【數(shù)學】山東省某中學高三11月模擬考試試卷（理）（解析版）

山東省實驗中學2019屆（西校區(qū)）高三11月模擬考試

數(shù)學試卷（理）

一、單選題

1.已知集合”=｛工|/—2%—3W0｝,N=｛y\y=3—cosx）,則MnN=（）

A.[2,3]B.（1,2]C.12,3）D.0

2.已知％€R,i為虛數(shù)單位，若復數(shù)2=/+務2+（工+2萬為純虛數(shù)，則%的值為（）

A.±2B.2C.-2D.0

3.已知等比數(shù)列｛an｝中，a2a3a4=La6a7a8=64,則a4a5a6=（）

A.±8B.-8C.8D.16

4.如圖的折線圖是某公司2017年1月至12月份的收入與支出數(shù)據(jù).若從這12個月份中任

意選3個月的數(shù)據(jù)進行分析，則這3個月中至少有一個月利潤（利潤印攵入-支出）不低于

40萬的概率為（）

5.我國古代《九章算術》里，記載了一個“商功”的例子：今有芻童，下廣二丈，袤三丈，

上廣三丈，袤四丈，高三丈.問積幾何？其意思是：今有上下底面皆為長方形的草垛（如圖

所示），下底寬2丈，長3丈；上底寬3丈，長4丈；高3丈.問它的體積是多少？該書提

供的算法是：上底長的2倍與下底長的和與上底寬相乘，同樣下底長的2倍與上底長的和與

下底寬相乘，將兩次運算結果相加，再乘以高，最后除以6.則這個問題中的芻童的體積為

（）

A.13.25立方丈B.26.5立方丈C.53立方丈D.106立方丈

6.已知偶函數(shù)/(%)在區(qū)間(0,+8)上單調遞增，且Q=Iogs2,b=ln2,c=—2°」，則

滿足()

A./(b)Vf(a)</(c)B./(c)</(a)</(b)

C./(c)<f(b)</(a)D.f(a)<f(b)<f(c)

7.某幾何體的正視圖與側視圖如圖所示，則它的俯視圖不可能是()

8.若運行如圖所示的程序框圖，輸出的九的值為127,則輸入的正整數(shù)九的所有可能取值的

個數(shù)為()

/輸入〃/

/輸出//

(結束)

A.8B.3C.2D.1

9.己知點分別在正方形力BCD的邊BC,CD上運動，且礪=(或,&),設|CE|=x,\CF\=

y,若|而-荏|=|荏I，則x+y的最大值為()

A.2B.4C.2yf2D.4魚

10.已知函數(shù)/(x)=V3sinojx-2cos?亨+l(co>0),將/(%)的圖象向右平移中(0V0Vm

個單位，所得函數(shù)g(x)的部分圖象如圖所示，則@的值為()

11.若函數(shù)y=/(x)滿足：①f(%)的圖象是中心對稱圖形;②若％w。時,/?(%)圖象上的點

到其對稱中心的距離不超過?個正數(shù)M,則稱f(x)是區(qū)間。上的“M對稱函數(shù)”.若函數(shù)f(x)=

(%+I)3+m(m>0)是區(qū)間[-4,2]上的“3m對稱函數(shù)”，則實數(shù)m的取值范圍是()

A.[V82,+00)B.[3^,+oo)C.(-oo,V82]D.(V82,+oo)

12.已知雙曲線。:“2一卷=1(匕>0)的左、右焦點分別為尸],尸2,點P是雙曲線C上的任意一

點，過點尸作雙曲線C的兩條漸近線的平行線，分別與兩條漸近線交于4B兩點，若四邊形

P40B(。為坐標原點)的面積為近，且聽?抽>0,則點P的橫坐標的取值范圍為()

A.(_8,一用u(字,+8)B.(-字手)

C.(_時呼)U管,+8)D.(呼4

二、填空題

13.已知tana=2,則則”—=_______

sin4a

14.已知拋物線C:y=Q%2的焦點坐標為(0,1),則拋物線C與直線y=x所圍成的封閉圖形的

面積為.

