1期望效用理論教學(xué)材料

第1章期望效用理論教學(xué)計(jì)劃（一）教學(xué)大綱期望效用理論方面的文獻(xiàn)綜述期望效用理論個(gè)體風(fēng)險(xiǎn)態(tài)度資產(chǎn)定價(jià)方面的文獻(xiàn)綜述經(jīng)典資產(chǎn)定價(jià)理論及其發(fā)展有效市場(chǎng)假說(shuō)教學(xué)計(jì)劃公司財(cái)務(wù)方面的文獻(xiàn)綜述資本結(jié)構(gòu)之謎公司治理教學(xué)計(jì)劃（三）教學(xué)方式專(zhuān)題講授＋課堂報(bào)告、討論（四）考核方法平時(shí)成績(jī)（課堂報(bào)告、討論、作業(yè)、出勤）：40％期末成績(jī)（課程論文）：60％（五）聯(lián)系方式：dxraa@163.com

教學(xué)計(jì)劃課堂討論的擬定題目：1、CAPM的缺陷文獻(xiàn)綜述2、關(guān)于APT與CAPM關(guān)系研究的文獻(xiàn)綜述3、股票價(jià)格決定因素4、梳理中國(guó)證券市場(chǎng)有效性實(shí)證檢驗(yàn)的文獻(xiàn)5、債權(quán)期限結(jié)構(gòu)影響因素的文獻(xiàn)綜述6、資本結(jié)構(gòu)之謎的文獻(xiàn)綜述7、亞洲家族控股企業(yè)的優(yōu)缺點(diǎn)，及家族控股如何影響公司價(jià)值8、中國(guó)上市公司不同的股權(quán)結(jié)構(gòu)與公司價(jià)值之間的關(guān)系文獻(xiàn)綜述。

一、確定條件下的效用函數(shù)

主流經(jīng)濟(jì)學(xué)——新古典理性對(duì)消費(fèi)者的基本假定：消費(fèi)者具有良好的偏好或效用函數(shù)，追求效用最大化。滿足這一假定的消費(fèi)者，叫做理性消費(fèi)者。一、確定條件下的效用函數(shù)（一）消費(fèi)集合及其特點(diǎn)

消費(fèi)集合：商品空間中那些代表可行消費(fèi)活動(dòng)的商品向量的全體（用C表示）。

1、閉集

C為閉集，因此消費(fèi)具有連續(xù)性一、確定條件下的效用函數(shù)

2、凸集如果，在S中任取兩點(diǎn)，其連線仍在S中，則S為凸集。對(duì)消費(fèi)集合C為凸集的意思是，如果兩個(gè)消費(fèi)束，則對(duì)于任意實(shí)數(shù)

，消費(fèi)束一、確定條件下的效用函數(shù)一、確定條件下的效用函數(shù)非凸一、確定條件下的效用函數(shù)消費(fèi)集合為凸性的經(jīng)濟(jì)學(xué)含義：凸性明確指出從一種可行方案過(guò)渡到另一種可行方案的最短路徑。

例如：面臨選擇為4兩米飯vs4兩饅頭一、確定條件下的效用函數(shù)

（二）偏好及其基本假定效用：消費(fèi)者消費(fèi)一定數(shù)量的若干商品后所感受到的滿足程度。效用是一種純主觀的心理感受，因人因時(shí)而異。效用與偏好聯(lián)系在一起。偏好正是消費(fèi)者對(duì)效用進(jìn)行自我比較后得出的關(guān)于各種消費(fèi)方案好壞的評(píng)價(jià)。cardinalutilityvs.ordinalutility一、確定條件下的效用函數(shù)1、消費(fèi)者的偏好關(guān)系

定義1

偏好（preference):Apreferenceisacompleterankingofpairsofconsumption(cashflow)streams.

