中考數學二輪復習壓軸題培優(yōu)專練專題02 利用圓的性質進行求解的問題（解析版）

專題02利用圓的性質進行求解的問題圓在壓軸題中考查綜合性比較強，常與二次函數、全等三角形以及相似三角形結合進行考查，本專題中重點側重壓軸題中對圓的性質的考查部分，需要考生熟練掌握與圓有關的性質。圓有關的性質：1．圓的對稱性：圓既是軸對稱圖形有時中心對稱圖形。2．垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條?。?．垂徑定理的推論推論1：平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條??；推論2：弦的垂直平分線經過圓心，并且平分弦所對的兩條?。?．圓心角、弧、弦的關系定理：在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，所對的弦相等。5．圓心角、弧、弦的關系定理推論：在同圓或等圓中，如果兩個圓心角、兩條弧、兩條弦中有一組量相等，那么它們所對應的其余各組量都分別相等。6．圓周角定理定理：一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半．7．圓周角定理的推論：推論1：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等。推論2：直徑所對的圓周角是直角．8．點與圓的位置關系：設點到圓心的距離為d．(1)d<r?點在⊙O內；(2)d=r?點在⊙O上；(3)d>r?點在⊙O外．9．直線和圓的位置關系位置關系相離相切相交公共點個數0個1個2個數量關系d>rd=rd<r10．切線的性質：切線與圓只有一個公共點；切線到圓心的距離等于圓的半徑；切線垂直于經過切點的半徑。11．切線的判定（1）與圓只有一個公共點的直線是圓的切線（定義）；（2）到圓心的距離等于半徑的直線是圓的切線；（3）經過半徑外端點并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線。12．三角形的外接圓：經過三角形各頂點的圓叫做三角形的外接圓，外接圓的圓心叫做三角形的外心，這個三角形叫做圓的內接三角形。外心是三角形三條垂直平分線的交點，它到三角形的三個頂點的距離相等。13．三角形的內切圓：與三角形各邊都相切的圓叫做三角形的內切圓，內切圓的圓心叫做三角形的內心，這個三角形叫做圓的外切三角形；內心是三角形三條角平分線的交點，它到三角形的三條邊的距離相等。14．正多邊形的有關概念（1）正多邊形中心：正多邊形的外接圓的圓心叫做這個正多邊形的中心；（2）正多邊形半徑：正多邊形外接圓的半徑叫做正多邊形半徑；（3）正多邊形中心角：正多邊形每一邊所對的圓心角叫做正多邊形中心角；（4）正多邊形邊心距：正多邊形中心到正多邊形的一邊的距離叫做正多邊形的邊心距。15．弧長和扇形面積的計算：扇形的弧長l=SKIPIF1<0；扇形的面積S=SKIPIF1<0=SKIPIF1<0．16．圓錐與側面展開圖（1）圓錐側面展開圖是一個扇形，扇形的半徑等于圓錐的母線，扇形的弧長等于圓錐的底面周長。（2）若圓錐的底面半徑為r，母線長為l，則這個扇形的半徑為l，扇形的弧長為2πr，圓錐的側面積為S圓錐側=SKIPIF1<0．圓錐的表面積：S圓錐表=S圓錐側+S圓錐底=πrl+πr2=πr·（l+r）． （2022·黑龍江哈爾濱·統(tǒng)考中考真題）已知SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的直徑，點A，點B是SKIPIF1<0上的兩個點，連接SKIPIF1<0，點D，點E分別是半徑SKIPIF1<0的中點，連接SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0．(1)如圖1，求證：SKIPIF1<0；(2)如圖2，延長SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于點F，若SKIPIF1<0，求證：SKIPIF1<0；(3)如圖3，在（2）的條件下，點G是SKIPIF1<0上一點，連接SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的長．（1）根據SAS證明SKIPIF1<0即可得到結論；（2）證明SKIPIF1<0即可得出結論；（3）先證明SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0，證明SKIPIF1<0，設SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0上取點M，使得SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0，證明SKIPIF1<0為等邊三角形，得SKIPIF1<0，根據SKIPIF1<0可求出SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，過點H作SKIPIF1<0于點N，求出SKIPIF1<0，再證SKIPIF1<0，根據SKIPIF1<0可得結論．【答案】(1)見解析；(2)見解析；(3)SKIPIF1<0【詳解】（1）如圖1．∵點D，點E分別是半徑SKIPIF1<0的中點∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0∵SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0；（2）如圖2．∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0由（1）得SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0∵SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0（3）如圖3．∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0連接SKIPIF1<0．∵SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0∵SKIPIF1<0設SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上取點M，使得SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0為等邊三角形∴SKIPIF1<0∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0，過點H作SKIPIF1<0于點NSKIPIF1<0，SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．本題主要考查了圓周角定理，等邊三角形的判定和性質，全等三角形的判定與性質，等腰三角形的性質，勾股定理以及解直角三角形等知識，正確作出輔助線構造全等三角形是解答本題的關鍵．（2022·浙江溫州·統(tǒng)考中考真題）如圖1，SKIPIF1<0為半圓O的直徑，C為SKIPIF1<0延長線上一點，SKIPIF1<0切半圓于點D，SKIPIF1<0，交SKIPIF1<0延長線于點E，交半圓于點F，已知SKIPIF1<0．點P，Q分別在線段SKIPIF1<0上（不與端點重合），且滿足SKIPIF1<0．設SKIPIF1<0．(1)求半圓O的半徑．(2)求y關于x的函數表達式．(3)如圖2，過點P作SKIPIF1<0于點R，連結SKIPIF1<0．①當SKIPIF1<0為直角三角形時，求x的值．②作點F關于SKIPIF1<0的對稱點SKIPIF1<0，當點SKIPIF1<0落在SKIPIF1<0上時，求SKIPIF1<0的值．（1）連接OD，設半徑為r，利用SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，代入計算即可；（2）根據CP=AP十AC，用含x的代數式表示AP的長，再由（1）計算求AC的長即可；（3）①顯然SKIPIF1<0，所以分兩種情形，當SKIPIF1<0時，則四邊形RPQE是矩形，當∠PQR＝90°時，過點P作PH⊥BE于點H，則四邊形PHER是矩形，分別根據圖形可得答案；②連接SKIPIF1<0，由對稱可知SKIPIF1<0，利用三角函數表示出SKIPIF1<0和BF的長度，從而解決問題．【答案】(1)SKIPIF1<0；(2)SKIPIF1<0；(3)①SKIPIF1<0或SKIPIF1<0；②SKIPIF1<0【詳解】（1）解：如圖1，連結SKIPIF1<0．設半圓O的半徑為r．∵SKIPIF1<0切半圓O于點D，∴SKIPIF1<0．∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，即半圓O的半徑是SKIPIF1<0．（2）由（1）得：SKIPIF1<0．∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．（3）①顯然SKIPIF1<0，所以分兩種情況．?。┊擲KIPIF1<0時，如圖2．∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．∵SKIPIF1<0，∴四邊形SKIPIF1<0為矩形，∴SKIPIF1<0．∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．ⅱ）當SKIPIF1<0時，過點P作SKIPIF1<0于點H，如圖3，則四邊形SKIPIF1<0是矩形，∴SKIPIF1<0．∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0得：SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．綜上所述，x的值是SKIPIF1<0或SKIPIF1<0．②如圖4，連結SKIPIF1<0，由對稱可知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0∵BE⊥CE，PR⊥CE，∴PR∥BE，∴∠EQR=∠PRQ，∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴EQ=3-x，∵PR∥BE，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，即：SKIPIF1<0，解得：CR=x+1，∴ER=EC-CR=3-x，即：EQ=ER∴∠EQR=∠ERQ=45°，∴SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0，

∴SKIPIF1<0．∵SKIPIF1<0是半圓O的直徑，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．本題是圓的綜合題，主要考查了切線的性質，相似三角形的判定與性質，圓周角定理，三角函數等知識，利用三角函數表示各線段的長并運用分類討論思想是解題的關鍵．（2022·浙江舟山·中考真題）如圖1．在正方形SKIPIF1<0中，點F，H分別在邊SKIPIF1<0，SKIPIF1<0上，連結SKIPIF1<0，SKIPIF1<0交于點E，已知SKIPIF1<0．(1)線段SKIPIF1<0與SKIPIF1<0垂直嗎？請說明理由．(2)如圖2，過點A，H，F的圓交SKIPIF1<0于點P，連結SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于點K．求證：SKIPIF1<0．(3)如圖3，在（2）的條件下，當點K是線段SKIPIF1<0的中點時，求SKIPIF1<0的值．