備戰(zhàn)2024年高考數(shù)學(xué)大一輪數(shù)學(xué)(人教A版理)-第二章-§2-1-函數(shù)的概念及其表示

§2.1函數(shù)的概念

及其表示第二章

函數(shù)的概念與基本初等函數(shù)Ⅰ1.了解函數(shù)的含義.2.在實際情境中，會根據(jù)不同的需要選擇恰當?shù)姆椒?如圖象法、列表法、解析法)表示函數(shù).3.了解簡單的分段函數(shù)，并會簡單的應(yīng)用.考試要求

內(nèi)容索引第一部分第二部分第三部分落實主干知識探究核心題型課時精練落實主干知識第一部分1.函數(shù)的概念設(shè)A，B是

，如果按照某種確定的對應(yīng)關(guān)系f，使對于集合A中的

一個數(shù)x，在集合B中都有

的數(shù)f(x)和它對應(yīng)，那么就稱f：A→B為從集合A到集合B的一個函數(shù)，記作y＝f(x)，x∈A.2.函數(shù)的三要素(1)函數(shù)的三要素：

、

和

.(2)如果兩個函數(shù)的

相同，并且

完全一致，我們就稱這兩個函數(shù)相等.非空的數(shù)集任意唯一確定定義域?qū)?yīng)關(guān)系值域定義域?qū)?yīng)關(guān)系3.函數(shù)的表示法表示函數(shù)的常用方法有

、圖象法和

.4.分段函數(shù)若函數(shù)在其定義域的不同子集上，因?qū)?yīng)關(guān)系不同而分別用幾個不同的式子來表示，這種函數(shù)稱為分段函數(shù).解析法列表法1.直線x＝a與函數(shù)y＝f(x)的圖象至多有1個交點.2.在函數(shù)的定義中，非空數(shù)集A，B，A即為函數(shù)的定義域，值域為B的子集.3.分段函數(shù)雖由幾個部分組成，但它表示的是一個函數(shù).分段函數(shù)的定義域等于各段函數(shù)的定義域的并集，值域等于各段函數(shù)的值域的并集.判斷下列結(jié)論是否正確(請在括號中打“√”或“×”)(1)若兩個函數(shù)的定義域和值域相同，則這兩個函數(shù)相等.(

)(2)函數(shù)y＝f(x)的圖象可以是一條封閉曲線.(

)(3)y＝x0與y＝1是同一個函數(shù).(

)×××√1.下列所給圖象是函數(shù)圖象的是A.①②

B.②③ C.③④

D.①④√①中，當x>0時，每一個x的值對應(yīng)兩個不同的y值，因此不是函數(shù)圖象；②中，當x＝x0時，y的值有兩個，因此不是函數(shù)圖象；③④中，每一個x的值對應(yīng)唯一的y值，因此是函數(shù)圖象.2.下列各組函數(shù)相等的是√√探究核心題型第二部分例1

(1)函數(shù)y＝

的定義域為A.(－4，－1) B.(－4,1)C.(－1,1) D.(－1,1]√題型一函數(shù)的定義域(2)已知函數(shù)f(x)的定義域為(－4，－2)，則函數(shù)g(x)＝f(x－1)＋的定義域為___________.∵f(x)的定義域為(－4，－2)，[－2，－1)∴函數(shù)g(x)的定義域為[－2，－1).思維升華(1)無論抽象函數(shù)的形式如何，已知定義域還是求定義域，均是指其中的x的取值集合；(2)若已知函數(shù)f(x)的定義域為[a，b]，則復(fù)合函數(shù)f(g(x))的定義域由不等式a≤g(x)≤b求出；(3)若復(fù)合函數(shù)f(g(x))的定義域為[a，b]，則函數(shù)f(x)的定義域為g(x)在[a，b]上的值域.跟蹤訓(xùn)練1

