信號與系統(tǒng)（第五版）課件 第1章 信號與系統(tǒng)

第1章

信號與系統(tǒng)1.1信號與系統(tǒng)概述1.2信號及其分類1.3典型信號1.4連續(xù)信號的運算1.5連續(xù)信號的分解1.6系統(tǒng)及其響應1.7系統(tǒng)的分類1.8LTI系統(tǒng)分析方法1.9基于MATLAB的信號描述及其運算

1.1信號與系統(tǒng)概述

本書所研究的是信號通過系統(tǒng)進行傳輸、處理的基本理論和基本分析方法，通?？捎蓤D1.1-1所示的方框圖表示。其中f(·)是系統(tǒng)的輸入(激勵)，y(·)是系統(tǒng)的輸出(響應)，h(·)是系統(tǒng)特性的一種描述?！啊ぁ笔切盘柕淖宰兞?，可以是連續(xù)變量t，也可以是離散變量n。圖1.1-1-信號與系統(tǒng)分析框圖

圖1.1-1所示信號與系統(tǒng)分析框圖中，有激勵、系統(tǒng)特性、響應三個變量。描述它們的有時域、頻域、復頻域三種方法。研究各變量的不同描述方法之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系以及三個變量之間的關(guān)系(已知其中兩個求解出第三個)，是“信號與系統(tǒng)”課程研究的主要問題。

因為存在連續(xù)與離散兩類不同的信號的描述，所以有連續(xù)與離散兩類不同的傳輸、處理系統(tǒng)。本書采用先連續(xù)信號與系統(tǒng)分析，后離散信號與系統(tǒng)分析的順序編排。

1.2信號及其分類

信號隨時間變化的關(guān)系，可以用數(shù)學上的時間函數(shù)來表示，所以有時亦稱信號為函數(shù)f(t)，離散信號為序列x(n)。因此本書中信號與函數(shù)、序列這幾個名詞通用。信號的函數(shù)關(guān)系可以用數(shù)學表達式、波形圖、數(shù)據(jù)表等表示，其中數(shù)學表達式、波形圖是最常用的表示形式。各種信號可以從不同角度進行分類，常用的有以下幾種。

1.確定性信號與隨機信號

信號可以用確定的時間函數(shù)來表示的是確定性信號，也稱規(guī)則信號，如正弦信號、單脈沖信號、直流信號等。

信號不能用確定的時間函數(shù)來表示，只知其統(tǒng)計特性(如在某時刻取某值的概率)的是隨機信號。

從常識上講，確定性信號不包括有用的或新的信息。但確定性信號作為理想化模型，其基本理論與分析方法是研究隨機信號的基礎(chǔ)，在此基礎(chǔ)上根據(jù)統(tǒng)計特性可進一步研究隨

機信號。本書只涉及確定性信號。

2.周期信號與非周期信號

周期信號是依一定的時間間隔周而復始、無始無終的信號，一般表示為

其中，T為最小重復時間間隔，也稱周期。不滿足式(1.2-1)這一關(guān)系的信號為非周期信號。如果若干周期信號的周期具有公倍數(shù)，則它們疊加后仍為周期信號，疊加信號的周期是所有周期的最小公倍數(shù)，其頻率為周期的倒數(shù)。只有兩項疊加時，若T1、T2-與ω1、ω2分別是兩個周期信號的周期與角頻率。

疊加后信號的角頻率、周期的計算為

其中，N1、N2-為不可約的正整數(shù)。若是大于兩項疊加時，信號的角頻率、周期的計算為

其中，N1，N2，…，Nn

為正整數(shù)。若

N1，N2，…，Nn

無公因子，則

若有正整數(shù)公因子N，則

例1.2-1判斷下列信號是否為周期信號。若是，求出其周期。

(1)f1(t)=asin5t+bcos8t；

(2)f2(t)=3sin1.2t-5sin5.6t。

3.連續(xù)時間信號與離散時間信號

按函數(shù)的獨立變量(自變量)取值的連續(xù)與否，可將信號分為連續(xù)信號與離散信號。本書默認獨立變量(自變量)為時間，實際工程應用中可為非時間變量。