（1）證明SKIPIF1<0（SKIPIF1<0），得到SKIPIF1<0，進一步得到SKIPIF1<0，由△CFH是等腰三角形，結論得證；（2）過點K作SKIPIF1<0于點G．先證△AKG∽△ACB，得SKIPIF1<0，證△KHG∽CHB可得SKIPIF1<0，結論得證；（3）過點K作SKIPIF1<0點G．求得SKIPIF1<0，設SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則KG＝AG＝GB＝3a，則SKIPIF1<0，勾股定理得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即可得到答案．【答案】(1)SKIPIF1<0，見解析；(2)見解析；(3)SKIPIF1<0【詳解】（1）證明：∵四邊形SKIPIF1<0是正方形，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0（SKIPIF1<0），∴SKIPIF1<0．又∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．∵SKIPIF1<0∴△CFH是等腰三角形，∴SKIPIF1<0．（2）證明：如圖1，過點K作SKIPIF1<0于點G．∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．（3）解：如圖2，過點K作SKIPIF1<0點G．∵點K為SKIPIF1<0中點：由（2）得SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，設SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，又∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．此題考查正方形的性質、相似三角形的判定和性質、勾股定理、直角三角形全等的判定定理等知識，熟練掌握相似三角形的判定和性質是解題的關鍵．1．（2022·浙江溫州·溫州市第三中學?？寄M）如圖，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的直徑，弦SKIPIF1<0于點SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0上一動點（不與點SKIPIF1<0，點SKIPIF1<0重合），以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為邊構造平行四邊形SKIPIF1<0，交SKIPIF1<0于點SKIPIF1<0，交SKIPIF1<0于點SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．(1)求證：SKIPIF1<0．(2)當SKIPIF1<0與SKIPIF1<0相切時，求SKIPIF1<0的長．(3)①當SKIPIF1<0中有一個角與SKIPIF1<0相等時，求SKIPIF1<0的長．②若點SKIPIF1<0關于SKIPIF1<0的對稱點SKIPIF1<0落在SKIPIF1<0的內部（不包括SKIPIF1<0的邊界），求SKIPIF1<0的取值范圍（直接寫出答案）．【答案】(1)見詳解；(2)SKIPIF1<0；(3)①3②SKIPIF1<0【分析】（1）連接SKIPIF1<0，由垂徑定理可知SKIPIF1<0，進而證明SKIPIF1<0；再由SKIPIF1<0，可證明SKIPIF1<0，然后由“平行四邊形對角相等”即可證明SKIPIF1<0；（2）連接SKIPIF1<0并延長，交SKIPIF1<0于點SKIPIF1<0，首先證明SKIPIF1<0，由全等三角形的性質可知SKIPIF1<0，再結合垂徑定理即可求得SKIPIF1<0的長；（3）①連接SKIPIF1<0，設SKIPIF1<0半徑為SKIPIF1<0，由勾股定理可解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由圓內接四邊形的性質可知SKIPIF1<0；當SKIPIF1<0經過SKIPIF1<0點，即SKIPIF1<0、SKIPIF1<0重合時，此時SKIPIF1<0，再證明SKIPIF1<0，由相似三角形的性質可解得SKIPIF1<0，即當SKIPIF1<0中有一個角與SKIPIF1<0相等時，即當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0的長為3；②若點SKIPIF1<0關于SKIPIF1<0的對稱點SKIPIF1<0落在SKIPIF1<0的內部（不包括SKIPIF1<0的邊界），可分別計算出當SKIPIF1<0落在邊SKIPIF1<0上時和當SKIPIF1<0落在邊SKIPIF1<0上時SKIPIF1<0的長，即可獲得答案．【詳解】（1）證明：如下圖，連接SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的直徑，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵四邊形SKIPIF1<0為平行四邊形，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0；（2）如下圖，連接SKIPIF1<0并延長，交SKIPIF1<0于點SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0與SKIPIF1<0相切，∵SKIPIF1<0為SKIPIF1<0半徑，∴SKIPIF1<0，∵四邊形SKIPIF1<0為平行四邊形，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，又∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0；（3）①連接SKIPIF1<0，如下圖，∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