導(dǎo)函數(shù)中的同構(gòu)法高考高頻考點(diǎn) 4大題型（解析版）

1 1 6 13 19C．(m-2)2<(n-2)2【答案】B【詳解】令g(x)=ex-x-1(x>0)，則g,(x)=ex-1>en+1enemen所以f(x)=在(1,+∞)上單調(diào)遞減，因?yàn)閒(m)>f(n)，所以1<m<n，則lgm<lgn，故A錯誤，B正確；en+1enemen-ln2,e≈2.71828是自然對數(shù)的底數(shù)，則()C．b<c<aD．c<a<b【答案】A斷ex≥x+1，放縮c>-ln2，再設(shè)函數(shù)-lnx，利用導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性，得即e-1>-lnx，ge是：根據(jù)ex≥x+1，放縮c>-ln2，從而構(gòu)造函數(shù)-lnx，比較大小.【答案】A【分析】將三個冪式分別取對數(shù)，根據(jù)相同結(jié)構(gòu)，構(gòu)造函數(shù)f(x)=lnx.ln(10-x),(2≤x≤4)，求導(dǎo)后，注意到導(dǎo)函數(shù)分子的相同結(jié)構(gòu)，再次構(gòu)造函數(shù)g(x)=xlnx,(x>1)，利用其單調(diào)性推出f(x)的單調(diào)性，推理即得.3ln7，c不妨設(shè)f(x)=lnx.ln(10-x),(2≤x≤4)，則因2≤x≤4，則10-x≥6>x>1，故g(10-x)>g(x)，即(10-x)ln(10-x)>xlnx，因x(10-x)>0，故f,(x)>0.于是，f(x)在[2,4]上單調(diào)遞增，故f(2)<f(3)<f(4)，即lnc<lnb<lna，故得a>b>c.的內(nèi)在聯(lián)系，抓住其本質(zhì)，構(gòu)造函數(shù)，分析并運(yùn)用函數(shù)的單調(diào)性解題，它能起到化難為易，化繁為簡的作用.12024·陜西咸陽·模擬預(yù)測）設(shè)a=ln2，b=，c=，則()【答案】B / /構(gòu)造函數(shù)，則f,當(dāng)0<x<e2時，f,(x)>0，則f(x)在(0,e2)上單調(diào)遞增， 456 456 26 26 26 26故選：B【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，從而比較大小.22024·湖南邵陽·一模）已知a=10lg4,b=9lg5,c=8lg6，則a,b,c的大小關(guān)系為()【答案】D【分析】根據(jù)題意可得lga=lg4.lg10,lgb=lg5.lg9,8lg6，兩邊取對數(shù)得：lga=lg4.lg10,lgb=l則g(14-x)>g(x)，即g(14-x)-g(x)>0，可得f￠(x)>0，則f(x)=lgx.lg(14-x)在[4,6]上單調(diào)遞增，可得f(4)<f(5)<f(6)，利用導(dǎo)數(shù)判斷其單調(diào)性.【答案】C利用導(dǎo)數(shù)判斷出函數(shù)的單調(diào)性可得答案.設(shè)g(x)=(9-x)ln(9-x)-xlnx，則g,(x)=-ln(9-x)-1-lnx-1=-ln(9-x)-lnx-2，f(3)>f(2)，即ln4ln5>l【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題解題的關(guān)鍵點(diǎn)取對數(shù)，構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性解題.例題123-24高三上·江蘇無錫·階段練習(xí)）已知函數(shù)h(x)=x-lnx.(1)求h(x)的最小值；【答案】(1)1（2）ex-x1=ex-lnex>x2-lnx2，令h(x)=x-lnx，求導(dǎo)判斷單調(diào)性進(jìn)而可得ex2>2，利用分析法可得需證h(x2)≥h(2-x2)，再次構(gòu)造函數(shù)m(x)=h(x)-h(2-x)，求導(dǎo)判斷其單調(diào)性，可證結(jié)論.