連續(xù)時間信號在所討論的時間內(nèi)，對任意時間值(除有限不連續(xù)點外)都可以給出確定的函數(shù)值。連續(xù)時間信號的幅值可以是連續(xù)的(也稱模擬信號)，也可以是離散的(只取某些規(guī)定值)，如圖1.2-1所示。圖

1.2-1連續(xù)時間信號

離散信號亦稱序列，其自變量n

是離散的，通常為整數(shù)。若是時間信號(可為非時間信號)，它只在某些不連續(xù)的、規(guī)定的瞬時給出確定的函數(shù)值，其他時間沒有定義，其幅值可以是連續(xù)的，也可以是離散的，如圖1.2-2所示。

圖

1.2-2離散時間信號

圖1.2-2中，

x1(n)還可簡寫為

其中小箭頭標明n=0的位置。

4.能量信號與功率信號

為了了解信號能量或功率特性，常常研究信號f(t)(電壓或電流)在單位電阻上消耗的能量或功率。

5.因果信號與非因果信號

按信號所存在的時間范圍，可以把信號分為因果信號與非因果信號。當t<0時，連續(xù)信號f(t)=0，信號f(t)是因果信號，反之為非因果信號；當n<0時，離散信號x(n)=0，則信號x(n)是因果信號，反之為非因果信號。

1.3典

型

信

號

1.3.1常用連續(xù)信號

1.實指數(shù)信號實指數(shù)信號如圖1.3-1所示，其函數(shù)表達式為其中，a>0時，f(t)隨時間增長；a<0時，f(t)隨時間衰減；a=0時，f(t)不變，是直流電源的數(shù)學模型。

圖

1.3-1實指數(shù)信號圖1.3-2單邊指數(shù)信號

2.正弦信號

圖

1.3-3正弦信號圖

1.3-4單邊衰減振蕩信號

3.復指數(shù)信號

其中，s=σ+jω

為復數(shù)，σ為實部系數(shù)，ω

為虛部系數(shù)。

借用歐拉公式：

同樣，借用歐拉公式可以將正、余弦信號表示為復指數(shù)形式，即

4.Sa(t)信號(抽樣信號)

Sa(t)信號定義為

不難證明，Sa(t)信號是偶函數(shù)，當t→±∞時，振幅衰減，且f(±nπ)=0，其中n

為整數(shù)。Sa(t)信號還有以下性質(zhì)：

Sa(t)信號如圖1.3-5所示。

實際遇到的多為Sa(at)信號，表達式為

Sa(at)波形如圖1.3-6所示。

圖

1.3-6Sa(at)信號

1.3.2奇異信號

1.單位階躍信號u(t)

定義

單位階躍信號u(t)如圖1.3-7(a)所示。描述幅度為

A、t0

時刻的階躍信號記為Au(t-t0)，表示式為

Au(t-t0)如圖1.3-7(b)所示，這是表示t0

時刻接入幅度為A

直流電源的數(shù)學模型。圖

1.3-7單位階躍信號u(t)和階躍信號Au(t-t0)

利用單位階躍信號u(t)可以很方便地用數(shù)學函數(shù)來描述信號的接入(開關(guān))特性或因果(單邊)特性。

例1.3-1用階躍信號表示如圖1.3-8所示的有限時寬正弦信號。

圖

1.3-8有限時寬正弦信號

2.單位門函數(shù)gτ(t)

單位門函數(shù)gτ(t)是以原點為中心，時寬為τ、幅度為1的矩形單脈沖信號，波形如圖1.3-9(a)所示。

描述幅度為A、時刻t=0時開始的門函數(shù)記為Agτ(t-τ/2)，波形如圖1.3-9(b)所示，表示式為

圖1.3-9單位門函數(shù)及Ag

3.單位沖激函數(shù)δ(t)

可以用理想元件組成的電路為例，引入沖激的概念。

如圖1.3-10所示電路，當t=0時，開關(guān)K由a→b，電容器上的電壓的波形如圖1.3-11所示，即vC(t)=Eu(t)。

由電容器上電壓與電流的關(guān)系，得到電容電流為圖1.3-10理想電路圖

1.3-11vC(t)

圖1.3-12矩形脈沖的極限為沖激函數(shù)圖1.3-13沖激函數(shù)