(y2一1，

15.已知實數(shù)%,y滿足不等式組卜％+y-4<0,則目標函數(shù)z=4/+丫?的最大值與最小值

(2x-y-1>0,

之和為.

16.在44BC中，。為48的中點，NACO與4CBD互為余角，AD=2,AC=3,則sinA的值

為■

三、解答題

71+1

17.已知數(shù)列｛冊｝的前幾項和多恰好與(1一與的展開式中含廠2項的系數(shù)相等.

(1)求數(shù)列｛3J的通項公式；

⑵記b刀=(-l)nW，數(shù)列｛%｝的前n項和為一,求72n.

sn

18.在矩形/BCD中，AB=3,力。=2,點E是線段CD上靠近點。的一個三等分點，點F是

線段4D上的一個動點，且而=4而(OWAMI).如圖，將/8CE沿BE折起至48EG,使得平

面BEG1平面ABED.

(1)當2=：時，求證：EF1BG；

(2)是否存在2,使得FG與平面OEG所成的角的正弦值為：？若存在，求出2的值；若不存

在，請說明理由.

19.春節(jié)過后，某市教育局從全市高中生中抽去了100人，調查了他們的壓歲錢收入情況,

按照金額(單位:百元)分成了以下幾組：[40,50),成0,60),[60,70),[70,80),[80,90)，

[90,100].統(tǒng)計結果如下表所示：

fflM[40.50)(S0.60)[60,70)[70.80)(S0.90)[90,100]

S20n3010$

該市高中生壓歲錢收入Z可以認為服從正態(tài)分布N（〃,14.42）,用樣本平均數(shù)歹（每組數(shù)據(jù)取區(qū)

間的中點值）作為〃的估計值.

（1）求樣本平均數(shù)工；

（2）求P（54.1VZV97.3）；

（3）某文化公司贊助了市教育局的這次社會調查活動，并針對該市的高中生制定了贈送“讀

書卡”的活動，贈送方式為：壓歲錢低于〃的獲贈兩次讀書卡，壓歲錢不低于〃的獲贈一次讀

書卡.已知每次贈送的讀書卡張數(shù)及對應的概率如下表所示：

讀書冬（幽位*張,12

1

現(xiàn)從該市高中生中隨機抽取一人，記V（單位：張）為該名高中生獲贈的讀書卡的張數(shù)，求

y的分布列及數(shù)學期望.

參考數(shù)據(jù)：若Z?則尸（4一。<Z<〃+o）=0.6826,P（〃-20Vz<〃+2。）=

0.9544.

20.己知橢圓=Ka>b>0）的上頂點為點D,右焦點為尸2（1,0）.延長OF?交橢圓。于

點E,且滿足|。尸2|=3尸2磯.

（1）試求橢圓C的標準方程：

(2)過點尸2作與工軸不重合的直線，和橢圓C交于4B兩點，設橢圓C的左頂點為點H,且直

線H4H8分別與直線％=3交于M,N兩點，記直線FzM'N的斜率分別為自也，則自與心之

積是否為定值？若是，求出該定值；若不是，試說明理由.

21.已知函數(shù)f(%)=Inx-mx+2(mER).

(1)若函數(shù)/(%)恰有一個零點，求實數(shù)m的取值范圍；

(2)設關于x的方程f(x)=2的兩個不等實根石,也，求證：(其中c為自然對數(shù)的

底數(shù)).

22.在平面直角坐標系xOy中，已知圓C的參數(shù)方程為「:匕二誓仇(。為參數(shù)，r>0).

(y-rsin(/

以原點。為極點，％軸的正半軸為極軸，取相同的長度單位建立極坐標系，直線1的極坐標方

程是psin("9=l.

(1)若直線1與圓C有公共點，試求實數(shù)r的取值范圍;

(2)當丁=2時，過點。(2,0)且與直線呼行的直線r交圓。于48兩點，求|看一看|的值.