-（2）由ex+lnx2>x1+x2得：ex-x1=ex-lnex>x2-lnx2，-令h(x)=x-lnx，2Qx1>0，:ex1>1，:ex1+x2>2；>2-x2，2(2-x2)又h(ex2)，:只需證h(x2)≥h(2-x2)；:m(x)在(0,1)上單調(diào)遞減，:m(x)>m(1)=0，:m(x2)>0，2)，即h(ex:ex1+x2>2；【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題證明不等式的關(guān)鍵是能夠采用ex-x1=ex-lnex>x2-lnx2的形式，結(jié)合極值點(diǎn)偏移的分析思想將問題轉(zhuǎn)化為證明(1)求f(x)在區(qū)間[-1,1]上的最大值與最小值；【答案】(1)答案見解析x（x>0由g(x)min≥0成立即可；方法二同構(gòu)）由x>0，a≥1，轉(zhuǎn)化為xex≥lnx+x+1，進(jìn)而變形為xex=elnxex=elnx+x≥lnx+x+1，再構(gòu)造函數(shù)h(x)=ex-x-1（x∈R證h(x)≥0即可.令f,(x)=0，則x=-，所以f(x)min=f(-1)=-e-a，f(x)max=f(1)=ea.所以min=f而f(-1)=-e-a<0，f(1)=ea>0.所以f(x)max=f(1)=ea綜上所述，當(dāng)0<a≤1時，f(x)min=-e-a，f(x)max=ea；x-lnx-x-1，x-，易知φ在上單調(diào)遞增，即ex0-因此ex0=，x0=-lnx0，00,x-1，123-24高二下·山東泰安·期末）已知函數(shù)f(x)=ex-1-mlnx(1)當(dāng)m=1時，討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性；(2)令g(x)=f(x)-x2+x，若存在不相等的x1,x2使得g(x1)-g(x2)=0，求證：e>x1x2.(2)證明見解析.（2）由函數(shù)零點(diǎn)的意義，用x1,x2表示m，再借助分析法探討構(gòu)造函數(shù)x-1-x2+x-然后用導(dǎo)數(shù)證明此函數(shù)單調(diào)遞增即可.【詳解】（1）當(dāng)m=1時，函數(shù)f(x)=ex-1-lnx的定義域?yàn)?0,+∞)，求導(dǎo)得f,(x)=ex-1-，令m(x)=f,(x)，求導(dǎo)得=ex-1+>0，函數(shù)f,在上單調(diào)遞增，又f,(1)=0，則當(dāng)x∈(0,1)時，f,(x)<0，當(dāng)x∈(1,+∞)時，f,(x)>0，所以f(x)的遞減區(qū)間為(0,1)，遞增區(qū)間為(1,+∞).（2）不妨設(shè)x1>x2>0，則lnx1>lnx2，由g(x1)-g(x2)=0，2m2mx-1-x2+x-只需證：h(x1)>h(x2)，只要證：ex-1-x+1≥,令φ(x)=ex-1-x+1,x>0，求導(dǎo)得φ,(x)=ex-1-1，當(dāng)x∈(e,+∞)時，F(xiàn),(x)<0,F(x)在(e,+∞)上遞減，F(xiàn)(x)≤F(因此ex-1-x+1≥在上恒成立，2m數(shù)的單調(diào)性、極(最)值問題處理.223-24高二下·山東棗莊·階段練習(xí)）已知函數(shù)f(x)=lnx，若存在g(x)≥f(x)恒成立，則稱g(x)是f(x)的一個“上界函數(shù)”，如果函數(shù)g(x)=+x-a為f(x)的一個“上界函數(shù)”.(2)證明：若方程f(x)=g(x)有兩個解x1,x2，則x1x2<1.利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)g(x)的最小值，從而得解；數(shù)的單調(diào)性求解即可.【詳解】（1）解法一：f(x)的定義域?yàn)?0,+∞)，由g(x)≥f(x解法二同構(gòu)法）f(x)的定義域?yàn)?0,+∞)，由g（22）解法一：若方程f(x)=g(x)有兩個解X1,x2，則方程h(x)=a有兩個解x1,x2，22xx設(shè)設(shè)則解法二：由題意得：方程f(x)=g(x)有兩個解x1,x2，又因?yàn)橛袃蓚€零點(diǎn)x1,x2，故t兩邊取對數(shù)得：x1-lnx1=x2x2二是巧妙構(gòu)造函數(shù)，再借用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，從而求解.