2024-2025學(xué)年浙江省臺州市溫嶺市高二上學(xué)期12月月考數(shù)學(xué)檢測試題（附解析）

2024-2025學(xué)年浙江省臺州市溫嶺市高二上學(xué)期12月月考數(shù)學(xué)檢測試題一、單選題1.已知遞增的等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，則（）A.70 B.80 C.90 D.100【正確答案】D【分析】設(shè)等差數(shù)列的公差為d，由題意結(jié)合等差數(shù)列的通項(xiàng)公式求出即可結(jié)合等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式計(jì)算得解.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為d，則由題得，解得，所以.故選：D.2.已知橢圓，點(diǎn)為左焦點(diǎn)，點(diǎn)為下頂點(diǎn)，平行于的直線交橢圓于兩點(diǎn)，且的中點(diǎn)為，則橢圓的離心率為（）A. B. C. D.【正確答案】A【分析】由，的中點(diǎn)為，點(diǎn)差法得到齊次式，可求橢圓的離心率．【詳解】橢圓，左焦點(diǎn)F?c,0，下頂點(diǎn)，設(shè)，，的中點(diǎn)為，，．，．由，，兩式相減得，可化為，得，即，兩邊平方得，化為：，解得，又，解得．故選：A．3.兩個等差數(shù)列和的前項(xiàng)和分別為、，且，則等于（）A. B. C. D.【正確答案】A【分析】根據(jù)給定條件，利用等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式結(jié)合等差數(shù)列性質(zhì)計(jì)算作答.【詳解】兩個等差數(shù)列和的前項(xiàng)和分別為、，且，所以.故選：A4.已知向量滿足與的夾角為，設(shè)，數(shù)列的前項(xiàng)和為，則（）A.120 B.180 C.210 D.420【正確答案】C【分析】根據(jù)累加法可得，進(jìn)而可得，即可根據(jù)等差求和公式求解.【詳解】，由于，與的夾角為，故，因此，故，故選：C．5.《九章算術(shù)》是我國古代數(shù)學(xué)名著．書中將底面為矩形，且有一條側(cè)棱垂直于底面的四棱錐稱為陽馬．如圖，在陽馬中，平面，底面是矩形，E、F分別為PD，PB的中點(diǎn)，為直線CP上的動點(diǎn)，，，若平面，則（）A. B. C. D.【正確答案】B【分析】根據(jù)題意可以建立空間直角坐標(biāo)系，根據(jù)線面垂直，則直線的方向向量和平面的法向量互相平行即可求得比例關(guān)系.【詳解】因?yàn)槠矫妫酌媸蔷匦?，在處建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示：設(shè)，則，所以，設(shè)平面的法向量為，則，即，令，得，所以法向量為，設(shè)，因?yàn)?，因?yàn)槠矫?，則，所以，解得，則.故選：B二、多選題6.已知線段是圓的一條動弦，，直線與直線相交于點(diǎn)，下列說法正確的是（）A.直線恒過定點(diǎn)B.直線與圓恒相交C.直線，的交點(diǎn)在定圓上D.若為中點(diǎn)，則的最小值為【正確答案】ACD【分析】由直線過定點(diǎn)即可判斷A，由直線過定點(diǎn)以及點(diǎn)與圓的位置關(guān)系即可判斷B，聯(lián)立直線方程，然后消去即可得到點(diǎn)的軌跡方程，即可判斷C，先求得點(diǎn)的軌跡方程，再由點(diǎn)的軌跡方程，即可得到的最小值，即可判斷D.【詳解】對于選項(xiàng)A，因?yàn)橹本€，即，令，解得，則直線恒過定點(diǎn)，故A正確；對于選項(xiàng)B，因?yàn)橹本€，即，令，解得，所以直線恒過定點(diǎn)，將點(diǎn)代入圓可得，即點(diǎn)在圓外，所以直線與圓不一定相交，故B錯誤；對于選項(xiàng)C，聯(lián)立兩直線方程可得，解得，消去可得，即，故C正確；對于選項(xiàng)D，設(shè)，因?yàn)椋覟橹悬c(diǎn)，所以，而圓的圓心，半徑為，則圓心到弦的距離為，即，即點(diǎn)的軌跡方程為，圓心，半徑為，由選項(xiàng)C可知，點(diǎn)的軌跡方程為，圓心，半徑為，兩圓圓心距為，所以的最小值為，故D正確；故選：ACD7.首項(xiàng)為正數(shù)，公差不為0的等差數(shù)列，其前項(xiàng)和為，則下列4個命題中正確的有（）A.若，則，；B.若，則使的最大的n為15；C.若，，則中最大；D.若，則.【正確答案】ABD【分析】利用等差數(shù)列的求和公式及等差數(shù)列的性質(zhì)，逐一檢驗(yàn)選項(xiàng)，即可得答案.