《電磁場與電磁波及其應(yīng)用》課件第三章

第三章麥克期韋方程組的幾種特殊解3.1

靜電場的邊值問題解3.2恒定電場的邊值問題解3.3恒定磁場的邊值問題解3.4分離變量法3.5鏡像法3.6唯一性定理3.7工程應(yīng)用

3.1靜電場的邊值問題解

3.1.1基本方程和邊界條件

1.基本方程

積分形式：(3.1.1)(3.1.2)微分形式：(3.1.3)(3.1.4)以及

D=εE(3.1.5)基本方程表明靜電場是有源（通量源）無旋場，靜止電荷時產(chǎn)生靜電場的通量源；電場線（E線）從正的靜止電荷發(fā)出，終于負的靜止電荷。

2.邊界條件

在兩種電介質(zhì)的分界面上，電場強度滿足關(guān)系式：

en×(E1－E2)=0或

E1t=E2t

（3.1.6）

表明電場強度的切向分量是連續(xù)的。

電位移矢量滿足的關(guān)系式為

en·(D1－D2)=ρS

或D1n－D2n=ρS(3.1.7)表明在兩種媒質(zhì)的分界面上存在自由面電荷分布時，電位移矢量的法向分量是不連續(xù)的。

若分界面上不存在面電荷，即ρS=0，則

en·(D1－D2)=0或D1n=D2n

（3.1.8）

此時，在分界面上，D的法向分量是連續(xù)的。式（3.1.8）可改寫為

ε1E1n=ε2E2n

可見，當ε1≠ε2時，E的法向分量是不連續(xù)的，這是因為分界面上存在束縛電荷密度。3.1.2電位與電容

1.電位和電位差

由靜電場的基本方程×E=0和矢量恒等式×u

=0可知，電場強度矢量E可以表示為標量函數(shù)j的梯度，即

E(r)=－j(r)(3.1.9)

式中的標量函數(shù)j(r)稱為靜電場的電位函數(shù)，簡稱電位，單位為V（伏特）。此式適用于任何靜止電荷產(chǎn)生的靜電場，即靜電場的電場強度矢量等于負的電位梯度。對于點電荷的電場考慮到以下梯度運算結(jié)果則有與式（3.1.9）比較，可得到點電荷q產(chǎn)生的電場的電位函數(shù)為(3.1.10)(3.1.11)(3.1.12)(3.1.13)(3.1.14)

2.靜電位的微分方程

在均勻、線性和各向同性的電介質(zhì)中，ε是一個常數(shù)。得即靜電位滿足標量泊松方程。若空間內(nèi)無自由電荷分布，即ρ=0，則j(r)滿足拉普拉斯方程(3.1.18)分界面兩側(cè)的電位是相等的，即

j1=j2(3.1.19)又由en·(D1－D2)=ρS,可導出(3.1.20)若分界面上不存在自由面電荷，即ρS=0，則上式變?yōu)?/p>

(3.1.21)

若第二種媒質(zhì)為導體，因達到靜電平衡后導體內(nèi)部的電場為零，導體為等位體，故該導體表面上電位的邊界條件為(3.1.22)

3.電容

電容是導體系統(tǒng)的一種基本屬性，它是描述導體系統(tǒng)儲存電荷能力的物理量。定義兩導體系統(tǒng)的電容為任一導體上的總電荷與兩導體之間的電位差之比，即

(3.1.23)

電容的單位是F（法拉）。電容的大小與電荷量、電位差無關(guān)，因為該比值為常數(shù)。電容的大小只是導體系統(tǒng)的物理尺度及周圍電介質(zhì)的特性參數(shù)的函數(shù)。例3.1.2同軸線的內(nèi)導體半徑為a，外導體半徑為b，內(nèi)外導體間填充介電常數(shù)為ε的均勻電介質(zhì)（見圖3.1-1），試求其單位長電容。圖3.1-1例3.1.2題圖解設(shè)同軸線的內(nèi)、外導體單位長度帶電量分別為ρl和－ρl，應(yīng)用高斯定律求得內(nèi)外導體間任意點的電場強度為內(nèi)外導體間的電壓為從而求得單位長度電容為3.1.3靜電場的能量與靜電力

1.靜電場的能量

對整個空間，外電源所做的總功為根據(jù)能量守恒定律，外電源所做的功轉(zhuǎn)換為電場的能量，因此整個空間增加的電場能量為充電過程完成后，系統(tǒng)的總能量為電場能量的單位為J(焦耳)。如果電荷是以面密度ρS分布在曲面S上，則式（3.1.24）變?yōu)?3.1.24)(3.1.25)對于多導體組成的帶電系統(tǒng)，因為每個導體上的電位為常數(shù)，則式（3.1.25）變?yōu)槔纾p導體系統(tǒng)被充電后，導體1帶電荷為+q，導體2帶電荷為－q；電位分別為是j1和j2，則電場能量為(3.1.26)(3.1.27)

2.能量密度

電場能量存在于整個電場空間。下面導出用電場矢量表示的計算電場能量的公式。利用點電荷產(chǎn)生的電位j、電位移矢量D的以下關(guān)系：必有則得(3.1.28)對于線性和各向同性介質(zhì)，D=εE,故上式可表示為上式表明電場能量儲存在電場不為零的空間，能量密度為能量密度的單位是J/m3（焦耳/米3）。(3.1.30)(3.1.29)例3.1.3]計算半徑為a,電荷為Q

