2024年高考專題講義專題112 正態(tài)分布、二項(xiàng)分布與超幾何分布

專題11.2正態(tài)分布、二項(xiàng)分布與超幾何分布

第II步試真題

[1503].（2022?全國?高考真題?★★★★）

甲、乙兩個(gè)學(xué)校進(jìn)行體育比賽，比賽共設(shè)三個(gè)項(xiàng)目，每個(gè)項(xiàng)目勝方得10分，負(fù)方得0分，沒有平局.三個(gè)

項(xiàng)目比賽結(jié)束后，總得分高的學(xué)校獲得冠軍.已知甲學(xué)校在三個(gè)項(xiàng)目中獲勝的概率分別為0.5,0.4,0.8,

各項(xiàng)目的比賽結(jié)果相互獨(dú)立.

⑴求甲學(xué)校獲得冠軍的概率；

（2）用X表示乙學(xué)校的總得分，求X的分布列與期望.

【答案】（1）0.6：

（2）分布列見解析，E（X）=13.

【分析】（1）設(shè)甲在三個(gè)項(xiàng)目中獲勝的事件依次記為AB,C,再根據(jù)甲獲得冠軍則至少獲勝兩個(gè)項(xiàng)目，利

用互斥事件的概率加法公式以及相互獨(dú)立事件的乘法公式即可求出：

（2）依題可知，X的可能取值為0，10,20.30,再分別計(jì)算出對應(yīng)的概率，列出分布列，即可求出期望.

（1）

設(shè)甲在三個(gè)項(xiàng)目中獲勝的事件依次記為所以甲學(xué)校獲得冠軍的概率為

P=P（ABC）+P（ABC）+P（ABC）+P（ABC）

=0.5x0.4x0.8+0.5x0.4x0.8+0.5x0.6x0.8+0.5x0.4x0.2

=0.16+0.16+0.24+0.04=0.6.

（2）

依題可知，X的可能取值為0,10,20,3D,所以，

p（X=0）=0.5x0.4x0.8=0.16,

P（X=10）=0.5x0.4x0.8+0.5x0.6x08+0.5x0.4x0.2=0.44,

P（X=20）=0.5x0.6x0.8+0.5x0.4x0.2+0.5x0,6x0.2=0.34,

P（X=30）=0.5x0.6x0.2=0.06.

即X的分布列為

X0102030

P0.160.440.340.06

期望E（X）=0x0.16+10x0.44+20x0.34+30x0.06=13.

[1504].（2022?全國?高考真題?★★★★）

在某地區(qū)進(jìn)行流行病學(xué)調(diào)查，隨機(jī)調(diào)查了100位某種疾病患者的年齡，得到如下的樣本數(shù)據(jù)的頻率分布直

方圖：

M頻率/組距

0.023-----------------------------——

0.020--------------------------------------------

0.017--------------------------------------------------

0.012--------------—

0.006-----------------------------------------------------------

SOO2

OO1

O.

O102030405060708090年齡/歲

（1）估計(jì)該地區(qū)這種疾病患者的平均年拾（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值為代表）；

（2）估計(jì)該地區(qū)一位這種疾病患者的年帶位于區(qū)間[20,70）的概率；

⑶已知該地區(qū)這種疾病的患病率為0.1%,該地區(qū)年齡位于區(qū)間140.50）的人口占該地區(qū)總?cè)丝诘?6%.從該

地區(qū)中任選一人，若此人的年齡位于區(qū)間140.50）,求此人患這種疾病的概率.（以樣本數(shù)據(jù)中患者的年齡位

于各區(qū)間的頻率作為患者的年齡位于該區(qū)間的概率，精確到0.0001）.

【答案】（1）47.9歲；

⑵0.89；

（3）0.0014.

【分析】（1）根據(jù)平均值等于各矩形的面積乘以對應(yīng)區(qū)間的中點(diǎn)值的和即可求出；

(2)設(shè)＞={一人患這種疾病的年齡在區(qū)間［20,70)},根據(jù)對立事件的概率公式P(A)=1-P(A)即可解出;

(3)根據(jù)條件概率公式即可求出.

(1)

平均年齡￡=(5x0.001+15x0.002+25x0.012+35x0.017+45x0.023

+55x0.020+65x0.017+75x0.006+85x0.002)x10=47.9(歲).

(2)

設(shè)A=｛一人患這種疾病的年齡在區(qū)間［20,70)),所以

P(41=l-P(A)=l-(0.001+0.002+0.006+0.002)xl0=l-0.i1=0.89.

(3)

設(shè)8="任選一人年齡位于區(qū)間［40,50)”，C=“從該地區(qū)中任選一人患這種疾病”,

則由已知得：

P(B)=16%=0.16,P(C)=0.1%=0.001,P(B\C)=0.023x10=0.23,

則由條件概率公式可得

從該地區(qū)中任選一人，若此人的年齡位于區(qū)間［40,50),此人患這種疾病的概率為

P⑹8)=還=尸9尸網(wǎng)C)，。儂，。^=0G⑷754.064

P(B)P(B)0.16

［1505］.(2022?北京?高考真題?★★★)

在校運(yùn)動(dòng)會(huì)上，只有甲、乙、丙三名同學(xué)參加鉛球比賽，比賽成績達(dá)到9.50m以上(含9.50m)的同學(xué)將獲

得優(yōu)秀獎(jiǎng).為預(yù)測獲得優(yōu)秀獎(jiǎng)的人數(shù)及冠軍得主，收集了甲、乙、丙以往的比賽成績，并整現(xiàn)得到如下數(shù)

據(jù)(單位：m)：

甲：9.80,9.70,9.55,9.54,9.48,9.42,9.40,9.35,9.30,9.25；

乙：9.78,9.56,9.51,9.36,9.32,9.23；

丙:9.85,9.65,9.20,9.16.

