【八年級上冊數(shù)學(xué)蘇科版】專題10 勾股定理及其逆定理(解析版)

第第頁專題10勾股定理及其逆定理考點一用勾股定理解三角形考點二以直角三角形三邊為邊的圖形面積考點三勾股定理與網(wǎng)格問題考點四勾股定理與折疊問題考點五利用勾股定理求兩條線段平方和(差)考點六利用勾股定理證明線段平方關(guān)系考點七判斷三邊能否構(gòu)成直角三角形考點八在網(wǎng)格中判斷直角三角形考點九圖形上與已知兩點構(gòu)成直角三角形的點考點十利用勾股定理逆定理求解考點十一勾股定理逆定理解決實際問題考點一用勾股定理解三角形例題：（2022·湖南衡陽·八年級期末）在△ABC中，AB＝3，BC＝4，若△ABC是直角形，則AC的長應(yīng)是（

）A．5 B． C．5或 D．5或【答案】C【解析】【分析】根據(jù)題意分為直角邊和斜邊兩種情況討論，根據(jù)勾股定理即可求解．【詳解】解：，AB＝3，BC＝4，①為直角邊時，，②為斜邊時，，故選C．【點睛】本題考查了勾股定理，分類討論是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2022·福建省福州屏東中學(xué)八年級期中）已知一個直角三角形的兩邊分別為3和4，則第三邊的長可以是__________．（寫出一個即可）【答案】（或5）【解析】【分析】根據(jù)題意分情況討論，進(jìn)而即可求解．【詳解】解：一個直角三角形的兩邊分別為3和4，①當(dāng)4為直角邊長，則第三邊為斜邊，第三邊的長為．②當(dāng)4為斜邊長，則第三邊為直角邊，第三邊的長為．故答案為：（或5）．【點睛】本題考查了勾股定理，分類討論是解題的關(guān)鍵．2．（2022·全國·八年級專題練習(xí)）如圖，已知CD是△ABC中AB邊上的高，AC＝10，CD＝8，BC＝3AD．求BC的長．【答案】18【解析】【分析】根據(jù)題意，在Rt△ACD中，利用勾股定理求出，再結(jié)合BC＝3AD即可得出結(jié)論．【詳解】解：∵CD是△ABC中AB邊上的高，∴CD⊥AB，∴∠ADC＝90°，在Rt△ACD中，∠ADC＝90°，AC＝10，CD＝8，由勾股定理得：AD＝＝6，∴BC＝3AD＝18，∴BC的長為18．【點睛】本題主要考查了勾股定理，利用勾股定理求出AD的長是解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題．考點二以直角三角形三邊為邊的圖形面積例題：（2022·天津二中八年級期中）如圖所示，三個大小不一的正方形拼合在一起，其中兩個正方形的面積為144，225，那么正方形A的面積是（

）A．225 B．144 C．81 D．無法確定【答案】C【解析】【分析】根據(jù)題意得出?EFG為直角三角形，然后利用勾股定理即可得出結(jié)果．【詳解】解：如圖所示，?EFG為直角三角形，∴，∴正方形A的面積為81，故選：C．【點睛】題目主要考查勾股定理的應(yīng)用，理解題意是解題關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2022·廣東陽江·八年級期中）如圖，直角三角形三邊上的半圓面積之間的關(guān)系是________．【答案】【解析】【分析】由勾股定理求出三邊之間的關(guān)系，根據(jù)圓的面積公式求出三個半圓的面積，即可得出答案．【詳解】解：如圖，由勾股定理得：，，，同理，，，故答案為：．【點睛】本題考查的是勾股定理及圓的面積公式，熟知勾股定理是解答此題的關(guān)鍵．2．（2022·全國·八年級）如圖是一株美麗的勾股樹，所有四邊形都是正方形，所有三角形是直角三角形，若正方形A、B、C面積為2、8、5，則正方形D的面積為______．【答案】15【解析】【分析】根據(jù)勾股定理和正方形的性質(zhì)即可得到結(jié)論．【詳解】解：由勾股定理得，正方形D的面積=正方形A的面積+正方形B的面積+正方形C面積=2+8+5=15，故答案為：15．【點睛】本題考查的是勾股定理，熟知在任何一個直角三角形中，兩條直角邊長的平方之和一定等于斜邊長的平方是解答此題的關(guān)鍵．考點三勾股定理與網(wǎng)格問題例題：（2022·福建福州·八年級期末）在邊長為1的小正方形組成的網(wǎng)格中，A、B、C、D、E在格點上，長度是的線段是（

