2024-2025學(xué)年湖南省長(zhǎng)沙市瀏陽(yáng)市高二上學(xué)期期中質(zhì)量監(jiān)測(cè)數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1湖南省長(zhǎng)沙市瀏陽(yáng)市2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期期中質(zhì)量監(jiān)測(cè)數(shù)學(xué)試題一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題滿分5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求，選對(duì)得5分，選錯(cuò)得0分.1.過(guò)點(diǎn)且傾斜角為的直線方程為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】因?yàn)橹本€的傾斜角為，所以直線的斜率為，所以直線方程為，即，故選：D.2.已知非零向量，，且、、不共面，若，則（）A. B. C.8 D.13【答案】B【解析】因?yàn)?，則存在，使得，即，則，解得，，所以.故選：B.3.已知點(diǎn)A，B，C為橢圓D的三個(gè)頂點(diǎn)，若是正三角形，則D的離心率是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】無(wú)論橢圓焦點(diǎn)位于軸或軸，根據(jù)點(diǎn),,為橢圓的三個(gè)頂點(diǎn),若是正三角形,則，即，即，即有，則，解得.故選：C.4.已知點(diǎn)在圓C：的外部，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由，得，則，解得：①，又∵點(diǎn)在圓的外部，∴，即，解得或②，由①②得，故選：B．5.瑞士數(shù)學(xué)家歐拉在《三角形的幾何學(xué)》一書(shū)中提出：三角形的外心、重心、垂心在同一條直線上.這條直線被稱為“歐拉線”.已知的頂點(diǎn)，，，則的歐拉線方程為（）A B.C. D.【答案】C【解析】因?yàn)榈捻旤c(diǎn)，，，可知的重心為點(diǎn)，即點(diǎn)，由題意，可知，所以的外心為斜邊的中點(diǎn)，即點(diǎn)，所以的歐拉線方程為，即.故選：C.6.已知點(diǎn)，是雙曲線上的兩點(diǎn)，線段的中點(diǎn)是，則直線的斜率為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】設(shè)，，則，兩式相減得，即，∴.故選D.7.如圖，在棱長(zhǎng)為1的正方體中，E為線段的中點(diǎn)，F(xiàn)為線段的中點(diǎn)．直線到平面的距離為（）．A. B. C. D.【答案】D【解析】平面,平面,平面,因此直線到平面的距離等于點(diǎn)到平面的距離，如圖，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在的直線為軸，所在的直線為軸，所在的直線為軸，建立直角坐標(biāo)系.則設(shè)平面的法向量為，則，令，則,設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，則故直線到平面的距離為.故選：D.8.已知為雙曲線：的一個(gè)焦點(diǎn)，過(guò)作的一條漸近線的垂線，垂足為點(diǎn)，與的另一條漸近線交于點(diǎn)，若，則的離心率為（）A.2 B. C. D.【答案】C【解析】如圖所示，可知：，，，，，可得，，即可得，解得：或因?yàn)?，所以，所以舍去，故選：C二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題滿分6分，共18.分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.滿足下列條件的直線與，其中的是（）A.的傾斜角為，的斜率為B.的斜率為，經(jīng)過(guò)點(diǎn)，C.經(jīng)過(guò)點(diǎn)，，經(jīng)過(guò)點(diǎn)，D.的方向向量為，的方向向量為【答案】BCD【解析】對(duì)A，，，，所以A不正確；對(duì)B，，，故B正確；對(duì)C，，，，故C正確；對(duì)D，因?yàn)?，所以兩直線方向向量互相垂直，故，故D正確.故選：BCD10.長(zhǎng)度為的線段的兩個(gè)端點(diǎn)和分別在軸和軸上滑動(dòng)，線段中點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡為曲線，則下列選項(xiàng)正確的是（）A.點(diǎn)在曲線內(nèi)B.直線與曲線沒(méi)有公共點(diǎn)C.曲線上任一點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)仍在曲線上D.曲線上有且僅有兩個(gè)點(diǎn)到直線的距離為【答案】ABC【解析】設(shè)線段中點(diǎn)，則，，故，即，表示以原點(diǎn)為圓心，為半徑的圓，故C選項(xiàng)正確；A選項(xiàng)，點(diǎn)滿足在曲線內(nèi)，A選項(xiàng)正確；B選項(xiàng)，直線，即，圓心到直線的距離，故直線與圓無(wú)公共點(diǎn)，B選項(xiàng)正確；D選項(xiàng)，圓心到直線的距離為，又，所得由三個(gè)點(diǎn)到直線的距離為，D選項(xiàng)錯(cuò)誤；故選：ABC.11.在直三棱柱中，，，D是AC的中點(diǎn)，下列判斷正確的是（）A.∥平面B.面⊥面C.直線到平面的距離是D.點(diǎn)到直線的距離是【答案】ABD【解析】A.