2024-2025學(xué)年北京延慶區(qū)初二（上）期末數(shù)學(xué)試卷（含答案）

第1頁(yè)/共12頁(yè)2025北京延慶初二（上）期末數(shù)學(xué)2025.01考生須知1.本試卷共8頁(yè)，共三道大題，28道小題，滿分100分，考試時(shí)間120分鐘．2.在試卷和答題卡上正確填寫學(xué)校名稱、姓名和考號(hào)．3.試題答案一律填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無(wú)效．4.在答題卡上，選擇題、作圖題用2B鉛筆作答，其他試題用黑色簽字筆作答．一、選擇題（共16分，每小題2分）第1-8題均有四個(gè)選項(xiàng)，符合題意的選項(xiàng)只有一個(gè)．1．下列四個(gè)圖形是國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)的會(huì)標(biāo)，其中軸對(duì)稱圖形是（A） （B） （C） （D）2．下列事件中，隨機(jī)事件是 （A）在數(shù)軸上取一個(gè)點(diǎn)，它表示的數(shù)是實(shí)數(shù) （B）畫一個(gè)三角形，它的某邊上的高線與中線重合 （C）畫一個(gè)三角形，它的內(nèi)角和是180° （D）把長(zhǎng)度分別是6，8，9的線段首尾順次相接，組成了一個(gè)直角三角形3．分式有意義，實(shí)數(shù)a的取值范圍是 （A）a≠3 （B）a≠0（C）a＜3 （D）a≥34．三角形的兩邊長(zhǎng)分別為3和6，這個(gè)三角形的第三邊長(zhǎng)可以是（A）3（B）6（C）9（D）125．下列二次根式中，最簡(jiǎn)二次根式是 （A） （B）（C） （D）6．下列各式中，計(jì)算正確的是（A）（B） （C）（D）7．如圖，在△ABC中，AB邊上的高線是（A）線段AD（B）線段AF（C）線段BG（D）線段CE8．如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，在直線BC上取一點(diǎn)P，使得△PAB是等腰三角形，則符合條件的點(diǎn)P有（A）1個(gè)（B）2個(gè) （C）3個(gè)（D）4個(gè)二、填空題（共16分，每小題2分）9．16的算術(shù)平方根是________．10．若二次根式在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，則x的取值范圍是________．11．如圖，在△ABC中，∠A=80°，點(diǎn)D在邊BC的延長(zhǎng)線上，∠ACD=140°，則∠B的度數(shù)為________．12．已知，則________．13．一個(gè)不透明的口袋中裝有2個(gè)紅球和1個(gè)黃球，除顏色外都相同，從口袋中隨意摸出一個(gè)球，摸到紅球的可能性大小是________．14．?dāng)?shù)學(xué)課上老師布置了“測(cè)量錐形瓶?jī)?nèi)部底面內(nèi)徑”的探究任務(wù)，小聰想到“利用全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等，可以把不能直接測(cè)量的物體‘移’到可以直接測(cè)量的位置進(jìn)行測(cè)量”．于是他設(shè)計(jì)了如下方案：如圖，用螺絲釘將兩根小棒AC，BD的中點(diǎn)O固定，只要測(cè)得C，D之間的距離，就可知道內(nèi)徑AB的長(zhǎng)度．此方案中，判定△AOB≌△COD的依據(jù)是________．15．如圖，在Rt△ABC中，∠B=90°，CD平分∠ACB，AC=4，BD=1，則△ACD的面積是________．16．如圖，△ABC是等邊三角形，AD是△ABC的中線，點(diǎn)D關(guān)于直線AC的對(duì)稱點(diǎn)為E．連接BE，交AC于點(diǎn)F，交AD于點(diǎn)G，連接AE，DE．有下面四個(gè)結(jié)論：①點(diǎn)A在線段DE的垂直平分線上；②△ADE是等邊三角形；③△ABG≌△AEF；④點(diǎn)P是線段AE上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，PF＋PC的最小值等于BF．其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是________．三、解答題（共68分，17-18題，每小題8分；19-26題，每小題5分；27題7分；28題5分）17．計(jì)算：（1）；（2）．18．