第四章 積分變換法

章積分變換法2021/6/2714.1傅立葉變換的概念和性質(zhì)4.2傅立葉變換的應用4.3拉普拉斯變換的概念和性質(zhì)4.4拉普拉斯變換的應用2021/6/272定義：假設I

是數(shù)集(實數(shù)或者復數(shù))，K(s,x)為上的函數(shù),這里[a,b]為任意區(qū)間。如果

f(x)在區(qū)間[a,b]有定義,且K(s,x)f(x)為[a,b]上可積函數(shù),則含參變量積分定義了一個從f(x)到F(s)的變換,稱為積分變換,K(s,x)為變換的核。常見的積分變換有傅立葉變換和拉普拉斯變換。

4.1傅立葉變換的概念和性質(zhì)2021/6/273傅立葉變換

記作：假設f(x)

在上有定義，在上絕對可積，在任一有限區(qū)間上有有限個極大值、極小值，且至多有有限個第一類不連續(xù)點，則函數(shù)稱為f(t)的傅立葉變換。即是區(qū)間上，核為的積分變換

4.1傅立葉變換的概念和性質(zhì)2021/6/274傅立葉逆變換定義為：記作：當f(x)滿足上述條件時，有傅立葉積分定理：

t是連續(xù)點t是第一類間斷點特別的，當f(x)連續(xù)時

4.1傅立葉變換的概念和性質(zhì)2021/6/275傅立葉變換具有如下性質(zhì):1)線性性質(zhì)：設f,g是絕對可積的函數(shù)，為數(shù)

2)微分運算性質(zhì)

4.1傅立葉變換的概念和性質(zhì)2021/6/2763)對傅立葉變換后的函數(shù)求導數(shù)4)卷積性質(zhì)設f(x)，g(x)

在上絕對可積,定義卷積：

4.1傅立葉變換的概念和性質(zhì)2021/6/2775)乘積運算

傅立葉變換在乘積運算和卷積運算之間建立了一個對偶關系。6)平移性質(zhì)

4.1傅立葉變換的概念和性質(zhì)2021/6/278思考：對于u(x,y),若以y

為參數(shù),對x

作傅立葉變換由傅立葉變換的線性性質(zhì)同理,是參數(shù)

4.1傅立葉變換的概念和性質(zhì)2021/6/2794.2傅立葉變換的應用2021/6/2710例用積分變換法解方程：解：由自變量的取值范圍，對x進行傅立葉變換，設那么方程轉(zhuǎn)變?yōu)?/p>

4.2傅立葉變換的應用2021/6/2711解得為了求出原方程的解,下面對關于進行傅立葉逆變換.t是參數(shù)！

4.2傅立葉變換的應用2021/6/2712例用積分變換法解方程：解：作關于的傅立葉變換。設方程變?yōu)?/p>

4.2傅立葉變換的應用2021/6/2713可解得而則上式兩邊關于x作逆傅立葉變換，得

4.2傅立葉變換的應用2021/6/2714

4.2傅立葉變換的應用2021/6/2715例用積分變換法求解初值問題：解：作關于x

的傅立葉變換。設t是參數(shù)

4.2傅立葉變換的應用2021/6/2716于是原方程變?yōu)闈M足初始條件

4.2傅立葉變換的應用2021/6/2717的通解為由初始條件ω是參數(shù)解常微分方程：

4.2傅立葉變換的應用2021/6/2718取傅立葉逆變換，得其中：注意到而

4.2傅立葉變換的應用2021/6/2719所以取傅立葉逆變換，得t是參數(shù)

4.2傅立葉變換的應用2021/6/2720所以取傅立葉逆變換，得t是參數(shù)

4.2

傅立葉變換的應用2021/6/27214.3拉普拉斯變換的

概念和性質(zhì)2021/6/2722拉普拉斯變換傅立葉變換要求函數(shù)f

在有定義并且絕對可積。很多常見函數(shù)，如常函數(shù)，多項式，三角函數(shù)等都不滿足條件。以時間t

為自變量的函數(shù)在區(qū)間也無意義。這些都限制了傅立葉變換的應用。為此引入拉普拉斯(Laplace)變換。拉普拉斯變換的積分核為（單邊）拉普拉斯變換：4.3拉普拉斯變換的概念和性質(zhì)2021/6/2723在復參數(shù)p

