（寒假）新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)考點精講+鞏固訓(xùn)練+隨堂檢測07 空間向量（原卷版）

第頁第07講空間向量的概念及其運算空間向量法和幾何法求空間角和空間距離知識講解1．空間向量及其有關(guān)概念概念語言描述共線向量(平行向量)表示空間向量的有向線段所在的直線互相平行或重合共面向量平行于同一個平面的向量共線向量定理對空間任意兩個向量a，b(b≠0)，a∥b?存在λ∈R，使a＝λb共面向量定理若兩個向量a，b不共線，則向量p與向量a，b共面?存在唯一的有序?qū)崝?shù)對(x，y)，使p＝xa＋yb空間向量基本定理及推論定理：如果三個向量a，b，c不共面，那么對空間任一向量p，存在唯一的有序?qū)崝?shù)組{x，y，z}使得p＝xa＋yb＋zc.推論：設(shè)O，A，B，C是不共面的四點，則對平面ABC內(nèi)任一點P都存在唯一的三個有序?qū)崝?shù)x，y，z，使eq\o(OP,\s\up7(→))＝xeq\o(OA,\s\up7(→))＋yeq\o(OB,\s\up7(→))＋zeq\o(OC,\s\up7(→))且x＋y＋z＝12．?dāng)?shù)量積及坐標(biāo)運算(1)兩個空間向量的數(shù)量積：①a·b＝|a||b|cos〈a，b〉②a⊥b?a·b＝0(a，b為非零向量)③設(shè)a＝(x，y，z)，則|a|2＝a2，|a|＝eq\r(x2＋y2＋z2).(2)空間向量的坐標(biāo)運算：a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)向量和a＋b＝(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3)向量差a－b＝(a1－b1，a2－b2，a3－b3)數(shù)量積a·b＝a1b1＋a2b2＋a3b3共線a∥b?a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3(λ∈R，b≠0)垂直a⊥b?a1b1＋a2b2＋a3b3＝0夾角公式cos〈a，b〉＝eq\f(a1b1＋a2b2＋a3b3,\r(a\o\al(2,1)＋a\o\al(2,2)＋a\o\al(2,3))\r(b\o\al(2,1)＋b\o\al(2,2)＋b\o\al(2,3)))3．直線的方向向量與平面的法向量(1)直線的方向向量：如果表示非零向量a的有向線段所在直線與直線l平行或共線，則稱此向量a為直線l的方向向量．(2)平面的法向量：直線l⊥α，取直線l的方向向量a，則向量a叫做平面α的法向量．(3)方向向量和法向量均不為零向量且不唯一．空間位置關(guān)系的向量表示設(shè)直線l，m的方向向量分別為a，b，平面α，β的法向量分別為u，ν，則(1)線線平行：l∥m?a∥b?a＝kb，k∈R；線面平行：l∥α?a⊥u?a·u＝0；面面平行：α∥β?u∥ν?u＝kν，k∈R.(2)線線垂直：l⊥m?a⊥b?a·b＝0；線面垂直：l⊥α?a∥u?a＝ku，k∈R；面面垂直：α⊥β?u⊥ν?u·ν＝0.兩條異面直線所成角的求法設(shè)a，b分別是兩異面直線l1，l2的方向向量，則l1與l2所成的角θ的范圍為(0，eq\f(π,2)]，公式為cosθ＝eq\f(|a·b|,|a||b|)直線與平面所成角的求法設(shè)直線l的方向向量為a，平面α的法向量為n，直線l與平面α所成的角為θ，a與n的夾角為β，則sinθ＝|cosβ|＝eq\f(|a·n|,|a||n|).求二面角的大小(1)如圖①，AB，CD是二面角α－l－β的兩個面內(nèi)與棱l垂直的直線，則二面角的大小θ＝〈eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(CD,\s\up6(→))〉．如圖②③，n1，n2分別是二面角α－l－β的兩個半平面α，β的法向量，則二面角的大小θ滿足|cosθ|＝|cos〈n1，n2〉|，二面角的平面角大小是向量n1與n2的夾角(或其補角)．空間兩點間的距離公式若，，則=.點到平面的距離（為平面的法向量，是經(jīng)過面的一條斜線，）.考點一、空間向量的基本概念及其運算【例1】設(shè)向量，，當(dāng)數(shù)與滿足下列哪種關(guān)系時，向量與軸垂直（