如圖所示：連接交于點(diǎn)E，連接DE，所以，又平面，平面，所以平面，故正確；B.因?yàn)?，D是AC的中點(diǎn)，所以，又平面平面ABC，所以平面，又平面，所以面⊥面，故正確；C.∵平面，∴到平面的距離等于點(diǎn)到平面的距離，C.以D點(diǎn)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，所以，，設(shè)平面的一個(gè)法向量，則，即，不妨取，所求距離，故錯(cuò)誤；D.如圖所示：作，連接，因?yàn)槠矫鍭BC，所以，又，所以平面，則，又，所以，故正確；故選：ABD三、填空題（本大題共3小題，每小題5分，共15分，把答案填在題中的橫線上）12.已知雙曲線C的焦點(diǎn)為和，離心率為，則C的方程為_(kāi)___________．【答案】【解析】令雙曲線的實(shí)半軸、虛半軸長(zhǎng)分別為，顯然雙曲線的中心為原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，其半焦距，由雙曲線的離心率為，得，解得，則，所以雙曲線的方程為.故答案為：.13.在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，若，則AB1與C1B所成的角的大小為_(kāi)__________.【答案】900【解析】不妨設(shè)BB1=1，則AB=2，∴直線AB1與C1B所成角為90°.故答案為90°.14.已知圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且與圓：相切于點(diǎn)，則圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為_(kāi)_________________【答案】【解析】圓：的圓心，半徑，由點(diǎn)，點(diǎn)，直線斜率，線段的中垂線過(guò)點(diǎn)，且斜率為，方程為，即，直線的方程為，即，由，得，則所求圓的圓心，半徑為，所以圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.故答案為：四、解答題：本題共5小題，共7分，（15題13分，16-17題15分，18-19題17分）解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.15.如圖，已知平面，為矩形，，分別為的中點(diǎn)，求證：（1）平面；（2）平面平面.解：如圖，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在的直線分別為、、軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系.設(shè)，則有.（1）因?yàn)榉謩e為的中點(diǎn)，所以.所以.所以.又因?yàn)槠矫?，所以平?（2）由（1），知，所以.設(shè)平面的一個(gè)法向量為則，即.解得.令，則.設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，即.得.令，則，因?yàn)?，所?故平面平面16.已知拋物線：的焦點(diǎn)為，點(diǎn)在拋物線上，且.（1）求拋物線的方程，并求的值；（2）過(guò)焦點(diǎn)的直線與拋物線交于，兩點(diǎn)，若點(diǎn)滿足，求直線的方程.解：（1）拋物線：y2=2pxp>0的準(zhǔn)線方程為因?yàn)辄c(diǎn)在拋物線上，且，所以，解得，所以拋物線方程為，又因?yàn)辄c(diǎn)在拋物線上，所以，.（2）由（1）可知拋物線的焦點(diǎn)F1,0顯然直線的斜率不為0，設(shè)直線的方程為，Mx1,y1由，消去整理得，所以，則，，所以，，又，所以，，因?yàn)?，所以，即，即，解得，所以直線的方程為，即.17.設(shè)動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)的距離與它到定直線的距離之比為．（1）求點(diǎn)的軌跡的方程；（2）過(guò)的直線與曲線交右支于兩點(diǎn)（在軸上方），曲線與軸左、右交點(diǎn)分別為，設(shè)直線的斜率為，直線的斜率為，試判斷是否為定值，若是定值，求出此值，若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．解：（1）設(shè)Mx,y，到定直線的距離為則，故，平方后化簡(jiǎn)可得，故點(diǎn)的軌跡的方程為：（2）由題意，,設(shè)直線的方程為，,，,，由，可得，所以，．則，，所以；當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，，此時(shí)，綜上，為定值．18.已知四棱錐中，四邊形為等腰梯形，，，，為等邊三角形，且平面平面，（1）求證：；（2）是否存在一點(diǎn)，滿足，且使平面與平面所成的銳二面角的余弦值為；若存在，指出點(diǎn)的位置，否則，請(qǐng)說(shuō)明理由.解：（1）取的中點(diǎn)，連接,因?yàn)?，所以，又，所以是等邊三角形，所以，所以是直角三角形，所以，因?yàn)槠矫嫫矫?，平面，平面平面，所以平面，又平面，所以；?）為中點(diǎn)即可滿足條件，理由如下：取的中點(diǎn),連接，則，平面平面，平面，平面平面，所以平面，由為等邊三角形，可得，在直角三角形中，，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，以為軸，過(guò)平行于的直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，則，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，令，則，所以平面的一個(gè)法向量為，設(shè)平面的一個(gè)法向量為．