，設SKIPIF1<0半徑為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴在SKIPIF1<0中，由勾股定理可得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴在SKIPIF1<0中，由勾股定理可得SKIPIF1<0；∵四邊形SKIPIF1<0內接于SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0；當SKIPIF1<0經過SKIPIF1<0點，即SKIPIF1<0、SKIPIF1<0重合時，如下圖，此時，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，又∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，又∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴當SKIPIF1<0中有一個角與SKIPIF1<0相等時，即當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0的長為3；②若點SKIPIF1<0關于SKIPIF1<0的對稱點SKIPIF1<0落在SKIPIF1<0的內部（不包括SKIPIF1<0的邊界），則SKIPIF1<0的取值范圍為SKIPIF1<0，理由如下：當SKIPIF1<0落在邊SKIPIF1<0上時，如下圖，連接SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于點SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0，∵點SKIPIF1<0與點SKIPIF1<0關于SKIPIF1<0的對稱，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∵四邊形SKIPIF1<0為平行四邊形，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，又∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0經過圓心SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0；當SKIPIF1<0落在邊SKIPIF1<0上時，如下圖，連接SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于點SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于點SKIPIF1<0，∵點SKIPIF1<0與點SKIPIF1<0關于SKIPIF1<0的對稱，由軸對稱的性質可知，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵四邊形SKIPIF1<0為平行四邊形，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴四邊形SKIPIF1<0為菱形，∴SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0經過點SKIPIF1<0，∴在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，∵四邊形SKIPIF1<0為菱形，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．綜上所述，若點SKIPIF1<0關于SKIPIF1<0的對稱點SKIPIF1<0落在SKIPIF1<0的內部（不包括SKIPIF1<0的邊界），則SKIPIF1<0的取值范圍為：SKIPIF1<0．2．（2022·浙江寧波·校考一模）等腰三角形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，且內接于圓SKIPIF1<0，SKIPIF1<0、SKIPIF1<0為邊SKIPIF1<0上兩點（SKIPIF1<0在SKIPIF1<0、SKIPIF1<0之間），分別延長SKIPIF1<0、SKIPIF1<0交圓SKIPIF1<0于SKIPIF1<0、SKIPIF1<0兩點（如圖SKIPIF1<0），記SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．(1)求SKIPIF1<0的大?。ㄓ肧KIPIF1<0，SKIPIF1<0表示）；(2)連接SKIPIF1<0，交SKIPIF1<0于SKIPIF1<0（如圖SKIPIF1<0），若SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，求證：SKIPIF1<0；(3)在（2）的條件下，取SKIPIF1<0中點SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0、SKIPIF1<0（如圖SKIPIF1<0），若SKIPIF1<0，①求證：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；②請直接寫出SKIPIF1<0的值．【答案】(1)SKIPIF1<0；(2)證明見解析；(3)①證明見解析；②SKIPIF1<0或SKIPIF1<0．