的導體球具有的能量。導體周圍介質(zhì)的介電常數(shù)為ε。

解方法一：已知半徑為a,電荷為Q的導體球的電位j為利用式（3.1.26）得方法二：已知導體表面是一個等位面,根據(jù)式(3.1.25),得

3.靜電力

在由N個導體組成的系統(tǒng)中，假設(shè)只有第i個帶電導體在電場力Fi的作用下有一個廣義坐標gi發(fā)生位移dgi，則電場力所做的功為Fidgi，系統(tǒng)的靜電能量增量為dWe，根據(jù)能量守恒定律，該系統(tǒng)的功能關(guān)系為

dWS=Fidgi+dWe

(3.1.31)

式中dWS是與各帶電體相連接的外電源所提供的能量。靜電力可分為以下兩種情況：

（1）假設(shè)各帶電體的電荷保持不變（恒電荷系統(tǒng)）。

當?shù)趇個導體發(fā)生虛位移時，所有帶電體都不和外電源連接，此時dWS=0。由式（3.1.31）得

Fidgi=－dWe|q=常數(shù)

故得(3.1.32)（2）假設(shè)各帶電導體的電位保持不變（恒電位系統(tǒng)）。

當?shù)趇個導體發(fā)生虛位移時，所有導體應(yīng)分別與外部電源相連接。因此外部電壓源供給的能量為根據(jù)式（3.1.26）得到系統(tǒng)的靜電能量增量為可見，外電壓源向系統(tǒng)提供給系統(tǒng)的能量只有一半是用于靜電能量的增加，另一半則是用于電場力做功，即電場力做功等于靜電能量的增量故得(3.1.33)例3.1.4已知平板電容器帶電荷為Q，極板面積為S，間距為l，板間填充介電常數(shù)為ε的介質(zhì)，利用虛位移法計算平板電容器極板上受到的表面張力。解利用虛位移概念,假定由于同一極板上的同性電荷相斥產(chǎn)生的表面張力為F。在此表面張力F

的作用下,使極板面積擴大了dS,則電場力做的功為FdS,根據(jù)能量守恒定律,這部分功應(yīng)等于電場能量的減小值。由式（3.1.32）得

3.2恒定電場的邊值問題解

3.2.1基本方程和邊界條件

1.基本方程

電流密度J(r)和電場強度E(r)是恒定電場的基本矢量。根據(jù)電流連續(xù)性方程得相應(yīng)的微分形式(3.2.1a)(3.2.1b)式（3.2.1a）表明從閉合面S穿出的電流恒為零，因而閉合面包圍的體積內(nèi)的電量也不隨時間改變。由此可以認定恒定電場也是保守場，電場強度沿任一閉合路徑的線積分恒為零，即相應(yīng)的微分形式為因而，恒定電場也可用電位梯度表示：(3.2.2a)(3.2.2b)(3.2.3)

2.邊界條件

將恒定電場基本方程的積分形式（3.2.1a）和式（3.2.2a）應(yīng)用到兩種不同導電媒質(zhì)的分界面上，可導出恒定電場的邊界條件為(3.2.5)(3.2.6)電位函數(shù)的邊界條件為由式（3.2.5）和式（3.2.6）可導出場矢量在分界面上的折射關(guān)系：(3.2.7)(3.2.8)(3.2.9)3.2.2恒定電場與靜電場的比擬

縱觀前面的討論，我們可以看到均勻?qū)щ娒劫|(zhì)中的恒定電場（電源外部）和均勻電介質(zhì)中的靜電場（電荷密度ρ=0的區(qū)域）有很多相似之處，表3.2.1所示為兩種場的比擬。在靜電場中，兩導體之間充滿介電常數(shù)為ε的均勻電介質(zhì)時的電容為(3.2.10)式中的q是帶正電荷的導體1上的電量，U是兩導體間的電壓。在恒定電場中兩個電極間充滿電導率為σ的均勻?qū)щ娒劫|(zhì)時的電導為(3.2.11)式中I是從導體1（電極1）表面流出的電流。例3.2.2計算深埋地下半徑為a的導體球的接地電阻。

解導體球的電導率一般總是遠大于土壤的電導率，可將導體球看做等位體，用靜電比擬法求解。位于電介質(zhì)中的半徑為a的導體球的電容為

C=4πεa

所以導體的接地電導為

G=4πσa

式中σ為導體球的電導率。導體的接地電阻為

3.3恒定磁場的邊值問題解

3.3.1基本方程和邊界條件

1.基本方程

積分形式：(3.3.1)(3.3.2)微分形式：以及(3.3.5)(3.3.3)(3.3.4)基本方程表明恒定磁場是無源（無通量源）、有旋場，恒定電流是產(chǎn)生恒定磁場的旋渦源;磁力線是與源電流相交鏈的閉合曲線。

2.邊界條件

在不同的磁介質(zhì)的分界面上一般都存在著磁化面電流，

B和H在經(jīng)過分界面時要發(fā)生突變。在分界面上B滿足的關(guān)系式為

en·(B1－B2)=0或

B1n=B2n(3.3.6)

表明分界面上B的法向分量是連續(xù)的。在分界面上H滿足的關(guān)系式為

en×(H1－H2)=JS

或

H1t－H2t=JS(3.3.7)