描述任一時刻t=t0

時的沖激函數(shù)記為δ(t-t0)，表示式為

由于沖激函數(shù)的幅值為無窮，因此沖激函數(shù)能比較的是其強度。定義式(1.3-17)的積分值(面積)為沖激強度，如4δ(t)、Aδ(t)。作圖時強度一般標在箭頭旁，如圖1.3-14-所示Aδ(t-t0)。

圖1.3-14-Aδ(t-t0)

沖激函數(shù)還具有如下運算性質(zhì)。

1)取樣性或“篩選”

若f(t)是在t=0及t=t0處連續(xù)的有界函數(shù)，則

3)與單位階躍函數(shù)u(t)互為積分、微分關(guān)系

由式(1.3-24)知，圖1.3-10電路的電容電流iC(t)可以用δ(t)函數(shù)描述為

4)尺度特性

δ(t)的廣義函數(shù)定義

廣義(分布)函數(shù)理論認為，雖然某些函數(shù)不能確定它在每一時刻的函數(shù)值(不存在自變量與因變量之間的確定映射關(guān)系)，但是可以通過它與其他函數(shù)(又稱測試函數(shù))的相互作用規(guī)律(運算規(guī)則)來確定其函數(shù)關(guān)系，這種新的函數(shù)是廣義(分布)函數(shù)。即按照它“做”什么，而不是它“是”什么而定義的函數(shù)，叫做廣義函數(shù)或分布函數(shù)。

δ(t)就是一個把在t=0處連續(xù)的任意有界函數(shù)f(t)賦予f(0)值的一種(運算規(guī)則)廣義函數(shù)，記為

這種用運算規(guī)則來定義函數(shù)的思路，是建立在測度理論基礎(chǔ)上的，它與建立在映射理論基礎(chǔ)上的普通函數(shù)是相容且不矛盾的。所以，只要一個函數(shù)φ(t)與任意的測試函數(shù)f(t)之間滿足關(guān)系式

則這個函數(shù)φ(t)就是單位沖激函數(shù)，即

其中f(t)是在t=0時刻任意的有界函數(shù)。

4.單位斜坡(變)函數(shù)R(t)

單位斜坡函數(shù)波形如圖1.3-15所示，定義為

任意時刻的斜坡函數(shù)如圖1.3-17所示，表示為

單位斜坡函數(shù)與階躍函數(shù)u(t)互為微分、積分關(guān)系，即圖

1.3-15R(t)圖1.3-16R(t-t0)

例1.3-3f(t)如圖1.3-17所示，由奇異信號描述f(t)。圖

1.3-17例1.3-3圖

5.單位符號函數(shù)sgn(t)

單位符號函數(shù)是t>0時為1，t<0時為-1的函數(shù)，波形如圖1.3-18所示。圖

1.3-18單位符號函數(shù)sgn(t)

6.單位沖激偶函數(shù)δ'(t)

對單位沖激函數(shù)求導得到單位沖激偶函數(shù)。因為單位沖激函數(shù)可表示為

所以

式(1.3-31)取極限后是兩個強度為無限大的沖激函數(shù)，當t從負值趨向零時，是強度為無限的正沖激函數(shù)；當t從正值趨向零時，是強度為負無限的沖激函數(shù)，如圖1.3-19-所示。

圖1.3-19單位沖激偶函數(shù)δ'(t)

單位沖激偶函數(shù)具有如下特性：

(1)對f'(t)在0點連續(xù)的函數(shù)，有

證

(2)由圖1.3-19所示的單位沖激偶函數(shù)可見，δ'(t)的正、負兩個沖激的面積相等，互相抵消，沖激偶函數(shù)所包含的面積為零，即

(3)δ'(t)與δ(t)互為積分、微分關(guān)系，即

1.4連續(xù)信號的運算

1.4.1時移、

折疊、

尺度信號的時移也稱信號的位移、時延。將信號f(t)的自變量t用t-t0

替換，得到的信號f(t-t0)就是f(t)的時移，它是f(t)的波形在時間t軸上整體移位t0，其幅度沒有變化。若t0>0，則f(t)的波形在時間t軸上整體右移t0；若t0<0，則f(t)的波形在時間t軸上整體左移|t0|，如圖1.4-1-所示。