【詳解】對于A：因?yàn)檎龜?shù)，公差不為0，且，所以公差，所以，即，根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)可得，又，所以，，故A正確；對于B：因?yàn)?，則，所以，又，所以，所以，，所以使最大的n為15，故B正確；對于C：因?yàn)椋瑒t，，則，即，所以則中最大，故C錯誤；對于D：因?yàn)?，則，又，所以，即，故D正確，故選：ABD解題的關(guān)鍵是先判斷d的正負(fù)，再根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)，對求和公式進(jìn)行變形，求得項(xiàng)的正負(fù)，再分析和判斷，考查等差數(shù)列性質(zhì)的靈活應(yīng)用，屬中檔題.8.已知拋物線，為其焦點(diǎn)，直線與拋物線交于，兩點(diǎn)，則下列說法正確的是（）A.若點(diǎn)為拋物線上的一點(diǎn)，點(diǎn)坐標(biāo)為，則的最小值為B.若直線過焦點(diǎn)，則以為直徑的圓與相切C.若直線過焦點(diǎn)，當(dāng)時，則D.設(shè)直線的中點(diǎn)坐標(biāo)為，則該直線的斜率與無關(guān)，與有關(guān)【正確答案】BCD【分析】利用拋物線的定義以及數(shù)形結(jié)合可判斷A選項(xiàng)；利用拋物線的焦點(diǎn)弦公式可判斷B選項(xiàng)；求出、的坐標(biāo)，利用兩點(diǎn)間的距離公式可判斷C選項(xiàng)；利用點(diǎn)差法可判斷D選項(xiàng).【詳解】對于A選項(xiàng)，如下圖所示：拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為，設(shè)點(diǎn)在直線上的射影點(diǎn)為，由拋物線的定義可得，則，當(dāng)且僅當(dāng)、、三點(diǎn)共線時，即當(dāng)時，取最小值，A錯；對于B選項(xiàng)，若直線過焦點(diǎn)，則，線段的中點(diǎn)到直線的距離為，所以，，因此，以為直徑的圓與相切，B對；對于C選項(xiàng)，當(dāng)時，直線的方程為，聯(lián)立可得，不妨取、，則，此時，，C對；對于D選項(xiàng)，線段的中點(diǎn)坐標(biāo)為，若軸，則線段的中點(diǎn)在軸上，不合乎題意，所以直線的斜率存在，由題意可得，由作差得，所以，，D對.故選：BCD.9.如圖，在棱長為2的正方體中，E，F(xiàn)分別為棱的中點(diǎn)，G是棱上的一個動點(diǎn)，則下列說法正確的是（）A.平面截正方體所得截面為六邊形B.點(diǎn)G到平面的距離為定值C.若，且，則G為棱的中點(diǎn)D.直線與平面所成角的正弦值的取值范圍為【正確答案】BCD【分析】利用平行線的傳遞性與平行線共面判斷A，利用線面平行的判定定理判斷B，利用空間向量推得四點(diǎn)共面，結(jié)合面面平行的性質(zhì)定理判斷C，建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法求得線面角的取值范圍判斷D，從而得解.【詳解】對于A，連接，在正方體中，E，F(xiàn)分別為棱的中點(diǎn)，所以，，所以，則平面與平面為同一平面，所以平面截正方體所得截面為平面，為四邊形，故A錯誤；對于B，在正方體中，E，F(xiàn)分別為棱的中點(diǎn)，所以，又平面，平面，所以平面，又點(diǎn)G是棱上的一個動點(diǎn)，所以點(diǎn)G到平面的距離為定值，故B正確；對于C，連接，因?yàn)?，且，所以四點(diǎn)共面，因?yàn)樵谡襟w中，平面平面，又平面平面，平面平面，所以，在正方體中，，所以四邊形是平行四邊形，則，則，因?yàn)镋為棱的中點(diǎn)，所以G為棱的中點(diǎn)，故C正確；對于D，以為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，設(shè)，則，所以，設(shè)平面的法向量為n=a,b,c，則，令，則，故，設(shè)直線與平面所成角，則，因?yàn)?，所以，則，所以，所以直線與平面所成角的正弦值的取值范圍為，故D正確.故選：BCD.三、填空題10.等差數(shù)列的前項(xiàng)之和為，若，，則______．【正確答案】90【分析】根據(jù)給定條件，結(jié)合等差數(shù)列性質(zhì)求出，再利用等差數(shù)列前項(xiàng)和公式計(jì)算作答.【詳解】由得：，整理得，由得：，整理得，而，即，于是得，所以.故9011.將數(shù)列{2n–1}與{3n–2}的公共項(xiàng)從小到大排列得到數(shù)列{an}，則{an}的前n項(xiàng)和為________．