浙江省舟山市市定海區(qū)第五中學(xué)2021-2022學(xué)年高三數(shù)學(xué)理測試題含解析

浙江省舟山市市定海區(qū)第五中學(xué)2021-2022學(xué)年高三數(shù)學(xué)理測試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.有關(guān)命題的說法錯(cuò)誤的是A.命題“若

,則”的逆否命題為：“若,則”B.“”是“”的充分不必要條件.C.若為假命題，則、均為假命題.D.對于命題：使得.則：

均有.參考答案：C略2.若a0+a1（2x﹣1）+a2（2x﹣1）2+a3（2x﹣1）3+a4（2x﹣1）4=x4，則a2=（）A． B． C． D．參考答案：C【考點(diǎn)】二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)．【分析】由題意求出a4的值，通過x=，求出a0的值，轉(zhuǎn)化x4的表達(dá)式為二項(xiàng)式定理的形式，通過二項(xiàng)式定理系數(shù)的性質(zhì)求出a2．【解答】解：因?yàn)閍0+a1（2x﹣1）+a2（2x﹣1）2+a3（2x﹣1）3+a4（2x﹣1）4=x4，所以a4?24=1，a4=，當(dāng)x=時(shí)，a0=，所以x4===a0+a1（2x﹣1）+a2（2x﹣1）2+a3（2x﹣1）3+a4（2x﹣1）4所以a2===．故選C．3.拋物線y2=2px（p＞0）的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l，A，B是拋物線上的兩個(gè)動點(diǎn)，且滿足∠AFB=．設(shè)線段AB的中點(diǎn)M在l上的投影為N，則的最小值是（）A． B． C． D．2參考答案：C【考點(diǎn)】拋物線的簡單性質(zhì)．【分析】設(shè)|AF|=a、|BF|=b，由拋物線定義結(jié)合梯形的中位線定理，得2|MN|=a+b．再由勾股定理得|AB|2=a2+b2，結(jié)合基本不等式求得|AB|的范圍，從而可得的最小值．【解答】解：設(shè)|AF|=a，|BF|=b，A、B在準(zhǔn)線上的射影點(diǎn)分別為Q、P，連接AQ、BQ由拋物線定義，得AF|=|AQ|且|BF|=|BP|，在梯形ABPQ中根據(jù)中位線定理，得2|MN|=|AQ|+|BP|=a+b．由勾股定理得|AB|2=a2+b2，整理得：|AB|2=（a+b）2﹣2ab，又∵ab≤（）2，∴（a+b）2﹣2ab≥（a+b）2﹣2×（）2=（a+b）2，則|AB|≥（a+b）．∴≥=，即的最小值為．故選C．4.在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，沿AC將矩形ABCD折疊，連結(jié)頂點(diǎn)B、D形成三棱錐B－ACD，其正視圖和俯視圖如圖所示，則其側(cè)視圖的面積為(

)A. B.C. D.參考答案：C略5.

已知M是內(nèi)一點(diǎn),且若、、的面積分別為、,則的最小值是（

）

A．9

B.16

C.18

D.20參考答案：答案：C6.已知函數(shù)，則下列說法中正確的是(

)A.為奇函數(shù)，且在上是增函數(shù)B.為奇函數(shù)，且在上是減函數(shù)C.為偶函數(shù)，且在上是增函數(shù)D.為偶函數(shù)，且在上是減函數(shù)參考答案：B7.計(jì)算機(jī)是將信息轉(zhuǎn)化為二進(jìn)制數(shù)進(jìn)行處理的，二進(jìn)制即“逢二進(jìn)一”，若1011（2）表示二進(jìn)制數(shù)，將它轉(zhuǎn)換成十進(jìn)制數(shù)式是了么二進(jìn)制數(shù)（2）轉(zhuǎn)換成十進(jìn)制數(shù)形式是

（

）

A．22010-1

B．22011-1

C．22012-1

D．22013-1參考答案：B轉(zhuǎn)換成十進(jìn)制數(shù)形式：．8.設(shè)a＝，b＝，c＝，則a，b,c的大小關(guān)系是

A．a(chǎn)＞c＞b

B．c＞a＞b

C．b＞c＞a

D．a(chǎn)＞b＞c參考答案：C略9.已知f（α）=，則f（）=（）A． B． C． D．﹣參考答案：D【考點(diǎn)】三角函數(shù)的化簡求值．【分析】利用誘導(dǎo)公式和化簡，再求f（）的值．【解答】解：f（α）===．則f（）=cos=．故選D．10.設(shè)向量=（2，1），=（0，﹣2）．則與+2垂直的向量可以是（）A．（3，2） B．（3，﹣2） C．（4，6） D．（4，﹣6）參考答案：A【考點(diǎn)】9T：數(shù)量積判斷兩個(gè)平面向量的垂直關(guān)系．【分析】求出+2=（2，﹣3），由此利用向量垂直的性質(zhì)能求出與+2垂直的向量的可能結(jié)果．【解答】解：∵向量=（2，1），=（0，﹣2）．∴+2=（2，﹣3），∵（2，﹣3）?（3，2）=6﹣6=0，∴與+2垂直的向量可以是（3，2）．故選：A．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知函數(shù)f（x）=sin2x+mcos2x的圖象關(guān)于直線對稱，則f（x）的對稱中心坐標(biāo)是