定義2

二元關(guān)系(binaryrelations)：一個(gè)集合上的二元關(guān)系是確定這個(gè)集合中兩元素之間的一種聯(lián)系。

定義3

偏好關(guān)系(preferencerelationship)：具有完備性、自反性、傳遞性的一個(gè)二元關(guān)系一、確定條件下的效用函數(shù)

令x、y、z…是商品集合C的子集，或者稱(chēng)之為商品束（commoditybundle）或者消費(fèi)束（consumeboundle）。則可以在消費(fèi)束的集合上建立下面的偏好關(guān)系（preferencerelation）或者偏好順序（preferenceordering）

：

（1）被稱(chēng)為消費(fèi)者在商品x、y中，“弱偏好于”x，即消費(fèi)者認(rèn)為x至少與y一樣好。一、確定條件下的效用函數(shù)

（2）被稱(chēng)為消費(fèi)者“嚴(yán)格偏好于”x，即在任何情況下，消費(fèi)者認(rèn)為x比y好，即：

，但不成立

（3）x～y被稱(chēng)為消費(fèi)者“無(wú)差異于”商品x、y，即消費(fèi)者認(rèn)為兩樣?xùn)|西同樣好，即：

x～y

且

一、確定條件下的效用函數(shù)

2、偏好應(yīng)滿足的基本公理（Axiom)條件：公理1

偏好具有完備性（completeness）：有、與x～y至少一個(gè)成立。公理2

偏好有自反性（reflexivity）：，有。公理3

偏好具有傳遞性(transitivity)：，如果，，則。有序確定序非循環(huán)序例5

不服從傳遞性公理將導(dǎo)致富翁變窮人的例子張三是窮人，李四是富翁；張三只有一個(gè)蘋(píng)果，而李四不但有一個(gè)桃子，還有一個(gè)梨子；但李四的偏好不傳遞，他認(rèn)為，桃比蘋(píng)果好，蘋(píng)果比梨好，梨比桃好。張三提出用蘋(píng)果換梨子，并要求李四找一分錢(qián)。僅花一分錢(qián)就能換來(lái)更大的滿足，李四不會(huì)不答應(yīng)，成交！張三提出用梨子換桃子，并要求李四找一分錢(qián)，李四還會(huì)答應(yīng)，成交！張三提出用桃子換蘋(píng)果，并要求李四找一分錢(qián)，李四依然同意，成交！交換一直循環(huán)進(jìn)行下去，李四變成窮光蛋，張三變成富翁。顯然，這樣的事情不可能發(fā)生在理性消費(fèi)者身上。梨桃李四的不傳遞的偏好蘋(píng)果Moneypump一、確定條件下的效用函數(shù)

注：若一個(gè)二元關(guān)系同時(shí)滿足公理1-3，則稱(chēng)此二元關(guān)系為等價(jià)關(guān)系（equivalencerelation)或無(wú)差異關(guān)系。這樣可以將有等價(jià)關(guān)系的東西放在一起，得到無(wú)差異曲線。即對(duì)于x

C，集合[x]={yC:y

x}稱(chēng)作x

的等價(jià)類(lèi)或者無(wú)差異類(lèi)或者無(wú)差異曲線，它由兩兩無(wú)差異(一樣好)的消費(fèi)方案構(gòu)成。

例如：一、確定條件下的效用函數(shù)（三）效用函數(shù)的存在性和唯一性

定義：假設(shè)是定義在X上的一個(gè)正實(shí)數(shù)值函數(shù)，如果對(duì)于C中的任意兩個(gè)商品組合x(chóng)，y，的充分必要條件是，那么就稱(chēng)函數(shù)是消費(fèi)者的效用函數(shù)。

注：但是僅在前面三個(gè)理性偏好的假定下，這樣的效用函數(shù)是不一定存在的，例如字典序偏好。一、確定條件下的效用函數(shù)衣食ABx字典序偏好一、確定條件下的效用函數(shù)公理4

偏好具有連續(xù)性（continuity）

：

如果，那么與x“充分接近的”商品組合z，也滿足。

微小變動(dòng)的序一、確定條件下的效用函數(shù)

定理：如果消費(fèi)者的偏好關(guān)系滿足公理1－4的假定，那么這一偏好關(guān)系可以由一個(gè)連續(xù)的效用函數(shù)來(lái)表示，即可以得到一個(gè)連續(xù)的無(wú)差異曲線。