假設(shè)用頻率估計(jì)概率，且甲、乙、丙的比賽成績相互獨(dú)立.

(1)估計(jì)甲在校運(yùn)動(dòng)會(huì)鉛球比賽中獲得優(yōu)秀獎(jiǎng)的概率；

(2)設(shè)X是甲、乙、丙在校運(yùn)動(dòng)會(huì)鉛球比賽中獲得優(yōu)秀獎(jiǎng)的總?cè)藬?shù)，估計(jì)X的數(shù)學(xué)期望石(X)；

(3)在校運(yùn)動(dòng)會(huì)鉛球比賽中，甲、乙、為誰獲得冠軍的概率估計(jì)值最大？(結(jié)論不要求證明)

【答案】⑴0.4

⑶丙

【分析】(1)由頻率估計(jì)概率即可

(2)求解得X的分布列，即可計(jì)算出X的數(shù)學(xué)期望.

(3)計(jì)算出各自獲得最高成績的概率，再根據(jù)其各自的最高成績可判斷丙奪冠的概率估計(jì)值最大.

(I)

由頻率估計(jì)概率可得

甲獲得優(yōu)秀的概率為0.4,乙獲得優(yōu)秀的概率為0.5,丙獲得優(yōu)秀的概率為0.5,

故答案為0.4

(2)

設(shè)甲獲得優(yōu)秀為事件4,乙獲得優(yōu)秀為事件42,丙獲得優(yōu)秀為事件A3

------3

P(X=O)=尸(“A)=0.6x0,5x0.5/，

尸(X=1)=P(A兀4)+P(可A?%)+P(彳無AJ

8

=0/x0.5x0.5+0.6x0.5x0.5+0.6x0.5x0.5=——，

20

尸(X=2)=p(A4A)+P(A%A)+P(%4A)

,7

=0/x0.5x0.5+0.4x0.5x0.5+0.6x0.5x0.5=—,

20

2

P(X=3)=P(/\A2A,)=O.4xO.5xO.5=—.

???X的分布列為

X0123

3872

P

20202020

(3)

丙奪冠概率估計(jì)值最大.

因?yàn)殂U球比賽無論比賽幾次就取最高成績.比賽一次，丙獲得9.85的概率為J,甲獲得9.80的概率為工；,

410

乙獲得9.78的概率為!.并且丙的最高成績是所有成績中最高的，比賽次數(shù)越多，對內(nèi)越有利.

6

[1506].(2021?北京?高考真題?★★★★)

在核酸檢測中，"合I”混采核酸檢測是指：先將K個(gè)人的樣本混合在一起進(jìn)行1次檢測,如果這4個(gè)人幫沒

有感染新冠病毒，則檢測結(jié)果為陰性，得到每人的檢測結(jié)果都為陰性，檢測結(jié)束:如果這女個(gè)人中有人感染

新冠病毒，則檢測結(jié)果為陽性，此時(shí)需對每人再進(jìn)行I次檢測，得到每人的檢測結(jié)果，檢測結(jié)束.

現(xiàn)對100人進(jìn)行核酸檢測，假設(shè)其中只有2人感染新冠病毒，并假設(shè)每次檢測結(jié)果準(zhǔn)確.

(I)將這100人隨機(jī)分成10組，每組10人，且對每組都采用“10合1”混采核酸檢測.

⑴如果感染新冠病毒的2人在同一組，求檢測的總次數(shù)；

(ii)已知感染新冠病毒的2人分在同一組的概率為設(shè)X是檢測的總次數(shù)，求X的

分布列與數(shù)學(xué)期望E(X).

(ID將這100人隨機(jī)分成20組，每組5人，且對每組都采用“5合1”混采核酸檢測?設(shè)Y是檢測的總次數(shù),

試判斷數(shù)學(xué)期望E(F)與⑴中E(X)的大小.(結(jié)論不要求證明)

【答案】(1)①20次；②分布列見解析：期望為子；(2)E(y)>E(X).

【分析】(1)①由題設(shè)條件還原情境，即可得解：

②求出X的取值情況，求出各情況下的概率，進(jìn)而可得分布列，再由期望的公式即可得解；

(2)求出兩名感染者在一組的概率，進(jìn)而求出后(丫)，即可得解.

【詳解】(I)①對每組進(jìn)行檢測，需要10次：再對結(jié)果為陽性的組每個(gè)人進(jìn)行檢測，需要10次:

所以總檢測次數(shù)為20次:

②由題意,X可以取20,30,

P(X=20)=\,P(X=3O)=1—\=E

則X的分布列:

X2030

110

P

HTT

IIn320

所以E(X)=20x，+30x吧=」

v11111II

(2)由題意，V可以取25,30,

495

兩名感染者在同一組的概率為《=￡哥里=—,不在同i組的概率為6=瞪,

^100

貝lJE（y）=25x&+30xM”">E（X）.

1f999999''

[1507].（2013?山東?高考真題?★★★★）

甲、乙兩支排球隊(duì)進(jìn)行比賽，約定先勝3局者獲得比賽的勝利，比賽隨即結(jié)束.除第五局甲隊(duì)獲勝的概率是

」外，其余每局比賽甲隊(duì)獲勝的概率都是三.假設(shè)各局比賽結(jié)果相互獨(dú)立.

23

（I）分別求甲隊(duì)以3:0,3:13:2勝利的概率：

（H）若比賽結(jié)果為求3:0或3:1,則勝利方得3分，對方得。分：若比賽結(jié)果為3:2,則勝利方得2分、對

方得1分.求乙隊(duì)得分X的分布列及數(shù)學(xué)期望.

