2024-2025學(xué)年江蘇省徐州市銅山區(qū)高二上學(xué)期期中數(shù)學(xué)學(xué)情調(diào)研試卷（附解析）

2024-2025學(xué)年江蘇省徐州市銅山區(qū)高二上學(xué)期期中數(shù)學(xué)學(xué)情調(diào)研試卷本試卷共6頁(yè)，19小題，滿分150分，考試用時(shí)120分鐘.注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號(hào)、考場(chǎng)號(hào)和座位號(hào)填寫在答題卡上.將條形碼橫貼在答題卡“條形碼粘貼處”.2．作答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆在答題卡上對(duì)應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑；如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案.答案不能答在試卷上.3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動(dòng)，先劃掉原來(lái)的答案，然后再寫上新的答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液.不按以上要求作答無(wú)效.4．考生必須保持答題卡的整潔.考試結(jié)束后，將試卷和答題卡一并交回.一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.直線的傾斜角是（）A. B. C.2π3 D.【正確答案】D【分析】先求出直線的斜率，再由斜率與傾斜角的關(guān)系可求出傾斜角.直線的斜率為，設(shè)直線傾斜角為，則，則.故選：D．2.若直線是圓的一條對(duì)稱軸，則圓心坐標(biāo)為（）A. B. C. D.【正確答案】A【分析】由題意得到直線過(guò)圓心，將代入直線方程，求出答案.由題意得直線過(guò)圓的圓心，故，解得，所以圓心坐標(biāo)為.故選：A3.雙曲線的一條漸近線的方程為，則m值為（）A. B. C. D.【正確答案】D【分析】根據(jù)雙曲線漸近線的方程求解即可.因?yàn)殡p曲線的一條漸近線的方程為，所以，解得.故選：D.4.阿基米德在他的著作《關(guān)于圓錐體和球體》中計(jì)算了一個(gè)橢圓的面積，當(dāng)我們垂直地縮小一個(gè)圓時(shí)，得到一個(gè)橢圓，橢圓的面積等于圓周率與橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)與短半軸長(zhǎng)的乘積．已知橢圓C:x2a2+y2b2=1a>b>0的面積為，兩個(gè)焦點(diǎn)分別為，，直線與橢圓C交于A，BA.2 B.3 C.4 D.6【正確答案】A【分析】根據(jù)給定條件，可得，再由四邊形周長(zhǎng)求出即可得解.因?yàn)闄E圓的面積等于圓周率與橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)與短半軸長(zhǎng)的乘積，已知橢圓面積為，則，又橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為，，直線與橢圓交于A，B兩點(diǎn)，由橢圓對(duì)稱性，得線段互相平分于原點(diǎn)，則四邊形為平行四邊形，因?yàn)樗倪呅蔚闹荛L(zhǎng)為12，由橢圓的定義得，解得，所以橢圓的短半軸長(zhǎng).故選：A.5.直線與以為圓心的圓相交于A，B兩點(diǎn)，且，則圓C的方程為（）A. B.C. D.【正確答案】B【分析】利用點(diǎn)到直線的距離公式及弦長(zhǎng)公式的逆運(yùn)用計(jì)算半徑即可.易知到的距離為，所以該圓的半徑為，故該圓方程為.故選：B6.已知直線和圓，若圓M與直線l相切，與圓C相外切，圓M的圓心M的軌跡方程為（）A. B. C. D.【正確答案】B【分析】設(shè)M的坐標(biāo)，利用直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系結(jié)合拋物線的定義計(jì)算即可.設(shè)，圓M的半徑為r，易知?jiǎng)t由題意可知，即圓心M到定直線的距離比到定點(diǎn)的距離少1，則圓心M到定直線的距離與到定點(diǎn)的距離相等，所以M的軌跡為拋物線，以為準(zhǔn)線，即.故選：B7.雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)P是其右支上一點(diǎn)．