圖

1.4-1信號的時移

將f(t)的自變量t用-t替換，得到信號f(-t)是f(t)的折疊信號。f(-t)的波形是f(t)的波形以t=0為軸反折，其幅度沒有變化，所以也稱時間軸反轉(zhuǎn)，如圖1.4-2所示。圖1.4-2信號的折疊

將f(t)的自變量t用at(a≠0)替換，得到f(at)，這一變換稱為f(t)的尺度變換，其波形是f(t)的波形在時間t軸上的壓縮或擴展。若|a|>1，則波形在時間t軸上壓縮；若|a|<1，則波形在時間t軸上擴展，故信號的尺度變換又稱為信號的壓縮與擴展。例如，假設(shè)f(t)=sinω0t是正常語速的信號，則f(2t)=sin2ω0t=f1-(t)是兩倍語速的信號，而f(t/2)=sin(ω0t/2)=f2(t)是降低一半語速的信號。f1(t)與f2(t)在時間軸上被壓縮或擴展，但幅度均沒有變化，如圖1.4-3-所示。

圖1.4-3信號的尺度變換

例1.4-1已知f(t)的波形如圖1.4-4(a)所示，試畫出f(-2t)、f(-t/2)的波形。

解f(-2t)、f(-t/2)除了尺度變換，還要折疊(反折)。

第一步：尺度變換，如圖1.4-4(b)所示。

第二步：折疊，如圖1.4-4(c)所示。

圖1.4-4例1.4-1中f(-2t)、f(-t/2)的形成

例1.4-2已知f(t)的波形如圖1.4-5(a)所示，試畫出f(2-2t)的波形。

解

f(2-2t)是f(t)的時移、折疊及壓縮信號。

第一步：折疊，如圖1.4-5(b)所示。

第二步：時移變換，如圖1.4-5(c)所示。

第三步：尺度變換，如圖1.4-5(d)所示。

圖

1.4-5例1.4-2中f(2-2t)的形成

以上變換都是函數(shù)自變量的變換，而變換前后端點上的函數(shù)值(沖激函數(shù)除外)不變。所以可以通過少數(shù)特殊點函數(shù)值不變的特性，確定變換前后波形中各端點的相應位置。具

體方法是：設(shè)變換前信號為f(at+b)，用t1表示變換前端點的位置；變換后信號為f(mt'+n)，用t'1表示變換后端點的位置，則變換前后的函數(shù)值為

由式(1.4-1a)，可得

由式(1.4-1b)解出變換后的端點的位置為

1.4.2微分與積分

微分是對f(t)求導數(shù)的運算，表示為

信號經(jīng)過微分后突出了變化部分，如圖1.4-6所示。

圖1.4-6信號的微分運算

積分是在(-∞，t)區(qū)間對f(t)作定積分，表示式為

式中，積分上限t是參變量。信號經(jīng)過積分后平滑了變化部分，如圖1.4-7所示。

圖1.4-7信號的積分運算

1.4.3信號的加(減)、

乘(除)

信號的相加(減)或相乘(除)是信號瞬時值相加(減)或相乘(除)。f1(t)±f2(t)是兩個信號瞬時值相加(減)形成的新信號，f1(t)·f2(t)或f1(t)/f2(t)=f1(t)·[1/f2(t)]是兩個信號瞬時值相乘形成的新信號。