23.已知函數(shù)/(切=|2%+1|+反一1|.

(1)解不等式/'(外工3；

(2)若函數(shù)g(x)=|2%-2018-。|+|2%-2019|,若對于任意的必ER,都存在&WR,

使得/(右)=9(不)成立，求實數(shù)a的取值范圍.

【參考答案】

I.A

【解析】集合M=(x\x2-2x-3<0}=[-1,3],集合N=[y\y=3-cosx]=[2,4],則歷n

N=[2,3],故選A.

2.B

【解析?】復數(shù)z=/+4i2+(%+2)i為純虛數(shù)，則卜2一?=?，解得x=2,故選B.

(%+2H0

3.C

【解析】由題意可得，a3=l,a7=4,又。3，。5，劭同號，所以。5=J。3a7=2,則=8,故

選C.

4.D

【解析】由圖知,7月,8月,11月的利潤不低于40萬元,故所求概率為P=1-算=3,故選D.

C|255

5.B

【解析】由題，芻童的體積為[(4x2+3)x3+(3x2+4)x2]x3+6=26.5立方丈

6.D

【解析】0<a=log52<log5Vs=>/?=ln2>ln6=/故/(Q)<f(b)</(l),又

/(c)=/(-201)=/(201)>f⑴.故f(a)<f(b)<f(c),故選D.

7.C

【解析】若幾何體為兩個圓錐體的組合體，則俯視圖為A;若幾何體為四棱錐與圓錐的組合體,

則俯視圖為B;若幾何體為兩個四棱錐的組合體，則俯視圖為D:不可能為C,故選C.

8.B

【解析】令271-1=127,可得n=7,故輸入n=7符合，當輸入的n滿足n>7時，輸出的結果總是

15

大于127,不合題意,當輸入n-6,5/時，輸出的n值分別為263_1>231_1',2-1,均不合題意,

當輸入n=3或n=2時,輸出的n=127符合題意,當輸入n=l時，將進入死循環(huán)不符，故輸入的所

有的n的可能取值為2,3,7,共3個，故選B.

9.C

22

【解析】v\AB\=V2T2=2t\AF-AE\=I而I，又因為I而一荏I=\EF\=^x+y=2,

:.x2+y2=4,???(x+y)2=x2+y24-2xy<2(x2+y2)=8,當且僅當x=y時取等號，，x+

y<2V2,UPx十y的最大值為2遮,故選C.

10.A

【解析】由題意得/'(x)=V3sina>x-2cos2等+l=V3sina)x-coscox=2$而(3%-9,則

gW=2sin[a)(x-(p)-^]=2sin(3%-33-由圖知T=2(詈一工)=n,-,?3=

2,g(x)=2sin(2x-20/),則g偌)=2sin償-合2*)=2sin(y-2(p^=2,由0<

cp<今得4-2(p=*解得*的值為已故選A.

II.A

【解析】函數(shù)/(幻=(x+I)3+m(m>0)的圖象可由y=/的圖象向左平移1個單位、再向

上平移m個單位得到，故或數(shù)f(x)的圖象關于點對稱，如圖所示，由圖可知，當xG[-4,2]

吐點A到函數(shù)f(x)圖象上的點(4m-27)或(2,m+27)的距離最大，最大距離為d=

J9+(m-27—=3標,根據(jù)條件只需3m>3短，放m>短，應選A.

12.A

【解析】由題易知四邊形PAOB為平行四邊形，且不妨設雙曲線C的漸近線OAbx—y=0,

OB-.bx+y=0,設點P(m,吸則直線PB的方程為y-n=b(x-m),且點P到OB的距離為d=

"_bm-n_______________

由m整「)懈得「:瓦,?..8(甯,亨),???I。網(wǎng)=」安+中=

V-2

^^-\bm-n\,二S孑40B=|O8|?d又而一捺=1,二b2m2一九2二匕2,...