．參考答案：考點(diǎn)：正弦函數(shù)的對稱性；兩角和與差的正弦函數(shù)．專題：計(jì)算題．分析：先將函數(shù)y=sin2x+mcos2x利用輔角公式化簡，然后根據(jù)正弦函數(shù)在對稱軸上取最值可得答案．解答： 解：由題意知y=sin2x+mcos2x=sin（2x+φ），當(dāng)x=時(shí)函數(shù)y=sin2x+mcos2x取到最值±，將x=代入可得：sin（2×）+mcos（2×）==±，解得m=1．故函數(shù)f（x）=sin2x+cos2x=sin（2x+），由2x+=kπ，k∈z，可得x=，k∈z，其對稱中心為，故答案為．點(diǎn)評：本題主要考查三角函數(shù)的輔角公式和正弦函數(shù)的對稱性問題，屬于中檔題．12.如圖，在正方形中，已知，為的中點(diǎn)，若為正方形內(nèi)（含邊界）任意一點(diǎn)，則的取值范圍是

.

參考答案：略13.已知函數(shù)是函數(shù)且）的反函數(shù)，其圖像過點(diǎn)，則

．參考答案：14.曲線在點(diǎn)（－1，－1）處的切線方程為

．

參考答案：Y=2X+1略15.已知下列四個(gè)命題：

①若；

②函數(shù)是奇函數(shù)；

③“”是“”的充分不必要條件；

④在△ABC中，若，則△ABC中是直角三角形。其中所有真命題的序號是

。參考答案：

略16.如圖，已知：|AC|=|BC|=4，∠ACB=90°，M為BC的中點(diǎn)，D為以AC為直徑的圓上一動點(diǎn)，則的最大值是

_．參考答案：17.函數(shù)在[1，2]上最大值為4，則實(shí)數(shù)___________.參考答案：－2略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，以O(shè)為極點(diǎn)，x軸非負(fù)半軸為極軸建立坐標(biāo)系，曲線M的極坐標(biāo)方程為ρ=4cosθ，直線l的參數(shù)方程為（t為參數(shù)，0≤α＜π），射線θ=φ，θ=φ+與曲線M交于A，B，C三點(diǎn)（異于O點(diǎn)）（I）求證：|OB|+|OC|=|OA|；（II）當(dāng)φ=時(shí)，直線l經(jīng)過B，C兩點(diǎn)，求m與α的值．參考答案：【考點(diǎn)】參數(shù)方程化成普通方程；簡單曲線的極坐標(biāo)方程．【分析】（I）利用極坐標(biāo)方程，即可證明：|OB|+|OC|=|OA|；（II）當(dāng)φ=時(shí)，直線l經(jīng)過B，C兩點(diǎn)，求出B，C的坐標(biāo)，即可求m與α的值．【解答】（Ⅰ）證明：由已知：∴…（Ⅱ）解：當(dāng)時(shí)，點(diǎn)B，C的極角分別為，代入曲線M的方程得點(diǎn)B，C的極徑分別為：∴點(diǎn)B，C的直角坐標(biāo)為：，則直線l的斜率為，方程為，與x軸交與點(diǎn)（2，0）；由，知α為其傾斜角，直線過點(diǎn)（m，0），∴…19.某市有A，B，C，D四個(gè)景點(diǎn)，一位游客來該市游覽，已知該游客游覽A的概率為，游覽B、C和D的概率都是，且該游客是否游覽這四個(gè)景點(diǎn)相互獨(dú)立．（1）求該游客至多游覽一個(gè)景點(diǎn)的概率；（2）用隨機(jī)變量X表示該游客游覽的景點(diǎn)的個(gè)數(shù)，求X的概率分布和數(shù)學(xué)期望E(X)．參考答案：（1）；（2）分布列見解析，．（1）記“該游客游覽個(gè)景點(diǎn)”為事件，，1，則，．∴該游客至多游覽一座山的概率為，（2）隨機(jī)變量的可能取值為0，1，2，3，4，，，，，，∴的概率分布為：01234故．20.