【答案】⑴稱捺捺〈叫

【詳解】解法一（I）設(shè)甲勝局次分別為負(fù)局次分別為無反G5

799Q

P（3:O）=P（/4?C）=-x^x-j=—;

P（3:\）=P（ABCD）+P（ABCD）+P（ABCD）

1222212222128

=—X—X—X—+—X—X—X—+—X—X—X—=—;

33333333333327

P（3:2）=P（ABCDE）x3+P（ABCDE）x2+P（ABCDE）

11221021121^221114

33332333323333227

（H）根據(jù)題意乙隊(duì)得分分別為（），1，2,3.

P（X=O）=P（O:3）+P（1:3）=導(dǎo)捺哮;

4

P（X=1）=P（2:3）=-;

4

P（X=2）=P（3:2）=-;

i21

P（X=3）=P（3:0）+P（3:l）=-+-=-.

所以乙隊(duì)得分X的分布.列為

X0123

p1644

2727279

164417

EX=Ox—+lx—+2x—+3x-

27272799

解法二(I)記“甲隊(duì)以3：0勝利”為事件A，“甲隊(duì)以3：1勝利”為事件4,“甲隊(duì)以3：2勝利”為事件4,

由題意，各局比賽結(jié)果相互獨(dú)立，

OQ

故日4)=(3=萬，

22

P(A)=C3(1)(1-1)X1=A,

1S)Y(刎管

QQ4

所以，甲隊(duì)以3：0.3:132勝利的概率分別是；；，—,—：

272727

(H)設(shè)“乙隊(duì)以3:2勝利”為事件兒，由題意，各局比賽結(jié)果相互獨(dú)立，所以

尸(A)=C4'(1一5)2《尸x(l-l)=A

33227

由題意，隨機(jī)變量X的所有可能的取值為0.123,,根據(jù)事件的互斥性得

P(X=o)=P(A+&)=P(A)+P(&)吟，

4

P(X=1)=P(A,)=—,

27

4

P(X=2)=P(44)=—,

3

p(X=3)=1-P(X=0)-P(X=I)-P(X=2)=—

27

故X的分布列為

X0123

P16443

27272727

164437

filf^EX=0x—+lx—+2x—+3x-

272727279

【考點(diǎn)定位】本題考查了獨(dú)立事件互斥事件的識別與概率運(yùn)算、離散型隨機(jī)變量的分布列和期望，要注意

對不同事件的合理表述，便于書寫過程.X服從于二項(xiàng)分布，可用概盅公式進(jìn)行運(yùn)第:，也可以采用羅列方

式進(jìn)行，是對運(yùn)兜能力的常規(guī)考查.

[1508].（2020?北京?高考真題?★★★）

某校為舉辦甲、乙兩項(xiàng)不同活動(dòng)，分別設(shè)計(jì)了相應(yīng)的活動(dòng)方案：方案一、方案二.為了解該校學(xué)生對活動(dòng)

方案是否支持，對學(xué)生進(jìn)行簡單隨機(jī)抽樣，獲得數(shù)據(jù)如下表：

男生女生

支持不支持支持不支持

方案一200人400人300人100人

方案二350人250人150人250人

假設(shè)所有學(xué)生對活動(dòng)方案是否支持相互獨(dú)立.

（I）分別估計(jì)該校男生支持方案一的概率、該校女生支持方案一的概率；

（H）從該校全體男生中隨機(jī)抽取2人,全體女生中隨機(jī)抽取1人，估計(jì)這3人中怡月2人支持方案一的

概率：

（HI）將該校學(xué)生支持方案二的概率估計(jì)值記為P。，假設(shè)該校一年級有500名男生和300名女生，除一年

級外其他年級學(xué)生支持方案二的概率估計(jì)值記為Pi，試比較也與四的大小.（結(jié)論不要求證明）

【答案】（I）該校男生支持方案一的概率為:，該校女生支持方案一的概率為[：

34

13

（II）持（III）P,<P0

36

【分析】（I）根據(jù)頻率估計(jì)概率，即得結(jié)果：

（II）先分類，再根據(jù)獨(dú)立事件概率乘法公式以及分類計(jì)數(shù)加法公式求結(jié)果：

（III）先求兒，再根據(jù)頻率估計(jì)概率化，即得大小.

【詳解】（I）該校男生支持方案?的概率為肅

該校女生支持方案一的概率為正黑;=I;

（ID3人中恰有2人支持方案一分兩種情況，（I）僅有兩個(gè)男生支持方案一，（2）僅有一個(gè)男生支持方案

一，一個(gè)女生支持方案一，

所以3人中恰有2人支持方案一概率為：Ad-；）+G（1）（l-3：=號；

3433436

(IH)P,<A>

【點(diǎn)睛】本題考查利用頻率估計(jì)概率、獨(dú)立事件概率乘法公式，考杳基本分析求解能力，屬基礎(chǔ)題.

[1509].(2019?江蘇?高考真題?★★★★)

在平面直角坐標(biāo)系X0V中，設(shè)點(diǎn)集A,={(0,0),(1,0),(2,0),…，(集0)},

8.={(0,l),5，l)}C={(0,2),(1,2),(2,2),令此=4U41，?！?從集合Mn中任取兩個(gè)不同的

點(diǎn)，用隨機(jī)變量X表示它們之間的距離.

(I)當(dāng)〃=1時(shí)，求X的概率分布：

(2)對給定的正整數(shù)〃(?>3),求概率尸(X9)(用〃表示).

【答案】(I)見解析：

6

(2)

【分析】(1)由題意首先確定X可能的取值，然后利用古典概型計(jì)算公式求得相應(yīng)的概率值即可確定分布列；

(2)將原問題技化為對立事件的問題求解P(X>〃)的值，據(jù)此分類討論①.〃-d,②<3).

8=0,d=2,④6=l,d=2四種情況確定X滿足X>〃的所有可能的取直，然后求解相應(yīng)的概率值即可確定

P(XW〃)的值.