S取40B=：4又二S中A0B=gb=2&，雙曲線C的方程為一?=1,...c=3,

科(-3,0),尸2(3,0),???西=(-3-m,-n),麗=(3-西?麗=(-3-m)(3-

m)+n2>0,即m?—9+?i2>0,又m2——=1,Am2-94-8(m2—1)>0,解得m>"或

83

m<一千，所以點P的橫坐標m的取值范圍為(_m,一手)u(空,+8),故選A.

3石

222

【解析】tan2”言息4sin2a-2cos2asiM2a-2cos22atan2a-2書?故填

sin4a2sin2acos2a2tan2a2x

8

14.7

【解析1拋物線C:y=收的標準方程為/=%,...l=4,a="由卜，/得憑或

Q04（y=%（y—u

［；：t，圖形面積s=［（X一滓）〃=仔Y）|i=*故填*

15.2

4

y工-1

【解析】令t=2x,則x］,原可行域等價于2t+y-4W0,作出可行域如圖所示，經(jīng)計算得

t-y-1>0

C&T）,z=4x2+y2=t2+y2的幾何意義是點p（t,y）到原點O的距離d的平方，由圖可知,

當點P與點C重合時,d取最大值:d的最小值為點O到直線AB:t-y-l=O的距離，故Zmax=T+

1二日辦也二（島），所以Z=4/+/的最大值與最小值之和為學故填空

【解析】設24CD=a,NBCO=/?,則由N4CD+NC80=90?？芍?，a=9Q°-B,p+A=

180°-(a+S)=90°,A/?=90°-A,。為48的中點，???S"。=S/BCD，???(人。?CDsina=

|FC-CDsinfi,/.ACsina=BCsin/?,即力CcosB=BCcosA,由正弦定理得sinBcosB=

sin/lcos/1,As\n2A=sin2B,二A=B或4+B=90。,當A=B時,AC=BC,CD1AB,sin/1=

—=—=漁，當H+B=90。時，C=90°,.%AD=BD=DC=2,在aACD中，cosA=

AC33

筆篝叱=：,.?.sin/=[TTI=今綜上可得,sig的值為《或條

2AC-AD4\16434

17.解：(1)依題意得&=2量+i=n(n+1),

故當">2時，=Sn-S〃_i-n(n+1)-n(n-1)=2n,

乂當九=1時，/=Si=2,也適合上式，

故斯=2n(n6N*).

(2)由(1)得%=(—1)〃乂4^

“、，n(n+l)

=(T)"H

故72n=瓦+匕2匕2n

=_(1+9+0-(總+白+仁+^1)

is.解：3)當a=T時，點"是/。的中點.

：.DF=-AD=1,DE=-CD=1.

23

\^ADC=90°,LDEF=45°.

'：CE=-CD=2,BC=2,48co=90。,

3

：./-BEC=45°.

：.BELEF.

乂平面G8E_L平面4BE0,平面G8EC平面48EQ=BE,EFu平面48E。，

：.EF1平面BEG.

?；BGu、p面BEG,：,EF1BG.

（2）以C為原點，詼工方的方向為工軸，y軸的正方向建立如圖所示空間直角坐標系Cxyz.

則E(2,0,0),。(3,0,0),尸(3,2。0).

取BE的中點。，

?；GE=BG=2,：,G01BE,

???易證得0G1平面8CE,

;BE=2vL：.0G=衣，???G(1,1,&).

/.F5=(-2,1-2A,V2),EG=(-1,1,V2),~DG=(-2,1,V2).

設平面OEG的一個法向量為五=(xfy,z),

則五?DG=-2%+y+V2z=0,

(n-FG=-x+y+y/2z=0,

號z=0,則元=(0,—2,々).

設“與平面DEG所成的角為6,

則sin。=|cos(FG,n)|

_|-2x0+(-2)x(l-21)+2|_1

6+(1-22)23

解得;1=3或/1=一看(舍去)

???存在實數(shù)九使得DG與平面DEG所成的角的正弦值為此時％=

19.解：(1)5二意(45X5+55X20+65X30+75X30+85x10+95X5)=68.5,

(2)由(1)得〃=68.5,a=14.4.