例1.4-3如圖1.4-8(a)所示f1(t)、f2(t)，求f1(t)+f2(t)、f1(t)·f2(t)。

解

f1(t)+f2(t)如圖1.4-8(b)所示，f1(t)·f2(t)如圖1.4-8(c)所示。

實際工作中經(jīng)常遇到幅度衰減的振蕩信號，是信號相乘的典型應用。

圖

1.4-8例1.4-3信號的相加與相乘

例1.4-4

解

f1(t)·f2(t)是幅度按指數(shù)規(guī)律變化的余弦信號，如圖1.4-9所示。

圖

1.4-9f1(t)·f2(t)形成衰減振蕩信號

1.5連續(xù)信號的分解

1.5.1規(guī)則信號的分解一般規(guī)則信號可以分解為若干個簡單信號的組合。下面舉例說明規(guī)則信號的分解。

例1.5-1用簡單信號表示如圖1.5-1(a)所示信號f1(t)。

解

將f1(t)分解為無數(shù)不同時移的鋸齒波的疊加，表示為

或如圖1.5-1(b)所示，將f1(t)分解為一個斜率為A/T的斜坡函數(shù)與無窮多個時移的A倍階躍函數(shù)的疊加(減)，表示為

圖1.5-1

例1.5-2用簡單信號表示如圖1.5-2(a)所示信號f2(t)。

解

f2(t)可以分解為四個不同時刻出現(xiàn)的階躍函數(shù)，表示為

或如圖1.5-2(b)所示，將f2(t)分解為兩個寬度不同的門函數(shù)，表示為

圖1.5-2

1.5.2信號的直流與交流分解

信號可以分解為直流分量fD(t)與交流分量fA(t)，即

信號的直流分量fD(t)是信號的平均值。信號f(t)除去直流分量fD(t)，剩下的即為交流分量fA(t)。

1.5.3信號的奇偶分解

這種分解方法是將實信號分解為偶分量與奇分量之和。其優(yōu)點是可以利用偶函數(shù)與奇函數(shù)的對稱性簡化信號運算。

偶分量定義

奇分量定義

任意信號f(t)可分解為偶分量與奇分量之和，因為

其中

例1.5-3用圖解法分別將圖1.5-3(a)所示信號分解為奇、偶分量。

解

如圖1.5-3(b)所示。圖

1.5-3例1.5-3信號的奇偶分解

1.5.4任意信號的分解．

討論將f(t)分解為沖激信號之和，這種分解思路是先把信號f(t)分解成寬度為Δt的矩形窄脈沖之和，任意時刻kΔt的矩形脈沖幅度為f(kΔt)，如圖1.5-4所示。為使分析簡單，假設(shè)f(t)為因果信號。這樣圖1.5-4將信號分解為窄脈沖之和

信號f(t)可近似表示為

令窄脈沖寬度Δt→0，并對上式取極限，得到

再討論將f(t)分解為階躍信號之和，分解思路是先把信號分解為階躍信號的疊加，如圖1.5-5所示，此時令

任意時刻kΔt的階躍為

將信號f(t)近似表示為

最后，得到任意信號用階躍信號表示的積分形式為圖1.5-5將信號分解為階躍信號之和

1.6系統(tǒng)及其響應

1.6.1系統(tǒng)的定義我們所涉及的連續(xù)系統(tǒng)，其功能是將輸入信號轉(zhuǎn)變?yōu)樗璧妮敵鲂盘?，如圖1.6-1所示。圖1.6-1中，f(t)是系統(tǒng)的輸入(激勵)，y(t)是系統(tǒng)的輸出(響應)。為敘述簡便，激勵與響應的關(guān)系也常表示為f(t)→y(t)，其中“→”表示系統(tǒng)的作用。

圖

1.6-1信號與系統(tǒng)分析框圖

1.6.2系統(tǒng)的初始狀態(tài)

在討論連續(xù)系統(tǒng)響應前，首先討論連續(xù)系統(tǒng)的初始狀態(tài)(條件)，其基本概念也可用于離散系統(tǒng)?！俺跏肌睂嶋H是一個相對時間，通常是一個非零的電源接入電路系統(tǒng)的瞬間，或電路發(fā)生“換路”的瞬間，可將這一時刻記為t=t0。為討論問題方便，本書一般將t0=0記為“初始”時刻，并用0-表示系統(tǒng)“換路”前系統(tǒng)儲能的初始狀態(tài)，用0+表示“換路”后系統(tǒng)響應的初始條件。

例1.6-1如圖1.6-2所示簡單理想電路系統(tǒng)，已知激勵電流i(t)，求響應vC(t)。圖

1.6-2例1.6-1簡單電路

解

由電容的電壓、電流關(guān)系

式(1.6-1)是一階線性微分方程，解此方程可得響應為

1.6.3系統(tǒng)的響應

例1.6-2如圖1.6-2所示電路系統(tǒng)，已知vC(0-)=1/2V，C=2F，電流i(t)的波形如圖1.6-3所示，求t≥0時的響應vC(t)并繪出波形圖。圖