若分界面上不存在自由面電流（JS=0），則

en×(H1－H2)=0或H1t=H2t(3.3.8)

表明此時的磁場強度切向分量是連續(xù)的。3.3.2磁位與電感

1.矢量磁位

由于ex、ey和ez均為常矢量，故上式可分解為三個分量的泊松方程，即(3.3.13)式（3.3.13）所示的三個分量泊松方程與靜電位j的泊松方程形式相同，可以確認它們的求解方法和所得到的解的形式也應(yīng)相同，故可參照電位j的形式直接寫出(3.3.14)將以上三個分量疊加即得矢量磁位泊松方程的解上式中的C=exCx+eyCy+ezCz為常矢量，它的存在不會影響B(tài)的求解。對于面電流分布與線電流分布，同樣可以寫出(3.3.15)(3.3.16)(3.3.17)例3.3.1求長度為b的載流直導線的矢量磁位。

解取如圖3.3-1所示的坐標系，因電流只有z向分量，所以A只有z向分量，場點坐標是P（r,f,z），源Idz′產(chǎn)生的矢量磁位為對直線積分有如果b≥r，則圖3.3-1例3.3.1題圖根據(jù)恒定磁場在不同媒質(zhì)分界面上的邊界條件

en×(H1－H2)=JS,en·(B1－B2)=0

以及B=

×A，可得到不同媒質(zhì)分界面上矢量磁位A的邊界條件為(3.3.18)(3.3.19)磁通的計算也可以通過矢量磁位表示:(3.3.20)

2.標量磁位

在無源區(qū)中,因J=0,得×B=0。可見,無源區(qū)中磁感應(yīng)強度是無旋的。因此,無源區(qū)中磁感應(yīng)強度可以表示為一個標量場的梯度,令

B=－jm(3.3.21)

式中標量jm稱為標量磁位。因×B=0,由上式得

2jm=0(3.3.22)

可見,標量磁位jm滿足拉普拉斯方程。

3.電感

1）自感

設(shè)回路中的電流為I，它所產(chǎn)生的磁場與回路交鏈的自感磁鏈為ψ，則磁鏈ψ與回路中的電流I成正比關(guān)系，其比值

(3.3.23)

稱為回路的自感系數(shù)，簡稱自感。自感的單位是H（亨利）。自感的大小取決于回路的尺寸、形狀以及介質(zhì)的磁導率。

2）互感

若有兩個回路存在,如圖3.3-2所示。設(shè)回路C1的電流I1在回路C2中產(chǎn)生的磁通鏈為ψ12。顯然ψ12與電流I1成正比，這一比值稱為互感，定義為(3.3.24)互感的單位與自感相同。同理，可以用回路C2的電流

I2在回路C1中產(chǎn)生的磁通鏈ψ21與電流I2的比值來定義互感

M21：

(3.3.25)

互感的大小也取決于回路的尺寸、形狀以及介質(zhì)的磁導率和回路的匝數(shù)。圖3.3-2兩回路間的互感當導線的直徑遠小于回路的尺寸，而且也遠小于兩個回路之間的最近距離時，兩個回路都可以用軸線的幾何回路代替。設(shè)兩個回路都只有一匝，則有式中，A12為I1在C2上的矢量磁位。把式（3.3.26）和式（3.3.27）代入式（3.3.24），得(3.3.36)(3.3.37)(3.3.38)例3.3.2如圖3.3-3所示,求無限長平行雙導線的單位長外自感。圖3.3-3平行雙導線解設(shè)導線中的電流為I，由無限長導線的磁場公式（可由安培環(huán)路定理求得）可得兩導線之間軸線所在平面上的磁感應(yīng)強度為磁場的方向與導線回路平面垂直，單位長度上的外磁鏈為單位長外自感3.3.3恒定磁場的能量與磁場力

1.磁場能量

法拉第電磁感應(yīng)定律指出，回路中的感應(yīng)電動勢等于與回路交鏈的磁鏈的時間變化率，即回路j中的感應(yīng)電動勢為而外加電壓等于dt時間內(nèi)與回路j相連接的電源所做的功為如果系統(tǒng)包括N個回路，增加的磁能就為回路j的磁鏈為(3.3.29)(3.3.30)將式（3.3.30）代入式（3.3.29）得假設(shè)各回路中的電流同時從零開始以相同的百分比α上升，即ij(t)=α(t)Ij，則dik=Ikdα，于是(3.3.31)故將式（3.3.30）代入式（3.3.31）得式中的A是N個回路在dlj上的合成矢量磁位。(3.3.33)

2.能量密度

將

代入式（3.3.32）中得于是得到(3.3.34)表明磁場能量儲存于場空間，被積函數(shù)可視為磁場能量密度，表示為(3.3.35)能量密度的單位為J/m3（焦耳/米3）。例3.3.3求無限長圓柱導體單位長度的能量。