解分式方程：（1）；（2）.19．如圖，BE⊥AC于點(diǎn)E，DF⊥AC于點(diǎn)F，且AB=CD，AF=CE．（1）求證：△ABE≌△CDF；（2）求證：AB∥CD．20．在證明等腰三角形的性質(zhì)定理1時(shí)，甲、乙、丙三位同學(xué)的方法如下圖所示：等腰三角形的性質(zhì)定理1的內(nèi)容：等腰三角形的兩個(gè)底角相等（簡(jiǎn)寫成“等邊對(duì)等角”）．已知：如圖，在△ABC中，AB=AC．求證：∠B=∠C．甲同學(xué)的方法：證明：作∠BAC的平分線交BC于點(diǎn)D．乙同學(xué)的方法：證明：作AE⊥BC于點(diǎn)E．丙同學(xué)的方法：證明：取BC的中點(diǎn)F，連接AF．請(qǐng)選擇一種方法補(bǔ)全證明過(guò)程．21．先化簡(jiǎn)，再求值：，其中a=+2．22．學(xué)習(xí)了分式運(yùn)算后，老師布置了這樣一道計(jì)算題：，甲、乙兩位同學(xué)的解答過(guò)程分別如下：乙同學(xué)：①②乙同學(xué)：①②③④；：甲同學(xué)：①②③④；：老師發(fā)現(xiàn)這兩位同學(xué)的解答過(guò)程都有錯(cuò)誤．請(qǐng)你從兩位同學(xué)中，選擇一位同學(xué)的解答過(guò)程，分析錯(cuò)因，并加以改正．（1）我選擇________同學(xué)的解答過(guò)程進(jìn)行分析（填“甲”或“乙”）；（2）該同學(xué)的解答從第________步開始出現(xiàn)錯(cuò)誤（填序號(hào)），產(chǎn)生錯(cuò)誤的原因可能是；（3）寫出正確解答過(guò)程．23．如圖，△ABC是等邊三角形，D是AB上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)D作BC的平行線交AC于點(diǎn)E．（1）依題意補(bǔ)全圖形；（2）判斷△ADE的形狀，并證明．

24．如圖，OC是∠AOB的角平分線，點(diǎn)D在射線OA上，點(diǎn)E在射線OB上，點(diǎn)F在射線OC上，連接DF，EF．請(qǐng)你添加一個(gè)條件，使△OFD≌△OFE．小明同學(xué)寫出以下條件：①OD=OE，②∠ODF=∠OEF，③∠OFD=∠OFE，④FD=FE，⑤∠ADF=∠BEF，⑥∠DFC=∠EFC．他認(rèn)為：“添加以上條件中的任何一個(gè)，都可以使△OFD≌△OFE．”（1）小明的說(shuō)法________（填“正確”或“錯(cuò)誤”）；（2）從小明寫出的條件中選擇一個(gè)________（填寫序號(hào)），使得△OFD≌△OFE，補(bǔ)全圖形，并寫出證明過(guò)程．25．列方程解應(yīng)用題：遠(yuǎn)大中學(xué)組織學(xué)生到距離學(xué)校20千米的農(nóng)耕園體驗(yàn)農(nóng)耕勞動(dòng)．有一部分學(xué)生騎自行車前往，另一部分學(xué)生在騎自行車的學(xué)生出發(fā)50分鐘后，乘汽車沿相同路線行進(jìn)，結(jié)果騎自行車的學(xué)生與乘汽車的學(xué)生同時(shí)到達(dá)農(nóng)耕園．已知汽車速度是自行車速度的3倍，求自行車的速度．圖126．圖1已知：如圖1，直線MN和直線MN外一點(diǎn)P．求作：直線PQ，使直線PQ∥MN．小智的作圖思路如下：①如何得到兩條直線平行？小智想到，自己學(xué)習(xí)線與角的時(shí)候，有4個(gè)定理可以證明兩條直線平行，其中有“內(nèi)錯(cuò)角相等，兩條直線平行”．②如何得到兩個(gè)角相等？小智先回顧了線與角的內(nèi)容，找到了幾個(gè)定理和1個(gè)概念，可以得到兩個(gè)角相等．小智又回顧了三角形的知識(shí)，也發(fā)現(xiàn)了幾個(gè)可以證明兩個(gè)角相等的定理．最后，小智選擇了角平分線的概念和“等邊對(duì)等角”．③畫出示意圖：④根據(jù)示意圖，確定作圖順序．作∠PAN的平分線AB（尺規(guī)作圖）作射線AP作∠PAN的平分線AB（尺規(guī)作圖）作射線AP在直線MN上取點(diǎn)A作直線PQ作作直線PQ作PQ=PA交AB于點(diǎn)Q（1）使用直尺和圓規(guī)，按照小智的作圖思路補(bǔ)全圖形1（保留作圖痕跡）；∵AB平分∵AB平分∠PAN，∴∠PAB=∠NAB．∵PA=PQ，∴∠PAB=∠PQA(①)．∴∠NAB=∠PQA．∴PQ∥MN(②)．證明：圖圖2（3）參考小智的作圖思路，另外設(shè)計(jì)一種作法，利用直尺和圓規(guī)在圖2中完成．（溫馨提示：保留作圖痕跡，不用寫作法和證明）27．