若，，，則雙曲線C的離心率為（）A. B. C. D.【正確答案】C【分析】利用向量法得：，然后結(jié)合雙曲線定義：和余弦定理即可求解.由雙曲線的幾何性質(zhì)，可知點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，則，即，所以，解得，所以，故，由，解得，所以，故C項(xiàng)正確.故選：C.8.已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，橢圓上一點(diǎn)P滿足，以C的短軸為直徑作圓O，截直線的弦長(zhǎng)為，則橢圓的方程為（）A. B.C. D.【正確答案】B【分析】取弦AB的中點(diǎn)D，連接，求出，再根據(jù)橢圓定義結(jié)合勾股定理求出的關(guān)系，即可得解．如圖，取弦AB的中點(diǎn)D，連接，則，即，因，所以，因?yàn)镺為的中點(diǎn)，所以D是的中點(diǎn)，所以，因?yàn)?，所以O(shè)D垂直平分弦AB，因，，所以，所以，由橢圓定義可得，，所以，解得，，又，，所以，故，所以橢圓的方程為.故選：B.方法點(diǎn)睛：圓的弦長(zhǎng)的常用求法（1）幾何法：求圓的半徑為，弦心距為，弦長(zhǎng)為，則；（2）代數(shù)方法：運(yùn)用根與系數(shù)的關(guān)系及弦長(zhǎng)公式.二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多頂符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9.已知直線，直線，下列說(shuō)法正確的是（）A.始終過(guò)點(diǎn) B.若，則或C.若，則 D.當(dāng)時(shí)，始終不過(guò)第一象限【正確答案】ACD【分析】根據(jù)已知條件，直接求出直線的定點(diǎn)，即可判斷A，再結(jié)合直線平行、垂直的性質(zhì)判斷B、C，將直線方程化為斜截式，即可判斷D.對(duì)于A：直線，即，令，解得，所以直線過(guò)定點(diǎn)，故A正確；對(duì)于B：若，則，解得或，當(dāng)時(shí)，，，則，當(dāng)時(shí)，，，即，則與重合，故舍去，所以，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C：若，則，解得，故C正確；對(duì)于D：當(dāng)時(shí)，直線始終過(guò)點(diǎn)，斜率，所以該直線過(guò)第二、三、四象限，不過(guò)第一象限，故D正確．故選：ACD．10.拋物線焦點(diǎn)為F，頂點(diǎn)為O，過(guò)F的直線l交拋物線于，兩點(diǎn)分別過(guò)A，B作準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為，，下列說(shuō)法正確的是（）A.為定值 B.C.A，O，三點(diǎn)共線 D.【正確答案】AC【分析】先確定F坐標(biāo)，設(shè)l方程，聯(lián)立方程利用韋達(dá)定理可判定A，利用平面向量的數(shù)量積可判定B，利用兩點(diǎn)斜率公式可判定C，利用拋物線的定義結(jié)合A的結(jié)論可判定D.易知F1,0，準(zhǔn)線方程，不妨設(shè)，與拋物線方程聯(lián)立有，所以，而，故A正確；易知，則，顯然，即，故B錯(cuò)誤；易知，顯然，即A，O，三點(diǎn)共線，故C正確；由拋物線定義可知，由上知，所以，故D錯(cuò)誤.故選：AC11.已知曲線，點(diǎn)，，則下列結(jié)論正確的是（）A.曲線C關(guān)于對(duì)稱B.曲線C上存在點(diǎn)P，使C.直線與曲線C無(wú)公共點(diǎn)D.點(diǎn)Q為曲線C在第二象限內(nèi)的點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)Q向直線作垂線，垂足分別為A，B，則為定值【正確答案】BCD【分析】分，，和四種情況，求出曲線的方程，再根據(jù)橢圓和雙曲線的定義與性質(zhì)即可判斷BC；判斷是否在曲線上，即可判斷A；根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式計(jì)算即可判斷D.當(dāng)時(shí)，曲線，表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓第一象限的部分，當(dāng)時(shí)，曲線，表示焦點(diǎn)在軸上的雙曲線第四象限的部分，其漸近線方程為，焦點(diǎn)為，，當(dāng)時(shí)，曲線，表示焦點(diǎn)在軸上的雙曲線第二象限的部分，其漸近線方程為，當(dāng)時(shí)，曲線，不表示任何圖形，對(duì)于A，因?yàn)?