解設(shè)導體半徑為a，通過的電流為I，則距離軸心r處的磁感應(yīng)強度為單位長度的磁場能量為

3.磁場力

（1）兩回路的磁鏈不變，即ψ1=常數(shù)、ψ2=常數(shù)。由于回路C1發(fā)生位移，兩回路中的電流必定發(fā)生改變，這樣才能維持兩回路的磁鏈不變。故得(3.3.36)（2）兩回路中的電流不變，即I1=常數(shù)、I2=常數(shù)。由于回路C1發(fā)生位移，兩回路中的磁鏈必定發(fā)生改變，因此兩個回路都有感應(yīng)電動勢。故得(3.3.37)因兩個電流回路的磁場能量為將其代入式(3.3.37)中，得上式表明，在I1和I2不變的情況下，磁場能量的改變(即磁力)僅是由于互感M的改變引起的。例3.3.4設(shè)兩導體平面的長為l，寬為b，間隔為d，上、下面分別有方向相反的面電流JSO,如圖3.3-4所示。設(shè)l>>d,

b>>d，求上面一片導體板面電流所受的力。圖3.3-4平行面電流磁力解考慮到間隔遠小于其尺寸，故可以看成無限大面電流，由安培回路定律可以求出兩導體板之間的磁場為

B=ezμ0JSO

導體外磁場為零，當用虛位移法計算上面的導體板受力時，假設(shè)兩板間隔為一變量z，磁場能為假定上導體板位移時，電流不變，由式(3.3.37)得

3.4分離變量法

3.4.1直角坐標系中的分離變量法

設(shè)位函數(shù)j只是x、y的函數(shù)，而沿z坐標方向沒有變化，則拉普拉斯方程為(3.4.1)將j(x,y)表示為兩個一維函數(shù)X(x)和Y(y)的乘積，即

j(x,y)=X(x)Y(y)(3.4.2)將其代入式（3.4.1），有將上式各項除以X(x)Y(y)，得上式中，左端僅為x的函數(shù)，右端僅為y的函數(shù)，而對x、y取任意值時，它們又是恒等的。式中的每一項都須等于常數(shù)，將此常數(shù)寫成－k2，即(3.4.3)(3.4.4)(3.4.5)由此得當k=0時，方程(3.4.4)和方程(3.4.5)的解為

X(x)=A0x+B0

Y(y)=C0y+D0

于是

j(x,y)=(A0x+B0)(C0y+D0)(3.4.6)

當k≠0且k為實數(shù)時，方程(3.4.4)和方程(3.4.5)的解為

X(x)=Asinkx+Bcoskx

Y(y)=Csinhky+Dcoshky

于是

j(x,y)=(Asinkx+Bcoskx)(Csinhky+Dcoshky)(3.4.7)

若k為虛數(shù)，則式（3.4.7)中右邊的x和y互換位置即可。由于拉普拉斯方程(3.4.1)是線性的，所以式(3.4.6)和式(3.4.7)的線性組合也是方程(3.4.1)的解。在求解邊值問題時，為了滿足給定的邊界條件，分離常數(shù)k通常取一系列特定

的值kn(n=1,2,…)，而待求位函數(shù)j(x,y)則由所有可能的解的線性組合構(gòu)成，稱為位函數(shù)的通解，即若將式(3.4.3)中的k2換為－k2，則可得到另一形式的通解：(3.4.9)(3.4.9)(3.4.8)例3.4.1如圖3.4-1所示，兩塊半無限大平行導體板的電位為零，與之垂直的底面電位為j(x,0)，求此半無限槽中的電位。其中圖3.4-1無限長槽的電位解本題的電位與z無關(guān)，只是x,

y的函數(shù)，本例的邊界條件為

①

x=0時，j=0;

②x=a時，j=0;

③y→∞時，j=0;由邊界條件①和②知，基本解Xn=sin(nπx/a),而基本解Yn(y)只能取指數(shù)函數(shù)或雙曲函數(shù)，但考慮到邊界條件③，有Yn=e－nπy/a，至此我們使用了邊界條件①、②、③。為滿足邊界條件④，取級數(shù)代入邊界條件④，得(3.4.10)運行正弦函數(shù)的正交歸一性，得化簡得將式(3.4.11)代入式（3.4.10）即可得到待求電位。(3.4.11)3.4.2圓柱坐標系中的分離變量法

在這種情況下，位函數(shù)滿足的拉普拉斯方程為(3.4.12)令位函數(shù)代入上式，有得到由于此式對ρ和f取任意值時都成立，所以式中的每一項都等于常數(shù)，即由此將拉普拉斯方程（3.4.12）分離成兩個常微分方程:(3.4.13)(3.4.1４)式中k為分離常數(shù)。當k=0時，方程（3.4.13）和方程（3.4.14）的解為(3.4.15)于是當k≠0時，方程（3.4.13）和方程（3.4.14）的解為于是(3.4.16)分離常數(shù)應(yīng)取整數(shù)值，即k=n(n=0,1,2,…)，由此得到圓柱形區(qū)域中二維拉普拉斯方程（3.4.12）的通解為式中的待定常數(shù)由具體問題所給定的邊界條件所確定。例3.4.2將半徑為a的無限長導體圓柱置于真空中的均勻電場E0中，柱軸與電場E0垂直，求任意點的電位。

解令圓柱的軸線與z軸重合,電場E0的方向與x方向一致，如圖3.4-2所示，由于導體柱是一個等位體，不妨令其為零，即在柱內(nèi)電位j1=0，柱外電位j2滿足拉普拉斯方程，j2的形式就是圓柱坐標系拉普拉斯方程的通解。圖3.4-2均勻場中的導體柱以下由邊界條件確定待定系數(shù)，本例的邊界條件是