【詳解】(I)當(dāng)〃=1時(shí)，X的所有可能取值是

777-44

X佬概率分布為/'(乂=1)=五=正，H乂=應(yīng))=不=不,

"=2)=專q.ax=6=*《

(2)設(shè)A(a,b)和伙c,d)是從M“中取出的兩個(gè)點(diǎn).

因?yàn)槭?X4〃)=1-P(X>n),所以僅需考慮X>〃的情況.

①若力=d，則不存在X>〃的取法；

②若b=0,d=l,則A8=J(a—cf+1W+1,所以X>〃當(dāng)且僅當(dāng)人B=，此時(shí)。=。，。="或

a=n,c=O,有2種取法：

③若力=0，d=2,則八3=J(a-c)2+4?J〃2+4,因?yàn)楫?dāng)，后3時(shí)，+4<n,所以X>〃當(dāng)且僅當(dāng)

48=J7+4,此時(shí)〃=°，c=〃或白=〃，。=°，有2種取法；

④若b=l，"=2,則A8=J(a—cf+1匕，??+1,所以X>〃當(dāng)且僅當(dāng)人B=，此時(shí)。=。，。="或

a=n,c=0,有2種取法.

綜上，當(dāng)X>〃時(shí)，X的所有可能取值是曲7和J”?+4,M.

4

P(X=+1)=,P(X=VH2+4)=

cL?

6

P(X<n)=\-P(XVn2+l)-P(X=V/r+4)=1-

因此,cC

【點(diǎn)睛】本題主?？疾橛?jì)數(shù)原理、古典概型、隨機(jī)變量及其概率分布等基礎(chǔ)知識，考查邏輯思維能力和推

理論證能力.

[15101（2019?北京?高考真題?★★★★））

改革開放以來，人們的支付方式發(fā)生了巨大轉(zhuǎn)變.近年來，移動(dòng)支付已成為主要支付方式之一.為了解某

校學(xué)生上個(gè)月A,B兩種移動(dòng)支付方式的使用情況，從全校學(xué)生中隨機(jī)抽取了100人，發(fā)現(xiàn)樣本中A,B兩

種支付方式都不使用的有5人，樣本中僅使用A和僅使用B的學(xué)生的支付金額分布情況如下：

(0JC00](10002000]大于2000

交付金額（元）

支付方式

僅使用A18人9人3人

僅使用B10人14人1人

（I）從全校學(xué)生中隨機(jī)抽取1人，估計(jì)該學(xué)生上個(gè)月A,B兩種支付方式都使用的概率：

（11）從樣本僅使用A和僅使用B的學(xué)生中各隨機(jī)抽取1人，以X表示這2人中上個(gè)月支付金額大于1300

元的人數(shù)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望；

（III）已知上個(gè)月樣本學(xué)生的支付方式在本月沒有變化.現(xiàn)從樣本僅使用A的學(xué)生中，隨機(jī)抽查3人，發(fā)

現(xiàn)他們本月的支付金額都大于2000元.根據(jù)抽查結(jié)果，能否認(rèn)為樣本僅使用A的學(xué)生中本月支付金額大于

2000元的人數(shù)有變化？說明理由.

【答案】（I）

（II）見解析；

（IH）見解析.

【分析】（I）由題意利用古典概型計(jì)郛公式可得滿足題意的概率值：

（H）首先確定X可能的取值，然后求得相應(yīng)的概率值可得分布列，最后求解數(shù)學(xué)期望即可.

（HI）由題意結(jié)合概率的定義給出結(jié)論即可.

【詳解】（I）由題意可知，兩種支付方式都是用的人數(shù)為：100-30-25-5=40人，則:

該學(xué)生上個(gè)月48兩種支付方式都使用的概率〃=需40=22.

1005

（H）由題意可知,

僅使用人支付方法的學(xué)生中，金額不大于1000的人數(shù)占3:，金額大于MXX）的人數(shù)占身2,

JJ

僅使用3支付方法的學(xué)生中，金額不大于1000的人數(shù)占彳2，金額大于1000的人數(shù)3g3

JJ

且X可能的取值為0,1,2.

心=。）=衿=*P（X=l）=?+5吟?P（X=2）=/=裊

X的分布列為：

X012

6136

P（X）

252525

其數(shù)學(xué)期望：E（X）=（）XA+1X22+2XA=1.

（HI）我們不認(rèn)為樣本僅使用A的學(xué)生中本月支付金額大于2000元的人數(shù)有變化.理由如下：

隨機(jī)事件在一次隨機(jī)實(shí)驗(yàn)中是否發(fā)生是隨機(jī)的，是不能預(yù)知的，隨著試驗(yàn)次數(shù)的增多，頻率越來越穩(wěn)定于

概率.

學(xué)校是一個(gè)相對消費(fèi)穩(wěn)定的地方，每個(gè)學(xué)生根據(jù)自己的實(shí)際情況每個(gè)月的消費(fèi)應(yīng)該相對固定，出現(xiàn)題中這

種現(xiàn)象可能是發(fā)生了“小概率事件

【點(diǎn)睛】本題以支付方式相關(guān)調(diào)查來設(shè)置問題，考查概率統(tǒng)計(jì)在生活中的應(yīng)用，考查概率的定義和分布列

的應(yīng)用，使學(xué)生體會(huì)到數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)生活息息相關(guān).

[15111（2013?全國?高考真題?★★★★）

經(jīng)銷商經(jīng)銷某種農(nóng)產(chǎn)品，在一個(gè)銷售季度內(nèi)，每售出II該產(chǎn)品獲利潤590元，未售出的產(chǎn)品，每It虧損300

元.根據(jù)歷史資料，得到銷售季度內(nèi)M場需求量的頻率分布直方圖，如右圖所示.經(jīng)銷商為下一個(gè)銷售季度購

進(jìn)了130【該農(nóng)產(chǎn)品.以x（單位：3100WXS150）表示下一個(gè)銷售季度內(nèi)經(jīng)銷該農(nóng)產(chǎn)品的數(shù)量，T表示利潤.

