2024-2025學(xué)年遼寧省朝陽市高二上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)檢測(cè)試題（附解析）

2024-2025學(xué)年遼寧省朝陽市高二上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)檢測(cè)試題一、單選題（每小題5分，共50分）1．直線的傾斜角是（

）A． B． C． D．2．雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)是（

）A．, B．,C．, D．,3．平行六面體中，為與的交點(diǎn)，設(shè)，用表示，則（

）A． B．C． D．4．設(shè)雙曲線的漸近線方程為，則的值為（

）A．4 B．3 C．2 D．15．圓與圓的位置關(guān)系是（

）A．內(nèi)切 B．相交 C．外切 D．外離6．若數(shù)列an滿足，且，則（

）A． B．2 C． D．7．已知圓，直線過點(diǎn)，則直線被圓截得的弦長(zhǎng)的最小值為（）A． B． C． D．8．已知是各項(xiàng)均為整數(shù)的遞增數(shù)列，且，若，則的最大值為（

）A．9 B．10 C．11 D．129．已知點(diǎn)F是雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)，直線，則“點(diǎn)F到直線的距離大于1”是“直線與雙曲線C沒有公共點(diǎn)”的（

）A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充分必要條件D．既不充分也不必要條件10．如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體中，，分別是棱，的中點(diǎn)，點(diǎn)在上，點(diǎn)在上，且，點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)，給出下列四個(gè)結(jié)論：

①當(dāng)點(diǎn)是中點(diǎn)時(shí)，直線平面；②直線到平面的距離是；③存在點(diǎn)，使得；④面積的最小值是．其中所有正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（

）A．3 B．2 C．1 D．0填空題（每小題5分，共30分）11．已知拋物線C：，則拋物線C的準(zhǔn)線方程為．12．若雙曲線的焦距是，則實(shí)數(shù)．13．已知拋物線的焦點(diǎn)與雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)重合，則；雙曲線的漸近線方程是．14．若數(shù)列的前項(xiàng)和，則此數(shù)列的通項(xiàng)公式為；數(shù)列中數(shù)值最小的項(xiàng)是第項(xiàng)．15．已知直線與曲線的圖象有公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的一個(gè)取值為；實(shí)數(shù)的最大值為．16．已知曲線，點(diǎn)在曲線上，給出下列四個(gè)結(jié)論：①曲線關(guān)于直線對(duì)稱：②當(dāng)時(shí)，點(diǎn)不在直線上：③當(dāng)時(shí)，；④當(dāng)時(shí)，曲線所圍成的區(qū)域的面積大于.其中所有正確結(jié)論的有．三、解答題（共5個(gè)小題，共70分）17．（本小題滿分13分）在直四棱柱中，，，，，(1)求證：平面；(2)若直四棱柱體積為36，求二面角的余弦值.18．（本小題滿分15分）已知橢圓的離心率為，長(zhǎng)軸端點(diǎn)分別為，，.(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)，為橢圓的焦點(diǎn)，為橢圓上一點(diǎn)，且.求點(diǎn)的坐標(biāo)；(3)為橢圓上任意一點(diǎn)（不與、重合），設(shè)直線的斜率為，直線的斜率為，判斷是否為常數(shù)，并說明理由.19．（本小題滿分13分）如圖，在多面體中，為等邊三角形，，.點(diǎn)為的中點(diǎn)，再從下面給出的條件①?條件②這兩個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知.

(1)求證：平面；(2)設(shè)點(diǎn)為上一點(diǎn)，且，求直線與平面所成角的正弦值.條件①：平面平面；條件②.注：如果選擇條件①和條件②分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.20．（本小題滿分15分）已知橢圓過點(diǎn)，焦距為.(1)求橢圓的方程，并求其短軸長(zhǎng)；(2)過點(diǎn)且不與軸重合的直線交橢圓于兩點(diǎn)，，連接并延長(zhǎng)交橢圓于點(diǎn)，直線與交于點(diǎn)，為的中點(diǎn)，其中為原點(diǎn).設(shè)直線的斜率為，求的最大值.21（本小題滿分14分）．已知集合，，若中元素的個(gè)數(shù)為，且存在，，使得，則稱是的子集.(1)若，寫出的所有子集；(2)若為的子集，且對(duì)任意的，，存在，使得，求的值；(3)若，且的任意一個(gè)元素個(gè)數(shù)為的子集都是的子集，求的最小值.