1.6-3例1.6-2電流i(t)波形

解

由已知條件可見，該系統(tǒng)既有初始儲能，也有激勵，所以系統(tǒng)響應既有初始儲能產(chǎn)生的部分，也有激勵產(chǎn)生的部分。從電流i(t)波形可知，i(t)除了在t=0時刻加入，在t=1-及t=2時還有變化，都可以理解為“換路”，因此在t=0-、t=1-及t=2-分別有三個初始狀態(tài)vC(0-)、vC(1-)、vC(2-)，利用該電容電壓無跳變，要解出對應的三個初始條件vC(0+)、vC(1+)、vC(2+)。由此得到響應(如圖1.6-4所示)為

圖

1.6-4例1.6-2中vC(t)波形

由引起響應的不同原因，定義系統(tǒng)響應：當系統(tǒng)的激勵為零，僅由系統(tǒng)初始狀態(tài)(儲能)產(chǎn)生的響應是零輸入響應，記為yzi(t)；當系統(tǒng)的初始狀態(tài)(儲能)為零，僅由系統(tǒng)激勵產(chǎn)生的響應是零狀態(tài)響應，記為yzs(t)。

推論，若系統(tǒng)是由n階微分方程描述的，則求解響應除了激勵外，還必須知道系統(tǒng)的n

個初始條件。n

階線性微分方程的一般形式為

當給定y(0+)，y'(0+)，…，y(n-1)(0+)及f(t)時，可以得到n

階線性微分方程的完全解。

1.7系

統(tǒng)

的

分

類1.7.1動態(tài)系統(tǒng)與靜態(tài)系統(tǒng)

含有動態(tài)元件的系統(tǒng)是動態(tài)系統(tǒng)，如RC、RL電路。沒有動態(tài)元件的系統(tǒng)是靜態(tài)系統(tǒng)，也稱即時系統(tǒng)，如純電阻電路。

動態(tài)系統(tǒng)在任意時刻的響應不僅與該時刻的激勵有關(guān)，還與該時刻以前的激勵有關(guān)；靜態(tài)系統(tǒng)在任意時刻的響應僅與該時刻的激勵有關(guān)。

描述動態(tài)系統(tǒng)的數(shù)學模型為微分方程，描述靜態(tài)系統(tǒng)的數(shù)學模型為代數(shù)方程。

1.7.2因果系統(tǒng)與非因果系統(tǒng)

因果系統(tǒng)滿足在任意時刻的響應y(t)僅與該時刻以及該時刻以前的激勵有關(guān)，而與該時刻以后的激勵無關(guān)。也可以說，因果系統(tǒng)的響應是由激勵引起的，激勵是響應的原因，響應是激勵的結(jié)果；響應不會發(fā)生在激勵加入之前，系統(tǒng)不具有預知未來響應的能力。

(a)因果系統(tǒng)；(b)非因果系統(tǒng)

一般由模擬元器件如電阻、電容、電感等組成的實際物理系統(tǒng)都是因果系統(tǒng)。在數(shù)字信號處理時，利用計算機的存儲功能，可以逼近非因果系統(tǒng)，實現(xiàn)許多模擬系統(tǒng)無法完成的功能，這也是數(shù)字系統(tǒng)優(yōu)于模擬系統(tǒng)的一個重要方面。

對于因果系統(tǒng)，在因果信號激勵下，響應也是因果信號。

1.7.3連續(xù)時間系統(tǒng)與離散時間系統(tǒng)

激勵與響應均為連續(xù)時間信號的系統(tǒng)是連續(xù)時間系統(tǒng)，也稱模擬系統(tǒng)；激勵與響應均為離散時間信號的系統(tǒng)是離散時間系統(tǒng)，也稱數(shù)字系統(tǒng)。黑白電視機是典型的連續(xù)時間系

統(tǒng)，而計算機則是典型的離散時間系統(tǒng)。

隨著大規(guī)模集成電路技術(shù)的發(fā)展與普及，越來越多的系統(tǒng)是既有連續(xù)時間系統(tǒng)又有離散時間系統(tǒng)的混合系統(tǒng)。如圖1.7-2所示為一個混合系統(tǒng)。

