2022北京市海淀區(qū)高三（上）期末數(shù)學(xué)真題試卷答案

海淀區(qū)2021~2022學(xué)年第一學(xué)期期末練習(xí)高三數(shù)學(xué)參考答案2022.01一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分。題號(hào)（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）（9）（10）答案CDCACBCBBB二、填空題共5小題，每小題5分，共25分。題號(hào)（11）（12）（13）（14）（15）答案，或或其它①②③三、解答題共6小題，共85分。（16）（本小題共14分）解：（Ⅰ）由,可得因?yàn)闉槿切蝺?nèi)角，所以.（Ⅱ）選擇條件②③.由（Ⅰ）知為銳角，又因?yàn)?，所以，所以，所?由正弦定理可得，所以，所以的面積為.說(shuō)明：最后兩步也可以如下計(jì)算：由正弦定理可得，所以，所以的面積為.（17）（本小題14分）解：（Ⅰ）證法1：因?yàn)殚L(zhǎng)方體中，平面∥平面，平面平面，平面平面，所以∥.證法2：因?yàn)殚L(zhǎng)方體中，平面∥平面，平面，所以∥平面，因?yàn)槠矫妫矫嫫矫?，所以∥.（Ⅱ）因?yàn)椋?，兩兩垂直，所以以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，所在直線分別為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示：5分則，，，，，，平面的法向量為，設(shè)平面的法向量為，則，可得，令，則，，所以，所以.又因?yàn)槎娼菫殇J角，所以，二面角的余弦值為.設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，則.（18）（本小題14分）解：（Ⅰ）法1：設(shè)甲在首輪比賽中正確完成的題數(shù)為，易知，所以.法2：.（Ⅱ）由題意得的取值范圍是．，，，所以的分布列為123所以．（Ⅲ）從正確完成實(shí)驗(yàn)操作的題數(shù)的均值方面分析，兩人水平相當(dāng)；因?yàn)?，，所以，從正確完成實(shí)驗(yàn)操作的題數(shù)的方差方面分析,乙的水平更穩(wěn)定；因?yàn)?，．所?從至少正確完成2題的概率方面分析，乙通過(guò)的可能性更大.（19）（本小題14分）解：（Ⅰ）因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓：上，所以將點(diǎn)代入橢圓方程，可得，所以.所以橢圓的方程為.因?yàn)?，所以橢圓的離心率為.（Ⅱ）由可得.恒成立，設(shè)，，則，.直線AE的方程為，令，得點(diǎn)M的縱坐標(biāo)為，同理可得點(diǎn)N的縱坐標(biāo)為，所以.因?yàn)榈拿娣e，所以，即，化簡(jiǎn)得，解得或.所以的值為0或2.（20）（本小題15分）解：（Ⅰ）因?yàn)椋郧?，所以，所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為，即.（Ⅱ）當(dāng)，時(shí),因?yàn)?所以在上單調(diào)遞增，所以在上的最小值為.（Ⅲ）取，以下證明恒成立.令，即證恒成立.（1）當(dāng)時(shí)，有,，所以，所以在上單調(diào)遞減，所以在上恒成立.（2）當(dāng)時(shí)，令.因?yàn)?，所以，所以在上單調(diào)遞增，所以在上恒成立.所以在上單調(diào)遞增，所以在上恒成立.綜上，恒成立，所以恒成立.（21）（本小題14分）解：（Ⅰ）B不是典型表，C是典型表；（Ⅱ）方法1.不可能等于17.以下用反證法進(jìn)行證明.證明：假設(shè)，那么典型表中有19個(gè)0，在六行中至少有一行0的個(gè)數(shù)不少于4，不妨設(shè)此行為第一行，且不妨設(shè).此時(shí)前四列中，每一列的其余位置中都至少有4個(gè)1，所以前四列中至少有16個(gè)1，所以與中至多有一個(gè)1，即與中至少有一個(gè)為0，不妨設(shè)，則第五列的其余位置中至少又有5個(gè)1，所以前五列中已經(jīng)有不少于21個(gè)1了，與矛盾！所以假設(shè)不成立.所以不可能等于17.（Ⅱ）方法2.不可能等于17，以下證明.證明：因?yàn)楫?dāng)?shù)湫捅碇?的個(gè)數(shù)不超過(guò)18時(shí)，那么1的個(gè)數(shù)不少于18，所以；以下只需證明當(dāng)?shù)湫捅碇?的個(gè)數(shù)大于18時(shí)，也有成立.當(dāng)?shù)湫捅碇?的個(gè)數(shù)大于18時(shí)，在六行中至少有一行0的個(gè)數(shù)不少于4，不妨設(shè)此行為第一行.（1）若第一行0的個(gè)數(shù)為6，則，不合題意；（2）若第一行0的個(gè)數(shù)為5，不妨設(shè)，，此時(shí)前5列中，每一列的其余位置都只能是1，所以.（3）若第一行0的個(gè)數(shù)為4，不妨設(shè)，，此時(shí)前4列中，每一列的其余位置中都至少有4個(gè)是1，所以.綜上，.所以不可能等于17.（Ⅲ）方法1在水平方向的n行和豎直方向的n列中，一定存在某一行或某一列中含有的1的個(gè)數(shù)最少，不妨設(shè)第一行中的1最少，并設(shè)其個(gè)數(shù)為，其中.且不妨設(shè)第一行中前k個(gè)為1，后個(gè)為0.對(duì)于第一行中為1的這k列中，因?yàn)槊恳涣卸贾辽儆衚個(gè)1，所以共有個(gè)1；對(duì)于第一行中為0的列中，每一列中都至少有個(gè)1，所以.以下記，（1）當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，則對(duì)任意的恒成立.而且可以取到.例如：當(dāng)“且”和“且”時(shí)，，其它位置為0，此時(shí).（2）當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，則對(duì)任意的恒成立.而且可以取到.例如：當(dāng)“且”和“且”時(shí)，，其它位置為0，此時(shí).綜上，當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，的最小值為；當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，的最小值為.（Ⅲ）方法2（整體分析，算兩次）設(shè)典型表A的第i列有個(gè)0，（），A的第j列有個(gè)0，（），則典型表A中0的總個(gè)數(shù)為.由定義可得，所以，所以.又因?yàn)?，，所以，所以，所?（1）當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，可以取到.例如：當(dāng)“且”和“且”時(shí)，，其它位置為0，此時(shí).（2）當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，，而且可以取到.例如：當(dāng)“且”和“且”時(shí)，，其它位置為0，此時(shí).綜上，當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，的最小值為；當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，的最小值為.（Ⅲ）方法3在水平方向的n行和豎直方向的n列中，一定存在某一行或某一列中含有的的個(gè)數(shù)最少，不妨設(shè)第一行中的1最少，并設(shè)其個(gè)數(shù)為，其中.且不妨設(shè)第一行中前k個(gè)為1，后個(gè)為0.（1）當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，若，則；若，對(duì)于第一行中為1的這k列中，因?yàn)槊恳涣卸贾辽儆衚個(gè)1，所以共有個(gè)1；對(duì)于第一行中為0的列中，每一列中都至少有個(gè)1，所以.而且可以取到.例如：當(dāng)“且”和“且”時(shí)，，其它位置為0，此時(shí).（2）當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，若，則；