答案題號(hào)12345678910答案DCDCCDACAC題號(hào)16答案A1．D【分析】由題可得其斜率，即可得傾斜角.【詳解】，設(shè)其傾斜角為，則，又，則，即傾斜角為，故選：D2．C【分析】先判斷出焦點(diǎn)在軸上，再求出焦點(diǎn)坐標(biāo)即可.【詳解】由雙曲線的方程可得該雙曲線的焦點(diǎn)在軸上，且，所以該雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為,.故選：C.3．D【分析】利用空間向量的基底表示以及線性運(yùn)算即可求得結(jié)果.【詳解】如下圖所示：易知.故選：D4．C【分析】先根據(jù)雙曲線求出漸近線方程，再與比較即可求出的值．【詳解】由雙曲線的幾何性質(zhì)可得，雙曲線的漸近線方程為，又因?yàn)闈u近線方程為，即，故，選C．本題主要考查雙曲線的漸近線方程的求法，屬基礎(chǔ)題．5．C【分析】根據(jù)條件，先求出兩圓的圓心和半徑，再利用兩圓位置關(guān)系的判斷方法，即可求解.【詳解】因?yàn)閳A的圓心為，半徑為，圓的圓心為，半徑為，又，所以兩圓的位置關(guān)系為外切，故選：C.6．D【分析】確定數(shù)列的周期即可求解.【詳解】,所以，所以，所以數(shù)列周期為3，由，可得，所以.故選：D7．A【分析】先判斷出與圓的位置關(guān)系，然后根據(jù)圓心到直線的距離的最大值求解出弦長(zhǎng)的最小值.【詳解】直線恒過定點(diǎn)，圓的圓心為，半徑為，又，即在圓內(nèi)，當(dāng)時(shí)，圓心到直線的距離最大為，此時(shí)，直線被圓截得的弦長(zhǎng)最小，最小值為．故選：A.8．C【分析】使數(shù)列首項(xiàng)、遞增幅度均最小，結(jié)合等差數(shù)列的通項(xiàng)及求和公式求得可能的最大值，然后構(gòu)造數(shù)列滿足條件，即得到的最大值．【詳解】若要使n盡可能的大，則，遞增幅度要盡可能小，不妨設(shè)數(shù)列是首項(xiàng)為3，公差為1的等差數(shù)列，其前n項(xiàng)和為，則，，所以.對(duì)于，，取數(shù)列各項(xiàng)為(，,則，所以n的最大值為11．故選：C．9．A【分析】由點(diǎn)到直線距離公式和充分必要條件可判斷.【詳解】由雙曲線，可知，且漸近線方程為若點(diǎn)F到直線l的距離，得，或，如圖，由雙曲線性質(zhì)可知，直線l與雙曲線C沒有公共點(diǎn)；反之，若直線l與雙曲線C沒有公共點(diǎn)，因?yàn)橹本€l過原點(diǎn)，由圖可知，，或，則，即點(diǎn)F到直線l的距離大于或等于1，所以，“點(diǎn)F到直線l的距離大于1”是“直線l與雙曲線C沒有公共點(diǎn)”的充分不必要條件.故選：A10．C【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量研究線面關(guān)系、夾角，異面直線距離、點(diǎn)面距離一一判定選項(xiàng)即可.【詳解】如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系，則，，對(duì)于①，此時(shí)易知，即，而平面的一個(gè)法向量為，顯然，即①正確；對(duì)于②，易知平面，即平面，則直線到平面的距離即點(diǎn)到平面的距離，此時(shí)，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，令，即，所以點(diǎn)到平面的距離，即②錯(cuò)誤；對(duì)于③，設(shè)，則，，所以，若，則，顯然時(shí)符合題意，故③正確；對(duì)于④，當(dāng)面積最小時(shí)即到距離最小時(shí)，此距離亦即異面直線與的距離，易知，則平面，此距離即到平面的距離，不妨設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，令，即，則到平面的距離，所以面積的最小值為，故④錯(cuò)誤.故選：C