【正確答案】【分析】首先判斷出數(shù)列與項(xiàng)的特征，從而判斷出兩個數(shù)列公共項(xiàng)所構(gòu)成新數(shù)列的首項(xiàng)以及公差，利用等差數(shù)列的求和公式求得結(jié)果.【詳解】因?yàn)閿?shù)列是以1為首項(xiàng)，以2為公差的等差數(shù)列，數(shù)列是以1首項(xiàng)，以3為公差的等差數(shù)列，所以這兩個數(shù)列公共項(xiàng)所構(gòu)成的新數(shù)列是以1為首項(xiàng)，以6為公差的等差數(shù)列，所以的前項(xiàng)和為，故答案為.該題考查的是有關(guān)數(shù)列的問題，涉及到的知識點(diǎn)有兩個等差數(shù)列的公共項(xiàng)構(gòu)成新數(shù)列的特征，等差數(shù)列求和公式，屬于簡單題目.12.已知為平面的一個法向量，為內(nèi)的一點(diǎn)，則點(diǎn)到平面的距離為_________．【正確答案】分析】根據(jù)給定條件，利用點(diǎn)到平面的向量求法，列式計(jì)算作答．【詳解】依題意，，而為平面的一個法向量，所以點(diǎn)到平面的距離,故13.已知離心率為

的橢圓和離心率為的雙曲線有公共的焦點(diǎn)，其中為左焦點(diǎn)，是與在第一象限的公共點(diǎn)．線段的垂直平分線經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)，則的最小值為________．【正確答案】【分析】設(shè)為右焦點(diǎn)，由題意，，利用橢圓和雙曲線的性質(zhì)有，最后用均值不等式即可求解．【詳解】設(shè)為右焦點(diǎn)，半焦距為，，，為中點(diǎn)，線段的垂直平分線經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)，為中點(diǎn)，則，由，，則，，，所以，從而有，故，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等，所以的最小值為.故．思路點(diǎn)睛：關(guān)于離心率問題，可以根據(jù)條件得到關(guān)于a，c的齊次式，設(shè)，，利用橢圓和雙曲線的性質(zhì)有，，結(jié)合，得到，利用基本不等式求的最小值即可．四、解答題14.等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，已知，.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和.【正確答案】（1）（2）【分析】（1）根據(jù)條件轉(zhuǎn)化為首項(xiàng)和公差的方程，即可求解；（2）根據(jù)數(shù)列正項(xiàng)和負(fù)項(xiàng)的分界，討論與的關(guān)系，求解.【小問1詳解】設(shè)數(shù)列的公差為，∵，∴，∵，∴?，∴公差為，∴，∴；【小問2詳解】由已知，時，；時，；綜上.15.如圖，在三棱錐中，若，，，點(diǎn)為棱上一點(diǎn)，且，點(diǎn)為線段的中點(diǎn)（1）求的長度；（2）求異面直線與所成角的余弦值．【正確答案】（1）（2）【分析】（1）根據(jù)向量的四則運(yùn)算，用，，表示，結(jié)合向量數(shù)量積的運(yùn)算律求解即可；（2）根據(jù)向量數(shù)量積公式和運(yùn)算律求解即可.【小問1詳解】因?yàn)闉榫€段的中點(diǎn)，，所以，，所以，又因?yàn)?，，所?【小問2詳解】由（1）得，所以，即異面直線與所成角的余弦值為.16.已知橢圓的離心率為，直線與以原點(diǎn)為圓心、橢圓的短半軸長為半徑的圓相切．（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為，右焦點(diǎn)為，直線過點(diǎn)，且垂直于橢圓的長軸，動直線垂直于，垂足為點(diǎn)，線段的垂直平分線交于點(diǎn)，求點(diǎn)的軌跡的方程；（3）設(shè)與軸交于點(diǎn)，在曲線上是否存在一點(diǎn)，使得以為直徑的圓與有除、外的公共點(diǎn)，若存在求出的取值范圍；若不存在，請說明理由．【正確答案】（1）（2）（3）存在，．【分析】（1）根據(jù)圓心到直線的距離公式得到，可得，進(jìn)而結(jié)合離心率求解即可；（2）根據(jù)題意得到，可得點(diǎn)的軌跡為拋物線，進(jìn)而求解；（3）設(shè)，，，且，，由結(jié)合向量可得，進(jìn)而根據(jù)基本不等式可得，再根據(jù)二次函數(shù)性質(zhì)求解即可.【小問1詳解】由題意，直線與以原點(diǎn)為圓心、橢圓的短半軸長為半徑的圓相切，則，