(I)將T表示為X的函數(shù)

(H)根據(jù)直方圖估計(jì)利潤T不少于57000元的概率；

(III)在直方圖的需求量分組中，以各組的區(qū)間中點(diǎn)值代表該組的各個(gè)值需求量落入該區(qū)間的頻率作為需

求量取該區(qū)間中點(diǎn)值的概率(例如:若xe[100410),則取x=105,且x=105的概率等于需求量落入[100,110

)的頻率，求T的數(shù)學(xué)期望.

【答案】(1)7=500x130=65000(II)0.7(III)59400

【詳解】⑴當(dāng)XW[100,130)時(shí),T=500X-300(130-X)=800X-39000.

當(dāng)X￡[I3O,I5O]時(shí)，7=500x130=65()00.

800X-39000,l(X)<X<130,

所以T={

,65000,130<X<150.

(2)由(1)知利潤7,不少于57000元當(dāng)上僅當(dāng)120<X<150.

由直方圖知需求量X￡[120]50]的頻率為0.7,所以下一個(gè)銷售季度內(nèi)的利潤丁不少于57000元的概率的估

計(jì)值為0.7.

(3)依題意可得7的分布列為

T4500053000610006500()

P0.10.20.30.4

所以￡(7)=45000x0.1+53000x0.2+61000x0.3+65000x0.4=

594(X).

【1512】.(2014?湖北?高考真題?★★★★)

計(jì)劃在某水庫建一座至多安裝3臺發(fā)電機(jī)的水電站，過去50年的水文資料顯示，水庫年入流量KC年入流

量：一年內(nèi)上游來水與庫區(qū)降水之和.單位：億立方米)都在40以匕其中，不足80的年份有10年，不低

于80且不超過120的年份有35年，超過120的年份有5年.將年入流量在以上三段的頻率作為相應(yīng)段的概

率，并假設(shè)各年的年入流量相互獨(dú)立.

(1)求未來4年中，至多J年的年入流量超過120的概率；

(2)水電站希望安裝的發(fā)電機(jī)盡可能運(yùn)行，但每年發(fā)電機(jī)最多可運(yùn)行臺數(shù)受年入流量》限制，并有如下關(guān)

系：

年入流量-V40<A>80X>120

發(fā)電量最多可運(yùn)行臺數(shù)123

若某臺發(fā)電機(jī)運(yùn)行，則該臺年利潤為5000萬元；若某臺發(fā)電機(jī)未運(yùn)行，則該臺年虧損800萬元，欲使水電

站年總利潤的均值達(dá)到最大，應(yīng)安裝發(fā)電機(jī)多少臺？

【答案】(1)0.9477；(2)8620,2.

【詳解】試題分析：(1)先求片=P(40<X<80),/>=P(80<X<120),/>=P(X>120),再利用二項(xiàng)分布

求解：(2)記水電站年總利潤為丫(單位：萬元)①安裝1臺發(fā)電機(jī)的情形.②安裝2臺發(fā)電機(jī).③安裝3臺

發(fā)電機(jī)，分別求出￡7,比較大小，再確定應(yīng)安裝發(fā)電機(jī)臺數(shù).

(1)依題意，4=P(40<X<80)=9=0.2,

355

6=P(80WXW120)=行=0.7,4=P(X>120)=才=0.1,

由二項(xiàng)分布，在未來4年中至多有1年入流量找過120的概率為：

4

人以(1-4+。：(】-6)2=(1y+4x(K)X*=0.9477.

(2)記水電站年總利潤為丫(單位:萬元)

①安裝I臺發(fā)電機(jī)的情形.

由于水庫年入流量總大于40,所以一臺發(fā)電機(jī)運(yùn)行的概率為1,

對應(yīng)的年利潤y=5000,￡7=5000x1=5000.

②安裝2臺發(fā)電機(jī).

當(dāng)40Vx<80時(shí).，一臺發(fā)電機(jī)運(yùn)行，此時(shí)y=5000—800=4200,

因此P(y=4200)=P(40<X<80)=耳=0.2,

當(dāng)X280時(shí)，兩臺發(fā)電機(jī)運(yùn)行，此時(shí)^=5000x2=10000，

因此P(Y=10000)=P(X280)=勺+6=0.8.由此得y的分布列如下:

420010000

P0.20.8

所以C=4200X1+l(XXX)x2=8840.

③安裝3臺發(fā)電機(jī).

依題意，當(dāng)40Vx<80時(shí)，一臺發(fā)電雙運(yùn)行，此時(shí)丫=50(X)—1600=3400,

因此P(y=3400)=P(40<X<80)=q=0.2；

當(dāng)80WXW120時(shí)，兩臺發(fā)電機(jī)運(yùn)行，此時(shí)丫=5000x2—800=9200,

此時(shí)p(Y=9200)=P(8O<X<I2O)=^=O.7,

當(dāng)X>120時(shí)，三臺發(fā)電機(jī)運(yùn)行，此時(shí)y=5000x3=15000.

因此P(Y=15000)=P(X>120)=A=0.1,

由此得『的分布列如下：

Y3400920015000

P0.20.70.1

所以EY=3400x0.2+9200x0.7+l5000x0.1=8620.

綜上，欲使水電站年總利潤的均值達(dá)到最大，應(yīng)安裝發(fā)電機(jī)2臺.

考點(diǎn)：二項(xiàng)分布，隨機(jī)變量的均值.