圖

1.7-2混合系統(tǒng)

1.7.4線性系統(tǒng)與非線性系統(tǒng)

“線性”系統(tǒng)是滿足疊加性與比例(齊次或均勻)性的系統(tǒng)?？紤]引起系統(tǒng)響應的因素，除了系統(tǒng)的激勵之外，還有系統(tǒng)的儲能，因此線性系統(tǒng)必須滿足以下三個條件。

1.分解性

系統(tǒng)的響應有不同的分解形式，其中線性系統(tǒng)的響應一定可以分解為零輸入響應與零狀態(tài)響應，即系統(tǒng)響應可表示為

式中，yzi(t)是零輸入響應，yzs(t)是零狀態(tài)響應。

2.零輸入線性

輸入為零時，由各初始狀態(tài)x1(0-)，x2(0-)，…，xn(0-)引起的響應滿足疊加性與比例性，若

則

式(1.7-2)可用圖1.7-3的方框圖表示。

圖

1.7-3零輸入線性

3.零狀態(tài)線性

初始狀態(tài)為零時，由各激勵f1(t)，f2(t)，…，fm(t)引起的響應具有疊加性與比例性(均勻性)，若

則

式(1.7-3)可由圖1.7-4的方框圖表示。

圖

1.7-4零狀態(tài)線性

不滿足上述任何一個條件的系統(tǒng)就是非線性系統(tǒng)。如果線性系統(tǒng)還是因果系統(tǒng)，那么由t<t0，f(t)=0可以得到

例1.7-1已知系統(tǒng)輸入f(t)與輸出y(t)的關(guān)系如下，判斷系統(tǒng)是否線性。

解(1)不滿足可分解性，是非線性系統(tǒng)；

(2)不滿足零狀態(tài)線性，是非線性系統(tǒng)；

(3)滿足可分解性、零輸入線性、零狀態(tài)線性，所以是線性系統(tǒng)。

例1.7-2討論具有如下輸入、輸出關(guān)系的系統(tǒng)是否線性。

解

是非線性系統(tǒng)。

式(1.7-4)分明是一個線性方程，卻描述的是一個非線性系統(tǒng)，結(jié)論似乎有些奇怪。這個系統(tǒng)的輸入、輸出關(guān)系如圖1.7-5所示，可以表示為一個線性系統(tǒng)的輸出與該系統(tǒng)的零輸入響應之和。式(1.7-4)表示的線性系統(tǒng)為

零輸入響應為

實際應用中存在可以由圖1.7-5表示的系統(tǒng)，這類系統(tǒng)的總輸出等于一個零狀態(tài)線性系統(tǒng)的響應與一個確定的零輸入響應之和，也有人將其稱為增量線性系統(tǒng)。圖1.7-5一種增量線性系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)

1.7.5時變系統(tǒng)與非時變系統(tǒng)

從系統(tǒng)的參數(shù)來看，系統(tǒng)參數(shù)不隨時間變化的是時不變系統(tǒng)，也稱非時變系統(tǒng)、常參系統(tǒng)、定常系統(tǒng)等；系統(tǒng)參數(shù)隨時間變化的是時變系統(tǒng)，也稱變參系統(tǒng)。

從系統(tǒng)響應來看，時不變系統(tǒng)在初始狀態(tài)相同的情況下，系統(tǒng)響應與激勵加入的時刻無關(guān)。即在x1(0)，x2(0)，…，xn(0)時，

非時變系統(tǒng)的輸入輸出關(guān)系可由圖1.7-6表示。

圖1.7-6時不變系統(tǒng)

1.8LTI系統(tǒng)分析方法

如圖1.8-1所示系統(tǒng)框圖。圖中T[]是將輸入信號轉(zhuǎn)變?yōu)檩敵鲂盘柕倪\算關(guān)系，可表示為

圖

1.8-1系統(tǒng)框圖表示

1.8.1LTI系統(tǒng)模型

1.輸入—輸出描述法

它著眼于系統(tǒng)激勵與響應的外部關(guān)系，不關(guān)心系統(tǒng)內(nèi)部的變量情況。適用于單輸入單輸出系統(tǒng)，如通信系統(tǒng)中大量遇到的就是單輸入單輸出系統(tǒng)。