①ρ→∞，柱外電場E2→E0ex，這樣j2→E0x,即j2→

E0ρcosj;

②ρ=a，導體柱內(nèi)、外電位連續(xù)，即j2=0。

除此之外，電位關(guān)于軸對稱，即在通解中只取余弦項，于是，

由邊界條件①可知，這樣，由邊界條件②,有因這一表達式對任意的j成立，所以于是，3.4.3球坐標系中的分離變量法

在球坐標系中，對于以極軸為對稱軸的問題，位函數(shù)與坐標變量j無關(guān)，則拉普拉斯方程為令位函數(shù)j(r,θ)=R(r)F(θ)，代入上式，得(3.4.18)將上式各項乘以可得到由于此式對r和θ取任意值時恒成立，所以式中的每一項都等于常數(shù)，即由此將拉普拉斯方程（3.4.18）分離成兩個常微分方程:(3.4.19)(3.4.20)方程（3.4.20）稱為勒讓德方程。若分離常數(shù)k的取值為

k2=n(n+1)(n=0,1,2,…)則其解為

F(θ)=AnPn(cosθ)+BnQn(cosθ)(3.4.21)其中Pn(cosθ)稱為第一類勒讓德函數(shù)，Qn(cosθ)稱為第二類勒讓德函數(shù)。對球形區(qū)域問題，θ在閉區(qū)間［0,π］上變化，而Qn(cosθ)在θ=0和θ=π時是發(fā)散的，所以，當場域包含θ=0和θ=π的點時，在式（3.4.21）中應(yīng)取Bn=0，即

F(θ)=AnPn(cosθ)(3.4.22)

Pn(cosθ)又稱為勒讓德多項式，其一般表達式為(3.4.23)下面給出前幾個勒讓德多項式的表達式：當k2=n(n+1)時，方程（3.4.19）的解為

R(r)=Cnrn+Dnr－(n+1)于是得到方程（3.4.18）的基本解

j(r,θ)=［Cnrn+Dnr－(n+1)］Pn(cosθ)(3.4.24)

由n取所有可能數(shù)值時各解的線性組合，即得到球形區(qū)域中二維拉普拉斯方程（3.4.18）的通解為(3.4.25)

3.5鏡像法

3.5.1接地導體平面的鏡像

1．點電荷對無限大接地導體平面的鏡像

如圖3.5-1所示，有一個點電荷q，位于無限大接地導體平面上方，與導體平面距離為h。在z>0的上半空間，總電場是由原電荷q和導體平面上的感應(yīng)電荷共同產(chǎn)生的。圖3.5-1點電荷與無限大接地導體平面設(shè)想將導體平面抽去，使整個空間變?yōu)槌錆M介電常數(shù)為ε的均勻電介質(zhì)，并在點電荷q的對稱點(0，0，－h(huán))上放置鏡像電荷q′=－q，如圖3.5-2所示。此時，z>0的空間中任意一點P(x,y,z)的電位函數(shù)就等于原電荷q與鏡像電荷－q所產(chǎn)生的電位之和。圖3.5-2點電荷與無限大接地導體平面的鏡像這一點非常重要，在后面介紹的球和圓柱的鏡像問題上尤為突出。(3.5.1)容易證明，電位函數(shù)j(x,y,z)在z=0處滿足j=0；在z>0的空間，滿足2j=0(除點電荷q所在點之處),式(3.5.1)就是位于無限大接地導體平面上方的點電荷q產(chǎn)生的電位函數(shù)，對電位求負梯度就可求出相應(yīng)的電場。根據(jù)導體與介質(zhì)分界面上的邊界條件可求出導體平面上的感應(yīng)電荷密度(3.5.2)導體平面上的總感應(yīng)電荷為(3.5.3)

2．線電荷對無限大接地導體平面的鏡像

如圖3.5-3所示，沿y軸方向的無限長直線電荷位于無限大接地導體平面上方，相距為h，單位長度帶電量為ρl，與點電荷對無限大接地導體平面的鏡像類似分析，可知其鏡像電荷仍是無限長線電荷，如圖3.5-4所示。圖3.5-3線電荷與無限大接地導體平面圖3.5-4線電荷與無限大接地導體平面的鏡像鏡像電荷的密度和位置分別為

ρl′=－ρl，z′=－h(huán)(3.5.4)

在z≥0的上半空間中，電位函數(shù)為(3.5.5)

3.點電荷對相交半無限大接地導體平面的鏡像

圖3.5-5表示相互垂直的兩塊半無限大接地導體平面，點電荷q與兩導體平面的距離分別為d1和d2。需要求解的是第一象限內(nèi)的場分布。圖3.5-5點電荷與正交導體平面點電荷q對相互垂直的兩塊接地半無限大導體平面有三個鏡像電荷，如圖3.5-6所示。這時所求的有效空間是第一象限，三個鏡像電荷將與原電荷一起成為產(chǎn)生電位和電場的源，由點電荷的電位和電場表達式進行疊加就能寫出電位和電場的解。圖3.5-6點電荷與正交導體平面的鏡像3.5.2導體球面的鏡像

