【創(chuàng)新設(shè)計(jì)】2022屆-數(shù)學(xué)一輪(理科)蘇教版-江蘇專用-第五章-平面向量-課時(shí)作業(yè)5-4

第4講平面對(duì)量應(yīng)用舉例基礎(chǔ)鞏固題組(建議用時(shí)：40分鐘)一、填空題1．在四邊形ABCD中，eq\o(AC,\s\up6(→))＝(1,2)，eq\o(BD,\s\up6(→))＝(－4,2)，則該四邊形的面積為_(kāi)_______．解析∵eq\o(AC,\s\up6(→))·eq\o(BD,\s\up6(→))＝0，∴eq\o(AC,\s\up6(→))⊥eq\o(BD,\s\up6(→))，∴四邊形ABCD的面積S＝eq\f(1,2)|eq\o(AC,\s\up6(→))|·|eq\o(BD,\s\up6(→))|＝eq\f(1,2)×eq\r(5)×2eq\r(5)＝5.答案52．在△ABC中，(eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(BA,\s\up6(→)))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝|eq\o(AC,\s\up6(→))|2，則△ABC的外形肯定是________三角形(填“等邊”、“等腰”、“直角”、“等腰直角”)．解析由(eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(BA,\s\up6(→)))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝|eq\o(AC,\s\up6(→))|2，得eq\o(AC,\s\up6(→))·(eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(BA,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→)))＝0，即eq\o(AC,\s\up6(→))·(eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\o(CA,\s\up6(→)))＝0,2eq\o(AC,\s\up6(→))·eq\o(BA,\s\up6(→))＝0，∴eq\o(AC,\s\up6(→))⊥eq\o(BA,\s\up6(→))，∴A＝90°.又依據(jù)已知條件不能得到|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝|eq\o(AC,\s\up6(→))|，故△ABC肯定是直角三角形．答案直角3．已知點(diǎn)A(－2,0)，B(3,0)，動(dòng)點(diǎn)P(x，y)滿足eq\o(PA,\s\up6(→))·eq\o(PB,\s\up6(→))＝x2，則點(diǎn)P的軌跡是________．解析eq\o(PA,\s\up6(→))＝(－2－x，－y)，eq\o(PB,\s\up6(→))＝(3－x，－y)，∴eq\o(PA,\s\up6(→))·eq\o(PB,\s\up6(→))＝(－2－x)(3－x)＋y2＝x2，∴y2＝x＋6.答案拋物線4．(2021·廣州綜合測(cè)試)在△ABC中，若eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(CB,\s\up6(→))＝2，則邊AB的長(zhǎng)等于________．解析由題意知eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(CB,\s\up6(→))＝4，即eq\o(AB,\s\up6(→))·(eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(CB,\s\up6(→)))＝4，即eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))＝4，∴|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝2.答案25．(2021·南通檢測(cè))設(shè)O是△ABC的外心(三角形外接圓的圓心)．若eq\o(AO,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(AC,\s\up6(→))，則∠BAC的度數(shù)等于________．解析取BC的中點(diǎn)D，連接AD，則eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))＝2eq\o(AD,\s\up6(→)).由題意得3eq\o(AO,\s\up6(→))＝2eq\o(AD,\s\up6(→))，∴AD為BC的中線且O為重心．又O為外心，∴△ABC為正三角形，∴∠BAC＝60°.答案60°6．(2021·宿遷摸底)已知非零向量a，b滿足(a－2b)⊥a，(b－2a)⊥b，則向量a與b的夾角為_(kāi)_______．解析由非零向量a，b滿足(a－2b)⊥a，(b－2a)⊥b，得(a－2b)·a＝|a|2－2a·b＝0，(b－2a)·b＝|b|2－2a·b＝0，所以|a|2＝2a·b＝|b|2，設(shè)向量a與b的夾角為θ，θ∈[0，π]，則cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|)＝eq\f(1,2)，所以θ＝eq\f(π,3).答案eq\f(π,3)7．