2.狀態(tài)變量描述法

它除了給出系統(tǒng)的響應外，還可以提供系統(tǒng)內(nèi)部變量的情況，適用于多輸入多輸出的情況。在控制系統(tǒng)理論研究中，廣泛采用狀態(tài)變量描述法。

1.8.2LTI系統(tǒng)分析方法

LTI系統(tǒng)分析方法有時域方法與頻(變)域方法兩類。LTI系統(tǒng)分析的一個基本任務是求解系統(tǒng)對任意激勵信號的響應，基本方法是將信號分解為多個基本信號元。時域分析將脈沖信號作為基本信號元，信號可以用沖激(階躍)函數(shù)表示。(復)頻域(也稱變域)分析將正弦(復指數(shù))函數(shù)作為基本信號元，信號可以用不同頻率的正弦(復指數(shù))函數(shù)表示。它們是同一信號兩類不同的分解方法，對應著兩類分析方法。這兩類分析方法思路相同，都是先求得基本信號元的響應，然后疊加。即這兩類分析方法均以疊加性、均勻性及時不變特性作為分析問題的基點，沒有本質(zhì)區(qū)別，僅是分解的基本信號元不同而已。

1.8.3LTI系統(tǒng)的微、

積分性質(zhì)

對上式兩邊同時取極限

得到

這個性質(zhì)說明，當系統(tǒng)的輸入是原信號的導數(shù)時，LTI系統(tǒng)的輸出亦為原輸出響應的導數(shù)。這一結(jié)論可以推導到高階導數(shù)與積分，即若f(t)→y(t)，則

式(1.8-3)與式(1.8-4)表示當系統(tǒng)的輸入是原信號的n

階導數(shù)時，系統(tǒng)的輸出亦為原輸出響應函數(shù)的n

階導數(shù)；當系統(tǒng)的輸入是原信號的積分時，系統(tǒng)的輸出亦為原輸出響應函數(shù)的積分。LTI系統(tǒng)的微分特性和積分特性如圖1.8-2所示。

圖

1.8-2LTI系統(tǒng)的微分特性和積分特性

1.9基于MATLAB的信號描述及其運算

1.9.1常用信號的MATLAB程序例1.9-1

實指數(shù)信號f(t)=Aeat(A=2，a1=-0.5；a2=0.5；a3=0)的MATLAB程序如下：

實指數(shù)信號波形如圖1.9-1所示。

圖1.9-1例1.9-1中的實指數(shù)信號波形

例1.9-2

單邊指數(shù)信號(A=2，a=-0.5，τ=1/|a|=2)的MATLAB程序如下：

單邊指數(shù)信號波形如圖1.9-2所示。

圖1.9-2例1.9-2中的單邊指數(shù)信號波形

例1.9-3正弦信號y(t)=sin(2πt+π/3)(A=1，ω=2π，θ=π/3)的MATLAB程序如下：

正弦信號波形如圖1.9-3所示。

圖1.9-3例1.9-3中的正弦信號波形

例1.9-4

單邊衰減指數(shù)信號y(t)=2e-0.5tcos(2πt)的MATLAB程序如下：

單邊衰減指數(shù)信號波形如圖1.9-4所示。圖1.9-4例1.9-4中的單邊衰減指數(shù)信號波形

例1.9-5復指數(shù)信號e(-3+j4)t(σ=-3，ω=4)的MATLAB程序如下：

復指數(shù)信號波形如圖1.9-5所示。圖1.9-5例1.9-5中的復指數(shù)信號波形

例1.9-6抽樣信號Sa(at)(a=2π)的MATLAB程序如下：

抽樣信號波形如圖1.9-6所示。

圖1.9-6例1.9-6中的抽樣信號波形

例1.9-7

單位階躍信號u(t)的MATLAB程序如下：

單位階躍信號波形如圖1.9-7所示。

圖1.9-7例1.9-7中的單位階躍信號波形

例1.9-8

單位沖激信號的MAT－LAB程序(幅值取有限值80)如下：

單位沖激信號波形如圖1.9-8所示。圖1.9-8例1.9-8中的單位