1．點電荷對接地導體球面的鏡像

如圖3.5-7所示，點電荷q位于一個半徑為a的接地導體球外，與球心距離為d。點電荷q將在導體球面上產(chǎn)生感應(yīng)電荷，導體球外的電位就由點電荷和感應(yīng)電荷共同產(chǎn)生。這類問題可用鏡像法計算。圖3.5-7點電荷與接地導體球面把導體球面移去，用一個鏡像電荷來等效球面上的感應(yīng)電荷。為了不改變球外的電荷分布，鏡像電荷必須放置在導體球面內(nèi)。又由于對稱性，鏡像電荷應(yīng)位于球心與點電荷q

的連線上，如圖3.5-8所示。圖3.5-8點電荷與接地導體球面的鏡像設(shè)鏡像電荷為q′，與球心距離為d′，則由q和q′，產(chǎn)生的電位函數(shù)為由于導體球接地，在球面r=a處，j=0。于是有由此得因上式對任意的θ都成立，所以由此解得和(3.5.6)球外的電位函數(shù)為(3.5.7)球面上的感應(yīng)電荷密度為(3.5.8)導體球面上的總感應(yīng)電荷為(3.5.9)從式（3.5.8）看出，接地導體球面上的感應(yīng)電荷分布是不均勻的，靠近點電荷q的一側(cè)密度大些；從式(3.5.9)看出，球面上的總感應(yīng)電荷等于所設(shè)置的鏡像電荷。如果點電荷q位于半徑為a的接地導體球殼內(nèi)，與球心距離為d(d<a)，欲求球殼內(nèi)的電位分布，也可用鏡像法求解。此時的鏡像電荷應(yīng)放置在球外，且在球心與點電荷q的連接線

的延長線上。設(shè)鏡像電荷為q′，與球心距離為d′。仿照上面的做法，可得到(3.5.10)由于d<a，所以必有|q′|>|q|。也就是說，這種情況下，鏡像電荷的電荷量大于點電荷q的電荷量。當點電荷位于接地導體球殼內(nèi)時，球殼外的電位φ=0，球殼內(nèi)的電位函數(shù)表達式與式(3.5.7)相同，感應(yīng)電荷分布在導體球殼的內(nèi)表面上，其電荷面密度為導體球殼上的總感應(yīng)電荷為(3.5.11)(3.5.12)

2．點電荷對不接地導體球面的鏡像

為使導體球面為等位面，所加的電荷－q′應(yīng)均勻分布在導體球面上，這樣可以用一個位于球心的鏡像電荷q″=－q′來替代，如圖3.5-9所示。圖3.5-9點電荷與不接地導體球面的鏡像球外任一點P的電位函數(shù)就為式中(3.5.13)(3.5.14)3.5.3導體圓柱面的鏡像

1．線電荷對導體圓柱面的鏡像

一根電荷線密度為ρl的無限長線電荷位于半徑為a的無限長接地導體圓柱面外，且與圓柱的軸線平行，線電荷到軸線的距離為d，如圖3.5-10所示。圖3.5-10線電荷與接地導體圓柱在用鏡像法解此問題時，為使導體圓柱面成為電位為零的等位面，鏡像電荷應(yīng)是位于圓柱面內(nèi)部且與軸線平行的無限長線電荷，設(shè)其線密度為ρl′，由于對稱性，鏡像電荷必定位于線電荷ρl與圓柱軸線所確定的平面上，設(shè)鏡像電荷ρ1′距圓柱的軸線為d′，如圖3.5-11所示。圖3.5-11線電荷與導體圓柱的鏡像空間任意一點P的電位函數(shù)應(yīng)為ρl和ρl′在該點產(chǎn)生的電位之和，即由于導體圓柱接地，所以當ρ=a時，電位應(yīng)為零，即上式對任意的f都成立，因此將上式對f求導，可得到所以有(3.5.15)由式（3.5.15）可求得關(guān)于鏡像電荷的兩組解(3.5.16)

和

由此，導體圓柱面外的電位函數(shù)為故(3.5.17)導體圓柱面上的感應(yīng)電荷面密度為導體圓柱面上的感應(yīng)電荷面密度為(3.5.19)(3.5.20)

2．兩平行圓柱導體的電軸

圖3.5-12表示半徑都為a兩個平行導體圓柱的橫截面，它們的軸線間距為2h，單位長度分別帶電荷ρl和－ρl。由于

兩圓柱帶電導體的電場互相影響，使導體表面上的電荷分布不均勻，相對的一側(cè)電荷密度較大，而相背的一側(cè)電荷密度較小。圖3.5-12平行導體圓柱截面根據(jù)線電荷對導體圓柱的鏡像法，可以設(shè)想將兩導體圓柱撤去，其表面上的電荷用線密度分別為ρl和－ρl且相距為2b的兩根無限長帶電細線來等效替代，如圖3.5-13所示。實際上是將ρl和－ρl看成是互為鏡像。帶電細導線所在的位置稱為帶電圓柱導體的電軸，因而這種方法又稱為電軸法。圖3.5-13兩無限長細電荷電軸的位置由式(3.5.16)確定。在此d′=h－b，d=h+b，故有

(h－b)(h+d)=a2

由此解得這樣，導體圓柱外空間任意一點的電位函數(shù)就等于線電荷密度分別為ρl和－ρl的兩平行雙線產(chǎn)生的電位疊加，即3.5.4介質(zhì)平面的鏡像

