第五章特征值和特征向量

第五章特征值和特征向量矩陣的對(duì)角化矩陣的特征值矩陣的特征向量矩陣可對(duì)角化的條件預(yù)備知識(shí)向量的內(nèi)積

在空間解析幾何中,向量的內(nèi)積(即數(shù)量積或點(diǎn)積)描述了內(nèi)積與向量的長(zhǎng)度及夾角間的關(guān)系

內(nèi)積定義

：夾角：向量的長(zhǎng)度：

定義1

設(shè)有維向量

令稱為向量

與

的內(nèi)積.例：設(shè)則

和

內(nèi)積為注:內(nèi)積就是兩個(gè)同維向量的對(duì)應(yīng)分量乘積之和.內(nèi)積性質(zhì)（其中為維向量，為實(shí)數(shù)）:（1）（2）（3）（4）等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)成立.定義2

令

稱為

維向量

的長(zhǎng)度（或范數(shù)）.例：設(shè)則向量的長(zhǎng)度具有下述性質(zhì)：

（1）非負(fù)性：（2）齊次性：（3）三角不等式：當(dāng)時(shí)，稱為單位向量.不等式：或由此得任一非零向量除以它的長(zhǎng)度后就成了單位向量.這一過(guò)程稱為將向量單位化.定義3

當(dāng)時(shí)，

定義4

當(dāng)時(shí)，稱為維向量

與

的夾角.稱向量與

正交（或垂直）.

零向量與任何向量都正交定義5

若一個(gè)向量組中任意兩個(gè)向量都正交，則稱此向量組為正交向量組.若一個(gè)正交向量組中每一個(gè)向量都是單位向量，則稱此向量組為正交規(guī)范向量組或標(biāo)準(zhǔn)正交向量組.例如,設(shè)則有所以x與y正交.定理2

若維向量是一組兩兩正交的非零向量組，則線性無(wú)關(guān).證明:設(shè)

1,

2,…,

s是正交向量組,設(shè)有數(shù)使得上式兩端與正交向量組中任一向量

i

作內(nèi)積得從而因?yàn)樗杂杏忠驗(yàn)樗栽儆?/p>

i的任意性,可推出故

1,

2,…,

s是線性無(wú)關(guān)的.與之等價(jià)的正交向量組的方法：Schmidt正交化方法Schmidt正交化方法是將一組線性無(wú)關(guān)的向量作如下的線性交換，化為一組可以證明：兩兩正交，向量組與等價(jià).且對(duì)任何例2

將

正交規(guī)范化.解

先將進(jìn)行正交化，取

再將它們單位化，取

則即為所求.正交規(guī)范化解：取取練習(xí)：將則為正交規(guī)范化向量組定理3

為正交矩陣的充分必要條件是定義6

如果階方陣

滿足

正交矩陣（即）那么稱為正交矩陣.的行（列）向量組為正交規(guī)范向量組.定理4

設(shè)A，B都是n階正交方陣，則

（1）或（2）也是正交矩陣.正交矩陣舉例：（1）n階單位矩陣En；（2）設(shè)為正交變換，則有定義7

若P為正交矩陣，則線性變換這說(shuō)明，正交變換不改變向量的長(zhǎng)度.稱為正交變換.二特征值和特征向量概念定義1

設(shè)A是

n階方陣，如果數(shù)λ和n維非零列向量x使關(guān)系式Ax=

λx(1)成立，則稱λ是方陣A的特征值；非零列向量x稱為A的對(duì)應(yīng)于特征值λ的特征向量.（1）式也可寫為

例1

幾種特殊矩陣的特征值．（１）零矩陣的特征值為０．（２）單位矩陣的特征值為１．（３）數(shù)量矩陣的特征值為（４）正交矩陣若有實(shí)的特征值，則為１或．例2

已知是的一個(gè)特征向量，試確定參數(shù)解

由特征值和特征向量的定義可知，

及特征向量所對(duì)應(yīng)的特征值.即于是所以即所求解為（1）是n個(gè)未知數(shù)n個(gè)方程的齊次線性方程組，即它有非零解的充要條件是系數(shù)行列式

方程組(2)的系數(shù)矩陣A-λE

稱為A的特征矩陣;顯然，A的特征值就是A的特征方程的解，在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)，n階方陣A有n個(gè)特征值（重根按重?cái)?shù)計(jì)算）.|A-λ

E|

是λ的n次多項(xiàng)式,記作f(λ)，稱為A的特征多項(xiàng)式;式（3）稱為A的特征方程.特征值和特征向量的求法

（1）求出階方陣

的特征多項(xiàng)式

求階方陣

的特征值與特征向量的步驟：

（2）求出特征方程的全部根，（3）把每個(gè)特征值代入線性方程組（2），即是

的特征值；

求出基礎(chǔ)解系，就是對(duì)應(yīng)于的特征向量，基礎(chǔ)解系的線性組合（零向量除外）就是對(duì)應(yīng)于的全部特征向量．例2