）A．AB B．AC C．AD D．AE【答案】B【解析】【分析】利用勾股定理求得各線段的長，即可求解．【詳解】解：AB=，AC=，AD=，AE=，綜上，只有B選項符合題意，故選：B．【點睛】本題考查了勾股定理，正確計算是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2022·全國·八年級課時練習(xí)）如圖，在網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長均為1．點A、B，C都在格點上，若BD是△ABC的高，則BD的長為__________．【答案】##【解析】【分析】根據(jù)勾股定理計算AC的長，利用面積差可得三角形ABC的面積，由三角形的面積公式即可得到結(jié)論．【詳解】解：由勾股定理得：AC=，∵S△ABC=3×4-×1×2-×3×2-×2×4=4，∴AC?BD=4，∴×2BD=4，∴BD=，故答案為：．【點睛】本題考查了勾股定理，三角形的面積的計算，掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵．2．（2022·遼寧鞍山·八年級期中）如圖，每個小正方形的邊長都為1．求出四邊形ABCD的周長和面積．【答案】周長為；面積為26【解析】【分析】根據(jù)勾股定理分別求出AB，BC，CD，AD的長即可得到四邊形ABCD的周長；根據(jù)四邊形ABCD的面積等于其所在的長方形面積減去周圍四個三角形面積求解即可．【詳解】解：根據(jù)勾股定理得，，，，故四邊形ABCD的周長：；四邊形ABCD的面積：．【點睛】本題主要考查了勾股定理與網(wǎng)格問題，熟知勾股定理是解題的關(guān)鍵．考點四勾股定理與折疊問題例題：（2022·湖北咸寧·八年級期末）如圖是一張直角三角形的紙片，兩直角邊AC＝6cm、BC＝8cm，現(xiàn)將△ABC折疊，使點B與點A重合，折痕為DE，則BE的長為（

）A．4cm B．4.75cm C．6cm D．5cm【答案】D【解析】【分析】根據(jù)勾股定理可求出AB的長，由AB的長度可求出BE的長度．【詳解】解：∵AC＝6cm、BC＝8cm，在△ABC中，由勾股定理可知：=10，∵將△ABC折疊，使點B與點A重合，故E為AB的中點，∴AE=BE=5，故選：D．【點睛】本題考查勾股定理的應(yīng)用，折疊變換，能夠熟練應(yīng)用勾股定理是解決本題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2022·全國·八年級）如圖，在中，．將折疊，使點B恰好落在邊上，與點重合，為折痕，則的周長為__________．【答案】6【解析】【分析】首先利用勾股定理求出AC=5，根據(jù)折疊得到B’C=2，求出三角形的周長．【詳解】解：Rt△ABC中，∠B=90°，∴AC=,由折疊知AB’=AB=3，∴B’C=AC-AB’=5-3=2，∴△B’EC的周長為B’C+EC+B’E=B’C+EC+BE=B’C+CB=2+4=6，故答案為6．【點睛】本題考查折疊的性質(zhì)以及勾股定理，解決問題的關(guān)鍵是分清折疊前后的對應(yīng)的關(guān)系．2．（2022·全國·八年級課時練習(xí)）如圖，在長方形ABCD中，AB＝8，AD＝10，點E為BC上一點，將△ABE沿AE折疊，點B恰好落在線段DE上的點F處，則BE的長為______．【答案】【解析】【分析】設(shè)，則，由折疊的性質(zhì)可知，，在中利用勾股定理表示出，在中，利用勾股定理列方程求解．【詳解】解：設(shè)，則，由折疊的性質(zhì)可知，，，．在中，，．在中，，即，解得．的長為．【點睛】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，折疊的性質(zhì)，熟練掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵．考點五利用勾股定理求兩條線段平方和(差)例題：（2021·貴州六盤水·八年級階段練習(xí)）在△ABC中，∠C＝90°，AB＝3，則AB2+BC2+AC2的值為（

）A．6 B．9 C．12 D．18【答案】D【解析】【分析】根據(jù)，利用勾股定理可得，據(jù)此求解即可．【詳解】解：如圖示，∴在中，∴，故選：D．【點睛】本題主要考查了勾股定理的性質(zhì)，掌握直角三角形中，三角形的三邊長，，滿足是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2022·全國·八年級課時練習(xí)）在中，，，則（

