安徽省淮南市、淮北市2025屆高三上學(xué)期第一次質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試卷（含解析）

安徽省淮南市和淮北市2025屆高三上學(xué)期第一次質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試題一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知集合，，則A. B. C. D.2.已知復(fù)數(shù)，則z的實(shí)部為A. B.0 C.1 D.23.“”是“直線與直線垂直”的A.充分不必要條件 B.必要不充分條件

C.充要條件 D.既不充分也不必要條件4.權(quán)，是中國傳統(tǒng)度量衡器具，歷史悠久，文化底蘊(yùn)深厚，承載著中華民族在政治、經(jīng)濟(jì)、文化方面的大量信息．“環(huán)權(quán)”類似于砝碼如下圖，用于測量物體質(zhì)量．已知九枚環(huán)權(quán)的質(zhì)量單位：銖從小到大構(gòu)成項(xiàng)數(shù)為9的數(shù)列，該數(shù)列的前3項(xiàng)成等差數(shù)列，后7項(xiàng)成等比數(shù)列，且，，，則的前8項(xiàng)和為

A.194 B.193 C.192 D.1915.下列各式的值為的是A. B.

C. D.6.已知正三角形的三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為，，，若，則A. B. C. D.7.定義在上的函數(shù)的圖象如圖所示，則實(shí)數(shù)對(duì)可以是

A. B. C. D.8.已知點(diǎn)，，P是直線上的動(dòng)點(diǎn)，B在直線AP上的投影為Q，則的最小值為A.3 B. C.4 D.二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分。9.如圖，在正方體中，M，N，P是對(duì)應(yīng)棱的中點(diǎn)，則

A.直線平面PMN B.直線平面PMN

C.直線與MN的夾角為 D.平面PMN與平面的交線平行于MN10.已知函數(shù)則下列說法正確的是A.函數(shù)的圖象是連續(xù)不斷的曲線

B.

C.

D.若方程有三個(gè)不同的根，則k的取值范圍是11.如圖，點(diǎn)是以，，，為頂點(diǎn)的正方形邊上的動(dòng)點(diǎn)，角以O(shè)x為始邊，OP為終邊，定義，則A.，

B.

C.函數(shù)，的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱

D.函數(shù)，的圖象與x軸圍成封閉圖形的面積為三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.已知為奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，則________.13.若a，，且，則ab的最小值為

.14.如圖，點(diǎn)M，N分別是正四棱錐的棱PA，PC的中點(diǎn)，設(shè)平面，則PQ與PD長度之比為

，四棱錐被平面BMN分成上下兩部分體積之比為

.

四、解答題：本題共5小題，共60分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.本小題12分記的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知，Ⅰ求B；Ⅱ若D為AB邊上任意一點(diǎn)，作于E，設(shè)，試用表示，并求的最大值．16.本小題12分如圖，四棱錐中，底面ABCD為正方形，平面平面ABCD，且，點(diǎn)M在線段PD上，Ⅰ求證：平面PCD；Ⅱ求平面MAC與平面PAB夾角的余弦值．17.本小題12分在平面直角坐標(biāo)系xOy中，圓C：R，點(diǎn)Ⅰ若圓心C在直線上，過點(diǎn)P作圓C的切線，求切線方程；Ⅱ若圓C上存在點(diǎn)Q，使，求a的取值范圍．18.本小題12分已知函數(shù)Ⅰ求證：當(dāng)時(shí)，；Ⅱ若時(shí)，恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；Ⅲ求證：對(duì)任意N，19.本小題12分已知無窮數(shù)列滿足：，NⅠ若，，試寫出的所有可能值；Ⅱ若，，記，求的前2025項(xiàng)之積；Ⅲ若數(shù)列存在最大項(xiàng)，證明：存在N，使得答案和解析1.【答案】A

解：因?yàn)榧希?/p>

所以，

故選：2.【答案】B

解：因?yàn)閺?fù)數(shù)，

所以z的實(shí)部為3.【答案】A

解：①當(dāng)時(shí)，兩方程可化為，，斜率分別為和2，

兩直線垂直，充分性成立，

②與直線垂直，則，

，必要性不成立，

”是“直線與直線垂直的充分不必要條件4.【答案】C

解：因?yàn)楹?項(xiàng)成等比數(shù)列，設(shè)公比為q，且，，

所以，

所以，

則，

因?yàn)閿?shù)列的前3項(xiàng)成等差數(shù)列，，

所以，

所以數(shù)列的前8項(xiàng)和為：

故選5.【答案】C

解：根據(jù)；

；

；

6.【答案】D

解：設(shè)，，，

則AB的重點(diǎn)坐標(biāo)為，，，

所以AB中垂線的方程為，即，

則C點(diǎn)在直線，即，

即，

又因?yàn)闉檎切危?/p>

所以，

則，

整理，得，

即，解得，

因?yàn)椋?/p>

所以，則

故選7.【答案】D

解：由圖像可知，當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增，

當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減，其中，

A選項(xiàng)，當(dāng)為時(shí)，

函數(shù)，

則，

由，得或，

由，得，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，不符合題意，故A錯(cuò)誤；

B選項(xiàng)，當(dāng)為時(shí)，

函數(shù)，

則，

當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，不符合題意，故B錯(cuò)誤；

C選項(xiàng)，當(dāng)為時(shí)，

函數(shù)，

則，

當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，不符合題意，故C錯(cuò)誤；

D選項(xiàng)，當(dāng)為時(shí)，

函數(shù)，

則，

當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，

當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，符合題意，故D正確.