求矩陣的特征值和特征向量．解

的特征多項(xiàng)式為

所以

的特征值為

當(dāng)時(shí)，對(duì)應(yīng)的特征向量應(yīng)滿足

于是，的對(duì)應(yīng)的全部特征向量為容易求得方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系為

當(dāng)時(shí)，由

（為常數(shù)）解得基礎(chǔ)解系

于是，的對(duì)應(yīng)的全部特征向量為

（為常數(shù)）練習(xí)

設(shè)求A的特征值與特征向量．解：（１）求A的特征值得基礎(chǔ)解系為：（２）求對(duì)應(yīng)的特征向量

A的對(duì)應(yīng)于特征值的特征向量為作業(yè)：習(xí)題5-1P1492（1），4習(xí)題5-2P1572（2）（3），3特征值和特征向量的性質(zhì)

定理1

設(shè)

是階方陣，定理2

設(shè)是方陣

的特征值，,則

（1）是的特征值；

（2）是的特征值.則與有相同的特征值.(3)

可逆時(shí)，是的特征根.練習(xí)

已知三階可逆矩陣的全部特征值為1,2,3則矩陣的全部特征值為的全部特征值為定理3

設(shè)階方陣的個(gè)特征值為（1），其中是的主對(duì)角元之和，稱為矩陣的跡，記作（2）推論

階方陣可逆的充分必要條件是它的任一特征值不等于零.

則例3

三階方陣的三個(gè)特征值分別為求解可逆，所以而故其中所以的特征值為于是定理4

設(shè)是方陣

的個(gè)特征值，依次是與之對(duì)應(yīng)的特征向量.如果各不相等，則線性無(wú)關(guān).三相似矩陣概念與性質(zhì)

定義1

設(shè)都是階方陣，若有可逆矩陣則稱是的相似矩陣，或說(shuō)矩陣與相似.對(duì)進(jìn)行運(yùn)算稱為對(duì)

進(jìn)行相似變換.可逆矩陣稱為把變成的相似變換矩陣.使設(shè)為階方陣，則相似矩陣有下列（1）反身性；（2）對(duì)稱性；（3）傳遞性.基本性質(zhì)：定理1

若與相似，則

（1）與

有相同的特征多項(xiàng)式、特征值、跡；

（2）（3）（4）與也相似，其中為正整數(shù).例1

已知矩陣與相似.（1）求與；（2）求一個(gè)可逆矩陣，使

（3）求解

（1）因與相似，故即將代入有；（2）的特征值為－1，2，－2，將代入有解齊次線性方程組可分別求得的對(duì)應(yīng)特征向量于是所求可逆矩陣

使（3）由于，于是

所以練習(xí):答案:-1,3,1矩陣可對(duì)角化的條件

把方陣對(duì)角化方法，即求相似變換矩陣定理2

階方陣相似于階對(duì)角矩陣的推論

如果階方陣有個(gè)互不相等特征值，使為對(duì)角陣.充要條件是有個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量.則與對(duì)角矩陣相似.定理2分析:練習(xí)

解

A關(guān)于特征值的線性無(wú)關(guān)特征向量只有兩個(gè)，故不能對(duì)角化。判斷是否可以對(duì)角化：屬于特征值屬于特征值四實(shí)對(duì)稱矩陣的相似矩陣實(shí)對(duì)稱矩陣特征值的性質(zhì)定理1

實(shí)對(duì)稱矩陣的特征值為實(shí)數(shù).定理3

設(shè)λ是n階實(shí)對(duì)稱矩陣A的r重特征值，則矩陣A?λE的秩為n?r

，從而對(duì)應(yīng)特征值λ恰有r個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量.定理2

實(shí)對(duì)稱矩陣A的屬于不同特征值的特征向量相互正交.實(shí)對(duì)稱矩陣的相似理論

定理4

任意實(shí)對(duì)稱矩陣都與對(duì)角矩陣相似.定理5

設(shè)

為

階實(shí)對(duì)稱矩陣，則存在正交矩陣，使，其中是以的個(gè)特征值為對(duì)角元素的對(duì)角矩陣

實(shí)對(duì)稱矩陣對(duì)角化方法階實(shí)對(duì)稱矩陣對(duì)角化的具體步驟:（1）求出特征方程（2）對(duì)每一特征值，解齊次線性方程組求得它的一個(gè)基礎(chǔ)解系

所有不同的根其中為的重特征值

（3）利用Schmidt正交化方法，（5）記則為正交矩陣，使把正交化，得到正交向量組(4)再單位化，得到正交單位向量組并且排列順序與P中正交規(guī)范向量組的排列順序相對(duì)應(yīng).其中，矩陣的主對(duì)角線元素的重?cái)?shù)為例1:求正交陣Q,使Q-1AQ為對(duì)角陣,其中解：得

1=0(二重),

2=3（2）對(duì)特征值