所以1<x<2或2<x≤3，所以函數(shù)的定義域為(1,2)∪(2,3].A.(1,3] B.(1,2)∪(2,3]C.(1,3)∪(3，＋∞) D.(－∞，3)√√即(1－x)(1＋x)>0，解得－1<x<1，所以函數(shù)f(x)的定義域為(－1,1).題型二函數(shù)的解析式例2

(1)已知f(1－sinx)＝cos2x，求f(x)的解析式；(換元法)設(shè)1－sinx＝t，t∈[0,2]，則sinx＝1－t，∵f(1－sinx)＝cos2x＝1－sin2x，∴f(t)＝1－(1－t)2＝2t－t2，t∈[0,2].即f(x)＝2x－x2，x∈[0,2].∴f(x)＝x2－2，x∈(－∞，－2]∪[2，＋∞).(待定系數(shù)法)∵f(x)是一次函數(shù)，可設(shè)f(x)＝ax＋b(a≠0)，∴3[a(x＋1)＋b]－2[a(x－1)＋b]＝2x＋17.即ax＋(5a＋b)＝2x＋17，(3)已知f(x)是一次函數(shù)且3f(x＋1)－2f(x－1)＝2x＋17，求f(x)的解析式；∴f(x)的解析式是f(x)＝2x＋7.(解方程組法)∵2f(x)＋f(－x)＝3x，

①∴將x用－x替換，得2f(－x)＋f(x)＝－3x，

②由①②解得f(x)＝3x.(4)已知f(x)滿足2f(x)＋f(－x)＝3x，求f(x)的解析式.函數(shù)解析式的求法(1)配湊法；(2)待定系數(shù)法；(3)換元法；(4)解方程組法.思維升華跟蹤訓(xùn)練2

(1)已知f(x－1)＝x2＋4x－5，則f(x)的解析式是A.f(x)＝x2＋6x

B.f(x)＝x2＋8x＋7C.f(x)＝x2＋2x－3 D.f(x)＝x2＋6x－10√f(x－1)＝x2＋4x－5，設(shè)x－1＝t，x＝t＋1，則f(t)＝(t＋1)2＋4(t＋1)－5＝t2＋6t，故f(x)＝x2＋6x.(3)已知函數(shù)f(x)滿足f(x)＋

＝3x，則f(2)等于A.－3 B.3C.－1D.1√①②分段函數(shù)例3

(1)已知函數(shù)f(x)＝

則f(2024)的值為A.－1 B.0

C.1 D.2√所以f(2024)＝f(2023)＝f(2022)＝…＝f(1)，又f(1)＝f(1－1)＝f(0)＝－ln(0＋e)＋2＝－1＋2＝1，所以f(2024)＝1.題型三(2)已知函數(shù)f(x)＝

若f(a)＝4，則實數(shù)a的值是________；若f(a)≥2，則實數(shù)a的取值范圍是_____________________.－2或5[－3，－1)∪[4，＋∞)若f(a)＝4，解得a＝－2或a＝5.若f(a)≥2，解得－3≤a<－1或a≥4，∴a的取值范圍是[－3，－1)∪[4，＋∞).分段函數(shù)求值問題的解題思路(1)求函數(shù)值：當出現(xiàn)f(f(a))的形式時，應(yīng)從內(nèi)到外依次求值.(2)求自變量的值：先假設(shè)所求的值在分段函數(shù)定義區(qū)間的各段上，然后求出相應(yīng)自變量的值，切記要代入檢驗.思維升華跟蹤訓(xùn)練3

(1)已知函數(shù)f(x)＝

若f(f(a))＝2，則a等于A.0或1 B.－1或1C.0或－2 D.－2或－1√令f(a)＝t，則f(t)＝2，可得t＝0或t＝1，當t＝0時，即f(a)＝0，顯然a≤0，因此a＋2＝0?a＝－2，當t＝1時，即f(a)＝1，顯然a≤0，因此a＋2＝1?a＝－1，綜上所述，a＝－2或－1.(2)(2023·重慶質(zhì)檢)已知函數(shù)f(x)＝