故選8.【答案】B

解：因?yàn)锽在直線AP上的投影為Q，

所以Q的軌跡是以AB為直徑的圓，圓心為，半徑為1，

過P作圓的切線PC，切點(diǎn)為C，則，

所以的最小值為的最小值，

，而D到直線的距離為，

所以PA的最小值為，所以的最小值為

，

所以的最小值為

.

故選9.【答案】BCD

解：對(duì)于A，連接AC，，則

因?yàn)镸，N是對(duì)應(yīng)棱的中點(diǎn)，所以，

因?yàn)槠矫?，平面?/p>

所以平面，

同理平面，

因?yàn)?，，所以平面平面?/p>

因?yàn)橹本€不平行平面，所以直線不平行平面PMN，A錯(cuò)誤；

因?yàn)椋?，，，所以平面?/p>

因?yàn)槠矫妫裕?/p>

同理可得，，

由于AC和是平面上的兩條相交直線，

所以根據(jù)直線與平面垂直的判定定理，得直線平面，

因?yàn)槠矫妫灾本€平面PMN，B正確；

由題意，為直線與MN的夾角，

因?yàn)闉榈冗吶切?，所以，C正確；

因?yàn)槠矫嫫矫鍭BC，平面PMN與平面ABC的交線為MN，

所以根據(jù)面面平行的性質(zhì)可知平面PMN與平面的交線平行于MN，D正確.

故選10.【答案】BC

解：由題意，時(shí)，，，，

又，所以可知函數(shù)的圖象不是連續(xù)不斷的曲線，A錯(cuò)誤；

，時(shí)，，

所以，B正確；

，，

因?yàn)椋?，C正確；

同理時(shí)，，時(shí)，，

將代入，則，

此時(shí)方程有兩個(gè)不同的根，故D錯(cuò)誤.

故選11.【答案】BCD

解：由題意，，，則，，，，所以，A錯(cuò)誤；

角以O(shè)x為始邊，OP為終邊，，則以O(shè)x為始邊，OQ為終邊，，

所以，B正確；

由題意，，

所以，

所以函數(shù)，的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，C正確；

在第一象限，，所以，，函數(shù)，的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，

利用正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)，可知的圖象與x軸圍成封閉圖形的面積為，

結(jié)合對(duì)稱性，可知函數(shù)，的圖象與x軸圍成封閉圖形的面積為，D正確.

故選12.【答案】

解：因?yàn)楹瘮?shù)為奇函數(shù)，

所以

故答案為：13.【答案】32

解：由于a，，則，即，

于是，，當(dāng)且僅當(dāng)取等號(hào)，故ab的最小值是

故答案為：14.【答案】

；

解：連接MN，AC、BD，

設(shè)，連接OP，設(shè)，

因?yàn)镸，N為棱PA，PC的中點(diǎn)，所以，則H為OP的中點(diǎn)，延長BH交PD于點(diǎn)Q，取QD的中點(diǎn)E，連接EO，則，

所以Q為PD的三等分點(diǎn)，

所以PQ與PD長度之比為；

不妨設(shè)，，則，，，

因?yàn)槠矫嫫矫鍮MN，且BE為交線，所以P到平面BMN的距離等于P到直線BE的距離，

，

在中，由余弦定理得，

則，

則P到直線BQ的距離，

在中，，

顯然，，四邊形BMQN的對(duì)角線垂直，

則，

四棱錐的高，則，

所以下方幾何體體積，所以15.【答案】解：Ⅰ因?yàn)椋?/p>

所以，

所以，故

Ⅱ由Ⅰ知，，從而為直角三角形，

在中，由正弦定理知，

即，

在中，有，

所以

，，

當(dāng)，即時(shí)，取得最大值

16.【答案】解：設(shè)，則，AD中點(diǎn)為O，BC中點(diǎn)為E，

分別以O(shè)E，OD，OP為x軸，y軸，z軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系，

Ⅰ，，，，，

，，，

所以，，

故，，

因?yàn)?，PD、平面PCD，

所以平面

Ⅱ設(shè)，分別是平面MAC，平面PAB的法向量，

，，，

由且，

得，所以可取，

由且，得，

所以可取，

設(shè)兩平面夾角為，則

17.【答案】解：Ⅰ因?yàn)閳A心在直線上，

所以，即，所以圓心C的坐標(biāo)為

當(dāng)過P點(diǎn)的切線斜率存在時(shí)，

方程可設(shè)為，即，則，解得，

得切線方程為

當(dāng)過A點(diǎn)切線斜率不存在時(shí)，直線也滿足，

綜上，所求直線方程為或

Ⅱ設(shè)點(diǎn)，，

由，化簡得：

點(diǎn)Q的軌跡為以為圓心，2為半徑的圓，

又點(diǎn)Q在圓C上，所以圓C與圓的關(guān)系為相交或相切，

因此，，

即，解得：

18.【答案】解：Ⅰ設(shè)，

則，令，則，

所以在上單調(diào)遞減，又，所以在上恒成立，

所以在上單調(diào)遞減，又，所以在上恒成立，

所以當(dāng)時(shí)，

Ⅱ設(shè)，，則，

當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，且，所以當(dāng)時(shí)，

當(dāng)時(shí)，令，得，

當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，又，所以，不滿足題意.

綜上可得，a的取值范圍是

Ⅲ原命題等價(jià)于

由Ⅱ知，

所以，

從而

另一方面，設(shè)，

則，從而在上單調(diào)遞減，

當(dāng)時(shí)，即，

所以，

從而當(dāng)時(shí)，有