的某個區(qū)域內(nèi)收斂。（單邊）拉普拉斯變換對函數(shù)f(t)的要求：定理：若函數(shù)f(t)滿足下列條件：在任意有限區(qū)間上分段連續(xù)的增長速度不超過一個指數(shù)函數(shù)，即則：的Laplace變換在半平面存在。4.3拉普拉斯變換的概念和性質(zhì)2021/6/2724基本性質(zhì)：

1)基本變換:4.3拉普拉斯變換的概念和性質(zhì)2021/6/27252)線性性質(zhì)3)

微分性質(zhì)若則4.3拉普拉斯變換的概念和性質(zhì)2021/6/27264)積分性質(zhì)6)位移性質(zhì)7)延遲性質(zhì)5)對拉普拉斯變換求導4.3拉普拉斯變換的概念和性質(zhì)2021/6/27278)卷積性質(zhì)應用：拉普拉斯變換既適用于常微分方程(如P38),也適用于偏微分方程。4.3拉普拉斯變換的概念和性質(zhì)2021/6/2728例解常微分方程的初值問題:解：對t

進行拉普拉斯變換,設則原方程變?yōu)?.3拉普拉斯變換的概念和性質(zhì)2021/6/2729對p

進行拉普拉斯逆變換,考慮到

有4.3拉普拉斯變換的概念和性質(zhì)2021/6/2730例設，求解常微分方程的初值問題:

解對進行拉普拉斯變換,設,則4.3拉普拉斯變換的概念和性質(zhì)2021/6/2731于是原方程變?yōu)橛缮鲜降?對進行拉普拉斯逆變換,得4.3拉普拉斯變換的概念和性質(zhì)2021/6/2732拉普拉斯變換的反演公式：4.3拉普拉斯變換的概念和性質(zhì)2021/6/2733利用留數(shù)基本定理，可得4.3拉普拉斯變換的概念和性質(zhì)2021/6/27344.3拉普拉斯變換的概念和性質(zhì)2021/6/27354.3拉普拉斯變換的概念和性質(zhì)2021/6/27364.4拉普拉斯變換的應用2021/6/2737例：設x>0,y>0,求解定解問題解：對y

進行拉普拉斯變換。設則方程變?yōu)椋?.4拉普拉斯變換的應用2021/6/2738而變?yōu)?/p>

解ODE:對p

取拉普拉斯逆變換，得4.4拉普拉斯變換的應用2021/6/2739解問題歸結(jié)為求解下列定解問題:例一條半無限長的桿，端點溫度變化已知，桿的初始溫度為0，求桿上溫度分布規(guī)律。對t進行拉普拉斯變換怎么變換？為什么？知道的值了4.4拉普拉斯變換的應用2021/6/2740分析由于，故不能用傅立葉變換，而要用拉普拉斯變換。如果對進行拉普拉斯變換，由于方程中出現(xiàn)了,在變換中需要知道以及的值；如果對進行拉普拉普拉斯變換，由于方程中出現(xiàn)了，在變換中需要知道。因此，我們對進行拉普拉斯變換。4.4拉普拉斯變換的應用2021/6/2741對t

進行拉普拉斯變換，設于是方程變?yōu)檫@是二階常微分方程的邊值問題，它的通解為二階方程，但是僅有一個邊界條件！需要引入自然邊界條件.

4.1傅立葉變換的概念和性質(zhì)4.4拉普拉斯變換的應用2021/6/2742考慮到具體問題的物理意義：u(x,t)表示溫度，從而

D=0.

再由邊值條件可知，C=F(p).

為求出u(x,t),

在上式中對p

進行拉普拉斯逆變換4.4拉普拉斯變換的應用2021/6/2743由拉普拉斯變換表知，4.4拉普拉斯變換的應用2021/6/27444.4拉普拉斯變換的應用2021/6/2745積分變換法求解定解問題的原則和步驟：

1)選取恰當?shù)姆e分變換。主要考慮自變量取值范圍，傅立葉變換要求取值范圍是，拉普拉斯變換要求取值范圍是3)注意定解條件的形式。假如對x進行拉普拉斯變換，而原方程是關于為x的k

階方程，則定解條件中必須出現(xiàn)2）傅立葉變換要求原象函數(shù)在R上絕對可積,許多函數(shù)不能作傅