則f(x)<f(x＋1)的解集為____________.當x≤0時，x＋1≤1，f(x)<f(x＋1)等價于x2－1<(x＋1)2－1，當0<x≤1時，x＋1>1，此時f(x)＝x2－1≤0，f(x＋1)＝log2(x＋1)>0，∴當0<x≤1時，恒有f(x)<f(x＋1)；當x>1時，x＋1>2，f(x)<f(x＋1)等價于log2x<log2(x＋1)，此時也恒成立.課時精練第三部分基礎(chǔ)保分練1.函數(shù)f(x)＝lg(x－2)＋

的定義域是A.(2，＋∞) B.(2,3)C.(3，＋∞) D.(2,3)∪(3，＋∞)∴函數(shù)f(x)的定義域為(2,3)∪(3，＋∞).√123456789101112131415162.(2022·雞西模擬)設(shè)集合M＝{x|0≤x≤2}，N＝{y|0≤y≤2}，那么下面的4個圖象中，能表示集合M到集合N的函數(shù)圖象的個數(shù)為12345678910111213141516圖(1)圖(2)

圖(3)圖(4)A.1 B.2 C.3 D.4√對圖(1)，由圖知0≤x≤1，圖象不符合函數(shù)的定義域，故圖(1)錯誤；對圖(2)，由圖知0≤x≤2,0≤y≤2，圖象符合函數(shù)的定義，故圖(2)正確；對圖(3)，由圖知0≤y≤3，圖象不符合函數(shù)的值域，故圖(3)錯誤；對圖(4)，不符合函數(shù)定義，不是函數(shù)圖象，故圖(4)錯誤.123456789101112131415163.已知f(x3)＝lgx，則f(10)的值為令x3＝10，則x＝

，12345678910111213141516√123456789101112131415164.圖中的文物叫做“垂鱗紋圓壺”，是甘肅禮縣出土的先秦時期的青銅器皿，其身流線自若、紋理分明，展現(xiàn)了古代中國精湛的制造技術(shù).科研人員為了測量其容積，以恒定的流速向其內(nèi)注水，恰好用時30秒注滿，設(shè)注水過程中，壺中水面高度為h，注水時間為t，則下面選項中最符合h關(guān)于t的函數(shù)圖象的是√水壺的結(jié)構(gòu)：底端與上端細、中間粗，所以在注水恒定的情況下，開始水的高度增加的快，中間增加的慢，最后又變快，由圖可知選項A符合.123456789101112131415165.下列四個函數(shù)，定義域和值域不相同的是12345678910111213141516√對于A，函數(shù)的定義域和值域都是R；對于B，根據(jù)分段函數(shù)和冪函數(shù)的性質(zhì)，可知函數(shù)的定義域和值域都是R；對于C，函數(shù)的定義域為(－∞，0)∪(0，＋∞)，值域為R；對于D，因為函數(shù)y＝

，所以函數(shù)的定義域為(－∞，0)∪(0，＋∞)，值域為(－∞，0)∪(0，＋∞).12345678910111213141516√12345678910111213141516123456789101112131415167.已知函數(shù)f(x)＝