【1513】.(2015?四川?高考真題?★★★★)

某市A,B兩所中學(xué)的學(xué)生組隊(duì)參加辯論賽，A中學(xué)推薦3名男生，2名女生，B中學(xué)推薦了3名男生，4名

女生，兩校推薦的學(xué)生一起參加集訓(xùn)，由于集訓(xùn)后隊(duì)員的水平相當(dāng)，從參加集訓(xùn)的男生中隨機(jī)抽取3人，

女生中隨機(jī)抽取3人組成代表隊(duì)

(1)求A中學(xué)至少有1名學(xué)生入選代表隊(duì)的概率.

（2）某場比賽前，從代表隊(duì)的6名隊(duì)員中隨機(jī)抽取4人參賽，設(shè)X表示參賽的男生人數(shù)，求X得分布列

和數(shù)學(xué)期望.

【答案】（1）A中學(xué)至少I名學(xué)生入選的概率為〃=言.

100

（2）X的分布列為：

x的期望為;工

【分析】（I）A中至少有I名學(xué)生入選代表隊(duì)的對立事件是A中沒有學(xué)生入選代表隊(duì)，那3名男生和3名女

生都是B中的學(xué)生，計(jì)算:概率后，再用1減，即是所求概率；

（2）6名隊(duì)員中有3男，3女，所以選4人中，X表示參賽的男生人數(shù)，X的可能取值為1,2,3,根據(jù)超幾

何分布計(jì)算其概率，列分布列和求期望.

【詳解】（I）由題意知，參加集訓(xùn)的男、女生各有6名.

C'C?

參賽學(xué)生全部從B中學(xué)中抽?。ǖ葍r(jià)于A中學(xué)沒有學(xué)生入選代表隊(duì)）的概率為.

100

因此，A中學(xué)至少有I名學(xué)生入選代表隊(duì)的概率為1一一

（2）根據(jù)題意得，X的可能取值為I,2,3.

所以X的分布列為

X123

1_31

P

555

因此，X的數(shù)學(xué)期望E（X）=Ix：+2x：+3x：=2.

考點(diǎn)：1.古典概型；2.離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望.

[1514].（2013?遼寧?高考真題?★★★★）

現(xiàn)有10道題，其中6道甲類題，4道乙類題，張同學(xué)從中任取3道題解答.

（i）求張同學(xué)至少取到1道乙類圈的概率；

3

(II)已知所取的3道題中有2道甲類題，1道乙類題.設(shè)張同學(xué)答對甲類題的概率都是,，答對每道乙類題

的概率都是：，且各題答對與否相互獨(dú)立.用X表示張同學(xué)答對題的個(gè)數(shù)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.

【答案】(I)I(II)見解析

【分析】(D從10道試題中取出3個(gè)的所有可能結(jié)果數(shù)有G〉張同學(xué)至少取到1道乙類題的對立事件是:

張同學(xué)取到的全為甲類題，代入古典概率的求解公式即可求解

(II)先判斷隨機(jī)變量X的所有可能取值為0,1,2,3,根據(jù)題意求出隨機(jī)變量的各個(gè)取值的概率，即可

求解分布列及期望值

【詳解】解：(。設(shè)事件4=”張同學(xué)至少取到1道乙類題”

則?=張同學(xué)至少取到的全為甲類題

:.P(A)=1-P(，)=1-告V

(mX的所有可能取值為0,1,2,3

P(X=0)=嗚?鏟電唱

P(X=D=+C?<-)2^=至

2555*55125

P(X=3)=C

?O($令il黑

X的分布列為

X0123

42836

P125T2557125

125

及八3+以/+20+3、至=2

125125125125

【點(diǎn)睛】本題主要考查了古典概型及il算公式，互斥事件、離散型隨機(jī)變星的分布列及期望值的求解，考

查了運(yùn)用概率知識解決實(shí)際問題的能力.

[15151(2018?天津?高考真題?★★★★)

已知某單位甲、乙、丙三個(gè)部門的員工人數(shù)分別為24,16,16.現(xiàn)采用分層抽樣的方法從中抽取7人，進(jìn)行

睡眠時(shí)間的調(diào)查.

(I)應(yīng)從甲、乙、丙三個(gè)部門的員工中分別抽取多少人？

(II)若抽出的7人中有4人睡眠不足，3人睡眠充足，現(xiàn)從這7人中隨機(jī)抽取3人做進(jìn)一步的身體檢查.

(i)用X表示抽取的3人中睡眠不足的員工人數(shù)，求隨機(jī)變量X的分布列與數(shù)學(xué)期望：

(ii)設(shè)A為事件“抽取的3人中，既有睡眠充足的員工，也有睡眠不足的員工”，求事件A發(fā)生的概率.

【答案】(I)從甲、乙、丙三個(gè)部門的員工中分別抽取3人，2人，2人.(II)(力答案見解析：(/7)z-

【詳解】分析：(【)由分層抽樣的概念可知應(yīng)從甲、乙、丙三個(gè)部門的員工中分別抽取3人，2人，2人.

c：C”

(H)(力隨機(jī)變量X的所有可能取值為Q1,2,3.且分布列為超幾何分布，即尸(X=A)=-cT

I,2,3).據(jù)此求解分布列即可，計(jì)算相應(yīng)的數(shù)學(xué)期望為七”)=半.

(//)由題意結(jié)合題意和互斥事件概率公式可得事件A發(fā)生的概率為與.

詳解：(I)由已知，甲、乙、丙三個(gè)部門的員工人數(shù)之比為3：2：2,

由于采用分層抽樣的方法從中抽取7人，

因此應(yīng)從甲、乙、丙三個(gè)部門的員工中分別抽取3人，2人，2人.

(H)(/)隨機(jī)變量X的所有可能取值為0,1,2,3.

「A

P(X=k)=?=3(M),I,2,3).

所以，隨機(jī)變量X的分布列為

X0123

112184

p

35353535

隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望E(X)=0x4+lx*+2x^+3x^=與.

