2024-2025學年湖南省長沙市瀏陽市高二上學期期中質量監(jiān)測數學試題（解析版）

高級中學名校試卷PAGEPAGE1湖南省長沙市瀏陽市2024-2025學年高二上學期期中質量監(jiān)測數學試題一、單項選擇題：本題共8小題，每小題滿分5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求，選對得5分，選錯得0分.1.過點且傾斜角為的直線方程為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】因為直線的傾斜角為，所以直線的斜率為，所以直線方程為，即，故選：D.2.已知非零向量，，且、、不共面，若，則（）A. B. C.8 D.13【答案】B【解析】因為，則存在，使得，即，則，解得，，所以.故選：B.3.已知點A，B，C為橢圓D的三個頂點，若是正三角形，則D的離心率是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】無論橢圓焦點位于軸或軸，根據點,,為橢圓的三個頂點,若是正三角形,則，即，即，即有，則，解得.故選：C.4.已知點在圓C：的外部，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由，得，則，解得：①，又∵點在圓的外部，∴，即，解得或②，由①②得，故選：B．5.瑞士數學家歐拉在《三角形的幾何學》一書中提出：三角形的外心、重心、垂心在同一條直線上.這條直線被稱為“歐拉線”.已知的頂點，，，則的歐拉線方程為（）A B.C. D.【答案】C【解析】因為的頂點，，，可知的重心為點，即點，由題意，可知，所以的外心為斜邊的中點，即點，所以的歐拉線方程為，即.故選：C.6.已知點，是雙曲線上的兩點，線段的中點是，則直線的斜率為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】設，，則，兩式相減得，即，∴.故選D.7.如圖，在棱長為1的正方體中，E為線段的中點，F(xiàn)為線段的中點．直線到平面的距離為（）．A. B. C. D.【答案】D【解析】平面,平面,平面,因此直線到平面的距離等于點到平面的距離，如圖，以點為坐標原點，所在的直線為軸，所在的直線為軸，所在的直線為軸，建立直角坐標系.則設平面的法向量為，則，令，則,設點到平面的距離為，則故直線到平面的距離為.故選：D.8.已知為雙曲線：的一個焦點，過作的一條漸近線的垂線，垂足為點，與的另一條漸近線交于點，若，則的離心率為（）A.2 B. C. D.【答案】C【解析】如圖所示，可知：，，，，，可得，，即可得，解得：或因為，所以，所以舍去，故選：C二、多項選擇題：本題共3小題，每小題滿分6分，共18.分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求.全部選對得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.滿足下列條件的直線與，其中的是（）A.的傾斜角為，的斜率為B.的斜率為，經過點，C.經過點，，經過點，D.的方向向量為，的方向向量為【答案】BCD【解析】對A，，，，所以A不正確；對B，，，故B正確；對C，，，，故C正確；對D，因為，所以兩直線方向向量互相垂直，故，故D正確.故選：BCD10.長度為的線段的兩個端點和分別在軸和軸上滑動，線段中點的運動軌跡為曲線，則下列選項正確的是（）A.點在曲線內B.直線與曲線沒有公共點C.曲線上任一點關于原點的對稱點仍在曲線上D.曲線上有且僅有兩個點到直線的距離為【答案】ABC【解析】設線段中點，則，，故，即，表示以原點為圓心，為半徑的圓，故C選項正確；A選項，點滿足在曲線內，A選項正確；B選項，直線，即，圓心到直線的距離，故直線與圓無公共點，B選項正確；D選項，圓心到直線的距離為，又，所得由三個點到直線的距離為，D選項錯誤；故選：ABC.11.