第十一講　一次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用

第十一講一次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用1.(2024·山西)生物學(xué)研究表明,某種蛇在一定生長階段,其體長y(cm)是尾長x(cm)的一次函數(shù),部分?jǐn)?shù)據(jù)如表所示,則y與x之間的關(guān)系式為(A)尾長x(cm)6810體長y(cm)45.560.575.5A.y=7.5x+0.5 B.y=7.5x-0.5C.y=15x D.y=15x+45.52.(2024·上海)某種商品的銷售額y(萬元)與廣告投入x(萬元)成一次函數(shù)關(guān)系,當(dāng)投入10萬元時銷售額1000萬元,當(dāng)投入90萬元時銷售額5000萬元.則投入80萬元時,銷售額為4500萬元.

3.小明觀察到一個水龍頭因損壞而不斷地向外滴水,為探究其漏水造成的浪費(fèi)情況,小明用一個帶有刻度的量筒放在水龍頭下面裝水,每隔一分鐘記錄量筒中的總水量,但由于操作延誤,開始計(jì)時的時候量筒中已經(jīng)有少量水,因而得到如表的一組數(shù)據(jù):時間t(單位:分鐘)12345…總水量y(單位:毫升)712172227…(1)探究:根據(jù)上表中的數(shù)據(jù),請判斷y=kt和y=kt+b(k,b為常數(shù))哪一個能正確反映總水量y與時間t的函數(shù)關(guān)系,并求出y關(guān)于t的表達(dá)式(2)應(yīng)用:①請你估算小明在第20分鐘測量時量筒的總水量是多少毫升;②一個人一天大約飲用1500毫升水,請你估算這個水龍頭一個月(按30天計(jì))的漏水量可供一人飲用多少天.【解析】(1)根據(jù)題表中的數(shù)據(jù),y=kt+b(k,b為常數(shù))能正確反映總水量y與時間t的函數(shù)關(guān)系,∵當(dāng)t=1時,y=7,當(dāng)t=2時,y=12,∴k+b=72∴y=5t+2;(2)①當(dāng)t=20時,y=100+2=102,即估算小明在第20分鐘測量時量筒的總水量是102毫升;②當(dāng)t=24×60=1440分鐘時,y=5×1440+2=7202(毫升),當(dāng)t=0時,y=2,∴7200×301答:估算這個水龍頭一個月(按30天計(jì))的漏水量可供一人飲用144天.4.Ⅰ號無人機(jī)從海拔10m處出發(fā),以10m/min的速度勻速上升,Ⅱ號無人機(jī)從海拔30m處同時出發(fā),以a(m/min)的速度勻速上升,經(jīng)過5min兩架無人機(jī)位于同一海拔b(m).無人機(jī)海拔y(m)與時間x(min)的關(guān)系如圖.兩架無人機(jī)都上升了15min.(1)求b的值及Ⅱ號無人機(jī)海拔y(m)與時間x(min)的關(guān)系式;(2)問無人機(jī)上升了多少時間,Ⅰ號無人機(jī)比Ⅱ號無人機(jī)高28米.【解析】(1)b=10+10×5=60,設(shè)函數(shù)的關(guān)系式為y=kx+t,將(0,30),(5,60)代入上式得t=3060=5k+故函數(shù)關(guān)系式為y=6x+30(0≤x≤15);(2)由題意得:(10x+10)-(6x+30)=28,解得x=12,故無人機(jī)上升12min,Ⅰ號無人機(jī)比Ⅱ號無人機(jī)高28米.5.有一個裝有水的容器,如圖所示,容器內(nèi)的水面高度是10cm,現(xiàn)向容器內(nèi)注水,并同時開始計(jì)時,在注水過程中,水面高度以每秒0.2cm的速度勻速增加,則容器注滿水之前,容器內(nèi)的水面高度與對應(yīng)的注水時間滿足的函數(shù)關(guān)系是(B)A.正比例函數(shù)關(guān)系 B.一次函數(shù)關(guān)系C.二次函數(shù)關(guān)系 D.