注意：這里得到的效用函數(shù)并不唯一，一個(gè)效用函數(shù)通過(guò)正單調(diào)的變換得到的另一個(gè)效用函數(shù)與原來(lái)的效用函數(shù)具有相同的偏好關(guān)系。即公理5

偏好關(guān)系具有單調(diào)性（monotonicity）

：，如果有，則有。

強(qiáng)單調(diào)性

：，

例如：

10

01Time01Time

多總比少好一、確定條件下的效用函數(shù)一、確定條件下的效用函數(shù)公理6

偏好具有凸性（convexity）

嚴(yán)格凸性（strictconvexity）其中，

無(wú)差異曲線凸向原點(diǎn)（四）確定條件下消費(fèi)者效用最大化max(u),s.t.W

其中W是由收入或財(cái)富構(gòu)成的預(yù)算約束，包含收入和商品價(jià)格等方面的要素。假定消費(fèi)集C中的所有商品都具有一個(gè)唯一的公開(kāi)市場(chǎng)價(jià)格：

這通常被稱(chēng)為瓦爾拉預(yù)算集（walrasianbudgetset）

，記為：

則最大化問(wèn)題為：一、確定條件下的效用函數(shù)

一、確定條件下的效用函數(shù)消費(fèi)者效用最大化的解法

1、圖示法：無(wú)差異曲線與預(yù)算線的最高切點(diǎn)x1x*1x*2x2一、確定條件下的效用函數(shù)

2、Lagrangian法假定：（1）消費(fèi)者只消費(fèi)兩種不同商品x1、x2，其效用函數(shù)為U（x1.x2)，滿足：

（非滿足性），（邊際效用遞減）。（2）假定x1、x2的價(jià)格分別為p1、p2，且價(jià)格是外生給定的，消費(fèi)者的財(cái)富為w。 消費(fèi)者的選擇問(wèn)題可以寫(xiě)成如下：一、確定條件下的效用函數(shù)

Lagrangian函數(shù)為：

F.O.C.

由假定，U的二階偏導(dǎo)小于零，因此一階條件是充要條件。一、確定條件下的效用函數(shù)

結(jié)論：（邊際替代率=價(jià)格比）

（無(wú)差異曲線斜率=預(yù)算約束線斜率）

常見(jiàn)效用函數(shù)的形式：完全替代偏好的效用函數(shù)：U（x,y）=ax+by

完全互補(bǔ)偏好的效用函數(shù)：U（x,y）=min｛ax,by｝擬線性偏好的效用函數(shù)：U（x,y）=af(x)+by

例如：U（x,y）=2ln(x)+y一、確定條件下的效用函數(shù)柯布-道格拉斯偏好的效用函數(shù)：

練習(xí)：求解如下柯布-道格拉斯偏好效用函數(shù)

（1）（2）一、確定條件下的效用函數(shù)

解：將（2）式帶入（1）式可得：求一階導(dǎo)數(shù)：可得：

一、確定條件下的效用函數(shù)（一）不確定性下的理性決策原則

1、確定性下的決策原則——收益最大準(zhǔn)則收益最大準(zhǔn)則廣泛應(yīng)用于完全沒(méi)有風(fēng)險(xiǎn)的情況下。按照這一法則，只需選取收益率最高的投資機(jī)會(huì)即可。通過(guò)正確的選擇，可以實(shí)現(xiàn)投資期末的財(cái)富最大化。

——經(jīng)濟(jì)學(xué)中的生產(chǎn)者理論和價(jià)值理論使用這一準(zhǔn)則。二、VNM期望效用函數(shù)二、VNM期望效用函數(shù)問(wèn)題：不確定條件下效用最大化還適用嗎？