在直三棱柱中，，，D是AC的中點，下列判斷正確的是（）A.∥平面B.面⊥面C.直線到平面的距離是D.點到直線的距離是【答案】ABD【解析】A.如圖所示：連接交于點E，連接DE，所以，又平面，平面，所以平面，故正確；B.因為，D是AC的中點，所以，又平面平面ABC，所以平面，又平面，所以面⊥面，故正確；C.∵平面，∴到平面的距離等于點到平面的距離，C.以D點原點，建立空間直角坐標系，則，，，，所以，，設平面的一個法向量，則，即，不妨取，所求距離，故錯誤；D.如圖所示：作，連接，因為平面ABC，所以，又，所以平面，則，又，所以，故正確；故選：ABD三、填空題（本大題共3小題，每小題5分，共15分，把答案填在題中的橫線上）12.已知雙曲線C的焦點為和，離心率為，則C的方程為____________．【答案】【解析】令雙曲線的實半軸、虛半軸長分別為，顯然雙曲線的中心為原點，焦點在x軸上，其半焦距，由雙曲線的離心率為，得，解得，則，所以雙曲線的方程為.故答案為：.13.在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，若，則AB1與C1B所成的角的大小為___________.【答案】900【解析】不妨設BB1=1，則AB=2，∴直線AB1與C1B所成角為90°.故答案為90°.14.已知圓經過點，且與圓：相切于點，則圓的標準方程為__________________【答案】【解析】圓：的圓心，半徑，由點，點，直線斜率，線段的中垂線過點，且斜率為，方程為，即，直線的方程為，即，由，得，則所求圓的圓心，半徑為，所以圓的標準方程為.故答案為：四、解答題：本題共5小題，共7分，（15題13分，16-17題15分，18-19題17分）解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.如圖，已知平面，為矩形，，分別為的中點，求證：（1）平面；（2）平面平面.解：如圖，以為坐標原點，所在的直線分別為、、軸正方向建立空間直角坐標系.設，則有.（1）因為分別為的中點，所以.所以.所以.又因為平面，所以平面.（2）由（1），知，所以.設平面的一個法向量為則，即.解得.令，則.設平面的一個法向量為，則，即.得.令，則，因為，所以.故平面平面16.已知拋物線：的焦點為，點在拋物線上，且.（1）求拋物線的方程，并求的值；（2）過焦點的直線與拋物線交于，兩點，若點滿足，求直線的方程.解：（1）拋物線：y2=2pxp>0的準線方程為因為點在拋物線上，且，所以，解得，所以拋物線方程為，又因為點在拋物線上，所以，.（2）由（1）可知拋物線的焦點F1,0顯然直線的斜率不為0，設直線的方程為，Mx1,y1由，消去整理得，所以，則，，所以，，又，所以，，因為，所以，即，即，解得，所以直線的方程為，即.17.設動點到定點的距離與它到定直線的距離之比為．（1）求點的軌跡的方程；（2）過的直線與曲線交右支于兩點（在軸上方），曲線與軸左、右交點分別為，設直線的斜率為，直線的斜率為，試判斷是否為定值，若是定值，求出此值，若不是，請說明理由．解：（1）設Mx,y，到定直線的距離為則，故，平方后化簡可得，故點的軌跡的方程為：（2）由題意，,設直線的方程為，,，,，由，可得，所以，．則，，所以；當直線的斜率不存在時，，此時，綜上，為定值．18.已知四棱錐中，四邊形為等腰梯形，，，，為等邊三角形，且平面平面，（1）求證：；（2）是否存在一點，滿足，且使平面與平面所成的銳二面角的余弦值為；若存在，指出點的位置，否則，請說明理由.解：（1）取的中點，連接,因為，所以，又，所以是等邊三角形，所以，所以是直角三角形，所以，因為平面平面，平面，平面平面，所以平面，又平面，所以；（2）為中點即可滿足條件，理由如下：取的中點,連接，則，平面平面，平面，平面平面，所以平面，由為等邊三角形，可得，在直角三角形中，，以為坐標原點，以為軸，過平行于的直線為軸建立空間直角坐標系，則，則，，設平面的一個法向量為，則，令，則，所以平面的一個法向量為，設平面的一個法向量為．