如圖，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，AD是△ABC的高，點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，連接CE交AD于點(diǎn)F，過(guò)點(diǎn)E作GE⊥CE于點(diǎn)E，交DA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，交BC于點(diǎn)H．（1）依題意補(bǔ)全圖形；（2）判斷∠ECH和∠EGF的數(shù)量關(guān)系，并證明；（3）求證：EC=EG．28．我們給出如下定義：有一條邊及這條邊所對(duì)的角分別相等的兩個(gè)三角形稱為“關(guān)聯(lián)三角形”．例如，下圖中的兩個(gè)三角形是“關(guān)聯(lián)三角形”．已知：在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC=2，AB=4．

（1）下列三角形中，Rt△ABC的“關(guān)聯(lián)三角形”是________（填序號(hào)）；①①②③④（2）若Rt△ABC的“關(guān)聯(lián)三角形”是等腰三角形，則等腰三角形的底邊長(zhǎng)可以是；（3）若△DEF是Rt△ABC的“關(guān)聯(lián)三角形”，且△DEF的面積是S，直接寫出S的最大值．

參考答案一、選擇題：（共8個(gè)小題，每小題2分，共16分）ABABDCDB二、填空題：（共8個(gè)小題，每小題2分，共16分）9．410．x≥911．60°12．213．14．邊角邊15．216．①②④三、解答題17.(本小題滿分8分)（1）．（2）=72+=7．(本小題滿分8分)（1）解：方程兩邊同時(shí)乘以，得，．．．．．檢驗(yàn)：當(dāng)時(shí)，方程左右兩邊相等．所以原分式方程的解為．（2）解：方程兩邊同時(shí)乘以(x+2)(x2)，得x2+4x=2(x+2)．x2+4x=2x+4．3x=6．x=2．檢驗(yàn)：當(dāng)x=2時(shí)，最簡(jiǎn)公分母(x+2)(x2)=0，原方程中的分式無(wú)意義．所以原方程無(wú)解．19.(本小題滿分5分)（1）證明：∵AF=CE，∴AE+EF＝CF+EF．∴AE＝CF．∵BE⊥AC于點(diǎn)E，DF⊥AC于點(diǎn)F，∴∠AEB=∠CFD=90°．∴△ABE與△CDF是直角三角形．在Rt△ABE和Rt△CDF中，∴Rt△ABE≌Rt△CDF(HL)．（2）證明：∵Rt△ABE≌Rt△CDF，∴∠A=∠C．∴AB∥CD．20.(本小題滿分5分)甲同學(xué)的方法：證明：如圖，作∠BAC的平分線交BC于點(diǎn)D．∴∠BAD＝∠CAD．在△ABD和△ACD中，∴△ABD≌△ACD(SAS)．∴∠B＝∠C．乙同學(xué)的方法：證明：如圖，作AE⊥BC于點(diǎn)E．∴∠AEB＝∠AEC＝90°，在Rt△ABE和Rt△ACE中，∴Rt△ABE≌Rt△ACE(HL)．∴∠B＝∠C．丙同學(xué)的方法：證明：如圖，取BC的中點(diǎn)F，連接AF．∴BF＝CF．在△ABF和△ACF中，∴△ABF≌△ACF(SSS)．∴∠B＝∠C．21.(本小題滿分5分)解：原式= == = =． 當(dāng)a=+2時(shí)，原式=．22.(本小題滿分5分)（1）略；（2）略；（3）23.(本小題滿分5分)（1）如圖；（2）△ADE是等邊三角形．證明：∵△ABC是等邊三角形，∴∠A=∠B=∠C=60°．∵DE∥BC，∴∠ADE=∠B=60°，∠AED=∠C=60°．∴∠A=∠ADE=∠AED．∴△ADE是等邊三角形．24.(本小題滿分5分)（1）錯(cuò)誤；（2）條件：∠ODF=∠OEF．證明：∵OC是∠AOB的角平分線，∴∠DOF=∠EOF．在△OFD和△OFE中，∴△OFD≌△OFE（AAS）．說(shuō)明：添加的條件可以是①，②，③，⑤，⑥．25.(本小題滿分5分)解：設(shè)自行車的速度為x千米/時(shí)，則汽車的速度為3x千米/時(shí)，由題意得：，解得：x＝16，經(jīng)檢驗(yàn)，x＝16是原方程的解，且符合題意．答：自行車的速度為16千米/時(shí)．26.(本小題滿分5分)（1）如圖；（2）①等邊對(duì)等角；②內(nèi)錯(cuò)角相等，兩條直線平行；（3）略．27.(本小題滿分7分)（1）如圖；（2）數(shù)量關(guān)系：∠ECH=∠EGF；證明：∵GE⊥CE于點(diǎn)E，∴∠GEF=∠CEH=90°．∴∠ECH+∠GHD=90°．∵AD是△ABC的高，∴∠ADB=90°．