(ii)設(shè)事件3為“抽取的3人中，睡眠充足的員工有1人，睡眠不足的員工有2人”:

事件。為“抽取的3人中，睡眠充足的員工有2人，唾眠不足的員工有I人'

則4=4UC,且5與C互斥，

由⑴知，P(B)=P(X=2),P(O=P(X=1),

故PiA)=P(BUC)=P(X=2)+P(X=1)=1.

所以，事件4發(fā)生的概率為亨.

點(diǎn)睛：本題主要在考查超幾何分布和分層抽樣.超幾何分布描述的是不放回抽樣問題，隨機(jī)變量為抽到的某

類個(gè)體的個(gè)數(shù).超幾何分布的特征是：①考查時(shí)象分兩類；②已知各類對象的個(gè)數(shù)；③從中抽取若干個(gè)個(gè)

體，考查某類個(gè)體個(gè)數(shù)X的概率分布，超幾何分布主要用于抽檢產(chǎn)品、摸不同類別的小球等概率模型，其

實(shí)質(zhì)是古典概型.進(jìn)行分層抽樣的相關(guān)計(jì)算時(shí)，常利用以下關(guān)系式巧解：(1)

樣本容量〃該層抽取的個(gè)體數(shù)

吃z=力:(2)總體中某兩層的個(gè)體數(shù)之比=樣本中這兩層抽取的個(gè)體數(shù)之比.

息體的個(gè)數(shù)N該層的個(gè)體數(shù)f

[1516].(2016?全國?高考真題?★★★★)

某公司計(jì)劃購買2臺機(jī)器，該種機(jī)器使用三年后即被淘汰，機(jī)器有一易損零件，在購進(jìn)機(jī)器時(shí)，可以額外

購買這種零件作為備件，每個(gè)200元.在機(jī)器使用期間，如果備件不足再購買，則每個(gè)500元.現(xiàn)需決策

在購買機(jī)器時(shí)應(yīng)同時(shí)購買幾個(gè)易損零件，為此搜集并整理了100臺這種機(jī)器在三年使用期內(nèi)更換的易損零

件數(shù)，得下面柱狀圖：

891()11更換的易損零件數(shù)

以這100臺機(jī)器更換的易損零件數(shù)的頻率代替1臺機(jī)器更換的易損零件數(shù)發(fā)生的概率，記X表示2臺機(jī)器

三年內(nèi)共需更換的易損零件數(shù)，〃表示購買2臺機(jī)器的同時(shí)購買的易損零件數(shù).

(1)求X的分布列：

(2)若要求「(XW〃)之0.5,確定冷的最小值;

(3)以購買易損零件所需費(fèi)用的期望值為決策依據(jù)，在〃=19與〃=20之中選其一，應(yīng)選用哪個(gè)？

【答案】(1)見解析.

(2)見解析.

(3)見解析.

【分析】(1)由己知得X的可能取值為16,17,18,19,20,21,22,分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出

X的分布列：(2)由X的分布列求出P(X<18)=4，P(X<19)二,.由此能確定滿足P(X<n)>0.5

中n的最小值：(3)購買零件所用費(fèi)用含兩部分，一部分為購買零件的費(fèi)用，另一部分為備件不足時(shí)額外

購買的費(fèi)用，分別求出n=19時(shí)，費(fèi)用的期望和當(dāng)n=20時(shí)，費(fèi)用的期望，從而得到買19個(gè)更合適.

【詳解】（1）由柱狀圖并以頻率代替概率可得，一臺機(jī)器在三年內(nèi)需更換的易損零件數(shù)為8,9,10,II的

概率分別為0.2,0.4,0.2,0.2,從而

PQY二16)=二'2=0.04；

P(J=17)=2x0,2x0.4=0.16;

P(J=18)=2xO.2xO.2-O-4=0.24；

A.Y=19)=2022+2x1.4x0.2=0.24:

P(Ar=20)=2x0.2x0.4+0,2<02=02；

P(J=21)=2x0.2x0.2=0.08：

P(J=22)=02-02=004.

所以》的分布列為

X16171819202122

P0.040.160.240.24一0.080.04

⑵由⑴知HX4助,M4,P（.Y<19）=0.68,故〃的最小值為19.

（3）購買零件所用費(fèi)用含兩部分，一部分為購買零件的費(fèi)用，另一部分為備件不足時(shí)額外購買的費(fèi)用.

當(dāng)n=19時(shí)，費(fèi)用的期望為：19x200+500x0.2+1000x0.08+1500x0.04=4（40：

當(dāng)n=20時(shí)，費(fèi)用的期望為：20x200+500x0.08+1000x0.04=4080.

可知當(dāng)〃=19時(shí)所需費(fèi)用的期望值小于〃=20時(shí)所需費(fèi)用的期望值，成應(yīng)選"=19.

考點(diǎn)：離散型隨機(jī)變量及其分布列

[15171（2014?全國?高考真題?★★★★）

從某企業(yè)生產(chǎn)的某種產(chǎn)品中抽取500件，測量這些產(chǎn)品的一項(xiàng)質(zhì)量指標(biāo)值，由測量結(jié)果得如卜.圖頻率分布

直方圖：

(I)求這500件產(chǎn)品質(zhì)量指標(biāo)值的樣本平均值元和樣本方差$2(同一組的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表);

(H)由直方圖可以認(rèn)為，這種產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)Z服從正態(tài)分布N(小/)，其中〃近似為樣本平均數(shù)￡

近似為樣本方差

(i)利用該正態(tài)分布，求尸(187.8<Z<212.2)：

(ii)某用戶從該企業(yè)購買了100件這種產(chǎn)品，記X表示這100件產(chǎn)品中質(zhì)量指標(biāo)值位于區(qū)間(1878212.2)

的產(chǎn)品件數(shù).利用(i)的結(jié)果，求EX.