）．A．100 B．200 C．300 D．400【答案】C【解析】【分析】根據(jù)題意，那么AB就為斜邊，則根據(jù)勾股定理可得：，那么原式則為，再將AB的值代入即可求出答案．【詳解】解：∵在中，且，∴AB為的斜邊，∴根據(jù)勾股定理得：，∴，故選：C．【點睛】本題主要考查了勾股定理，正確對應(yīng)斜邊并能靈活運(yùn)用勾股定理是解題的關(guān)鍵．2．（2022·全國·八年級課時練習(xí)）如圖，在△ABC中，AB＝10，AC＝13，AD⊥BC，垂足為D，M為AD上任一點，則MC2﹣MB2等于_____．【答案】69【解析】【分析】在Rt△ABD及Rt△ADC中可分別表示出BD2及CD2，在Rt△BDM及Rt△CDM中分別將BD2及CD2的表示形式代入表示出BM2和MC2，然后作差即可得出結(jié)果．【詳解】解：在Rt△ABD和Rt△ADC中，BD2＝AB2?AD2，CD2＝AC2?AD2，在Rt△BDM和Rt△CDM中，BM2＝BD2＋MD2＝AB2?AD2＋MD2，MC2＝CD2＋MD2＝AC2?AD2＋MD2，∴MC2?MB2＝（AC2?AD2＋MD2）?（AB2?AD2＋MD2），＝132?102，＝69．故答案為：69．【點睛】此題考查了勾股定理的知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握勾股定理，分別兩次運(yùn)用勾股定理求出MC2和MB2．考點六利用勾股定理證明線段平方關(guān)系例題：（2022·全國·八年級課時練習(xí)）如圖，在等腰中，，點D是上一點，作等腰，且，連接．(1)求證：；(2)求證：．【答案】(1)見解析(2)見解析【解析】【分析】（1）根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得，，，根據(jù)角的和差關(guān)系可得，利用SAS即可證明△CEA≌△CDB；（2）根據(jù)△CEA≌△CDB可得∠CAE=∠B=45°，BD=AE，即可得出∠EAD=90°，根據(jù)勾股定理即可得結(jié)論．(1)∵和都是等腰直角三角形，∴，，，∴，∴，在與中，，∴．(2)∵是等腰直角三角形，∴，由（1）得，∴，，∴，∴，∴．【點睛】本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)及勾股定理，熟練掌握相關(guān)性質(zhì)及判定定理是解題關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2022·福建·漳平市教師進(jìn)修學(xué)校八年級階段練習(xí)）如圖，在中，，，在中，，與交于點，且．求證：（1）；（2）．【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析【解析】【分析】（1）根據(jù)三角形內(nèi)角和定理確定，，再根據(jù)等角的余角相等即可證明；（2）延長交延長線于點．先根據(jù)全等三角形的判定定理得到，進(jìn)而得到，再根據(jù)全等三角形的判定定理得到，進(jìn)而得到，最后根據(jù)勾股定理即可證明．【詳解】證明：（1）如下圖所示，標(biāo)出，，．∵，，∴，．∵和是對頂角，∴．∴，即．（2）在（1）中圖延長交延長線于點．由（1）可知，即．∵，∴．∵，∴．∴．在和中，∵∴．∴．∴．∵，即，∴．∴．由（1）可知，即．在和中，，∵∴．∴．∴∵在中，，∴．【點睛】本題考查三角形的內(nèi)角和定理，等角的余角相等，全等三角形的判定定理和性質(zhì)，勾股定理，綜合應(yīng)用以上知識點是解題關(guān)鍵，同時注意等價代換思想的使用．考點七判斷三邊能否構(gòu)成直角三角形例題：（2022·廣西柳州·八年級期中）以下列各組數(shù)為三邊長，其中能構(gòu)成直角三角形的是（

）A．1，2，3 B．3，4，5 C．4，5，6 D．5，6，7【答案】B【分析】根據(jù)勾股定理的逆定理：如果三角形有兩邊的平方和等于第三邊的平方，那這個三角形就是直角三角形，逐一判斷即可．【詳解】解：A、，不能構(gòu)成直角三角形，故選項不符合題意；B、，能構(gòu)成直角三角形，故選項符合題意；C、，不能構(gòu)成直角三角形，故選項不符合題意；D、，不能構(gòu)成直角三角形，故選項不符合題意．故選：B．【點睛】此題主要考查了勾股定理逆定理的應(yīng)用，已知三邊的長，只需要利用逆定理判斷即可．【變式訓(xùn)練】1．（2022·江西萍鄉(xiāng)·八年級開學(xué)考試）若的三邊長a，b，c滿足，則是____________．【答案】等腰直角三角形【分析】根據(jù)平方的結(jié)果是非負(fù)數(shù)、絕對值的結(jié)果為非負(fù)數(shù)，再根據(jù)勾股定理的逆定理、等腰三角形的判定進(jìn)行判定即可．【詳解】解：∵又∵、∴、∴、∴是等腰直角三角形故答案為：等腰直角三角形．【點睛】本題考查了非負(fù)數(shù)的性質(zhì)、勾股定理的逆定理、等腰三角形的判定等知識點，解答此題的關(guān)鍵是得出、．2．（2022·廣東·東莞市松山湖莞美學(xué)校八年級期中）已知△ABC的三邊a，b，c滿足（a﹣5）2+（b﹣12）2+|c﹣13|＝0，則△ABC是_____三角形．【答案】直角【分析】先根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)求出a、b、c的值，然后根據(jù)勾股定理的逆定理判斷即可．【詳解】∵(a-5)2+(b-12)2+|c-13|=0，∴a-5=0，b-12=0，c-13=0，∴a=5，b=12，c=13，∵52+122=132，∴a2+b2=c2，∴△ABC是直角三角形．故答案為：直角．【點睛】本題考查了非負(fù)數(shù)的性質(zhì)及勾股定理逆定理，如果三角形兩邊的平方和等于第三邊的平方，那么這個三角形是直角三角形，在一個三角形中，即如果用a，b，c表示三角形的三條邊，如果a2+b2=c2，那么這個三角形是直角三角形．考點八在網(wǎng)格中判斷直角三角形例題：（2022·湖北·谷城縣教學(xué)研究室八年級期末）如圖，每個小正方形的邊長都為1，點A、B、C均在格點上（即小正方形的項點上），則圖中的度數(shù)為___________．【答案】90°##90度【分析】先利用勾股定理求出AB2，BC2，AC2，再利用勾股定理的逆定理證明△ABC是直角三角形，即可解答．【詳解】解：由題意得：AB2=22+42=20，CB2=22+12=5，AC2=32+42=25，∴AB2+BC2=AC2，∴△ABC是直角三角形，∴∠ABC=90°，故答案為：90°．【點睛】本題考查了勾股定理的逆定理，勾股定理，熟練掌握勾股定理的逆定理，以及勾股定理是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2022·吉林松原·八年級期末）如圖，每個小正方形的邊長都相等，A，B，C是小正方形的頂點，則∠ABC的度數(shù)為___．【答案】45°【分析】根據(jù)勾股定理得到AB，BC，AC的長度，再判斷△ABC是等腰直角三角形，進(jìn)而得出結(jié)論．【詳解】解：如圖，連接AC．由題意，AC＝，BC＝，AB＝，∴AC＝BC，AB2＝AC2+BC2，∴△ABC是等腰直角三角形，且∠ACB＝90°，∴∠ABC＝∠CAB＝45°．故答案為：45°．【點睛】本題考查了勾股定理及其逆定理，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，判斷出△ABC是等腰直角三角形是解決本題的關(guān)鍵．2．（2022·青海西寧·八年級期末）如圖，正方形網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長都為1，△的頂點都在格點上，．(1)__________；(2)判斷△的形狀，并說明理由．【答案】(1)(2)直角三角形，理由見解析【分析】(1)根據(jù)勾股定理，已知直角三角形的兩條直角邊可以求出斜邊長．(2)根據(jù)勾股定理的逆定理可判定△是直角三角形．（1）由圖知∴故答案為（2）△是直角三角形，

