高中數(shù)學(xué)函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)課件蘇教版選修

高中數(shù)學(xué)函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)導(dǎo)數(shù)是微積分中的基本概念，它可以幫助我們理解函數(shù)的變化趨勢(shì)。在高中數(shù)學(xué)中，導(dǎo)數(shù)主要用于研究函數(shù)的極值問題，即求函數(shù)的最大值和最小值。函數(shù)概念回顧1定義域自變量取值的范圍，決定了函數(shù)的定義域。2值域函數(shù)輸出值的范圍，即因變量的取值范圍。3對(duì)應(yīng)關(guān)系每個(gè)自變量值對(duì)應(yīng)唯一的因變量值，構(gòu)成函數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系。4圖像函數(shù)的圖形表示，通常使用坐標(biāo)系來展示。函數(shù)的單調(diào)性定義函數(shù)在某個(gè)區(qū)間內(nèi)，自變量的值增大時(shí)，函數(shù)的值也隨之增大，則稱該函數(shù)在這個(gè)區(qū)間內(nèi)是增函數(shù)；反之，函數(shù)值隨自變量增大而減小，則稱該函數(shù)在這個(gè)區(qū)間內(nèi)是減函數(shù)。圖形特征增函數(shù)的圖像從左到右上升，減函數(shù)的圖像從左到右下降。重要性了解函數(shù)的單調(diào)性可以幫助我們預(yù)測(cè)函數(shù)值的變化趨勢(shì)，在求解極值、最值問題時(shí)也起著重要作用。函數(shù)的極值概念最大值函數(shù)在定義域內(nèi)取得的最大值稱為函數(shù)的最大值。最小值函數(shù)在定義域內(nèi)取得的最小值稱為函數(shù)的最小值。極值函數(shù)在定義域內(nèi)取得的最大值或最小值稱為函數(shù)的極值。極值點(diǎn)函數(shù)取得極值的點(diǎn)稱為函數(shù)的極值點(diǎn)。函數(shù)極值性質(zhì)最大值函數(shù)在某點(diǎn)取得最大值，則該點(diǎn)為函數(shù)的極大值點(diǎn)。最小值函數(shù)在某點(diǎn)取得最小值，則該點(diǎn)為函數(shù)的極小值點(diǎn)。斜率函數(shù)在極值點(diǎn)處，導(dǎo)數(shù)為零或不存在。增函數(shù)和減函數(shù)增函數(shù)定義：在定義域內(nèi)，自變量的值增大時(shí)，函數(shù)值也隨之增大。也就是說，當(dāng)x1<x2時(shí)，有f(x1)<f(x2)。減函數(shù)定義：在定義域內(nèi)，自變量的值增大時(shí)，函數(shù)值隨之減小。也就是說，當(dāng)x1<x2時(shí)，有f(x1)>f(x2)。單調(diào)性定理1單調(diào)性定理的定義單調(diào)性定理描述了函數(shù)在某個(gè)區(qū)間內(nèi)單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)符號(hào)的關(guān)系。2增函數(shù)的單調(diào)性定理如果函數(shù)f(x)在區(qū)間I上可導(dǎo)，且f'(x)≥0(或f'(x)>0)，則f(x)在區(qū)間I上單調(diào)遞增。3減函數(shù)的單調(diào)性定理如果函數(shù)f(x)在區(qū)間I上可導(dǎo)，且f'(x)≤0(或f'(x)<0)，則f(x)在區(qū)間I上單調(diào)遞減。找出函數(shù)的極值點(diǎn)確定函數(shù)的定義域首先，要確定函數(shù)的定義域，因?yàn)橹挥性诤瘮?shù)的定義域內(nèi)才能討論極值點(diǎn)。求導(dǎo)數(shù)對(duì)函數(shù)求導(dǎo)數(shù)，并找到導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)或?qū)?shù)不存在的點(diǎn)。判斷極值點(diǎn)對(duì)導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)或?qū)?shù)不存在的點(diǎn)進(jìn)行判斷，看其是否為極值點(diǎn)，可以使用一階導(dǎo)數(shù)判別法或二階導(dǎo)數(shù)判別法。確定極值類型通過一階導(dǎo)數(shù)或二階導(dǎo)數(shù)的符號(hào)變化來確定極值點(diǎn)是極大值點(diǎn)還是極小值點(diǎn)。導(dǎo)數(shù)概念定義導(dǎo)數(shù)定義為函數(shù)變化率，反映函數(shù)在某一點(diǎn)的瞬時(shí)變化趨勢(shì)。幾何意義在函數(shù)圖像上，導(dǎo)數(shù)表示該點(diǎn)切線的斜率，即函數(shù)在該點(diǎn)變化的方向和速率。