【分析】（1）如圖SKIPIF1<0中，連接SKIPIF1<0，利用同弧或等弧所對的圓周角相等即可求出SKIPIF1<0的大小；（2）利用同弧或等弧所對的圓周角相等，可證SKIPIF1<0，得到SKIPIF1<0，再根據SKIPIF1<0，得到SKIPIF1<0，進而得到SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即可證明結論；（3）①如圖SKIPIF1<0中，連接SKIPIF1<0，延長SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于點SKIPIF1<0，證明SKIPIF1<0≌SKIPIF1<0，推出SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，再證明SKIPIF1<0，得到中位線SKIPIF1<0，即可證明結論；SKIPIF1<0連接SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，設SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，設SKIPIF1<0，利用勾股定理求出SKIPIF1<0，SKIPIF1<0之間的關系，即可得到答案．【詳解】（1）解：如圖SKIPIF1<0中，連接SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；（2）解：證明：如圖SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；（3）解：①證明：如圖SKIPIF1<0中，連接SKIPIF1<0，延長SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于點SKIPIF1<0．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是直徑，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0和SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0≌SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的中位線，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；SKIPIF1<0解：連接SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的中位線，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，設SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，設SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，整理得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0或SKIPIF1<0．3．（2022·河北邯鄲·?？既＃┤鐖D1，菱形ABCD的邊長為12cm，∠B＝60°，M，N分別在邊AB，CD．上，AM＝3cm，DN＝4cm，點P從點M出發(fā)，沿折線MB﹣BC以1cm/s的速度向點C勻速運動（不與點C重合）；△APC的外接圓⊙O與CD相交于點E，連接PE交AC于點F．設點P的運動時間為ts．(1)∠APE＝°；(2)若⊙O與AD相切，①判斷⊙O與CD的位置關系；②求SKIPIF1<0的長；(3)如圖3，當點P在BC上運動時，求CF的最大值，并判斷此時PE與AC的位置關系；(4)若點N在⊙O的內部，直接寫出t的取值范圍．【答案】(1)60°(2)①⊙O與CD相切；②SKIPIF1<0(3)CF的最大值為3cm，此時AC⊥PE(4)當0<t<1時或17<t<21時，點N在圓內部；【分析】（1）根據菱形的性質易證△ACD為等邊三角形，根據同弧所對的圓周角相等即可得到∠APE的度數；（2）①先找出⊙O與AD相切時的情況，根據切線長定理即可證明⊙O與CD相切；②根據切線長定理和菱形的性質，可求得圓的半徑，根據弧長公式即可求解；（3）要使CF取得最大值，則AF應該取最小值，當AC⊥PE時，AF最小，此時CF取得最大值，求出即可；（4）分兩種情況進行討論，當P在AB上時和當點P在BC上時．【詳解】（1）解：∵四邊形ABCD為菱形，∠B＝60°，∴∠D=∠B＝60°，AD=CD，∴△ACD為等邊三角形，∴∠ACE=60°，∴∠APE=∠ACE=60°，故答案為：60°．（2）如圖，當點P運動到點B時，⊙O與AD相切，①∵四邊形ABCD為菱形，∴AD=CD，∵⊙O與AD相切，∴⊙O與CD相切；②連接OD，由（1）可知，∠ADC=60°，∵AD、CD分別與⊙O相切，∴∠ADO=SKIPIF1<0∠ADC=30°，∴AO=SKIPIF1<0=SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0；（3）由圖可知：CF=AC-AF，∵AB=BC，∠B=60°，∴△ABC為等邊三角形，則AC=12cm，∠ACB=60°，∴要使CF取得最大值，則AF應該取最小值，當AC⊥PE時，AF最小，此時CF取得最大值，∵點O為△APC外接圓圓心，∴OA=OC=OP=SKIPIF1<0=6cm，∵∠ACB=60°，∴CF=SKIPIF1<0=3cm，綜上：CF的最大值為3cm，此時AC⊥PE．（4）①當點P在AB上時，∵四邊形APCE為圓的內接四邊形，∴∠APC+∠AEC=180°，∵∠AED++∠AEC=180°，∴∠APC=∠AED，在△APC和△DEA中，AC=AD，∠PAC=∠D，∠APC=∠AED，∴△APC≌△DEA，∴AP=DE，當點E與點N重合時，DE=DN=AP=4，∴MP=4-3=1cm，∴t=1s，當0<t<1時，點N在圓內部；②當點P在BC上運動時，∵∠AEP=∠ACP=60°，∴△APE為等邊三角形，∴AP=AE，∠PAE=60°，∵∠BAC=60°，∴∠BAP=∠CAE，在△BAP和△CAE中，AB=AC，∠BAP=∠CAE，AP=AE，∴△BAP≌△CAE，∴BP=CE，當點E與帶你N重合時，CE=CN=BP=12-4=8cm，此時t=SKIPIF1<0=9+8=17s，當點P到達點C時，t=21s，當17<t<21時，點N在圓內部；綜上：當0<t<1時或17<t<21時，點N在圓內部．