則，令，則，所以平面的一個法向量為，于是，解得或（舍去），所以點為中點時，使平面與平面所成的銳二面角的余弦值為.19.已知為坐標原點，橢圓：的兩個頂點坐標為，，短軸長為2，直線交橢圓于，兩點，直線與軸不平行，記直線的斜率為，直線的斜率為，已知.（1）求橢圓C的方程（2）求證：直線恒過定點；（3）斜率為的直線交橢圓于，兩點，記以，為直徑的圓的面積分別為，，的面積為，求的最大值.解：（1）由已知兩個頂點坐標為A-2,0，，短軸長為2，得，，則橢圓方程：.（2）設直線方程為，Px1,y1由，消去x得，，，則，，，，又點Px1,y則，即，則，即，解得，此時，即直線的方程為，所以直線恒過定點.（3）設直線的方程為，，，由，消去得，，即，則，，所以點到直線的距離，所以，又，，所以，所以則當即時，取最大值為.湖南省長沙市瀏陽市2024-2025學年高二上學期期中質量監(jiān)測數學試題一、單項選擇題：本題共8小題，每小題滿分5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求，選對得5分，選錯得0分.1.過點且傾斜角為的直線方程為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】因為直線的傾斜角為，所以直線的斜率為，所以直線方程為，即，故選：D.2.已知非零向量，，且、、不共面，若，則（）A. B. C.8 D.13【答案】B【解析】因為，則存在，使得，即，則，解得，，所以.故選：B.3.已知點A，B，C為橢圓D的三個頂點，若是正三角形，則D的離心率是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】無論橢圓焦點位于軸或軸，根據點,,為橢圓的三個頂點,若是正三角形,則，即，即，即有，則，解得.故選：C.4.已知點在圓C：的外部，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由，得，則，解得：①，又∵點在圓的外部，∴，即，解得或②，由①②得，故選：B．5.瑞士數學家歐拉在《三角形的幾何學》一書中提出：三角形的外心、重心、垂心在同一條直線上.這條直線被稱為“歐拉線”.已知的頂點，，，則的歐拉線方程為（）A B.C. D.【答案】C【解析】因為的頂點，，，可知的重心為點，即點，由題意，可知，所以的外心為斜邊的中點，即點，所以的歐拉線方程為，即.故選：C.6.已知點，是雙曲線上的兩點，線段的中點是，則直線的斜率為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】設，，則，兩式相減得，即，∴.故選D.7.如圖，在棱長為1的正方體中，E為線段的中點，F(xiàn)為線段的中點．直線到平面的距離為（）．A. B. C. D.【答案】D【解析】平面,平面,平面,因此直線到平面的距離等于點到平面的距離，如圖，以點為坐標原點，所在的直線為軸，所在的直線為軸，所在的直線為軸，建立直角坐標系.則設平面的法向量為，則，令，則,設點到平面的距離為，則故直線到平面的距離為.故選：D.8.已知為雙曲線：的一個焦點，過作的一條漸近線的垂線，垂足為點，與的另一條漸近線交于點，若，則的離心率為（）A.2 B. C. D.【答案】C【解析】如圖所示，可知：，，，，，可得，，即可得，解得：或因為，所以，所以舍去，故選：C二、多項選擇題：本題共3小題，每小題滿分6分，共18.分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求.全部選對得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.滿足下列條件的直線與，其中的是（）A.的傾斜角為，的斜率為B.的斜率為，經過點，C.經過點，，經過點，D.