(2022·天津十二區(qū)縣重點(diǎn)中學(xué)聯(lián)考)在邊長(zhǎng)為1的正方形ABCD中，M為BC的中點(diǎn)，點(diǎn)E在線段AB上運(yùn)動(dòng)，則eq\o(EC,\s\up6(→))·eq\o(EM,\s\up6(→))的最大值為_(kāi)_______．解析以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB，AD所在直線分別為x，y軸建立平面直角坐標(biāo)系，則C(1,1)，Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(1,2)))，設(shè)E(x,0)，x∈[0,1]，則eq\o(EC,\s\up6(→))·eq\o(EM,\s\up6(→))＝(1－x,1)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－x，\f(1,2)))＝(1－x)2＋eq\f(1,2)，x∈[0,1]單調(diào)遞減，當(dāng)x＝0時(shí)，eq\o(EC,\s\up6(→))·eq\o(EM,\s\up6(→))取得最大值eq\f(3,2).答案eq\f(3,2)8．(2021·蘇北四市模擬)已知向量a＝(cosθ，sinθ)，向量b＝(eq\r(3)，－1)，則|2a－b|的最大值與最小值的和為_(kāi)_______．解析由題意可得a·b＝eq\r(3)cosθ－sinθ＝2coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,6)))，則|2a－b|＝eq\r(2a－b2)＝eq\r(4|a|2＋|b|2－4a·b)＝eq\r(8－8cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,6))))∈[0,4]，所以|2a－b|的最大值與最小值的和為4.答案4二、解答題9．(2021·長(zhǎng)沙模擬)已知向量a＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sinx，\f(3,2)))，b＝(cosx，－1)．(1)當(dāng)a∥b時(shí)，求tan2x的值；(2)求函數(shù)f(x)＝(a＋b)·b在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，0))上的值域．解(1)∵a∥b，∴sinx·(－1)－eq\f(3,2)·cosx＝0，即sinx＋eq\f(3,2)cosx＝0，tanx＝－eq\f(3,2)，∴tan2x＝eq\f(2tanx,1－tan2x)＝eq\f(12,5).(2)f(x)＝(a＋b)·b＝a·b＋b2＝sinxcosx－eq\f(3,2)＋cos2x＋1＝eq\f(1,2)sin2x－eq\f(3,2)＋eq\f(1,2)cos2x＋eq\f(1,2)＋1＝eq\f(\r(2),2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,4))).∵－eq\f(π,2)≤x≤0，∴－π≤2x≤0，－eq\f(3π,4)≤2x＋eq\f(π,4)≤eq\f(π,4)，∴－eq\f(\r(2),2)≤eq\f(\r(2),2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,4)))≤eq\f(1,2)，∴f(x)的值域?yàn)閑q\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(\r(2),2)，\f(1,2))).10．(2022·陜西卷)在直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)A(1,1)，B(2,3)，C(3,2)，點(diǎn)P(x，y)在△ABC三邊圍成的區(qū)域(含邊界)上，且eq\o(OP,\s\up6(→))＝meq\o(AB,\s\up6(→))＋neq\o(AC,\s\up6(→))(m，n∈R)．(1)若m＝n＝eq\f(2,3)，求|eq\o(OP,\s\up6(→))|；(2)用x，y表示m－n，并求m－n的最大值．解(1)∵m＝n＝eq\f(2,3)，eq\o(AB,\s\up6(→))＝(1,2)，eq\o(AC,\s\up6(→))＝(2,1)，∴eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)(1,2)＋eq\f(2,3)(2,1)＝(2,2)，∴|eq\o(OP,\s\up6(→))|＝eq\r(22＋22)＝2eq\r(2).(2)∵eq\o(OP,\s\up6(→))＝m(1,2)＋n(2,1)＝(m＋2n,2m＋n)，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝m＋2n，,y＝2m＋n，))兩式相減，得m－n＝y(tǒng)－x.令y－x＝t，由圖知，當(dāng)直線y＝x＋t過(guò)點(diǎn)B(2,3)時(shí)，t取得最大值1，故m－n的最大值為1.力量提升題組(建議用時(shí)：25分鐘)1．在△ABC中，A＝90°，AB＝1，AC＝2，設(shè)點(diǎn)P，Q滿足eq\o(AP,\s\up6(→))＝λeq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AQ,\s\up6(→))＝(1－λ)eq\o(AC,\s\up6(→))，λ∈R.