例子

假設(shè)某人面臨兩種工作，需要從中選擇出一種。第一種工作是在私營(yíng)公司里搞推銷(xiāo)，薪金較高，但是收入是不確定的。如果干得好，每月可掙得2000元；干得一般，每月就只能掙得1000元。假定他掙得2000元和掙得1000元的概率各為1/2。第二種工作是在國(guó)營(yíng)商店當(dāng)售貨員，每月工資1510元。但在國(guó)營(yíng)商店?duì)I業(yè)狀況極差的情況下，每月就只能得到510元的基本工資收入。不過(guò)，一般情況下國(guó)營(yíng)商店?duì)I業(yè)狀況不會(huì)極差，出現(xiàn)營(yíng)業(yè)狀況極差情況的可能性只有1％，因此第二種工作獲得月收入1510元的可能性為99％。二、VNM期望效用函數(shù)

2、不確定性下理性決策的原則

（1）數(shù)學(xué)期望最大化準(zhǔn)則

數(shù)學(xué)期望最大化準(zhǔn)則是指使用投資收益的預(yù)期值比較各種投資方案優(yōu)劣。

上例的解： 計(jì)算這兩種工作的預(yù)期月收入：

二、VNM期望效用函數(shù)計(jì)算這兩種工作月收入的方差

這個(gè)人會(huì)選擇哪一種工作呢？二、VNM期望效用函數(shù)

如果第一種工作在“干得好”和“干得一般”兩種情況下的月收入都比上面所述的收入要增加100元，第二種工作的收入情況還是如上，則:在這種預(yù)期收入不同、風(fēng)險(xiǎn)不同的(工作)選擇面前，人們究竟如何選擇呢？

問(wèn)題：是否期望收益最大準(zhǔn)則就是一個(gè)最優(yōu)的決策法則呢？

典型例子：“圣彼德堡悖論”（SaintPetersburgParadox）問(wèn)題：有這樣一場(chǎng)賭博：擲硬幣直到正面朝上為止。第一次就得到正面朝上的結(jié)果，則贏得1元，第二次得到正面朝上的結(jié)果，贏得2元；第三次時(shí)，得4元，......。一般情形為如果擲n次，則第n次贏得2的n-1次方元。問(wèn)：應(yīng)先付多少錢(qián)，才能使這場(chǎng)賭博是“公平”的？

二、VNM期望效用函數(shù)二、VNM期望效用函數(shù)

試驗(yàn)表明為了參加這一游戲，人們?cè)敢飧冻龅慕痤~在2-3元之間。

圣彼德堡悖論：人們?cè)敢庵Ц队邢薜膬r(jià)格與其無(wú)窮的數(shù)學(xué)期望收益之間的矛盾。

（2）期望效用準(zhǔn)則

DanielBernoulli（1700-1782)1738年發(fā)表《對(duì)機(jī)遇性賭博的分析》提出解決“圣彼德堡悖論”的“風(fēng)險(xiǎn)度量新理論”。指出用“錢(qián)的數(shù)學(xué)期望”來(lái)作為決策函數(shù)不妥。應(yīng)該用“錢(qián)的函數(shù)的數(shù)學(xué)期望”。Bernoulli用期望效用作為最大化的目標(biāo)，假設(shè)投資者關(guān)心的是期末財(cái)富的效用，從而成功解決了圣彼得堡悖論問(wèn)題。二、VNM期望效用函數(shù)二、VNM期望效用函數(shù)

伯努利選擇的期望效用函數(shù)為對(duì)數(shù)函數(shù)，即用alog(x)表示效用函數(shù)，x表示財(cái)富。則對(duì)投幣游戲的期望值的計(jì)算應(yīng)為對(duì)其對(duì)數(shù)函數(shù)期望值的計(jì)算：

其中，為一個(gè)確定值。

二、VNM期望效用函數(shù)

因此，理性個(gè)人為參加該抽獎(jiǎng)活動(dòng)所愿意支付的最大價(jià)格可以由下列方程解出：

變形得：所以“理性決策應(yīng)以4元為界”。二、VNM期望效用函數(shù)

Crammer（1728）采用冪函數(shù)的形式的效用函數(shù)對(duì)這一問(wèn)題進(jìn)行了分析。假定：則因此，理性人參加該抽獎(jiǎng)所愿意支付的最大價(jià)格可由下列方程解出：