，所以點(diǎn)不在曲線上，所以曲線C不關(guān)于對(duì)稱，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，當(dāng)點(diǎn)在第四象限時(shí)，，故B正確；對(duì)于C，由上可知直線與曲線C無(wú)公共點(diǎn)，故C正確；對(duì)于D，設(shè)，則，則，故D正確故選：BCD.方法點(diǎn)睛：求定值問(wèn)題常見(jiàn)的方法有兩種：（1）從特殊入手，求出定值，再證明這個(gè)值與變量無(wú)關(guān)；（2）直接推理、計(jì)算，并在計(jì)算推理的過(guò)程中消去變量，從而得到定值．三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共計(jì)15分．12.拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)是______.【正確答案】【分析】將拋物線的方程化為標(biāo)準(zhǔn)形式，即可求解出焦點(diǎn)坐標(biāo).因?yàn)閽佄锞€方程，焦點(diǎn)坐標(biāo)為，且，所以焦點(diǎn)坐標(biāo)為，故答案為.13.設(shè)Px0,y0為直線上的動(dòng)點(diǎn)，若圓上存在兩點(diǎn)，，使，則的取值范圍是______．【正確答案】【分析】判斷直線與圓的位置關(guān)系，當(dāng)點(diǎn)在圓外時(shí)，過(guò)點(diǎn)的兩條切線所成的以為端點(diǎn)過(guò)切點(diǎn)的兩條射線形成的角最大，求出此角不小于的的范圍.易知圓的圓心到直線的距離，即直線與圓相交，當(dāng)點(diǎn)在圓及內(nèi)部時(shí)，顯然該圓上存在兩點(diǎn)，，使，此時(shí)，當(dāng)點(diǎn)在圓外時(shí)，過(guò)點(diǎn)作圓的切線，為切點(diǎn)，顯然是圓上兩點(diǎn)與形成夾角中最大的，則只需即可，此時(shí)，則，

綜上，即，滿足題意，又，則，解得.故14.已知橢圓，圓，直線l與圓O相切于第一象限的點(diǎn)A與橢圓C交于P，Q兩點(diǎn)，與x軸正半軸交于點(diǎn)B．若，則直線l的方程為_(kāi)_____．【正確答案】【分析】取的中點(diǎn)，得到為的中點(diǎn)，設(shè)Ax0,y0，，根據(jù)垂直關(guān)系得到直線l的方程，求出和，利用點(diǎn)差法得到，從而得到方程，求出，，從而求出直線方程.取的中點(diǎn)，連接，因?yàn)椋?，即，故，即，即為的中點(diǎn)，設(shè)Ax0,y0直線l與圓O相切于第一象限的點(diǎn)A，故，所以，直線l的方程為，令得，故，故的中點(diǎn)，設(shè)，則，兩式相減得，化簡(jiǎn)得，故，即，即，，解得，負(fù)值舍去，又，故，負(fù)值舍去，所以直線l的方程為，即.故直線與圓錐曲線相交涉及中點(diǎn)弦問(wèn)題，常用點(diǎn)差法，該法計(jì)算量小，模式化強(qiáng)，易于掌握.四、解答題：本題共5小題，共計(jì)77分，解答時(shí)應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．15.（1）已知直線過(guò)點(diǎn)，且在x軸上截距是y軸上截距的2倍，求直線方程；（2）已知點(diǎn)，直線，點(diǎn)在上，且，求點(diǎn)的坐標(biāo)．【正確答案】（1）和，（2）【分析】（1）根據(jù)截距是否為0，即可利用待定系數(shù)法求解，（2）根據(jù)垂直滿足的斜率關(guān)系即可求解.（1）當(dāng)直線經(jīng)過(guò)原點(diǎn)時(shí)，設(shè)直線，代入2,3可得，當(dāng)直線截距不為0時(shí)，設(shè)，代入2,3可得，解得故直線方程為，即，綜上可得直線方程為和（2）設(shè)，由于直線的斜率為故，又，解得則，故16.已知兩定點(diǎn)，，動(dòng)點(diǎn)M滿足，其軌跡為曲線C.（1）求曲線C的方程；（2）是否存在斜率為的直線l，使得以l被曲線C截得的弦PQ為直徑的圓過(guò)原點(diǎn)，若存在，求出直線l的方程，若不存在說(shuō)明理由.【正確答案】（1）（2）或.