初中數(shù)學(xué)經(jīng)典幾何模型11-擁抱模型解直角三角形(含答案)

初中數(shù)學(xué)經(jīng)典幾何模型專題11擁抱模型解直角三角形【精典例題】1、某數(shù)學(xué)興趣小組學(xué)過銳角三角函數(shù)后，到市龍源湖公園測量塑像“夸父追日”的高度，如圖所示，在A處測得塑像頂部D的仰角為45°，塑像底部E的仰角為30.1°，再沿AC方向前進(jìn)10m到達(dá)B處，測得塑像頂部D的仰角為59.1°．求塑像“夸父追日”DE高度．（結(jié)果精確到0.1m．參考數(shù)據(jù)：sin30.1°≈0.50，cos30.1°≈0.87，tan30.1°≈0.58，sin59.1°≈0.86，cos59.1°≈0.51，tan59.1°≈1.67）

2、今年由于防控疫情，師生居家隔離線上學(xué)習(xí)，AB和CD是社區(qū)兩棟鄰樓的示意圖，小華站在自家陽臺的C點，測得對面樓頂點A的仰角為30°，地面點E的俯角為45°．點E在線段BD上，測得B，E間距離為8.7米，樓AB高12米．求小華家陽臺距地面高度CD的長．（結(jié)果精確到1米，≈1.41，≈1.73）

3、數(shù)學(xué)興趣小組到黃河風(fēng)景名勝區(qū)測量炎帝塑像(塑像中高者)的高度．如圖所示，炎帝塑像DE在高55m的小山EC上，在A處測得塑像底部E的仰角為34°，再沿AC方向前進(jìn)21m到達(dá)B處，測得塑像頂部D的仰角為60°，求炎帝塑像DE的高度．(精確到1m．參考數(shù)據(jù)：sin34°≈0.56，cos34°≈0.83，tan34°≈0.67，eq\r(3)≈1.73)

4、如圖，輪船甲位于碼頭O的正西方向A處，輪船乙位于碼頭O的正北方向C處，測得∠CAO＝45°.輪船甲自西向東勻速行駛，同時輪船乙沿正北方向勻速行駛，它們的速度分別為45km/h和36km/h.經(jīng)過0.1h，輪船甲行駛至B處，輪船乙行駛至D處，測得∠DBO＝58°.此時B處距離碼頭O有多遠(yuǎn)？(參考數(shù)據(jù)：sin58°≈0.85，cos58°≈0.53，tan58°≈1.60)

5、某數(shù)學(xué)社團(tuán)開展實踐性研究，在大明湖南門A測得歷下亭C在北偏東37°方向，繼續(xù)向北走105m后到達(dá)游船碼頭B，測得歷下亭C在游船碼頭B的北偏東53°方向．請計算一下南門A與歷下亭C之間的距離約為．（參考數(shù)據(jù)：tan37°≈，tan53°≈）

6、如圖，為測量湖面上小船A到公路BC的距離，先在點B處測得小船A在其北偏東60°方向，再沿BC方向前進(jìn)400m到達(dá)點C，測得小船A在其北偏西30°方向，則小船A到公路BC的距離為m．

7、如圖，AB為某段長為10km的海岸線，碼頭B在碼頭A的東偏北30°方向上，燈塔C在碼頭B正北方向，碼頭A正西方向有一艘船D向碼頭A方向行駛，從船D觀測，燈塔C在船D的東偏北37°方向，在燈塔C觀測碼頭A在燈塔C的南偏西30°方向，求此時船D與碼頭A的距離（精確到0.1km．參考數(shù)據(jù)：＝1.73，sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）

8、科技改變生活，手機(jī)導(dǎo)航極大方便了人們的出行，如圖，小明一家自駕到古鎮(zhèn)C游玩，到達(dá)A地后，導(dǎo)航顯示車輛應(yīng)沿北偏西60方向行駛8千米至B地，再沿北偏東45°方向行駛一段距離到達(dá)古鎮(zhèn)C，小明發(fā)現(xiàn)古鎮(zhèn)C恰好在A地的正北方向，求B，C兩地的距離．（結(jié)果保留根號）

專題11擁抱模型解直角三角形答案【精典例題】1、某數(shù)學(xué)興趣小組學(xué)過銳角三角函數(shù)后，到市龍源湖公園測量塑像“夸父追日”的高度，如圖所示，在A處測得塑像頂部D的仰角為45°，塑像底部E的仰角為30.1°，再沿AC方向前進(jìn)10m到達(dá)B處，測得塑像頂部D的仰角為59.1°．求塑像“夸父追日”DE高度．（結(jié)果精確到0.1m．參考數(shù)據(jù)：sin30.1°≈0.50，cos30.1°≈0.87，tan30.1°≈0.58，sin59.1°≈0.86，cos59.1°≈0.51，tan59.1°≈1.67）解析：在Rt△ACD中，∠CAD＝45°，則AC＝CD．設(shè)AC＝CD＝x，則BC＝x﹣10，在Rt△BCD中，．∴CD＝BC?tan59.1°，∴x＝1.67（x﹣10），解得：x≈24.93，在Rt△ACE中，．CE＝AC?tan30.1°＝24.93×0.58≈14.46，∴DE＝DC﹣CE＝24.93﹣14.46＝10.47≈10.5，答：塑像“夸父追日”DE的高度約為10.5米