可得意愿支付價(jià)格為：

（二）不確定條件下的選擇問(wèn)題及其對(duì)象

1、概述

金融分析面臨的不確定一般是用隨機(jī)過(guò)程來(lái)描述的，將金融資產(chǎn)的價(jià)格或收益的變動(dòng)作為隨機(jī)變量來(lái)分析。

隨機(jī)變量有兩個(gè)要素：一是各種可能的結(jié)果，即可能的取值；二是各種可能的結(jié)果出現(xiàn)的概率，即隨機(jī)變量值的概率分布。金融分析的不確定性就包括兩個(gè)方面：一是結(jié)果的不確定性；二是達(dá)到各類(lèi)結(jié)果的概率。二、VNM期望效用函數(shù)

（1）關(guān)于可能的結(jié)果金融資產(chǎn)本身的性質(zhì)；市場(chǎng)條件；主體約束條件；宏觀經(jīng)濟(jì)及自然條件

金融學(xué)把不同的可能結(jié)果轉(zhuǎn)化為博彩商品及其狀態(tài)價(jià)格來(lái)賦予效用

二、VNM期望效用函數(shù)

（2）關(guān)于可能結(jié)果發(fā)生的概率

客觀概率（objectiveprobability）：在一定條件下，某一隨機(jī)事件在大量重復(fù)的試驗(yàn)和統(tǒng)計(jì)觀察中出現(xiàn)的頻率。特點(diǎn):穩(wěn)定性依賴(lài)于大數(shù)法則；忽視小概率事件

二、VNM期望效用函數(shù)

主觀概率（subjective

probability）：人們對(duì)某一隨機(jī)事件可能出現(xiàn)的頻率所做的主觀估計(jì)，這個(gè)頻率就被稱(chēng)為是主觀概率。包括先驗(yàn)概率和后驗(yàn)概率

例如：貝葉斯定理（法則）

特點(diǎn)：與決策者的知識(shí)結(jié)構(gòu)、心理狀態(tài)等有關(guān)；穩(wěn)定性不高；重視小概率事件，特定信息具有重要意義三、VNM期望效用函數(shù)

2、不確定下的選擇對(duì)象：彩票（Lottery)或未定商品（contingentcommodity)

投資者的證券組合選擇——抽獎(jiǎng)lottery

(1)簡(jiǎn)單抽獎(jiǎng)

設(shè)想消費(fèi)者參加一次抽獎(jiǎng)（lottery），C中的元素為所有可能各種獎(jiǎng)金數(shù)額，假定C的結(jié)果是有限的。我們用N=1，…，n來(lái)標(biāo)示這些結(jié)果，每一結(jié)果發(fā)生的概率為。這樣，我們可將該簡(jiǎn)單抽獎(jiǎng)（simplelottery）記為：

——

在一個(gè)簡(jiǎn)單博彩中，可能出現(xiàn)的結(jié)果是確定的二、VNM期望效用函數(shù)三、VNM期望效用函數(shù)（2）復(fù)合抽獎(jiǎng)（compoundlottery）給定K個(gè)簡(jiǎn)單抽獎(jiǎng)，它們的概率為并且。復(fù)合式博彩就是這樣一種風(fēng)險(xiǎn)選擇，即對(duì)于k=1,...,K,由的概率引發(fā)一個(gè)簡(jiǎn)單抽獎(jiǎng)Lk

三、VNM期望效用函數(shù)

定義：一個(gè)復(fù)合抽獎(jiǎng)是把K個(gè)簡(jiǎn)單抽獎(jiǎng)中每一個(gè)結(jié)果i的概率都乘以每一個(gè)簡(jiǎn)單抽獎(jiǎng)k的概率，然后將它們加總起來(lái)。