例題123-24高二下·河南商丘·期末）已知函數(shù)lnx-x-(1)若a>-2，討論f(x)的單調(diào)性；【答案】(1)答案見解析(2-a)lnx-x=0恰有2個正實(shí)數(shù)解．繼而設(shè)m(x)=(2-a)lnx-x，則m(x)恰有2個零點(diǎn)，利用導(dǎo)數(shù)結(jié)合零點(diǎn)存在定理即可求解.:f(x)在區(qū)間(0,2)上單調(diào)遞增，在區(qū)間(2,+∞)上單調(diào)遞減；當(dāng)-a<x<2時，f￠(x)>0，:f(x)在區(qū)間(0,-a)上單調(diào)遞減，在區(qū)間(-a,2)上單調(diào)遞增，在區(qū)間(2,+∞)上單調(diào)遞減.當(dāng)-2<a<0時，f(x)在區(qū)間(0,-a)上單調(diào)遞減，在區(qū)間(-a,2)上單調(diào)遞增，（2）由題知，g(x)=+(2-a)lnx-x-xa，Qg(x)恰有2個零點(diǎn)，:方程+(2-a)lnx-x-xa=0恰有2個正實(shí)數(shù)解，即方程e2lnx-x+2lnx-x=ealnx+alnx恰有2個正實(shí)數(shù)解.:2lnx-x=alnx，即方程(2-a)lnx-x=0恰有2個正實(shí)數(shù)解.:若a≥2，則m,(x)<0，:m(x)在區(qū)間(0,2-a)上單調(diào)遞增，在區(qū)間(2-a,+∞)上單調(diào)遞減，:2-a>e，即a<2-e.Qm(ea-2)=(2-a)lnea-2-ea-2=-(a-2)2-ea-2<0，:存在x1∈(ea-2,2-a)，使得m(xQm(e2-a)=(2-a)lne2-a-e2-a=(2-a)2-e2-a，設(shè)φ(x)=ex-ex，則φ,(x)=ex-e，由于2-a>e，故e2-a>e(2設(shè)t(a)=(2-a)2-e2-a，:t(a)在區(qū)間(-∞,2-e)上單調(diào)遞增，:t(a)<t(2-e)=2-(2-e)2-e2--(2e)=e2-ee<0，:存在x2∈(2-a,e2-a)，使得m(x2)=0，:當(dāng)a<2-e時，m(x)恰有2個零點(diǎn)，:實(shí)數(shù)a的取值范圍為(-∞,2-e).(2-a)lnx-x=0恰有2個正實(shí)數(shù)解.例題223-24高二下·河南南陽·階段練習(xí)）已知函數(shù)(1)證明：f(x)≥2x+1.(2)證明：f(x)+g(x)>4.(3)若f(x1)=g(x2)=t，求x1+的et【答案】(1)證明見解析（2）利用（1）的結(jié)論進(jìn)行放縮，再利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)最小值即可.【詳解】（1）設(shè)h(x)=f(x)-(2x+1)=ex-x-1，則h,(x)=ex-1，即f(x)≥2x+1恒成立.，（所以f(x)+g(x)>4.1et這是解題的關(guān)鍵.123-24高二下·湖南長沙·期末）已知函數(shù)f(x)=ln(ax)+(a-1)x-ex.(1)當(dāng)a=1時，求證：f(x)<-2；(2)若f(x)存在兩個零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.設(shè)g(x)=ex-x-1(x>0)，則g,(x)=ex-再證：lnx≤x-1，設(shè)=lnx-x+1，則u,令u,(x)>0T0<x<1,u,(x)<0Tx>1，設(shè)h(x)==(1-x)e-x，此時h(x)在(-∞,0)上單調(diào)遞增，h(x)=最多一個零點(diǎn)，不合22024·全國·模擬預(yù)測）已知函數(shù)f(x)=lnx+kx的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,1).(1)求函數(shù)f(x)的圖象在點(diǎn)(e,f(e))處的切線方程；(2)若函數(shù)g(x)=有兩個零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.