【分析】（1）利用兩點(diǎn)距離公式設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)化簡(jiǎn)計(jì)算即可；（2）假設(shè)存在，設(shè)線設(shè)點(diǎn)，利用圓的性質(zhì)得，聯(lián)立直線與圓方程利用韋達(dá)定理計(jì)算參數(shù)即可.【小問(wèn)1】設(shè)Mx,y，則，整理得；【小問(wèn)2】設(shè)存在，聯(lián)立圓C方程有，整理得，則Δ=?2b2此時(shí)弦PQ為直徑的圓過(guò)原點(diǎn)，即，即，符合題意；即或.17.已知，是橢圓上兩點(diǎn)．（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過(guò)點(diǎn)的直線l交橢圓C交于P，Q兩點(diǎn)，且，求直線l的方程．【正確答案】（1）；（2）或.【分析】（1）利用待定系數(shù)法求解即可；（2）討論斜率是否存在，再設(shè)直線方程，用韋達(dá)定理和弦長(zhǎng)公式來(lái)求解即可.【小問(wèn)1】已知，B2,1是橢圓上兩點(diǎn),可得，解得：，所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為；【小問(wèn)2】設(shè)過(guò)點(diǎn)的直線l的斜率不存在時(shí)，直線方程為，與橢圓相交的交點(diǎn)坐標(biāo)分別為，此時(shí)交點(diǎn)弦長(zhǎng)，不符合題意，所以設(shè)過(guò)點(diǎn)的直線l方程為，與橢圓聯(lián)立，消得：，整理得：，設(shè)交點(diǎn)，則，則，整理得：，即，所以直線l的方程為或.18.在平面直角坐標(biāo)系中，已知雙曲線左右頂點(diǎn)分別為，．（1）過(guò)點(diǎn)作斜率為k的直線與雙曲線C有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，求k的值；（2）過(guò)點(diǎn)的直線與雙曲線右支交于P，Q兩點(diǎn)，記，的斜率分別為，，試問(wèn)是否為定值，若是，求出定值，若不是，說(shuō)明理由．【正確答案】（1）或（2）為定值【分析】（1）聯(lián)立直線與雙曲線方程，分二次項(xiàng)系數(shù)是否為零，結(jié)合根的判別式即可得解；（2）設(shè)直線的方程為，，聯(lián)立方程，利用韋達(dá)定理求出，再結(jié)合斜率公式化簡(jiǎn)即可得出結(jié)論.【小問(wèn)1】直線方程為，聯(lián)立，消得，當(dāng)，即時(shí)，此時(shí)方程僅有一個(gè)解，即直線與雙曲線C有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，當(dāng)，即時(shí)，則，解得，綜上所述，或；【小問(wèn)2】由題意可設(shè)直線的方程為，，聯(lián)立，消得，則，，則，因?yàn)?，所以，則，所以為定值.方法點(diǎn)睛：求定值問(wèn)題常見(jiàn)的方法有兩種：（1）從特殊入手，求出定值，再證明這個(gè)值與變量無(wú)關(guān)；（2）直接推理、計(jì)算，并在計(jì)算推理的過(guò)程中消去變量，從而得到定值．19.已知拋物線，Px0,y0為拋物線上的點(diǎn)，若直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)P且斜率為，則稱直線l為點(diǎn)P的“特征直線”，設(shè)為方程的兩個(gè)實(shí)根，記．（1）求點(diǎn)的“特征直線”l的方程；（2）已知點(diǎn)G在拋物線上，點(diǎn)G的“特征直線”與雙曲線經(jīng)過(guò)二、四象限的漸近線垂直，且與y軸的交點(diǎn)為H，點(diǎn)為線段GH上的點(diǎn)，求；（3）已知C，D是拋物線上異于原點(diǎn)的兩個(gè)不同的點(diǎn)，點(diǎn)C，D的“特征直線”分別為，，直線相交于，且與y軸分別交于點(diǎn)E，F(xiàn)．當(dāng)（其中為點(diǎn)C的橫坐標(biāo)）時(shí)，證明：點(diǎn)M在線段CE上．【正確答案】（1）；（2）3；（3）證明見(jiàn)解析.【分析】（1）根據(jù)新定義計(jì)算的斜率為2，再由點(diǎn)斜式計(jì)算直線方程得到答案.（2）根據(jù)與漸近線垂直得到，線段的方程，得到，代入方程得到，，計(jì)算得到.（3））設(shè)坐標(biāo)，利用新定義計(jì)算，方程，聯(lián)立解得，從而得到所對(duì)應(yīng)的方程為：，計(jì)