反比例函數(shù)關(guān)系6.(2024·眉山)眉山是“三蘇”故里,文化底蘊(yùn)深厚.近年來眉山市旅游產(chǎn)業(yè)篷勃發(fā)展,促進(jìn)了文創(chuàng)產(chǎn)品的銷售,某商店用960元購進(jìn)的A款文創(chuàng)產(chǎn)品和用780元購進(jìn)的B款文創(chuàng)產(chǎn)品數(shù)量相同.每件A款文創(chuàng)產(chǎn)品進(jìn)價比B款文創(chuàng)產(chǎn)品進(jìn)價多15元.(1)求A,B兩款文創(chuàng)產(chǎn)品每件的進(jìn)價各是多少元.(2)已知A,B文創(chuàng)產(chǎn)品每件售價為100元,B款文創(chuàng)產(chǎn)品每件售價為80元,根據(jù)市場需求,商店計(jì)劃再用不超過7400元的總費(fèi)用購進(jìn)這兩款文創(chuàng)產(chǎn)品共100件進(jìn)行銷售,問:怎樣進(jìn)貨才能使銷售完后獲得的利潤最大,最大利潤是多少元?【解析】(1)設(shè)A款文創(chuàng)產(chǎn)品每件的進(jìn)價是a元,則B款文創(chuàng)產(chǎn)品每件的進(jìn)價是(a-15)元,根據(jù)題意得960a=780解得a=80,經(jīng)檢驗(yàn)a=80是原分式方程的解,80-15=65(元).答:A款文創(chuàng)產(chǎn)品每件的進(jìn)價是80元,B款文創(chuàng)產(chǎn)品每件的進(jìn)價是65元.(2)設(shè)購進(jìn)A款文創(chuàng)產(chǎn)品x件,則購進(jìn)B款文創(chuàng)產(chǎn)品(100-x)件,總利潤為W,根據(jù)題意得80x+65(100-x)≤7400,解得x≤60,∴W=(100-80)x+(80-65)(100-x)=5x+1500,∵k=5>0,W隨x的增大而增大,∴當(dāng)x=60時,利潤最大,W最大=5×60+1500=1800.答:購進(jìn)A款文創(chuàng)產(chǎn)品60件,購進(jìn)B款文創(chuàng)產(chǎn)品40件,才能使銷售完后獲得的利潤最大,最大利潤是1800元.7.如圖,平面直角坐標(biāo)系中,線段AB的端點(diǎn)為A(-8,19),B(6,5).(1)求AB所在直線的表達(dá)式;(2)某同學(xué)設(shè)計(jì)了一個動畫:在函數(shù)y=mx+n(m≠0,y≥0)中,分別輸入m和n的值,使得到射線CD,其中C(c,0).當(dāng)c=2時,會從C處彈出一個光點(diǎn)P,并沿CD飛行;當(dāng)c≠2時,只發(fā)出射線而無光點(diǎn)彈出.①若有光點(diǎn)P彈出,試推算m,n應(yīng)滿足的數(shù)量關(guān)系;②當(dāng)有光點(diǎn)P彈出,并擊中線段AB上的整點(diǎn)(橫、縱坐標(biāo)都是整數(shù))時,線段AB就會發(fā)光.求此時整數(shù)m的個數(shù).【解析】(1)設(shè)直線AB的表達(dá)式為y=kx+b,把A(-8,19),B(6,5)代入,得-8解得k=∴直線AB的表達(dá)式為y=-x+11;(2)①由題意知,直線y=mx+n經(jīng)過點(diǎn)(2,0),∴2m+n=0;②∵線段AB上的整數(shù)點(diǎn)有15個:(-8,19),(-7,18),(-6,17),(-5,16),(-4,15),(-3,14),(-2,13),(-1,12),(0,11),(1,10),(2,9),(3,8),(4,7),(5,6),(6,5).當(dāng)射線CD經(jīng)過(2,0),(-7,18)時,y=-2x+4,此時m=-2,符合題意,當(dāng)射線CD經(jīng)過(2,0),(-1,12)時,y=-4x+8,此時m=-4,符合題意,當(dāng)射線CD經(jīng)過(2,0),(1,10)