理由如下：

，，∴，又∵∴∴△是直角三角形（如果三角形的兩邊平方和等于第三邊的平方，那么這個三角形是直角三角形）【點睛】本題主要考查了勾股定理和它的逆定理.根據(jù)勾股定理，已知直角三角形的兩邊長可以求出第三條邊長．而勾股定理的逆定理的作用是：已知一個三角形的三邊長，判定這個三角形是否為直角三角形，注意運(yùn)用時不要弄混淆．考點九圖形上與已知兩點構(gòu)成直角三角形的點例題：（2022·全國·八年級專題練習(xí)）同一平面內(nèi)有，，三點，，兩點之間的距離為，點到直線的距離為，且為直角三角形，則滿足上述條件的點有______個．【答案】8【分析】該題存在兩種情況；（1）AB為斜邊，則；（2）AB為直角邊，或；【詳解】（1）當(dāng)AB為斜邊時，點到直線的距離為，即AB邊上的高為，符合要求的C點有4個，如圖：（2）當(dāng)AB為直角邊時，或，符合條件的點有4個，如圖；符合要求的C點有8個；故答案是8．【點睛】本題主要考查了勾股定理的應(yīng)用，準(zhǔn)確分析判斷是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2022·全國·八年級課時練習(xí)）如圖，，點A是延長線上的一點，，動點P從點A出發(fā)沿以的速度移動，動點Q從點O出發(fā)沿以的速度移動，如果點同時出發(fā)，用表示移動的時間，當(dāng)_________s時，是等腰三角形；當(dāng)_________s時，是直角三角形．【答案】

或5

4或10【分析】根據(jù)是等腰三角形，分兩種情況進(jìn)行討論：點在上，或點在上；根據(jù)是直角三角形，分兩種情況進(jìn)行討論：，或，據(jù)此進(jìn)行計算即可．【詳解】解：如圖，當(dāng)時，是等腰三角形，，，當(dāng)時，，解得；如圖，當(dāng)時，是等腰三角形，，，當(dāng)時，，解得；如圖，當(dāng)時，是直角三角形，且，，，當(dāng)時，，解得；如圖，當(dāng)時，是直角三角形，且，，，當(dāng)時，，解得：t=10．故答案為：或5；4或10．【點睛】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)以及直角三角形的性質(zhì)，解決問題的關(guān)鍵是進(jìn)行分類討論，分類時注意不能遺漏，也不能重復(fù)．2．（2022·全國·八年級專題練習(xí)）如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5cm，AC=4cm，動點P從點B出發(fā)沿射線BC以3cm/s的速度移動，設(shè)運(yùn)動的時間為t秒．(1)求BC邊的長；(2)當(dāng)△ABP為直角三角形時，求t的值；(3)當(dāng)△ABP為等腰三角形時，請直接寫出此時t的值．【答案】(1)3cm(2)t=1或(3)t=或2或【分析】（1）根據(jù)題意，在△ABC中，利用勾股定理求解即可；（2）由題意可知，分兩種情況：①；②，代值求解即可；（3）由題意可知，分三種情況：①；②；③，分別結(jié)算求解即可．(1)解：∵在△ABC中，，，，∴BC=；(2)解：由題意可知，分兩種情況：①；②，設(shè)BP=3tcm，∠B≠90°：①當(dāng)∠APB=90°時，易知點P與點C重合，∴BP=BC，即3t=3，∴；②當(dāng)∠PAB=90°時，如下圖所示：∴CP=BP－BC=（3t－3）cm，∵AC2＋CP2=AP2=BP2－AB2，即42＋（3t－3）2=（3t）2－52，解得：t=，綜上所述：當(dāng)為直角三角形時，t=1或；(3)解：由題意可知，分三種情況：①；②；③，①當(dāng)時，如圖所示：；②當(dāng)時，如圖所示：根據(jù)等腰三角形“三線合一”可知，是邊上的中線，，；③當(dāng)時，如圖所示：設(shè)，則，在中，，，，，則由勾股定理可得，即，解得，，，綜上所述：t=或2或．【點睛】本題考查三角形中的動點問題，涉及到勾股定理求線段長、三角形為直角三角形的討論和三角形為等腰三角形的討論等知識，熟練掌握相關(guān)知識點及分類情況是解決問題的關(guān)鍵．考點十利用勾股定理逆定理求解例題：（2022·河北衡水·八年級期中）如圖，已知在中，，．（1）的度數(shù)為_____；（2）若是的中點，則的度數(shù)為_____．【答案】