已知橢圓過點(diǎn)，離心率，若點(diǎn)在橢圓C上，則點(diǎn)稱為點(diǎn)M的一個(gè)“橢點(diǎn)”，直線l交橢圓C于A、B兩點(diǎn)，若點(diǎn)A、B的“橢點(diǎn)”分別是P、Q，且以PQ為直徑的圓經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)O。（1）求橢圓C的方程；（2）若橢圓C的右頂點(diǎn)為D，上頂點(diǎn)為E，試探究ΔOAB的面積與ΔODE的面積的大小關(guān)系，并證明。參考答案：(Ⅰ)由已知解得，，方程為·······3分(Ⅱ)設(shè)，則（1）當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)方程為

聯(lián)立得：有

①

由以為直徑的圓經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)O可得：·整理得：

②將①式代入②式得：,

···········6分

又點(diǎn)到直線的距離··········8分所以

··········10分(2)

當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，設(shè)方程為（）

聯(lián)立橢圓方程得：代入得到即，綜上：的面積是定值又的面積，所以二者相等.

·······12分

略21.已知函數(shù)．（Ⅰ）求f（x）在點(diǎn)（0，f（0））處的切線方程；（Ⅱ）證明：當(dāng)f（x1）=f（x2）（x1≠x2）時(shí)，x1+x2＜0．參考答案：【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程．【分析】（Ⅰ）利用導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則求出f′（x），求出切線斜率，即可求f（x）在點(diǎn)（0，f（0））處的切線方程；（Ⅱ）當(dāng)f（x1）=f（x2）（x1≠x2）時(shí)，不妨設(shè)x1＜x2．由（I）可知：x1∈（﹣∞，0），x2∈（0，1）．利用導(dǎo)數(shù)先證明：?x∈（0，1），f（x）＜f（﹣x）．而x2∈（0，1），可得f（x2）＜f（﹣x2）．即f（x1）＜f（﹣x2）．由于x1，﹣x2∈（﹣∞，0），f（x）在（﹣∞，0）上單調(diào)遞增，因此得證．【解答】（Ⅰ）解：∵，∴f′（x）=，∴f′（0）=0，f（0）=1∴f（x）在點(diǎn)（0，f（0））處的切線方程為y=1；（Ⅱ）證明：當(dāng)x＜1時(shí)，由于＞0，ex＞0，得到f（x）＞0；同理，當(dāng)x＞1時(shí)，f（x）＜0．當(dāng)f（x1）=f（x2）（x1≠x2）時(shí)，不妨設(shè)x1＜x2．當(dāng)x＜0時(shí)，f′（x）＞0；當(dāng)x＞0時(shí)，f′（x）＜0．∴函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（﹣∞，0），單調(diào)遞減區(qū)間為（0，+∞）．可知：x1∈（﹣∞，0），x2∈（0，1）．下面證明：?x∈（0，1），f（x）＜f（﹣x），即證＜．此不等式等價(jià)于（1﹣x）ex﹣＜0．令g（x）=（1﹣x）ex﹣，則g′（x）=﹣xe﹣x（e2x﹣1）．當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，g′（x）＜0，g（x）單調(diào)遞減，∴g（x）＜g（0）=0．即（1﹣x）ex﹣＜0．∴?x∈（0，1），f（x）＜f（﹣x）．而x2∈（0，1），∴f（x2）＜f（﹣x2）．從而，f（x1）＜f（﹣x2）．由于x1，﹣x2∈（﹣∞，0），f（x）在（﹣∞，0）上單調(diào)遞增，∴x1＜﹣x2，即x1+x2＜0．【點(diǎn)評】本題綜合考查了利用導(dǎo)數(shù)研究切線方程、函數(shù)的單調(diào)性、等價(jià)轉(zhuǎn)化問題等基礎(chǔ)知識與基本技能，需要較強(qiáng)的推理能力和計(jì)算能力．22.在直角坐標(biāo)系xoy中，曲線C1的參數(shù)方程為（β為參數(shù)）．以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C2的極坐標(biāo)方程為ρ=4cosθ．（Ⅰ）將曲線C1的方程化為極坐標(biāo)方程；（Ⅱ）已知直線l的參數(shù)方程為（＜α＜π，t為參數(shù)，t≠0），l與C1交與點(diǎn)A，l與C2交與點(diǎn)B，且|AB|=，求α的值．參考答案：【考點(diǎn)】參數(shù)方程化成普通方程；簡單曲線的極坐標(biāo)方程．【分析】（1）將曲線C1的方程化為普通方程，然后轉(zhuǎn)化求解C1的極坐標(biāo)方程．（2）曲線l的參數(shù)方程為（＜α＜π，t為參數(shù)，t≠0），化為y=xtanα．由題意