——

復(fù)合抽彩的預(yù)期效用等于其中各抽彩的預(yù)期效用的預(yù)期效用。

（3）期望效用表述：

如果把n個(gè)結(jié)果賦給一組數(shù)(u1,...,un)，C→R有期望效用形式，那么對(duì)每個(gè)簡(jiǎn)單博彩L=(p1,...,pn)C。對(duì)一件抽獎(jiǎng)商品的期望效用表示為對(duì)抽獎(jiǎng)結(jié)果的效用函數(shù)的數(shù)學(xué)期望:其中，是普通序數(shù)效用函數(shù)，是VNM效用函數(shù)。

三、VNM期望效用函數(shù)更一般地，我們可以表述為：其中，是一個(gè)隨機(jī)變量。其含義為：一種未定商品的效用等于該未定商品所涉及的確定商品的效用的均值。

二、VNM期望效用函數(shù)二、VNM期望效用函數(shù)（三）不確定條件下關(guān)于偏好的公理假定

假定彩票構(gòu)成的集合為Y，彩票的可能結(jié)果構(gòu)成的集合為L(zhǎng)。消費(fèi)者可以依照自身的愛(ài)好對(duì)Y中所有的彩票進(jìn)行排序，即在彩票Y上定義了一個(gè)消費(fèi)者的二元偏好關(guān)系。

通常假定偏好關(guān)系是理性的，即偏好關(guān)系滿足以下的公理假定：

公理1

偏好具有完備性:，，有與至少一個(gè)成立。

公理2

偏好有自返性：，有。

二、VNM期望效用函數(shù)

公理3

偏好具有傳遞性，即對(duì)于Y中任意商品組合，和，如果，，則

公理4

偏好具有連續(xù)性，即假設(shè)定義在Y上的偏好關(guān)系，對(duì)于Y中的任意彩票組合，和，若，則存在一個(gè)實(shí)數(shù)t，，滿足該公理也稱(chēng)之為阿基米德公理（Archimedeanaxiom）,其含義：概率的微小變化不會(huì)改變?cè)械膬蓚€(gè)抽獎(jiǎng)商品之間的順序偏好二、VNM期望效用函數(shù)二、VNM期望效用函數(shù)

公理5

偏好具有獨(dú)立性，即對(duì)于Y中的任意兩個(gè)彩票、，有：

（1）若，那么對(duì)任意的實(shí)數(shù)t，，及任意的,滿足

（2）若，那么對(duì)任意的實(shí)數(shù)t，，及任意的,滿足

該公理也被稱(chēng)為獨(dú)立性公理（independentaxiom）或替代性公理（substituteaxiom），其含義：引入一個(gè)額外的不確定性的消費(fèi)計(jì)劃不會(huì)改變?cè)械钠谩?/p>

例子：假設(shè)明天有兩種狀態(tài)，天晴和下雨。考慮如下計(jì)劃方案：C1：天晴在海灘玩4個(gè)小時(shí)，下雨就看4個(gè)小時(shí)電視C2：天晴在海灘玩2個(gè)小時(shí)然后再看2個(gè)小時(shí)電視，下雨就看4個(gè)小時(shí)電視假設(shè)參與者的偏好為

二、VNM期望效用函數(shù)二、VNM期望效用函數(shù)現(xiàn)在提供另外兩個(gè)選擇：C3：天晴在海灘玩4個(gè)小時(shí)，下雨工作4個(gè)小時(shí)C4：天晴在海灘玩2個(gè)小時(shí)然后再看2個(gè)小時(shí)電視，下雨就工作4個(gè)小時(shí)此時(shí)，參與者會(huì)在C3和C4中選擇哪一個(gè)？

獨(dú)立性公理表明，參與者會(huì)選擇C3。因?yàn)橹灰掠陼r(shí)兩種計(jì)劃的選擇是相同的，那么下雨時(shí)具體發(fā)生什么對(duì)晴天時(shí)的偏好沒(méi)有影響。二、VNM期望效用函數(shù)

注：1、獨(dú)立性公理是不確定條件下決策理論的核心，它導(dǎo)致了不確定條件下的選擇理論與確定條件下的選擇理論的差異。從假定前提看，在對(duì)博彩商品的偏好上，不確定條件下的偏好假定公理用公理化假定取代了確定條件下偏好的單調(diào)性假設(shè)和凸性假設(shè)。