##90度

##60度【分析】（1）根據(jù)勾股定理的逆定理可得結(jié)論；（2）根據(jù)直角三角形斜邊中線的性質(zhì)可證得為等邊三角形，從而得到的度數(shù)．【詳解】（1）∵在中，，，∴，，∴，∴為直角三角形，且．故答案為：．（2）∵在中，是的中點，∴，又∵，∴，∴為等邊三角形，∴．故答案為：．【點睛】本題考查了勾股定理的逆定理、直角三角形斜邊中線的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)與判定等知識，能夠根據(jù)勾股定理的逆定理判定出直角三角形是解題關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2022·福建福州·八年級期中）如圖，在四邊形ABCD中，AB=3，BC=4，CD=8，AD=，∠ACD=90°，求∠B的度數(shù)．【答案】∠B=90°【分析】先根據(jù)勾股定理求出AC的長度，再根據(jù)勾股定理的逆定理判斷出△ABC的形狀，進(jìn)而得到∠B的度數(shù)．【詳解】解：∵∠ACD=90°，CD=8，AD=，∴AC==5，在△ABC中，∵AB2+BC2=32+42=25=AC2，∴△ABC是直角三角形，∴∠B=90°．【點睛】本題考查的是勾股定理及其逆定理，能根據(jù)勾股定理的逆定理判斷出△ABC的形狀是解答此題的關(guān)鍵．2．（2022·全國·八年級專題練習(xí)）如圖，在△ABC中，AB＝AC，BC＝15，D是AB上一點，BD＝9，CD＝12(1)求證：CD⊥AB；(2)求AC的長．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）根據(jù)勾股定理的逆定理即可得到結(jié)論．（2）根據(jù)勾股定理列方程即可得到結(jié)論．（1）∵BC＝15，BD＝9，CD＝12，∴，∴，∴CD⊥AB．（2）∵AB＝AC，∴，∵，∴，∴，∴，∴．故答案為：．【點睛】本題考查了勾股定理的逆定理，勾股定理，正確的識別圖形是解題的關(guān)鍵．考點十一勾股定理逆定理解決實際問題例題：（2022·湖南張家界·八年級期中）已知某開發(fā)區(qū)有一塊四邊形空地ABCD，如圖所示，現(xiàn)計劃在空地上種植草皮，經(jīng)測量∠A＝90°，AB＝3m，BC＝12m，CD＝13m，DA＝4m，若每平方米草皮需要300元，求一共需要投入多少元．【答案】10800元【分析】仔細(xì)分析題目，需要求得四邊形的面積才能求得結(jié)果．連接BD，在直角三角形ABD中可求得BD的長，由BD、CD、BC的長度關(guān)系可得△DBC為一直角三角形，DC為斜邊；由此看，四邊形ABCD由Rt△ABD和Rt△DBC構(gòu)成，則容易求解．【詳解】解：連接BD，在Rt△ABD中，，在△CBD中，，而，即，∴∠DBC＝90°，．所以需費用（元）．【點睛】本題考查了勾股定理及其逆定理，如果三角形兩邊的平方和等于第三邊的平方，那么這個三角形是直角三角形，在一個三角形中，即如果用a，b，c表示三角形的三條邊，如果，那么這個三角形是直角三角形．【變式訓(xùn)練】1．（2022·四川廣安·八年級期末）城市綠化是城市重要的基礎(chǔ)設(shè)施，是改善生態(tài)環(huán)境和提高廣大人民群眾生活質(zhì)量的公益事業(yè)．某小區(qū)在社區(qū)管理人員及社區(qū)居民的共同努力之下，在臨街的拐角清理出了一塊可以綠化的空地，如圖為該空地的示意圖，已知，，，，．現(xiàn)計劃在空地上種草，若每平方米草地造價30元，在這塊空地上全部種草的費用是多少元？【答案】1080元【分析】連接AC，根據(jù)勾股定理和勾股定理的逆定理即可得到結(jié)論．【詳解】解：如圖，連接AC．∵∠B=90°，在Rt△ABC中，AC2=AB2+BC2=42+32=52，在△ACD中，CD2=132，AD2=122，∵52+122=132，∴AC2+AD2=CD2，∴∠DAC=90°，∴S四邊形ABCD=S△ABC+S△ACD=×3×4+×5×12=36（平方米），36×30=1080（元），答：這塊地全部種草的費用是1080元．【點睛】此題考查了勾股定理，以及勾股定理的逆定理，熟練掌握定理及逆定理是解本題的關(guān)鍵．2．（2022·四川宜賓·八年級期末）“村村通”公路是我國的一項重要的民生工程，如圖，A，B，C三個村都分別修建了一條互通公路，其中AB=BC，現(xiàn)要在公路BC邊修建一個景點M（B，C，M在同一條直線上），為方便A村村民到達(dá)景點M，又修建了一條公路AM，測得AC=13千米，CM=5千米，AM=12千米.(1)判斷△ACM的形狀，并說明理由；(2)求公路AB的長.【答案】(1)△ACM是直角三角形，見解析(2)原來的路線AB的長為16.9千米．【分析】（1）根據(jù)勾股定理的逆定理進(jìn)行解答即可；（2）根據(jù)勾股定理進(jìn)行解答即可．（1）解：（1）△ACM是直角三角形，