附：^/i50ftl2.2

若Z~N(〃,吟貝CT<Z<〃+G)=0.6826,-2cr<Z<//+2(T)=0.9544.

【答案】(I)200,150：(H)⑴0.6826：(ii)68.26.

【詳解】試題分析：(I)由頻率分布直方圖可估計(jì)樣本特征數(shù)眾數(shù)、中位數(shù)、均值、方差.若同一組的數(shù)據(jù)

用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表，則眾數(shù)為最高矩形中點(diǎn)橫坐標(biāo).中位數(shù)為面積等分為5的點(diǎn).均值為每個(gè)矩

形中點(diǎn)橫坐標(biāo)與該矩形面積積的累加值.方差是矩形橫坐標(biāo)與均值差的平方的加權(quán)平均值.(ID(i)由己

知得，Z~

N(200,150),故P(187.8vZ<212.2)=P(200—12.2<Z<200+12.2)=0.6826；(ii)某用戶從該企業(yè)購買了

100件這種產(chǎn)品，相當(dāng)于100次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，則這100件產(chǎn)品中質(zhì)量指標(biāo)值位于區(qū)間(1878212.2)的產(chǎn)品

件數(shù)X~8(1(X26826),故期望EX=100x0.6826=68.26.

試題分析：(I)抽取產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值的樣本平均值天和樣本方差『分別為

x=170x0.02+180x0.09+190x0.22+200x0.33+210x0.24+220x0.08+230x0.02=200,

=(一30尸x0.02+(-20)2x0.()9+(-10；Px().22+0x0.33+IO2x0.24+2()2x0.08+3()2x0.02=150.

(ID(i)由⑴知，Z服從正態(tài)分右M200,150),187.8<Z<212.2)=P(200-12.2<Z<200

+12.2)=0.6826.

(ii)由(i)可知，?件產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值位于區(qū)間(187.8,212.2)的概率為0.6826,依題意知乂~3(10006826),

所以歐=100x0.6826=68.26.

【考點(diǎn)定位】1、頻率分布直方圖：2、正態(tài)分布的3。原則；3、二項(xiàng)分布的期望.

[1518).(2008?江西?高考真題?★★★★)

某柑桔基地因冰雪災(zāi)害，使得果林嚴(yán)羽受損，為此有關(guān)專家提出兩種拯救果林的方案，每種方案都需分兩

年實(shí)施：若實(shí)施方案一，預(yù)計(jì)當(dāng)年可以使柑桔產(chǎn)量恢更到災(zāi)前的L0倍、0.9倍、0.8倍的概率分別是0.3、

03、0.4；第二年可以使柑桔產(chǎn)量為上一年產(chǎn)量的1.25倍、1.0倍的概率分別是0.5、0.5.若實(shí)施方案二，預(yù)

計(jì)當(dāng)年可以使柑桔產(chǎn)量達(dá)到災(zāi)前的1.2倍、1.0倍、0.8倍的概率分別是0.2、0.3、0.5：第二年可以使柑桔產(chǎn)

量為上一年產(chǎn)量的1.2倍、1.0倍的概率分別是0.4、0.6.實(shí)施每種方案，第二年與第一年相互獨(dú)立.令

$(i=1,2)表示方案i實(shí)施兩年后柑桔產(chǎn)量達(dá)到災(zāi)前產(chǎn)量的倍數(shù).

⑴寫出。、&的分布列；

(2)實(shí)施哪種方案，兩年后柑桔產(chǎn)量超過災(zāi)前產(chǎn)量的概率更大？

(3)不管哪種方案，如果實(shí)施兩年后柑桔產(chǎn)量達(dá)不到災(zāi)前產(chǎn)量，預(yù)計(jì)可帶來效益10萬元：兩年后柑桔產(chǎn)量恰

好達(dá)到災(zāi)前產(chǎn)量，預(yù)計(jì)可帶來效益15萬元；柑桔產(chǎn)量超過災(zāi)前產(chǎn)量，預(yù)計(jì)可帶來效益20萬元：問實(shí)施哪

種方案所帶來的平均效益更大？

【答案】(1)具體見解析；

(2)方案二兩年后柑桔產(chǎn)量超過災(zāi)前產(chǎn)量的概率更大：

(3)方案一所帶來的平均效益更大.

【分析】⑴根據(jù)題意得出知&的所有可能取值,進(jìn)而列出分布列即可:

(2)根據(jù)題意分別算出兩種方案兩年后柑橘產(chǎn)量超過災(zāi)前產(chǎn)量的概率，進(jìn)而比較大小：

(3)根據(jù)題意算出兩種方案收益的期望，進(jìn)而比較大小即可得到答案.

(I)。的所有取值為0.8.091.0,1.125,1.25,&的所有取值為0.8,0.96,1.0,1.2,1.44白、&的分布列分別為:

00.80.91.01.1251.25

P0.20.150.350.150.15

$0.80.961.01.21.44

P0.30.20.180.240.08

(2)令A(yù)、8分別表示方案一、方案二兩年后柑桔產(chǎn)量超過災(zāi)前產(chǎn)量這一事件，P(A)=0.15+0.15=0.3,

28)=0.24+0.08=0.32,可見，方案二兩年后柑桔產(chǎn)量超過災(zāi)前產(chǎn)量的概率更大.

(3)令％表示方案i所帶來的效益,則

101520

P0.350.350.3

小101520

P0.50.180.32

所以E(/)=10x0.35+15x0.35+20x0.3=14.75,E(%)=10x0.5+15x0.18+20x0.32=14.1,可見，方案一

所帶來的平均效益更大.

【1519】.(2017?全國?高考真題?★★★★)

為了監(jiān)控某種零件的一