則，令，則，所以平面的一個(gè)法向量為，于是，解得或（舍去），所以點(diǎn)為中點(diǎn)時(shí)，使平面與平面所成的銳二面角的余弦值為.19.已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，橢圓：的兩個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)為，，短軸長(zhǎng)為2，直線交橢圓于，兩點(diǎn)，直線與軸不平行，記直線的斜率為，直線的斜率為，已知.（1）求橢圓C的方程（2）求證：直線恒過(guò)定點(diǎn)；（3）斜率為的直線交橢圓于，兩點(diǎn)，記以，為直徑的圓的面積分別為，，的面積為，求的最大值.解：（1）由已知兩個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)為A-2,0，，短軸長(zhǎng)為2，得，，則橢圓方程：.（2）設(shè)直線方程為，Px1,y1由，消去x得，，，則，，，，又點(diǎn)Px1,y則，即，則，即，解得，此時(shí)，即直線的方程為，所以直線恒過(guò)定點(diǎn).（3）設(shè)直線的方程為，，，由，消去得，，即，則，，所以點(diǎn)到直線的距離，所以，又，，所以，所以則當(dāng)即時(shí)，取最大值為.湖南省長(zhǎng)沙市瀏陽(yáng)市2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期期中質(zhì)量監(jiān)測(cè)數(shù)學(xué)試題一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題滿分5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求，選對(duì)得5分，選錯(cuò)得0分.1.過(guò)點(diǎn)且傾斜角為的直線方程為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】因?yàn)橹本€的傾斜角為，所以直線的斜率為，所以直線方程為，即，故選：D.2.已知非零向量，，且、、不共面，若，則（）A. B. C.8 D.13【答案】B【解析】因?yàn)?，則存在，使得，即，則，解得，，所以.故選：B.3.已知點(diǎn)A，B，C為橢圓D的三個(gè)頂點(diǎn)，若是正三角形，則D的離心率是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】無(wú)論橢圓焦點(diǎn)位于軸或軸，根據(jù)點(diǎn),,為橢圓的三個(gè)頂點(diǎn),若是正三角形,則，即，即，即有，則，解得.故選：C.4.已知點(diǎn)在圓C：的外部，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由，得，則，解得：①，又∵點(diǎn)在圓的外部，∴，即，解得或②，由①②得，故選：B．5.瑞士數(shù)學(xué)家歐拉在《三角形的幾何學(xué)》一書(shū)中提出：三角形的外心、重心、垂心在同一條直線上.這條直線被稱為“歐拉線”.已知的頂點(diǎn)，，，則的歐拉線方程為（）A B.C. D.【答案】C【解析】因?yàn)榈捻旤c(diǎn)，，，可知的重心為點(diǎn)，即點(diǎn)，由題意，可知，所以的外心為斜邊的中點(diǎn)，即點(diǎn)，所以的歐拉線方程為，即.故選：C.6.已知點(diǎn)，是雙曲線上的兩點(diǎn)，線段的中點(diǎn)是，則直線的斜率為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】設(shè)，，則，兩式相減得，即，∴.故選D.7.如圖，在棱長(zhǎng)為1的正方體中，E為線段的中點(diǎn)，F(xiàn)為線段的中點(diǎn)．直線到平面的距離為（）．A. B. C. D.【答案】D【解析】平面,平面,平面,因此直線到平面的距離等于點(diǎn)到平面的距離，如圖，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在的直線為軸，所在的直線為軸，所在的直線為軸，建立直角坐標(biāo)系.則設(shè)平面的法向量為，則，令，則,設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，則故直線到平面的距離為.故選：D.8.已知為雙曲線：的一個(gè)焦點(diǎn)，過(guò)作的一條漸近線的垂線，垂足為點(diǎn)，與的另一條漸近線交于點(diǎn)，若，則的離心率為（）A.2 B. C. D.【答案】C【解析】如圖所示，可知：，，，，，可得，，即可得，解得：或因?yàn)?，所以，所以舍去，故選：C二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題滿分6分，共18.分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.滿足下列條件的直線與，其中的是（）A.的傾斜角為，的斜率為B.的斜率為，經(jīng)過(guò)點(diǎn)，C.經(jīng)過(guò)點(diǎn)，，經(jīng)過(guò)點(diǎn)，D.的方向向量為，的方向向量為【答案】BCD【解析】對(duì)A，，，，所以A不正確；對(duì)B，，，故B正確；對(duì)C，，，，故C正確；對(duì)D，因?yàn)椋詢芍本€方向向量互相垂直，故，故D正確.故選：BCD10.