理由是：在△ACM中，∵AM2+CM2=122+52=169，AC2=169，

∴AM2+CM2=AC2，∴△ACM是直角三角形且∠AMC=90°；（2）設(shè)BC=AB=x千米，則BM=BC-CM=（x-5）千米，在Rt△AMB中，由已知得AB=x，BM=x-5，AM=12，由勾股定理得：AB2=BM2+AM2，∴x2=（x-5）2+122，

解這個方程，得x=16.9，答：原來的路線AB的長為16.9千米．【點睛】本題考查勾股定理及它的逆定理，解題關(guān)鍵是掌握相關(guān)定理的內(nèi)容．3．（2022·山東聊城·八年級期末）聊城市在創(chuàng)建“全國文明城市”期間，某小區(qū)在臨街的拐角清理出了一塊可以綠化的空地．如圖，經(jīng)技術(shù)人員的測量，已知AB＝9m，BC＝12m，CD＝17m，AD＝8m，∠ABC＝90°．若平均每平方米空地的綠化費用為150元，試計算綠化這片空地共需花費多少元？【答案】綠化這片空地共需花費17100元【分析】連接AC，直接利用勾股定理得出AC，進(jìn)而利用勾股定理逆定理得出∠DAC＝90°，再利用直角三角形面積求法得出答案．【詳解】解：連接AC，如圖∵∠ABC＝90°，AB＝9m，BC＝12m，∴AC＝＝15（m），∵CD＝17m，AD＝8m，∴AD2＋AC2＝DC2，∴∠DAC＝90°，∴S△DAC＝×AD?AC＝×8×15＝60（m2），S△ACB＝AB?AC＝×9×12＝54（m2），∴S四邊形ABCD＝60＋54＝114（m2），∴150×114＝17100（元），答：綠化這片空地共需花費17100元．【點睛】此題主要考查了勾股定理的應(yīng)用，正確應(yīng)用勾股定理以及勾股定理逆定理是解題關(guān)鍵．一、選擇題1．（2022·江蘇·海安市南莫中學(xué)八年級期中）下列四組數(shù)據(jù)不能作為直角三角形的三邊長的是（）A．3、4、5 B．1、、2 C．13、14、15 D．8、15、17【答案】C【分析】根據(jù)勾股定理的逆定理，只需驗證兩較小邊的平方和是否等于最長邊的平方即可．【詳解】A．+=25=，故能構(gòu)成直角三角形，故本選項不符合題意；B．+()=4=，故能構(gòu)成直角三角形，故本選項不符合題意；C．，故不能構(gòu)成直角三角形，故本選項符合題；D．，故能構(gòu)成直角三角形，故本選項不符合題意．故選C．【點睛】此題考查勾股定理的逆定理，解題關(guān)鍵在于掌握其定義．2．（2022·福建龍巖·八年級期末）一個直角三角形有兩條邊分別是3cm，4cm，則第三條邊的長度是(

)A．5cm B．cm C．5cm或cm D．以上都不對【答案】C【解析】【分析】利用分類討論的思想可知，此題有兩種情況：一是當(dāng)這個直角三角形的兩直角邊分別為3cm，4cm時；二是當(dāng)這個直角三角形的一條直角邊為3cm，斜邊為4cm時．然后利用勾股定理即可求得答案．【詳解】解：當(dāng)這個直角三角形的兩直角邊分別為3cm，4cm時，則該三角形的斜邊的長為：=5（cm）．當(dāng)這個直角三角形的一條直角邊為3cm，斜邊為4cm時，則該三角形的另一條直角邊的長為：=（cm）．故選：C．【點睛】此題主要考查學(xué)生對勾股定理的理解和掌握，注意分類討論得出是解題關(guān)鍵．3．（2022·遼寧鐵嶺·八年級期末）已知，則以a，b，c為三邊長的三角形是（

）A．銳角三角形 B．直角三角形 C．鈍角三角形 D．不能確定【答案】B【分析】先根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)求出a、b、c的長，再根據(jù)勾股定理的逆定理進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：∵，，∴a＝6，b＝8，c＝10，∵62+82＝102，即a2+b2＝c2，∴以a、b、c為邊長的三角形是直角三角形．故選：B．【點睛】此題重點考查學(xué)生對勾股定理的應(yīng)用，掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵.4．（2022·遼寧撫順·八年級期末）在中，，D為BC邊的中點，則AD的長為（