2、獨(dú)立性公理表明決策者對(duì)各種結(jié)果的選擇是獨(dú)立進(jìn)行的，以及不同的結(jié)果是可加的。

二、VNM期望效用函數(shù)JohnvonNeumann(1903-1957)OskarMorgenstern(1902-1977)

1944年在巨著《對(duì)策論與經(jīng)濟(jì)行為》中用數(shù)學(xué)公理化方法提出期望效用函數(shù)。這是經(jīng)濟(jì)學(xué)中首次嚴(yán)格定義風(fēng)險(xiǎn)（四）期望效用函數(shù)（expectedutilityfunction)的公理化表述

定理（馮.諾伊曼－莫根斯坦(VNM)定理）：在公理1－5的假定條件下，一定存在定義在集合Y上的一個(gè)實(shí)值函數(shù)u，滿足下列條件：

（1），當(dāng)且僅當(dāng)

（2）對(duì)任意的和，并且，有

u(x)是確定性條件下也成立的普通序數(shù)效用函數(shù)則滿足這樣條件的效用函數(shù)就是期望效用函數(shù)或VMN效用函數(shù)，并且這樣的期望效用函數(shù)是唯一的二、VNM期望效用函數(shù)客觀概率二、VNM期望效用函數(shù)

期望效用函數(shù)：定義在一個(gè)隨機(jī)變量集合上的函數(shù)，它在一個(gè)隨機(jī)變量上的取值等于它作為數(shù)值函數(shù)在該隨機(jī)變量上取值的數(shù)學(xué)期望。

用它來(lái)判斷有風(fēng)險(xiǎn)的利益就是比較“錢(qián)的函數(shù)的數(shù)學(xué)期望”（“而不是錢(qián)的數(shù)學(xué)期望”）。

二、VNM期望效用函數(shù)

例子：若一個(gè)人的效用函數(shù)有期望效用的性質(zhì)，那么當(dāng)他拋硬幣決定得失一美元時(shí)，這個(gè)博彩的效用是其中，w是初始財(cái)富

問(wèn)題：這是否意味著=0?答：不。我們實(shí)際上并沒(méi)有定義結(jié)果的效用。（一）阿萊斯悖論（關(guān)于期望效用的悖論）：對(duì)效用理論最早的挑戰(zhàn)來(lái)自于Allais的“阿萊悖論”（AllaisParadox)的問(wèn)題(1953)。三、期望效用準(zhǔn)則的矛盾（法）MauriceAllais(1911-)1986年諾貝爾經(jīng)濟(jì)獎(jiǎng)獲得者

現(xiàn)有A1，A2兩個(gè)備選方案，其收益情況如下所示：

A1：確定地獲取＄100萬(wàn)的凈收益；

A2：以0.1的概率獲取＄500萬(wàn)的凈收益；以0.89的概率獲取＄100萬(wàn)的凈收益；以0.01的概率獲取＄0

又有另外兩個(gè)備選方案B1，B2，其收益情況為：

B1：以0.1的概率獲取＄500萬(wàn)凈收益；以0.9的概率獲取＄0

B2：以0.11的概率獲取＄100萬(wàn)凈收益；以0.89的概率獲取＄0

三、期望效用準(zhǔn)則的矛盾

如果面臨這樣的雙重選擇，且你選擇了A1和B1，你的偏好就和期望效用理論不一致。理由：與A2相比更偏好A1，表示A1的期望效用嚴(yán)格大于A2的期望效用，因此有：U(100)>0.10U(500)+0.89U(100)+0.01U(0)(1)

或0.11U(100)>0.10U(500)+0.01U(0)(2)三、期望效用準(zhǔn)則的矛盾三、期望效用準(zhǔn)則的矛盾

同理，與B2相比更偏好B1，表示B1的期望效用嚴(yán)格大于B2，即為：0.10U(500)+0.90U(0)>0.11U(100)+0.89U(0)(3)或0.11U(100)<0.10U(500)+0.01U(0)(4)

顯然公式(1