(a>0且a≠1)，若函數(shù)f(x)的值域是(－∞，4]，則實數(shù)a的取值范圍是√當x≤2時，f(x)＝－x2＋2x＋3＝－(x－1)2＋4，當x＝1時，f(x)＝－x2＋2x＋3取得最大值4，所以當x≤2時，函數(shù)f(x)的值域是(－∞，4]，所以當x>2時，函數(shù)f(x)＝6＋logax的值域為(－∞，4]的子集，當a>1時，f(x)＝6＋logax在(2，＋∞)上單調(diào)遞增，此時f(x)>f(2)＝6＋loga2>6，不符合題意，當0<a<1時，f(x)＝6＋logax在(2，＋∞)上單調(diào)遞減，此時f(x)<f(2)＝6＋loga2≤4，即loga2≤－2，12345678910111213141516123456789101112131415168.函數(shù)概念最早是在17世紀由德國數(shù)學(xué)家萊布尼茨提出的，后又經(jīng)歷了貝努利、歐拉等人的改譯.1821年法國數(shù)學(xué)家柯西給出了這樣的定義：在某些變數(shù)存在著一定的關(guān)系，當一經(jīng)給定其中某一變數(shù)的值，其他變數(shù)的值可隨著確定時，則稱最初的變數(shù)叫自變量，其他的變數(shù)叫做函數(shù).德國數(shù)學(xué)家康托爾創(chuàng)立的集合論使得函數(shù)的概念更嚴謹.后人在此基礎(chǔ)上構(gòu)建了高中教材中的函數(shù)定義：“一般地，設(shè)A，B是非空的數(shù)集，如果按某種確定的對應(yīng)關(guān)系f，使對于集合A中的任意一個數(shù)x，在集合B中都有唯一確定的數(shù)f(x)和它對應(yīng)，那么就稱f：A→B為從集合A到集合B的一個函數(shù)”，則下列對應(yīng)法則f滿足函數(shù)定義的有①f(x2)＝|x|；②f(x2)＝x；③f(cosx)＝x；④f(ex)＝x.A.①③ B.①④ C.②③

D.②④√12345678910111213141516令t＝ex(t>0)，f(t)＝lnt，故④符合函數(shù)定義.123456789101112131415161234567891011121314151612345678910111213141516所以f(t)＝t2－1(t≥0)，即f(x)＝x2－1(x≥0).x2－1(x≥0)1234567891011121314151611.已知函數(shù)f(x)的定義域為[－2,2]，則函數(shù)g(x)＝f(2x)＋

的定義域為________.解得－1≤x≤0，所以函數(shù)g(x)的定義域是[－1,0].[－1,0]1234567891011121314151612.已知f(x)＝

若f(a)＝5，則實數(shù)a的值是__________；若f(f(a))≤5，則實數(shù)a的取值范圍是_____________.①當a>0時，2a＋3＝5，解得a＝1；當a≤0時，a2－4＝5，解得a＝－3或a＝3(舍).綜上，a＝1或－3.②設(shè)t＝f(a)，由f(t)≤5得－3≤t≤1.由－3≤f(a)≤1，解得－

≤a≤－1.1或－312345678910111213141516綜合提升練13.(2022·廣州模擬)已知定義在R上的函數(shù)f(x)滿足，f(1－x)＋2f(x)＝x2＋1，則f(1)等于∵定義在R上的函數(shù)f(x)滿足，f(1－x)＋2f(x)＝x2＋1，∴當x＝0時，f(1)＋2f(0)＝1，

①當x＝1時，f(0)＋2f(1)＝2，

②②×2－①，得3f(1)＝3，解得f(1)＝1.√14.(2023·南昌模擬)已知函數(shù)f(x)＝

若f(a－3)＝f(a＋2)，則f(a)等于A.2B.C.1D.012345678910111213141516√作出函數(shù)f(x)的圖象，如圖所示.因為f(a－3)＝f(a＋2)，且a－3<a＋2，12345678910111213141516拓展沖刺練15.?x∈R，用M(x)表示f(x)，g(x)中的最大者，M(x)＝{|x|－1,1－x2}，若M(n)<1，則實數(shù)n的取值范圍是A.(－2,2) B.(－2,0)∪(0,2)C.[－2,2] D.(

)√1234567891011121314151612345678910111213141516當x≥0時，若x－1≥1－x2，則x≥1，當x<0時，若－x－1≥1－x2，則x≤－1，若M(n)<1，則當－1<n<1時，有1－n2