計(jì)算公式利用極限定義推導(dǎo)出函數(shù)導(dǎo)數(shù)計(jì)算公式，方便求解各種函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性導(dǎo)數(shù)的正負(fù)導(dǎo)數(shù)為正，函數(shù)在該點(diǎn)單調(diào)遞增。導(dǎo)數(shù)為負(fù)，函數(shù)在該點(diǎn)單調(diào)遞減。單調(diào)性判斷通過導(dǎo)數(shù)的符號(hào)可以判斷函數(shù)的單調(diào)性。導(dǎo)數(shù)大于零則遞增，小于零則遞減。導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的極值極值與導(dǎo)數(shù)函數(shù)極值點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)為零或?qū)?shù)不存在，是求極值的必要條件。函數(shù)極值點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)為零，但導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)不一定是極值點(diǎn)。求極值步驟求函數(shù)的極值點(diǎn)，首先求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，再求出導(dǎo)數(shù)為零或不存在的點(diǎn)，即臨界點(diǎn)。然后利用一階導(dǎo)數(shù)和二階導(dǎo)數(shù)判斷臨界點(diǎn)是否是極值點(diǎn)。應(yīng)用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的極值在現(xiàn)實(shí)生活中有著廣泛的應(yīng)用，例如求函數(shù)的最值，求函數(shù)的拐點(diǎn)，求函數(shù)的漸近線等。幾何意義導(dǎo)數(shù)的幾何意義是函數(shù)圖像上某一點(diǎn)切線的斜率。切線是函數(shù)圖像在該點(diǎn)處的最佳線性逼近，導(dǎo)數(shù)代表了函數(shù)變化的瞬時(shí)速率。導(dǎo)數(shù)可以幫助我們理解函數(shù)圖像的形狀，并找到函數(shù)的極值點(diǎn)。導(dǎo)數(shù)的計(jì)算規(guī)則基本函數(shù)的導(dǎo)數(shù)掌握基本函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式，例如，常數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)等。求導(dǎo)法則熟練掌握和運(yùn)用求導(dǎo)法則，例如，和差法則、積法則、商法則、鏈?zhǔn)椒▌t等。復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)需要應(yīng)用鏈?zhǔn)椒▌t，將復(fù)合函數(shù)拆解成多個(gè)基本函數(shù)，再逐個(gè)求導(dǎo)。高階導(dǎo)數(shù)對(duì)函數(shù)進(jìn)行多次求導(dǎo)，得到更高階的導(dǎo)數(shù)。在處理函數(shù)的凹凸性、拐點(diǎn)等方面發(fā)揮重要作用。復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)1鏈?zhǔn)椒▌t復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于外函數(shù)對(duì)內(nèi)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)乘以內(nèi)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。2表達(dá)式設(shè)y=f(u)，u=g(x)，則y=f(g(x))的導(dǎo)數(shù)為dy/dx=dy/du*du/dx。3應(yīng)用求解多個(gè)函數(shù)嵌套在一起的導(dǎo)數(shù)，例如y=sin(x^2)，其中y=sin(u)，u=x^2。反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)可以通過原函數(shù)的導(dǎo)數(shù)求得。對(duì)于可導(dǎo)函數(shù)f(x)及其反函數(shù)f-1(x)，如果f'(x)≠0，則f-1(x)的導(dǎo)數(shù)可以通過以下公式計(jì)算：(f-1(x))'=1/f'(f-1(x))求解步驟找到原函數(shù)f(x)的導(dǎo)數(shù)f'(x)將反函數(shù)f-1(x)代入f'(x)中得到f'(f-1(x))將f'(f-1(x))代入公式(f-1(x))'=1/f'(f-1(x))中求解高階導(dǎo)數(shù)高階導(dǎo)數(shù)的概念函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)再次求導(dǎo)得到二階導(dǎo)數(shù)，以此類推，可得到函數(shù)的更高階導(dǎo)數(shù)。