若eq\o(BQ,\s\up6(→))·eq\o(CP,\s\up6(→))＝－2，則λ＝________.解析∵eq\o(BQ,\s\up6(→))＝eq\o(AQ,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))＝(1－λ)eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(CP,\s\up6(→))＝eq\o(AP,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→))＝λeq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→))，∴eq\o(BQ,\s\up6(→))·eq\o(CP,\s\up6(→))＝－2?[(1－λ)eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))]·[λeq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→))]＝－2，化簡(jiǎn)得(1－λ)λeq\o(AC,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))－(1－λ)eq\o(AC,\s\up6(→))2－λeq\o(AB,\s\up6(→))2＋eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝－2，又由于eq\o(AC,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))＝0，eq\o(AC,\s\up6(→))2＝4，eq\o(AB,\s\up6(→))2＝1，所以解得λ＝eq\f(2,3).答案eq\f(2,3)2．(2022·衡水中學(xué)一調(diào))已知|a|＝2|b|≠0，且關(guān)于x的函數(shù)f(x)＝eq\f(1,3)x3＋eq\f(1,2)|a|x2＋a·bx在R上有極值，則向量a與b的夾角的范圍是________．解析設(shè)a與b的夾角為θ.∵f(x)＝eq\f(1,3)x3＋eq\f(1,2)|a|x2＋a·bx.∴f′(x)＝x2＋|a|x＋a·b.∵函數(shù)f(x)在R上有極值，∴方程x2＋|a|x＋a·b＝0有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，即Δ＝|a|2－4a·b＞0，∴a·b＜eq\f(a2,4)，又∵|a|＝2|b|≠0，∴cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|)＜eq\f(\f(a2,4),\f(a2,2))＝eq\f(1,2)，即cosθ＜eq\f(1,2)，又∵θ∈[0，π]，∴θ∈eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,3)，π)).答案eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,3)，π))3．(2021·南京模擬)在Rt△ABC中，CA＝CB＝2，M，N是斜邊AB上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且MN＝eq\r(2)，則eq\o(CM,\s\up6(→))·eq\o(CN,\s\up6(→))的取值范圍為_(kāi)_______．解析以點(diǎn)C為坐標(biāo)原點(diǎn)，CA，CB所在直線分別為x軸，y軸建立平面直角坐標(biāo)系，則A(2,0)，B(0,2)，斜邊AB所在直線的方程為x＋y＝2，x∈[0,2]．由于MN＝eq\r(2)，則可設(shè)M(x,2－x)，N(x＋1,1－x)，且x∈[0,2]，x＋1∈[0,2]，所以x∈[0,1]，此時(shí)eq\o(CM,\s\up6(→))·eq\o(CN,\s\up6(→))＝x(x＋1)＋(2－x)(1－x)＝2x2－2x＋2，x∈[0,1]，由二次函數(shù)圖象可得x＝eq\f(1,2)時(shí)，eq\o(CM,\s\up6(→))·eq\o(CN,\s\up6(→))取得最小值eq\f(3,2)；當(dāng)x＝0或1時(shí)，eq\o(CM,\s\up6(→))·eq\o(CN,\s\up6(→))取得最大值2，所以eq\o(CM,\s\up6(→))·eq\o(CN,\s\up6(→))的取值范圍是eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，2)).答案eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，2))4．(2021·揚(yáng)州調(diào)研)在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，m＝(sinA，sinB－sinC)，n＝(a－eq\r(3)b，b＋c)，且m⊥n.(1)求角C的值；(2)若△ABC為銳角三角形，且c＝1，求eq\r(3)a－b的取值范圍．解(1)由m＝(sinA，sinB－sinC)，n＝(a－eq\r(3)b，b＋c)得sinA·(a－eq\r(3)b)＋(sinB－sinC)(b＋c)＝0，即a(a－eq\r(3)b)＋(b－c)(b＋c)＝0，故a2＋b2－c2＝eq\r(3)a