）．A．4 B．5 C． D．10【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題意畫出示意圖，然后利用勾股定理求出BC的長，再利用直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半得出AD的長即可．【詳解】解：如圖所示，∵在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝6，AC＝8，∴BC＝．∵D為BC邊的中點，∴AD＝．故選：B．【點睛】本題考查了直角三角形的性質(zhì)，掌握勾股定理得出斜邊的長度以及掌握直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半是解題的關(guān)鍵．5．（2022·陜西咸陽·八年級期末）如圖，在長為2的線段AB上，用尺規(guī)作如下操作：過點B作BC⊥AB，使得BC=，連接AC，在AC上截取CE=CB，在AB上截取AD=AE，則BD的長為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】求出BC，利用勾股定理得到AC，再求出AD，可得BD．【詳解】解：∵AB=2，BC=AB，∴BC=1，∴AC=，∵CE=BC=1，∴AD=AE=AC-CE=，∴BD=AB-AD=2-（）=，故選：C．【點睛】本題考查了勾股定理的知識，解題的關(guān)鍵是利用勾股定理求得直角三角形的斜邊的長．二、填空題6．（2021·江蘇鎮(zhèn)江·八年級期中）在如圖所示的直角三角形中，x=____．【答案】13【解析】【分析】直接利用勾股定理求解即可得出結(jié)果．【詳解】解：，故答案為：13．【點睛】本題主要考查利用勾股定理解三角形，熟練掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵．7．（2022·河南許昌·八年級期末）如圖，在△ABC中，∠ABC=90．∠ACB=60°．BD⊥AC，重足為D．若AB=6．則DC的長為__________．【答案】【解析】【分析】在Rt△ABC和Rt△DBC中，由直角三角的兩銳角互余求得∠A=∠DBC=30°，再設(shè)CD=x，得BC=2CD=2x，AC=2BC=2x，進(jìn)而利用勾股定理即可求解．【詳解】∵∠ABC=90．∠ACB=60°．BD⊥AC，∴∠A=90°-∠ACB=30°，∠DBC=90°-∠ACB=30°，∴設(shè)CD=x，則BC=2CD=2x，AC=2BC=2x，∴，∵AB=6，∴，故答案為．【點睛】本題主要考查了直角三角形的兩銳角互余，勾股定理及直角三角形中30°角所對的直角邊等于斜邊的一半，熟練掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵．8．（2022·上海市風(fēng)華初級中學(xué)八年級期末）如圖，在△ABC中，AB=6，BC=10，AC=8，點D是BC的中點，如果將△ACD沿AD翻折后，點C的對應(yīng)點為點E，那么CE的長等于________.【答案】【分析】連接CE，延長AD交CE于點F，根據(jù)勾股定理逆定理可知△ABC為直角三角形，所以可求得△ABC的面積；因點D是BC的中點，所以，，然后可求得AD邊上的高CF；根據(jù)翻折得到的軸對稱圖形的性質(zhì)可知AF垂直平分CE，所以CE=2CF，即得到CE的長．【詳解】將△ACD沿AD翻折后，得到圖形如圖所示，連接CE，延長AD交CE于點F，在△ABC中，AB=6，BC=10，AC=8，∵，即,∴△ABC為直角三角形，∠BAC=90°，∴，∵點D是BC的中點，∴AD=BD=CD=BC=5，∴，∵△ACD沿AD翻折后，點C的對應(yīng)點為點E，∴AF垂直平分CE，即AF⊥EC，CE=2CF，∴CF為△ACD的AD邊上的高，，解得CF=，∴CE=2CF=，故答案為：．【點睛】本題考查了勾股定理的逆定理、直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半、軸對稱的性質(zhì)等知識，能夠根據(jù)勾股定理逆定理判定出直角三角形并根據(jù)軸對稱的性質(zhì)進(jìn)行推導(dǎo)是解題關(guān)鍵．9．（2022·遼寧沈陽·八年級期末）在中，，點D為的中點，點E在邊上，將沿著翻折，使點C落在點F處，當(dāng)時，________．【答案】【解析】【分析】畫圖圖形，分別求出，根據(jù)30°直角三角形的性質(zhì)，即可求得：，即可得出答案．【詳解】解：如圖：∵在中：,∴,∴．∵點D為的中點,∴．∵,∴．∴，∴，∴．由折疊可知：∵在中：,∴∴．∵在中：,∴∴．∴．故答案為：．【點睛】此題考查了勾股定理，30°直角三角形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，實數(shù)的運(yùn)算，掌握以上知識點是解題的關(guān)鍵．10．（2022·青海西寧·八年級期末）如圖，點是射線外一點，連接，cm，點到的距離為3cm．動點從點出發(fā)沿射線以2cm/s的速度運(yùn)動．設(shè)運(yùn)動的時間為秒，當(dāng)為__________秒時，為直角三角形．