高階導(dǎo)數(shù)的幾何意義二階導(dǎo)數(shù)與函數(shù)曲線的凹凸性、拐點(diǎn)相關(guān)，高階導(dǎo)數(shù)則反映了函數(shù)的更深層變化趨勢(shì)。高階導(dǎo)數(shù)的計(jì)算利用導(dǎo)數(shù)的計(jì)算規(guī)則，可以逐步求解函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)，例如，復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)。高階導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用高階導(dǎo)數(shù)在物理學(xué)、工程學(xué)等領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用，例如，描述運(yùn)動(dòng)物體的加速度、曲率等。對(duì)數(shù)函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)對(duì)數(shù)函數(shù)導(dǎo)數(shù)對(duì)數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與其底數(shù)密切相關(guān)，底數(shù)不同，導(dǎo)數(shù)公式也不同。常見的是以e為底的對(duì)數(shù)函數(shù)ln(x)，其導(dǎo)數(shù)為1/x。指數(shù)函數(shù)導(dǎo)數(shù)指數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與其底數(shù)和指數(shù)有關(guān)，常用的公式是a^x的導(dǎo)數(shù)為a^x*ln(a)。復(fù)合函數(shù)當(dāng)對(duì)數(shù)函數(shù)或指數(shù)函數(shù)作為復(fù)合函數(shù)的一部分時(shí)，需要使用鏈?zhǔn)椒▌t來求導(dǎo)。實(shí)際應(yīng)用對(duì)數(shù)函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)在物理、經(jīng)濟(jì)和工程等領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用。三角函數(shù)的導(dǎo)數(shù)11.正弦函數(shù)的導(dǎo)數(shù)正弦函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是余弦函數(shù)，即sin'x=cosx?？梢岳脤?dǎo)數(shù)的定義和三角函數(shù)的性質(zhì)證明此結(jié)論。22.余弦函數(shù)的導(dǎo)數(shù)余弦函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是負(fù)的正弦函數(shù)，即cos'x=-sinx。類似于正弦函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，可以使用導(dǎo)數(shù)定義和三角函數(shù)性質(zhì)推導(dǎo)出結(jié)論。33.正切函數(shù)的導(dǎo)數(shù)正切函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是sec2x，即tan'x=sec2x。可以利用商法則和三角函數(shù)公式推導(dǎo)出此結(jié)論。44.余切函數(shù)的導(dǎo)數(shù)余切函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是-csc2x，即cot'x=-csc2x。可以利用商法則和三角函數(shù)公式推導(dǎo)出此結(jié)論。參數(shù)方程中的導(dǎo)數(shù)參數(shù)方程表示參數(shù)方程將曲線上的點(diǎn)坐標(biāo)表示為參數(shù)t的函數(shù)。導(dǎo)數(shù)計(jì)算公式參數(shù)方程的導(dǎo)數(shù)可以通過參數(shù)t對(duì)x和y求導(dǎo)，然后利用鏈?zhǔn)椒▌t計(jì)算得到。斜率和切線導(dǎo)數(shù)代表了曲線在某一點(diǎn)的斜率，可以用于求解切線方程。隱函數(shù)中的導(dǎo)數(shù)隱函數(shù)定義隱函數(shù)是指不能用顯式表達(dá)式表示的自變量與因變量之間的關(guān)系，而是通過方程來表示的。例如，方程x^2+y^2=1表示了一個(gè)圓形，其中x和y之間的關(guān)系不能用顯式函數(shù)表示。求導(dǎo)方法求隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，需要將方程兩邊同時(shí)對(duì)自變量求導(dǎo)，并利用鏈?zhǔn)椒▌t對(duì)因變量的導(dǎo)數(shù)進(jìn)行求解。