1．點電荷對電介質(zhì)分界平面的鏡像

如圖3.5-14所示，介電常數(shù)分別為ε1和ε2的兩種不同

介質(zhì)，各均勻充滿上、下無限大空間，其分界面是無限大平面；在電介質(zhì)1中有一個點電荷q，與分界平面距離為h。圖3.5-14點電荷與電介質(zhì)分界平面在點電荷q的電場作用下，電介質(zhì)被極化，在介質(zhì)分界面上形成極化電荷分布。此時，空間中任意一點的電場由點電荷q與極化電荷共同產(chǎn)生。依據(jù)鏡像法的基本思想，在計算電介質(zhì)1中的電位時，用置于介質(zhì)2中的鏡像電荷q′來代替分界面上的極化電荷，并把整個空間看做充滿介電常數(shù)為ε1的均勻介質(zhì)，如圖3.5-15所示。圖3.5-15介質(zhì)1的鏡像電荷在計算電介質(zhì)2中的電位時，用置于介質(zhì)1中的鏡像電荷q″來代替分界面上的極化電荷，并把整個空間看做充滿介電常數(shù)為ε2的均勻介質(zhì)，如圖3.5-16所示。圖3.5-16介質(zhì)2的鏡像電荷介質(zhì)1和介質(zhì)2中任意一點P的電位函數(shù)分別為(z≤0)(3.5.23)(3.5.22)所設(shè)置的鏡像q′和q″的量值，需通過介質(zhì)分界面上的邊界條件來確定。在介質(zhì)分界面z=0處，電位應(yīng)滿足邊界條件將式（3.5.22）和式（3.5.23）代入上式，得由此解得鏡像電荷q′和q″分別為(3.5.24)將式（3.5.24）分別代入式（3.5.22）和式（3.5.23），得(3.5.25)(3.5.26)

2．線電流對磁介質(zhì)分界平面的鏡像

如圖3.5-17所示，磁導率分別為μ1和μ2的兩種均勻磁介質(zhì)的分界面是無限大平面，在介質(zhì)1中有一根無限長直線電流I平行于分界平面，且與分界平面相距h。此時，在直線電流

I產(chǎn)生的磁場作用下，磁介質(zhì)被磁化，在不同磁介質(zhì)的分界面上有磁化電流分布。圖3.5-17線電流與磁介質(zhì)分界平面依據(jù)鏡像法的基本思想，在計算磁介質(zhì)1中的磁場時，用置于介質(zhì)2中的鏡像線電流I′來代替分界面上的磁化電流，

并把整個空間看做充滿磁導率為μ1的均勻介質(zhì)，如圖3.5-18所示。在計算磁介質(zhì)2中的磁場時，用置于介質(zhì)1中的鏡像線電流I″來代替分界面上的磁化電流，并把整個空間看做充滿磁導率為μ2的均勻介質(zhì)，如圖3.5-19所示。圖3.5-18磁介質(zhì)1的鏡像線電流圖3.5-19磁介質(zhì)2的鏡像線電流因為設(shè)定電流沿y軸方向流動，所以矢量磁位只有y分量，即A=eyA，則磁介質(zhì)1和磁介質(zhì)2中任意一點P(x,z)的矢量磁位分別為(3.5.28)(3.5.27)所設(shè)置的鏡像線電流I′和I″的量值需通過磁介質(zhì)分界面上的邊界條件來確定。在磁介質(zhì)分界面z=0處，矢量磁位應(yīng)滿足邊界條件將式（3.5.27）和式（3.5.28）代入上式，得由此解得鏡像電流I′和I″分別為(3.5.29)上式與式（3.5.24)類似，將式（3.5.29）分別代入式（3.5.27）和式（3.5.28），得

3.6唯一性定理

設(shè)區(qū)域V內(nèi)的解不是唯一的，那么至少存在兩個位函數(shù)滿足同樣的泊松方程，即令j0=j1－j2，則有由于將上式在V內(nèi)積分并利用散度定理，有由于故式（3.6.1）變?yōu)?/p>

3.7工程應(yīng)用

1.電場力與磁場力的應(yīng)用

1）靜電除塵

靜電除塵裝置的結(jié)構(gòu)是：將棒狀或絲狀高壓放電電極兩端絕緣，并懸掛在接地平板集塵極之間或接地圓筒形集塵極的軸心上，在高壓放電極上施加負高壓，當達到電暈起始電壓以上時，高壓極表面就出現(xiàn)紫色的光點，同時發(fā)出嘶嘶聲，含有粉塵或煙霧的氣體通入時，粉塵及煙霧等粒子因負離子作用而直接帶電，在電場作用下它們被吸附在集塵極并堆積起來，被凈化的氣體從中抽出。所堆積的粉塵，在敲打集塵極時脫落，并加以清除。靜電除塵與一般的用離心力分離、清洗、過濾等除塵方法相比，具有較高的除塵效率，一般可達95％以上，高的可達99

％以上，可捕集0.01μm以上的微粒，除塵粒徑范圍大，塵?？蔀楦墒交驖袷健Ｑb置的壓力損失較小，維護簡便,所花費用較少,能處理腐蝕性氣體或塵埃,可進行高溫排氣處理,一般達350℃,特殊設(shè)計可達500℃；另外，靜電除塵耗電少，處理氣量大,對于發(fā)電容量為100萬千瓦的火電廠，處理煙氣量可達每小時數(shù)百萬立方米。但對于處理氣量較小的裝置，初始成本較高；對于各種不同的粉塵，必須調(diào)節(jié)除塵條件，當處理可燃性氣體時，必須設(shè)有防爆措施。