2、今年由于防控疫情，師生居家隔離線上學(xué)習(xí)，AB和CD是社區(qū)兩棟鄰樓的示意圖，小華站在自家陽臺的C點，測得對面樓頂點A的仰角為30°，地面點E的俯角為45°．點E在線段BD上，測得B，E間距離為8.7米，樓AB高12米．求小華家陽臺距地面高度CD的長．（結(jié)果精確到1米，≈1.41，≈1.73）解析：作CH⊥AB于H，如圖所示：則四邊形HBDC為矩形，∴BD＝CH，BH＝CD，由題意得，∠ACH＝30°，∠DCE＝45°，設(shè)BH＝CD＝x米，則AH＝（12﹣x）米，在Rt△AHC中，∵tan∠ACH＝＝，∴HC＝AH＝（36﹣x）米，∵∠CDE＝90°，∴∠CED＝90°﹣45°＝45°＝∠DCE，∴ED＝CD＝x米，∵CH＝BD＝BE+ED∴8.7+x＝36﹣x．∵≈1.73，解得x≈10．答：小華家陽臺距地面高度CD的長約為10米．

3、數(shù)學(xué)興趣小組到黃河風(fēng)景名勝區(qū)測量炎帝塑像(塑像中高者)的高度．如圖所示，炎帝塑像DE在高55m的小山EC上，在A處測得塑像底部E的仰角為34°，再沿AC方向前進(jìn)21m到達(dá)B處，測得塑像頂部D的仰角為60°，求炎帝塑像DE的高度．(精確到1m．參考數(shù)據(jù)：sin34°≈0.56，cos34°≈0.83，tan34°≈0.67，eq\r(3)≈1.73)解析：∵∠ACE＝90°，∠CAE＝34°，CE＝55m，∴tan∠CAE＝eq\f(CE,AC)，∴AC＝eq\f(CE,tan34°)≈eq\f(55,0.67)≈82.1(m)．∵AB＝21m，∴BC＝AC－AB≈61.1m.在Rt△BCD中，tan60°＝eq\f(CD,BC)，∴CD＝eq\r(3)BC≈1.73×61.1≈105.7(m)，∴DE＝CD－EC≈105.7－55≈51(m)．答：炎帝塑像DE的高度約為51m.

4、如圖，輪船甲位于碼頭O的正西方向A處，輪船乙位于碼頭O的正北方向C處，測得∠CAO＝45°.輪船甲自西向東勻速行駛，同時輪船乙沿正北方向勻速行駛，它們的速度分別為45km/h和36km/h.經(jīng)過0.1h，輪船甲行駛至B處，輪船乙行駛至D處，測得∠DBO＝58°.此時B處距離碼頭O有多遠(yuǎn)？(參考數(shù)據(jù)：sin58°≈0.85，cos58°≈0.53，tan58°≈1.60)解析：設(shè)B處距離碼頭O有xkm.在Rt△CAO中，∠CAO＝45°，∴CO＝AO＝45×0.1＋x＝4.5＋x.在Rt△DBO中，∠DBO＝58°.∵tan∠DBO＝eq\f(DO,BO)，∴DO＝BO·tan∠DBO＝x·tan58°.∵DC＝DO－CO，∴36×0.1＝x·tan58°－(4.5＋x)．∴x＝eq\f(36×0.1＋4.5,tan58°－1)≈eq\f(36×0.1＋4.5,1.60－1)＝13.5.答：B處距離碼頭O大約有13.5km.

5、某數(shù)學(xué)社團(tuán)開展實踐性研究，在大明湖南門A測得歷下亭C在北偏東37°方向，繼續(xù)向北走105m后到達(dá)游船碼頭B，測得歷下亭C在游船碼頭B的北偏東53°方向．請計算一下南門A與歷下亭C之間的距離約為．（參考數(shù)據(jù)：tan37°≈，tan53°≈）解析：如圖，作CE⊥BA于E．設(shè)EC＝xm，BE＝y(tǒng)m．在Rt△ECB中，tan53°＝，即，在Rt△AEC中，tan37°＝，即，解得x＝180，y＝135，∴AC＝＝＝300（m），故答案為：300m．

6、如圖，為測量湖面上小船A到公路BC的距離，先在點B處測得小船A在其北偏東60°方向，再沿BC方向前進(jìn)400m到達(dá)點C，測得小船A在其北偏西30°方向，則小船A到公路BC的距離為m．解析：過點A作AD⊥BC，垂足為點D．如圖，則∠ADC＝90°依題意得：∠ABC＝90°﹣60°＝30°，∠ACB＝90°﹣60°＝30°，BC＝400m，∴∠BAC＝90°∴AC＝BC＝200m，∵∠DAC＝90°﹣60°＝30°，∴CD＝AC＝100m，AD＝CD＝100m，即小船A到公路BC的距離為100m；故答案為：100．

7、如圖，AB為某段長為10km的海岸線，碼頭B在碼頭A的東偏北30°方向上，燈塔C在碼頭B正北方向，碼頭A正西方向有一艘船D向碼頭A方向行駛，從船D觀測，燈塔C在船D的東偏北37°方向，在燈塔C觀測碼頭A在燈塔C的南偏西30°方向，求此時船D與碼頭A的距離（精確到0.1km．參考數(shù)據(jù)：＝1.73，sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）解析：過B作BG⊥AD于G，∵在Rt△ABG中，∠BAG＝30°，AB＝10km，∴AG＝5km，∵在Rt△ACG中，∠ACG＝30°，∴CG＝km，∵在Rt△DCG中，，∴DG＝km，∴DA＝20﹣5≈11.3km，答：此時船D與碼頭A的距離為11.4km．

8、科技改變生活，手機(jī)導(dǎo)航極大方便了人們的出行，如圖，小明一家自駕到古鎮(zhèn)C游玩，到達(dá)A地后