鏈?zhǔn)椒▌t鏈?zhǔn)椒▌t用于求復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，例如，如果y=f(u)，而u=g(x)，則y對(duì)x的導(dǎo)數(shù)為dy/dx=dy/du*du/dx。實(shí)例例如，求方程x^2+y^2=1所表示的圓的導(dǎo)數(shù)，需要將方程兩邊同時(shí)對(duì)x求導(dǎo)，得到2x+2y*dy/dx=0，然后解出dy/dx=-x/y。最值問題與應(yīng)用1函數(shù)極值求解函數(shù)的最值2應(yīng)用場(chǎng)景優(yōu)化生產(chǎn)成本3實(shí)際問題最大化利潤4解題步驟建立數(shù)學(xué)模型最值問題是現(xiàn)實(shí)生活中經(jīng)常遇到的問題。通過函數(shù)的極值可以解決許多實(shí)際問題，例如優(yōu)化生產(chǎn)成本、最大化利潤等。尋找函數(shù)的最值需要建立數(shù)學(xué)模型，利用導(dǎo)數(shù)工具求解函數(shù)的極值。優(yōu)化問題與應(yīng)用1數(shù)學(xué)建模將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型2求解優(yōu)化利用導(dǎo)數(shù)求解最值3應(yīng)用實(shí)踐解決現(xiàn)實(shí)生活中的問題導(dǎo)數(shù)可以幫助我們找出函數(shù)的最大值或最小值，這是解決許多優(yōu)化問題的重要工具。例如，我們可以利用導(dǎo)數(shù)來設(shè)計(jì)最優(yōu)的包裝盒形狀、最優(yōu)的生產(chǎn)計(jì)劃，或者找到最短的路線。微分中值定理拉格朗日中值定理如果函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)，在開區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，則在(a,b)內(nèi)至少存在一點(diǎn)ξ，使得f(b)-f(a)=f'(ξ)(b-a)柯西中值定理如果函數(shù)f(x)和g(x)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)，在開區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，且g'(x)在(a,b)內(nèi)不為零，則在(a,b)內(nèi)至少存在一點(diǎn)ξ，使得[f(b)-f(a)]/[g(b)-g(a)]=f'(ξ)/g'(ξ)函數(shù)的拐點(diǎn)曲線的凹凸性函數(shù)圖像的凹凸性是指曲線在某一點(diǎn)附近向上彎曲或向下彎曲。拐點(diǎn)的定義拐點(diǎn)是指函數(shù)圖像由凹變凸或由凸變凹的點(diǎn)。尋找拐點(diǎn)通過求二階導(dǎo)數(shù)，可以判斷函數(shù)的凹凸性，找到拐點(diǎn)。漸近線水平漸近線水平漸近線指的是當(dāng)自變量趨于正無窮或負(fù)無窮時(shí)，函數(shù)值無限接近于某個(gè)常數(shù)。它是函數(shù)圖像在無限遠(yuǎn)處的一種逼近趨勢(shì)。垂直漸近線垂直漸近線是指當(dāng)自變量趨近于某個(gè)特定值時(shí)，函數(shù)值無限增大或無限減小，即函數(shù)圖像無限靠近該直線。函數(shù)圖像的描繪函數(shù)圖像的描繪是理解函數(shù)性質(zhì)的關(guān)鍵，可以幫助我們直觀地觀察函數(shù)的各種特性，例如單調(diào)性、極值、拐點(diǎn)、漸近線等。通過圖像，我們可以更加清晰地了解函數(shù)在不同區(qū)間內(nèi)的變化趨勢(shì)，并能更好地進(jìn)行函數(shù)的分析和應(yīng)用。函數(shù)圖像的分析函數(shù)圖像的分析是指通過觀察函數(shù)圖像，獲取函數(shù)的性質(zhì)和特征。例如，可以確定函數(shù)的單調(diào)性、極值點(diǎn)、拐點(diǎn)、對(duì)稱性、周期性等信息。函數(shù)圖像的分析有助于我們更直觀地理解函數(shù)，并應(yīng)用于解決實(shí)際問題。此外，還可以通過觀察函數(shù)圖像的形狀，預(yù)測(cè)函數(shù)的變化趨勢(shì)，并進(jìn)行相關(guān)的數(shù)學(xué)推理。例如，可以通過圖像的斜率變化，判斷函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的符號(hào)和大小。應(yīng)用實(shí)例11.最值問題求解函數(shù)的最大值或最小值，在現(xiàn)實(shí)生活中應(yīng)用廣泛，例如優(yōu)化生產(chǎn)成本、最大化利潤等。22.優(yōu)化問題利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的極值，可以幫助我們找到最優(yōu)解，例如尋找最佳生產(chǎn)方案、最短路徑等。33.物理學(xué)應(yīng)用在物理學(xué)中，導(dǎo)數(shù)用于描述速度、加速度等物理量，并用于解決運(yùn)動(dòng)學(xué)問題，例如拋體運(yùn)動(dòng)。44.