11．【分析】根據(jù)拋物線的方程求出的值，進(jìn)一步得出答案.【詳解】因?yàn)閽佄锞€，所以，∴所以的準(zhǔn)線方程為.故12．/0.125【分析】根據(jù)雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程直接求解.【詳解】由雙曲線，即，且焦距為，即，解得，故答案為.13．【分析】由拋物線方程可得焦點(diǎn)為，由題設(shè)結(jié)合雙曲線參數(shù)關(guān)系求，進(jìn)而根據(jù)上曲線方程寫出漸近線方程即可.【詳解】由題設(shè)，拋物線焦點(diǎn)為，故對(duì)于，有，∴，則，故漸近線方程為.故，.14．；3【詳解】數(shù)列{an}的前項(xiàng)和，數(shù)列為等差數(shù)列，數(shù)列的通項(xiàng)公式為=，數(shù)列的通項(xiàng)公式為，其中數(shù)值最小的項(xiàng)應(yīng)是最靠近對(duì)稱軸的項(xiàng)，即n=3，第3項(xiàng)是數(shù)列中數(shù)值最小的項(xiàng)．15．（答案不唯一）/【分析】首先得到直線過定點(diǎn)，曲線是半個(gè)圓，數(shù)形結(jié)合得到兩種臨界情況，根據(jù)直線斜率變化情況，解不等式，即可得到結(jié)果.【詳解】

直線可變形為，可得到直線過定點(diǎn)，曲線為以原點(diǎn)為圓心，為半徑的圓的上半部分，若兩個(gè)圖象有公共點(diǎn)，則只需要直線和圓相交即可，如圖是兩種臨界情況，當(dāng)直線過點(diǎn)1,0直線的斜率為；當(dāng)直線過點(diǎn)時(shí)得到直線的斜率為，當(dāng)直線斜率存在時(shí)，即時(shí)，直線的斜率為，由圖可得直線斜率的范圍是，即解得，當(dāng)時(shí)，直線為，符合題意.故得到范圍是，則實(shí)數(shù)的一個(gè)取值可以為，的最大值為12.故（答案不唯一）；.16．A【分析】對(duì)于①：舉例，確定點(diǎn)0,1和點(diǎn)1,0是否滿足曲線方程來判斷；對(duì)于②：帶入，然后對(duì)曲線方程左邊因式分解即可；對(duì)于③：代入，因式分解得，然后利用基本不等式求的最值即可；對(duì)于④：代入，得到，結(jié)合雙曲線的圖象特點(diǎn)來判斷面積的大小.【詳解】對(duì)于①：點(diǎn)0,1滿足曲線，但1,0不滿足曲線，所以曲線不關(guān)于直線對(duì)稱，①錯(cuò)誤；對(duì)于②：當(dāng)時(shí)，，即，所以，所以，即點(diǎn)不在直線上，②正確；對(duì)于③：當(dāng)時(shí)，，即，所以所以，得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以當(dāng)時(shí)，，③正確；對(duì)于④：當(dāng)時(shí)，曲線，所以，所以，即，所以曲線所圍成的區(qū)域的面積大于橢圓面積，橢圓面積大于以長(zhǎng)軸和短軸為對(duì)角線的菱形面積，故曲線所圍成的區(qū)域的面積大于，④正確；故選：A.17．(1)證明見解析(2)【分析】（1）利用直四棱柱的性質(zhì)及線面平行的判定定理，可證平面平面，再由面面平行的性質(zhì)定理，即可得證；（2）先根據(jù)棱柱的體積公式求得，再利用二面角的定義，求解即可．【詳解】（1）由題意知，，因?yàn)槠矫?，平面，所以平面，因?yàn)?，且平面，平面，所以平面，又，、平面，所以平面平面，因?yàn)槠矫?，所以平面．?）由題意知，底面為直角梯形，所以梯形的面積，因?yàn)樗睦庵捏w積為36，所以，過作于，連接，因?yàn)槠矫?，且平面，所以，又，、平面，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以，所以即為二面角的平面角，在△中，，所以，所以，即，故二面角的大小為?8．(1)(2)，或，或，或(3)為常數(shù)，理由見詳解【分析】（1）橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，由已知可得，，進(jìn)而得到，即可求得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)Px,y，由，在中，由勾股定理，再可得，與橢圓的方程聯(lián)立，即可求出點(diǎn)的坐標(biāo)；（3）設(shè)，由，，可得，即為常數(shù).【詳解】（1）設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，因?yàn)殚L(zhǎng)軸端點(diǎn)分別為，，所以，因?yàn)闄E圓的離心率為，所以，則，所以，則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）設(shè)Px,y因?yàn)?，為橢圓的焦點(diǎn)，為橢圓上一點(diǎn)，且，所以，由（1）知橢圓為，，所以，整理得，與聯(lián)立，解得，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為，或，或，或.（3）設(shè)，又，，則，，所以，又，所以，則，即為常數(shù).19．(1)證明見解析(2)【分析】（1）選條件①，根據(jù)面面垂直的性質(zhì)推出平面，繼而推出，再結(jié)合題意，根據(jù)線面垂直的判定定理即可證明結(jié)論；選條件②，根據(jù)勾股定理逆定理證明，可得平面，繼而推出，再結(jié)合題意，根據(jù)線面垂直的判定定理即可證明結(jié)論；（2）由（1）可得平面，則可得平面，由此建立空間直角坐標(biāo)系，求出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，求出平面的法向量，根據(jù)空間角的向量求法，即可求得答案.【詳解】（1）選條件①：平面平面，因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面平面，所以平面，因?yàn)槠矫?，所?因?yàn)闉榈冗吶切?，點(diǎn)為的中點(diǎn)，所以，因?yàn)槠矫嫫矫?，所以平?選條件②：因?yàn)椋瑸榈冗吶切?，所以，因?yàn)?，則，所以為直角三角形，所以，因?yàn)槠矫?，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以，因?yàn)闉榈冗吶切?，點(diǎn)為的中點(diǎn)，所以，因?yàn)槠矫嫫矫?，所以平?（2）因?yàn)椋桑?）知平面，所以平面.如圖，以點(diǎn)為原點(diǎn)，過點(diǎn)A在平面ABC內(nèi)作AC的垂線作為x軸，分別以所在直線為軸?軸建立空間直角坐標(biāo)系，