4．（2022·上海楊浦·統(tǒng)考二模）已知在扇形SKIPIF1<0中，點C、D是SKIPIF1<0上的兩點，且SKIPIF1<0．(1)如圖1，當SKIPIF1<0時，求弦SKIPIF1<0的長；(2)如圖2，聯(lián)結SKIPIF1<0，交半徑SKIPIF1<0于點E，當SKIPIF1<0//SKIPIF1<0時，求SKIPIF1<0的值；(3)當四邊形SKIPIF1<0是梯形時，試判斷線段SKIPIF1<0能否成為SKIPIF1<0內接正多邊形的邊？如果能，請求出這個正多邊形的邊數；如果不能，請說明理由．【答案】(1)SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0(3)線段SKIPIF1<0能成為SKIPIF1<0的內接正多邊形的邊，邊數為18【分析】（1）取SKIPIF1<0的中點SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0，根據圓的有關性質可得SKIPIF1<0，然后由余角的性質及等邊三角形的判定與性質可得答案；（2）由平行線的性質及三角形內角和定理可得SKIPIF1<0．然后根據相似三角形的判定與性質可得答案；（3）根據圓內接多邊形的性質及三角形的內角和定理分兩種情況進行解答：①SKIPIF1<0；②SKIPIF1<0．【詳解】（1）解：設SKIPIF1<0，取SKIPIF1<0的中點E，連接SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，又∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0是等邊三角形，∴SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0；（2）解：∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，設SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．解之得SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0；（3）解：當四邊形SKIPIF1<0是梯形時，①SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，不合題意，舍去．②SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．∴線段SKIPIF1<0能成為SKIPIF1<0的內接正多邊形的邊，邊數為18．5．（2022·黑龍江哈爾濱·哈爾濱風華中學?？既＃┤鐖D，AB是⊙O的直徑，弦SKIPIF1<0，垂足為H，P為弧AD上一點．(1)如圖1，連接AC、PC、PA，求證：SKIPIF1<0；(2)如圖2，連接PB，PB交CD于E，過點P作⊙O的切線交CD的延長線與點F，求證：SKIPIF1<0；(3)如圖3，在（2）的條件下，連接AE，且SKIPIF1<0，過點A作SKIPIF1<0，垂足為G，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求BH的長．【答案】(1)見解析；(2)見解析；(3)SKIPIF1<0【分析】（1）連接AD，根據同弧或等弧所對圓周角相等即可證明；（2）連接OP，根據切線性質以及余角的性質即可證明SKIPIF1<0，從而證得SKIPIF1<0；（3）過E作SKIPIF1<0，證明SKIPIF1<0，根據SKIPIF1<0求出MF，再利用勾股定理求出PM、EM，再利用三角函數求出PA，進而求出BH．【詳解】（1）證明：連接AD，SKIPIF1<0AB是⊙O的直徑，弦SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0；（2）連接OP，SKIPIF1<0PF是⊙O的切線，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0；（3）過E作SKIPIF1<0，垂足為M，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，設SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0可得：SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，AB是直徑，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．6．（2022·浙江溫州·溫州市第十四中學校聯(lián)考三模）如圖1，直徑SKIPIF1<0于點SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，點SKIPIF1<0是SKIPIF1<0延長線上異于點SKIPIF1<0的一個動點，連接SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于點SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．(1)求證：SKIPIF1<0．(2)如圖2，連接SKIPIF1<0，當SKIPIF1<0時，求SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的面積之比．(3)當四邊形SKIPIF1<0有兩邊相等時，求SKIPIF1<0的長．【答案】(1)證明見解析；(2)SKIPIF1<0；(3)SKIPIF1<0或SKIPIF1<0或SKIPIF