)時(shí)間的眾數(shù)．②估計(jì)乙高中學(xué)生一周內(nèi)平均每天學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)時(shí)間的均值eq\x\to(x)乙及方差seq\o\al(2,乙)(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表)．③若從甲、乙兩所高中分別抽取樣本量為m，n的兩個(gè)樣本，經(jīng)計(jì)算得它們的平均數(shù)和方差分別為eq\x\to(x)，seq\o\al(2,1)與eq\x\to(y)，seq\o\al(2,2)，記總的樣本平均數(shù)為eq\x\to(ω)，樣本方差為s2，證明：a.eq\x\to(ω)＝eq\f(m,m＋n)eq\x\to(x)＋eq\f(n,m＋n)eq\x\to(y)；b．s2＝eq\f(1,m＋n){m[seq\o\al(2,1)＋(eq\x\to(x)－eq\x\to(ω))2]＋n[seq\o\al(2,2)＋(eq\x\to(y)－eq\x\to(ω))2]}．(3)我國航空事業(yè)的發(fā)展，離不開航天器上精密的零件．某車間使用數(shù)控機(jī)床制造一種圓形齒輪零件A．由于零件A的高精度要求，該車間負(fù)責(zé)人需要每隔一個(gè)生產(chǎn)周期對所生產(chǎn)零件的直徑進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，排查機(jī)床可能存在的問題并及時(shí)調(diào)試維修．已知該負(fù)責(zé)人在兩個(gè)相鄰生產(chǎn)周期(分別記為周期Ⅰ和周期Ⅱ)中分別隨機(jī)檢查了10枚零件A，測量得到的直徑(單位：mm)如下表所示：周期Ⅰ4.95.15.05.05.15.04.95.25.04.8周期Ⅱ4.85.25.05.04.84.85.25.15.05.1周期Ⅰ和周期Ⅱ中所生產(chǎn)零件A直徑的樣本平均數(shù)分別記為eq\x\to(x)1和eq\x\to(x)2，樣本方差分別記為seq\o\al(2,1)和seq\o\al(2,2).①求eq\x\to(x)1，eq\x\to(x)2，seq\o\al(2,1)，seq\o\al(2,2)；②判斷機(jī)床在周期Ⅱ是否出現(xiàn)了比周期Ⅰ更嚴(yán)重的問題(如果>2.050，則認(rèn)為機(jī)床在周期Ⅱ出現(xiàn)了比周期Ⅰ更嚴(yán)重的問題，否則不認(rèn)為出現(xiàn)了更嚴(yán)重的問題).(1)解析：①在[55,75)的人數(shù)為(0.040×10＋0.025×10)×20＝13.②設(shè)中位數(shù)為x，易知x∈[55,65)，則0.2＋(x－55)×0.04＝0.5，解得x＝62.5.③平均數(shù)為0.2×50＋0.4×60＋0.25×70＋0.1×80＋0.05×90＝64.答案：①13②62.5③64(2)解：①由頻率分布直方圖可得(0.005＋0.020＋a＋0.025＋0.015)×10＝1，解得a＝0.035，估計(jì)甲高中學(xué)生一周內(nèi)平均每天學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)時(shí)間的眾數(shù)是eq\f(30＋40,2)＝35.②eq\x\to(x)乙＝5×0.1＋15×0.