/.P(54.1<Z<97.3)=P(68.5-14.4<Z<68.5+28.8)=P(〃一0VZV〃+2o)

=P(〃-o<Zv〃+<?)+1[P(ju-2。VZV〃+2o)-P(〃-a<Z<n+a')]=0.8185.

(3)易知P(Z<〃)=P(Z>/i)=

???V的所有可能取值為123,4.

P(y=l)=|x^=|；

P(y=2)=-x-+-x-x-=-

'72525550;

P(y=3)=2xgx'x”券

P(y=4)=-xix-=

'725550

???/(%)的分布列為

Y1234

P22141

T502550

AE(r)=lx-+2x—+3x—+4x—=-.

',55025505

20.解：(1)橢圓C的上頂點為。上,b),右焦點尸2(1，。)，點E的坐標為(x,y).

V|DF2|=3|F2E|,可得萬瓦二3瓦瓦

又。尸2=(1，-匕)，^2^=(x-l,y),

，卜代入2+2=1可得磔+蹙=1，

（y=~3

又。2一川=1,解得小=2,爐=1,

即橢圓C的標準方程為9+y2=1.

（2）設力（與,力）,8（孫,刈），H（-V2,0）,“（3,%），N（3,yQ.

由題意可設直線A3的方程為％=my+l,

x=my+1

聯(lián)立?小=1消去，

得（m2+2）y2+2my-l=0,

力+,為二一產(chǎn)2m'

（力%=志

根據(jù)H,4M三點共線，可得當=』,

3+V2X1+V2

%（3+0）

???加

Xi+0

同理可得為=喘1，

「MN的坐標分別為（，嚕蝮），（3,空措），

y-o1

不N了=￡）而丫加

1%（3+旬刈（3+企）

4%!+V2%2+、攵

________%丫2（3+⑨’_________

4（m為+1+VT）（my2+1+V2）

______________、1乃（3+&）2________________

4pn2yly2+（1+&）根（丫1+丫2）+（1+

一11一6北

______________m2+2______________

4［苦+一衛(wèi)彥）蘇+3+2企

加+2TH?+2

-11-6^2

4、泛-9

-8-

4>/2-9

???自與心之積為定值,且該定值是

8

21.解：(1)由題意知/(%)的定義域為(0,+8),

且廣(％)=[—根=亨.

①當m<0時,f'[x}>0,f(x)在區(qū)間(0,+8)上單調遞增,

m2m2m2

又/'(1)=-m+2>0,/-(e-)=m-mQ-=m(l-e-)<0,

.,./(l)-/(em-2)<0,即函數(shù)/(%)在區(qū)間(0,+8)有唯一零點;

②當m=。時，/(x)=Inx+2,

令/(%)=0,得x=c-2.

又易知函數(shù)/(外在區(qū)間(0,+8)上單調遞增，

恰有一個零點.

③當m>0時，令/'(%)=0,得x=

在區(qū)間(o,3)上,r(x)>o,函數(shù)/(%)單調遞增；

在區(qū)間(3,+8)上，函數(shù)/'(%)單調遞減，

故當％=5時，/'(%)取得極大值，

且極大值為/(A)=InA+1=-Inm+1,無極小值.

若/(x)恰有一個零點，則f(A)=-\nm+1=0,解得m=e,

綜上所述，實數(shù)m的取值范圍為(一8,0]u{e}.

(2)記函數(shù)g(x)=/(x)-2=Inx-mx,x>0,

則函數(shù)g(x)的兩個相異零點為勺,％2

不妨設/>%2>

:。(勺)=。，或不)=。，

/.Inxj—7nxi=0,lnx2-ntx2=0，

兩式相減得Ins-ln%2=m(Xi-x2)?

兩式相加得Inx】+lnx2=+x2).

*/Xj>x2>0,

，要證SqM>c,即證In%1+lnx