的方向向量為，的方向向量為【答案】BCD【解析】對A，，，，所以A不正確；對B，，，故B正確；對C，，，，故C正確；對D，因為，所以兩直線方向向量互相垂直，故，故D正確.故選：BCD10.長度為的線段的兩個端點和分別在軸和軸上滑動，線段中點的運動軌跡為曲線，則下列選項正確的是（）A.點在曲線內B.直線與曲線沒有公共點C.曲線上任一點關于原點的對稱點仍在曲線上D.曲線上有且僅有兩個點到直線的距離為【答案】ABC【解析】設線段中點，則，，故，即，表示以原點為圓心，為半徑的圓，故C選項正確；A選項，點滿足在曲線內，A選項正確；B選項，直線，即，圓心到直線的距離，故直線與圓無公共點，B選項正確；D選項，圓心到直線的距離為，又，所得由三個點到直線的距離為，D選項錯誤；故選：ABC.11.在直三棱柱中，，，D是AC的中點，下列判斷正確的是（）A.∥平面B.面⊥面C.直線到平面的距離是D.點到直線的距離是【答案】ABD【解析】A.如圖所示：連接交于點E，連接DE，所以，又平面，平面，所以平面，故正確；B.因為，D是AC的中點，所以，又平面平面ABC，所以平面，又平面，所以面⊥面，故正確；C.∵平面，∴到平面的距離等于點到平面的距離，C.以D點原點，建立空間直角坐標系，則，，，，所以，，設平面的一個法向量，則，即，不妨取，所求距離，故錯誤；D.如圖所示：作，連接，因為平面ABC，所以，又，所以平面，則，又，所以，故正確；故選：ABD三、填空題（本大題共3小題，每小題5分，共15分，把答案填在題中的橫線上）12.已知雙曲線C的焦點為和，離心率為，則C的方程為____________．【答案】【解析】令雙曲線的實半軸、虛半軸長分別為，顯然雙曲線的中心為原點，焦點在x軸上，其半焦距，由雙曲線的離心率為，得，解得，則，所以雙曲線的方程為.故答案為：.13.在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，若，則AB1與C1B所成的角的大小為___________.【答案】900【解析】不妨設BB1=1，則AB=2，∴直線AB1與C1B所成角為90°.故答案為90°.14.已知圓經過點，且與圓：相切于點，則圓的標準方程為__________________【答案】【解析】圓：的圓心，半徑，由點，點，直線斜率，線段的中垂線過點，且斜率為，方程為，即，直線的方程為，即，由，得，則所求圓的圓心，半徑為，所以圓的標準方程為.故答案為：四、解答題：本題共5小題，共7分，（15題13分，16-17題15分，18-19題17分）解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.如圖，已知平面，為矩形，，分別為的中點，求證：（1）平面；（2）平面平面.解：如圖，以為坐標原點，所在的直線分別為、、軸正方向建立空間直角坐標系.設，則有.（1）因為分別為的中點，所以.所以.所以.又因為平面，所以平面.（2）由（1），知，所以.設平面的一個法向量為則，即.解得.令，則.設平面的一個法向量為，則，即.得.令，則，因為，所以.故平面平面16.已知拋物線：的焦點為，點在拋物線上，且.（1）求拋物線的方程，并求的值；（2）過焦點的直線與拋物線交于，兩點，若點滿足，求直線的方程.解：（1）拋物線：y2=2pxp>0的準線方程為因為點在拋物線上，且，所以，解得，所以拋物線方程為，又因為點在拋物線上，所以，.（2）由（1）可知拋物線的焦點F1,0顯然直線的斜率不為0，設直線的方程為，Mx1,y1由，消去整理得，所以，則，，所以，，又，所以，，因為，所以，即，即，解得，所以直線的方程為，即.17.設動點到定點的距離與它到定直線的距離之比為．（1）求點的軌跡的方程；（2）過的直線與曲線交右支于兩點（在軸上方），曲線與軸左、右交點分別為，設直線的斜率為，直線的斜率為，試判斷是否為定值，若是定值，求出此值，若不是，請說明理由．解：（1）設Mx,y，到定直線的距離為則，故，平方后化簡可得，故點的軌跡的方程為：（2）由題意，,設直線的方程