長(zhǎng)度為的線段的兩個(gè)端點(diǎn)和分別在軸和軸上滑動(dòng)，線段中點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡為曲線，則下列選項(xiàng)正確的是（）A.點(diǎn)在曲線內(nèi)B.直線與曲線沒(méi)有公共點(diǎn)C.曲線上任一點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)仍在曲線上D.曲線上有且僅有兩個(gè)點(diǎn)到直線的距離為【答案】ABC【解析】設(shè)線段中點(diǎn)，則，，故，即，表示以原點(diǎn)為圓心，為半徑的圓，故C選項(xiàng)正確；A選項(xiàng)，點(diǎn)滿足在曲線內(nèi)，A選項(xiàng)正確；B選項(xiàng)，直線，即，圓心到直線的距離，故直線與圓無(wú)公共點(diǎn)，B選項(xiàng)正確；D選項(xiàng)，圓心到直線的距離為，又，所得由三個(gè)點(diǎn)到直線的距離為，D選項(xiàng)錯(cuò)誤；故選：ABC.11.在直三棱柱中，，，D是AC的中點(diǎn)，下列判斷正確的是（）A.∥平面B.面⊥面C.直線到平面的距離是D.點(diǎn)到直線的距離是【答案】ABD【解析】A.如圖所示：連接交于點(diǎn)E，連接DE，所以，又平面，平面，所以平面，故正確；B.因?yàn)?，D是AC的中點(diǎn)，所以，又平面平面ABC，所以平面，又平面，所以面⊥面，故正確；C.∵平面，∴到平面的距離等于點(diǎn)到平面的距離，C.以D點(diǎn)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，所以，，設(shè)平面的一個(gè)法向量，則，即，不妨取，所求距離，故錯(cuò)誤；D.如圖所示：作，連接，因?yàn)槠矫鍭BC，所以，又，所以平面，則，又，所以，故正確；故選：ABD三、填空題（本大題共3小題，每小題5分，共15分，把答案填在題中的橫線上）12.已知雙曲線C的焦點(diǎn)為和，離心率為，則C的方程為_(kāi)___________．【答案】【解析】令雙曲線的實(shí)半軸、虛半軸長(zhǎng)分別為，顯然雙曲線的中心為原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，其半焦距，由雙曲線的離心率為，得，解得，則，所以雙曲線的方程為.故答案為：.13.在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，若，則AB1與C1B所成的角的大小為_(kāi)__________.【答案】900【解析】不妨設(shè)BB1=1，則AB=2，∴直線AB1與C1B所成角為90°.故答案為90°.14.已知圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且與圓：相切于點(diǎn)，則圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為_(kāi)_________________【答案】【解析】圓：的圓心，半徑，由點(diǎn)，點(diǎn)，直線斜率，線段的中垂線過(guò)點(diǎn)，且斜率為，方程為，即，直線的方程為，即，由，得，則所求圓的圓心，半徑為，所以圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.故答案為：四、解答題：本題共5小題，共7分，（15題13分，16-17題15分，18-19題17分）解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.15.如圖，已知平面，為矩形，，分別為的中點(diǎn)，求證：（1）平面；（2）平面平面.解：如圖，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在的直線分別為、、軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系.設(shè)，則有.（1）因?yàn)榉謩e為的中點(diǎn)，所以.所以.所以.又因?yàn)槠矫妫云矫?（2）由（1），知，所以.設(shè)平面的一個(gè)法向量為則，即.解得.令，則.設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，即.得.令，則，因?yàn)?，所?故平面平面16.已知拋物線：的焦點(diǎn)為，點(diǎn)在拋物線上，且.（1）求拋物線的方程，并求的值；（2）過(guò)焦點(diǎn)的直線與拋物線交于，兩點(diǎn)，若點(diǎn)滿足，求直線的方程.解：（1）拋物線：y2=2pxp>0的準(zhǔn)線方程為因?yàn)辄c(diǎn)在拋物線上，且，所以，解得，所以拋物線方程為，又因?yàn)辄c(diǎn)在拋物線上，所以，.（2）由（1）可知拋物線的焦點(diǎn)F1,0顯然直線的斜率不為0，設(shè)直線的方程為，Mx1,y1由，消去整理得，所以，則，，所以，，又，所以，，因?yàn)?，所以，即，即，解得，所以直線的方程為，即.17.設(shè)動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)的距離與它到定直線的距離之比為．（1）求點(diǎn)的軌跡的方程；（2）過(guò)的直線與曲線交右支于兩點(diǎn)（在軸上方），曲線與軸左、右交點(diǎn)分別為，設(shè)直線的斜率為，直線的斜率為，試判斷是否為定值，若是定值，求出此值，若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．解：（1）設(shè)Mx,y，到定直線的距離為則，故，平方后化簡(jiǎn)可得，故點(diǎn)的軌跡的方程為：（2）由題意，,設(shè)直線的方程