【答案】2或【解析】【分析】分兩種情況：①如圖1，當(dāng)∠APB＝90°時，②如圖2，當(dāng)∠BAP＝90°時，分別利用勾股定理求解即可．【詳解】解：①如圖1，當(dāng)∠APB＝90°時，由題意得：AP＝3cm，∴（cm），∴t＝（秒）；②如圖2，當(dāng)∠BAP＝90°時，過點A作AD⊥BC于D，由①可知，AD＝3，BD＝4，在Rt△ADP中，AD2＋DP2＝AP2，∴32＋DP2＝AP2，在Rt△BAP中，AB2＋AP2＝BP2，∴，∴，∴BP＝4＋＝，∴秒，綜上，當(dāng)為2秒或秒時，為直角三角形．【點睛】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，正確分類討論是解題的關(guān)鍵．三、解答題11．（2022·吉林白城·八年級期末）如圖，在中，∠ACB＝90°，AB＝20，AC＝12，把沿AD折疊，使AB落在直線AC上．(1)BC＝______；(2)求重疊部分（陰影部分）的面積．【答案】(1)16(2)36【解析】【分析】（1）根據(jù)勾股定理直接求解即可；（2）根據(jù)折疊的性質(zhì)得出，設(shè)CD＝x，則，利用勾股定理得出CD=6，由三角形面積公式求解即可．（1）∵在中，，，，∴，故答案為：16；（2）由折疊可知，∵AC＝12，∴設(shè)CD＝x，則在中，，∴解得x＝6，∴．【點睛】此題主要考查了翻折變換的性質(zhì)以及勾股定理等知識，熟練掌握運(yùn)用勾股定理及折疊的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．12．（2022·廣東清遠(yuǎn)·八年級期中）已知△ABC的三邊分別為a，b，c，且a＋b＝3，ab＝1，．(1)求的值；(2)試判斷△ABC的形狀，并說明理由．【答案】(1)7(2)直角三角形，見解析【分析】（1）根據(jù)完全平方公式，變形得，代入計算即可．（2）根據(jù)=7，，得到，根據(jù)勾股定理的逆定理判定即可．（1）∵a＋b＝3，ab＝1，，∴=．（2）△ABC是直角三角形．理由如下：∵，，∴，∴，∴△ABC是直角三角形．【點睛】本題考查了完全平方公式的變形計算，勾股定理的逆定理，熟練掌握公式，靈活運(yùn)用勾股定理的逆定理是解題的關(guān)鍵．13．（2022·廣東·汕頭市藍(lán)田中學(xué)八年級期中）如圖，四邊形ABCD的四個頂點都在網(wǎng)格上，且每個小正方形的邊長都為1．(1)BC＝，AD＝，連接BD，判斷△ABD的形狀為；(2)求四邊形ABCD的面積．【答案】(1)2；5；等腰直角三角形(2)【分析】（1）連接BD，根據(jù)網(wǎng)格圖，結(jié)合勾股定理，即可求出BC，AD的長，又因為，得到△ABD為直角三角形；又BD=AD，所以△ABD為等腰直角三角形；（2）根據(jù)勾股定理的逆定理，可以證明△ABD為直角三角形；△BCD為直角三角形；所以四邊形ABCD的面積等于△ABD加上△BCD的面積，即可求解；（1）解：連接BD，由網(wǎng)格圖，結(jié)合勾股定理可得：，，∴，，∴BD=，，∴，∴，∴△ABD為直角三角形；又因為：BD=AD=5，∴△ABD為等腰直角三角形，故答案為：2；5；等腰直角三角形．（2）由網(wǎng)格圖，結(jié)合勾股定理可知：，，∴，所以△BCD為直角三角形，∴四邊形ABCD的面積=△ABD的面積+△BCD的面積，=．【點睛】本題考查的是勾股定理，以及勾股定理的逆定理，熟知在任何一個直角三角形中，兩條直角邊長的平方之和等于斜邊長的平方，是解答此題的關(guān)鍵．14．（2022·山東聊城·八年級期中）如圖，在中，D是BC的中點，，垂足為D，交AB于點E，且．(1)判斷的形狀，并證明你的結(jié)論；(2)若，，求AE的長．【答案】(1)是直角三角形．證明見解析(2)【分析】（1）連接CE，先證，然后由可得，然后根據(jù)勾股定理逆定理可得即可證明結(jié)論；（2）先用勾股定理求得，由（1）可得，再由勾股定理可得，最后聯(lián)立求得AE即可．（1）解：是直角三角形，證明如下：證明：連接CE．∵D是BC的中點，，∴∵，∴，∴，∴是直角三角形，，∴是直角三角形．（2）解：∵，∴，在中，，，∴，∴.由（1）可知，∴.∵D是BC的中點，∴.在中，，由勾股定理得，∴，∴．【點睛】本題主要考查了勾股定理、勾股定理逆定理等知識點，正確作出輔助線并靈活運(yùn)用勾股定理成為解答本題的關(guān)鍵．15．（2022·河南洛陽·八年級期末）如圖，△中，，，，若點P從點A出發(fā)，以每秒2cm的速度沿折線運(yùn)動，設(shè)運(yùn)動時間為t秒．(1)若點P在AC上，且滿足時，求出此時t的值；(2)若點P恰好在的角平分線上，求的值；(3)在運(yùn)動過程中，直接寫出當(dāng)為何值時，△為等腰三角形．【答案】(1)(2)(3)當(dāng)t=或5或5.3時△BCP為等腰三角形【解析】【分析】(1)作AB的垂直平分線，交AC于點P，則AP=2t，PC=4-2t．在Rt△PBC中根據(jù)勾股定理列方程求出t的值即可．(2)當(dāng)P點在∠BAC的角平分線上時，作PD丄AB于D，由角平分線性質(zhì)可得