【分析】（1）由f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,1)，得出函數(shù)f(x)在x=1處取到極值，即可求（2）由（1）→f(x)=lnx-x→g(x)=aelnx-x-(lnx-x)，令g(x)=0得aelnx-x-(lnx-x)=0，令t=lnx-x得a=，若g(x)有兩個零點(diǎn)，則直線y=t與函數(shù)f(x)求解.因此函數(shù)f(x)在x=1處取得極值，因此=lnx-x,f,-1，令f,=0，解得x=1，當(dāng)x∈(0,1)時，f,(x)>0，f(x)在(0,1)單調(diào)遞增，所以函數(shù)f(x)的圖象在點(diǎn)(e,f(e))處的切線方程為，即y=（2）由（1）知f(x)=lnx-x，則g(x)==lnx-x)=aelnx-x-(lnx-x)，時，f(x)→-∞,所以函數(shù)f(x)的最大值為f(1)=-1，即t≤-1.若g(x)有兩個零點(diǎn)，則直線y=t與函數(shù)f(x)的圖象有兩個交點(diǎn)，此時t<-1,易知若g(x)有兩個零點(diǎn)，則直線y=a與函數(shù)m(t)的圖象有一個交點(diǎn)，例題12024·陜西渭南·二模）已知函數(shù)f(x)=xlnx，(1)求函數(shù)g(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)若當(dāng)x>0時，mx2-ex≤mf(x)恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.(2)(-∞,e].【分析】（1）求出函數(shù)g(x)，再利用導(dǎo)數(shù)求出g(x)的單調(diào)區(qū)間.（2）等價變形給定不等式得m(x-lnx)≤ex-lnx，令t=x-lnx并求出值域，再換元并分離參數(shù)構(gòu)造函數(shù)，求出函數(shù)的最小值即得.所以函數(shù)g(x)的遞減區(qū)間為(0,+∞)，無遞增區(qū)間.（2）當(dāng)x>0時，mx2-ex≤mf(x)?mx2-ex≤mxlnx?m(x-lnx)≤=ex-lnx恒成立，所以實(shí)數(shù)m的取值范圍(-∞,e].數(shù)探求函數(shù)單調(diào)性、最值是解決問題的關(guān)鍵.(1)當(dāng)a=1時，求曲線y=g(x)在點(diǎn)((2)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；【答案】(1)y=e2x-1(2)函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(0,1)，單（3）原不等式恒成立轉(zhuǎn)化為(ea(x+1)-1)lnea(x+1)≥(x-1)lnx，構(gòu)造函數(shù)，根據(jù)單調(diào)性轉(zhuǎn)化為≥x對任意x≥1恒成立，分離參數(shù)后得a≥,由導(dǎo)數(shù)求出的最大值即可.2-1,g2，所以切線方程為y-(e2-1)=e2(x-1)，即y=e2x-1.因?yàn)閒又因?yàn)閔(1)=0，所以x∈(0,1)時，h(x)<0，即f,(x)f,(x)>0，綜上可知，函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(0,1)，單調(diào)遞增區(qū)間為(1,+∞).即lnx，即a(x+1)(x-1)lnx，即所以φ(x)單調(diào)遞增，則原不等式等價于φ(ea(x+1))≥φ(x)，所以$x0)時，t(x)>0，即r,(x)>0，r(x)單調(diào)遞增；0,所以整數(shù)a的最小值為1.轉(zhuǎn)化恒成立結(jié)論，第三關(guān)鍵點(diǎn)在于會找函數(shù)的隱零點(diǎn)，得到r(x)max，難度較大.(1)若a=0，求曲線y=f(x)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線方程.(2)若a=1，求f(x)的單調(diào)性.(3)當(dāng)x>1時，f(x)≥alnx恒成立，求a的取值范圍