）A． B． C． D．【變式1】（多選）設(shè)、為空間中的任意兩個非零向量，下列各式中正確的有（

）A． B．C． D．【變式2】（多選）《九章算術(shù)》中，將上、下底面為直角三角形的直三棱柱叫做塹堵，在如圖所示的塹堵中，，則（

）．A．B．C．向量在向量上的投影向量為D．向量在向量上的投影向量為考點二、空間中的距離求解【例2】在空間直角坐標(biāo)系中，直線的方程為，空間一點，則點到直線的距離為（

）A． B．1 C． D．【變式3】如圖，平行六面體中，，，，，則線段的長為.

【變式4】如圖所示的多面體是由底面為的長方體被截面所截得到的，其中，，，，則點到平面的距離為（

）A． B． C． D．考點三、異面直線所成角【例3】“曲池”是《九章算術(shù)》記載的一種幾何體，該幾何體是上、下底面均為扇環(huán)形的柱體（扇環(huán)是指圓環(huán)被扇形截得的部分）．現(xiàn)有一個如圖所示的曲池，面ABCD，，底面扇環(huán)所對的圓心角為，的長度是長度的2倍，，則異面直線與所成角的正弦值為（

）A． B． C． D．【變式5】已知正四棱錐的側(cè)棱長為2，底面邊長為，點E在射線PD上，F(xiàn)，G分別是BC，PC的中點，則異面直線AE與FG所成角的余弦值的最大值為（

）A． B． C． D．【變式6】如圖所示，正方體中，點為底面的中心，點在側(cè)面的邊界及其內(nèi)部移動，若，則異面直線與所成角的余弦值的最大值為（）A． B． C． D．考點四、線面角【例4】在四棱錐中，底面．(1)證明：；(2)求PD與平面所成的角的正弦值．【變式7】如圖，為圓錐的頂點，是圓錐底面的圓心，為底面直徑，為底面圓的內(nèi)接正三角形，且邊長為，點在母線上，且.

(1)求證：直線平面；(2)求證：平面平面；(3)若點為線段上的動點．當(dāng)直線與平面所成角的正弦值最大時，求此時點到平面的距離.【變式8】如圖，四面體中，，E為的中點．(1)證明：平面平面；(2)設(shè)，點F在上，當(dāng)?shù)拿娣e最小時，求與平面所成的角的正弦值．【變式9】圖①是直角梯形，，，四邊形是邊長為的菱形，并且，以為折痕將折起，使點到達的位置，且.

(1)求證：平面平面；(2)在棱上是否存在點，使得點到平面的距離為？若存在，求出直線與平面所成角的正弦值；若不存在，請說明理由.考點五、二面角【例5】已知直三棱柱中，側(cè)面為正方形，，E，F(xiàn)分別為和的中點，D為棱上的點．（1）證明：；（2）當(dāng)為何值時，面與面所成的二面角的正弦值最小?【變式10】如圖，在圓臺中，分別為上、下底面直徑，且，，為異于的一條母線．(1)若為的中點，證明：平面；(2)若，求二面角的正弦值．【基礎(chǔ)過關(guān)】1.如圖，在直三棱柱中，，E為的中點，．(1)證明：．(2)求二面角的余弦值．2.如圖，在四棱錐中，平面，，，，，，為的中點．

(1)證明：；(2)求二面角的平面角的余弦值．課后訓(xùn)練1.在四面體中，，，，，則的值為（

）A．7 B．9 C．11 D．132.如圖，在平行六面體中，以頂點A為端點的三條棱長都是a，且，，E為的中點，則點E到直線的距離為（

）

A． B． C． D．3.如圖，在四棱錐中，底面是平行四邊形，，M，N分別為的中點，.（1）證明：；（2）求直線與平面所成角的正弦值.隨堂檢測1.已知向量，若與垂直，則（

）.A． B． C． D．2.如圖，已知是側(cè)棱長和底面邊長均等于的直三棱柱，是側(cè)棱的中點.