所以，所以.因?yàn)辄c(diǎn)為上一點(diǎn)，設(shè)，所以.因?yàn)?，則，所以，所以，所以，所以.設(shè)平面的法向量為n=x,y,z，所以，所以，令，得，所以.設(shè)直線與平面所成角為，，所以，所以直線與平面所成角的正弦值為.20．(1)，4(2)【分析】（1）由題意根據(jù)長(zhǎng)軸頂點(diǎn)坐標(biāo)、焦距以及平方關(guān)系列方程即可求解.（2）不妨設(shè)直線的方程為，，，則.聯(lián)立直線的方程與橢圓方程，由韋達(dá)定理得，聯(lián)立直線與直線的方程得點(diǎn)的坐標(biāo)，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得點(diǎn)的坐標(biāo)，由斜率公式以及韋達(dá)定理可得斜率的表達(dá)式（只含有參數(shù)），對(duì)分類討論即可求解.【詳解】（1）由題意知，.所以，.所以橢圓的方程為，其短軸長(zhǎng)為4.（2）設(shè)直線的方程為，，，則.由，得.所以.由得直線的方程為.由得.因?yàn)椋裕?所以.因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，且，所以.所以直線的斜率.當(dāng)時(shí)，.當(dāng)時(shí)，因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立.所以.所以當(dāng)時(shí)，取得最大值.21．(1)；(2)2；(3)13.【分析】（1）根據(jù)子集的定義，即可容易求得；（2）取，求得，再利用反證法假設(shè)，推得與矛盾即可；（3）令，討論時(shí)不滿足題意，再驗(yàn)證時(shí)的情況滿足題意，即可求得的最小值.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，的所有子集為.（2）當(dāng)時(shí)，取，因?yàn)?，所以是的子集，此時(shí)；若