2）靜電噴涂

靜電噴涂是利用靜電吸附作用將聚合物涂料微粒涂敷在接地金屬物體上，然后將其送入烘爐以形成厚度均勻的涂層。電暈放電電極使直徑（5～30）μm的涂料粒子帶電，在輸送氣力和靜電力的作用下，涂料粒子飛向被涂物，粒子所帶電荷與被涂物上的感應(yīng)電荷之間的吸附力使涂料牢固地附在被涂物上。一般經(jīng)(2～3)s，涂層即可達(40～50)μm厚。靜電噴漆是在高壓靜電場作用下，使從噴槍噴出來的漆霧帶上電荷，這種帶電的漆霧，向帶異號電荷的工件表面吸附，沉積成均勻的涂膜。靜電噴涂的漆液利用率甚高，可達80%～90％左右，主要用于汽車、機械、家用電器等行業(yè)。噴灑農(nóng)藥的靜電噴霧機和靜電噴粉機均裝設(shè)靜電噴頭,利用數(shù)百到數(shù)千伏的高壓直流電源通電到噴頭,使藥液或藥粉顆粒帶電，而噴灑對象則由靜電感應(yīng)而引發(fā)出相反極性的電荷，從而使藥液或藥粉顆粒在靜電場作用下噴向噴灑對象。利用靜電作用能顯著提高命中率，減少藥劑損失和對環(huán)境的污染，并可將藥劑噴灑到目標的背面以增強防治效果。

3）靜電紡紗

靜電紡紗是在紡紗過程中利用靜電場對纖維的作用力，使纖維得到伸直、排列和凝聚，是屬于自由端紡紗范疇的一種新型紡紗技術(shù)?，F(xiàn)在世界上仍處于理論探討和試驗階段，尚未達到工業(yè)生產(chǎn)規(guī)模。我國現(xiàn)已建立了中試車間，并能穩(wěn)定地進行幾十個品種的生產(chǎn)。

4）靜電植絨

靜電植絨是利用靜電場作用力使絨毛極化并沿電場方向排列，同時被吸著在涂有黏合劑的基底上成為絨毛制品。其裝置由兩個平行板電極構(gòu)成。其中下電極接地，并在其上放置基底材料和短纖維，上電極板施加高壓直流電，兩電極間形成強電場。以仿麂皮絨產(chǎn)品為例，其工作過程是：將（35～60）kV高壓電源的負極接入裝有絨毛的金屬網(wǎng)框上，涂有黏合劑的基底材料置于金屬托架上,并接入電源的正極,使金屬網(wǎng)框和金屬托架之間形成靜電場。經(jīng)過整形處理后的絨毛通過金屬網(wǎng)孔以后，進入電場被極化，并使其轉(zhuǎn)動而平行于電場方向，沉于基底而被粘

附,形成植絨物品。目前其主要產(chǎn)品類型有纖維制品（如地毯、坐墊、人造皮毛和印花絨布等）、塑料制品（如裝飾布、保護用吸聲布及賦有表面彈性的制品等）、金屬制品（如裝飾材料、保護材料和隔熱材料等），以及其他用于裝飾的木制殼體和紙制殼體等。

5）靜電復(fù)印

靜電復(fù)印是利用光電導敏感材料在曝光時按影像發(fā)生電荷轉(zhuǎn)移而存留靜電潛影，經(jīng)一定的干法顯影、影像轉(zhuǎn)印和定影而得到復(fù)制件。其所用材料為非銀感光材料。靜電復(fù)印有直接法和間接法兩種。前者將原稿的圖像直接復(fù)印在涂敷氧化鋅的感光紙上,又稱涂層紙復(fù)印機;后者將原稿圖像先變?yōu)楦泄怏w上的靜電潛像，然后再轉(zhuǎn)印到普通紙上，故又稱普通紙復(fù)印機。按顯影劑形態(tài)是干粉還是液體又可分為干式和濕式兩類。目前世界各國生產(chǎn)的靜電復(fù)印機以干式間接法靜電復(fù)印機為主。

常用的復(fù)印材料有氧化鋅、硒、硫化鎘等無機光電導材料以及聚乙烯咔唑(PVK)、三硝基芴酮(TNF)等有機光電導材料。靜電制版是利用靜電復(fù)印原理，使具有光電導性能的紙版成為靜電照相版。與傳統(tǒng)的照相制版相比，靜電制版速度快、工序少、成本低、操作簡便、節(jié)約白銀。

6）靜電火箭發(fā)動機

靜電火箭發(fā)動機的特點是比沖高、壽命長（可啟動上萬次，累計工作上萬小時），但推力很小，適用于航天器的姿態(tài)控制、位置保持和星際航行等。靜電火箭發(fā)動機的工質(zhì)（如汞、銫、氫等）從儲存箱經(jīng)過電離室電離成離子，在引出電極的靜電場力作用下加速形成射束。離子射束與中和器發(fā)射的電子耦合形成中性的高速束流，噴射而產(chǎn)生推力。推力通常為（0