2021高考數(shù)學(xué)(文-江蘇專(zhuān)用)二輪復(fù)習(xí)-專(zhuān)題一-第三講-三角函數(shù)、向量的綜合問(wèn)題5-【要點(diǎn)導(dǎo)學(xué)】

向量的基本運(yùn)算例1如圖,在矩形ABCD中,AB=,BC=2,點(diǎn)E為BC的中點(diǎn),點(diǎn)F在邊CD上,若·=,則·的值是.

(例1)【分析】求向量的數(shù)量積可用向量的數(shù)量積公式,在用公式不太便利時(shí),常利用平面對(duì)量基本定理,選擇兩個(gè)特殊向量作為基底,把所求向量用基底表示,再用向量數(shù)量積公式進(jìn)行運(yùn)算.假如圖形是特殊圖形,可以考慮建立坐標(biāo)系,利用向量的坐標(biāo)進(jìn)行運(yùn)算.【答案】(例1)【解析】方法一:坐標(biāo)法.如圖,以A為坐標(biāo)原點(diǎn),AB,AD所在直線分別為x軸,y軸建立平面直角坐標(biāo)系,則A(0,0),B(,0),E(,1),F(x,2).故=(,0),=(x,2),=(,1),=(x-,2),所以·=(,0)·(x,2)=x=,所以x=1,所以=(1-,2),所以·=(,1)·(1-,2)=-2+2=.方法二:設(shè)=x,則=(x-1).·=·(+)=·(+x)=x=2x,又由于·=,所以2x=,所以x=,所以=+=+,所以·=(+)·[+]=(+)[+]=||2+||2=×2+×4=.【點(diǎn)評(píng)】本題考查平面對(duì)量基本定理,向量的數(shù)量積公式,向量的坐標(biāo)運(yùn)算.向量的數(shù)量積的計(jì)算通過(guò)利用平面對(duì)量的基本定理,轉(zhuǎn)化為已知向量的數(shù)量積;對(duì)于特殊圖形,通過(guò)建立平面直角坐標(biāo)系,利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算求出結(jié)果.變式1已知在直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠ADC=90°,AD=2,BC=1,P是腰DC上的動(dòng)點(diǎn),則|+3|的最小值為.

【答案】5【解析】方法一:以D為坐標(biāo)原點(diǎn),DA,DC所在直線為x軸,y軸建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系,設(shè)DC=a,DP=x,則D(0,0),A(2,0),C(0,a),B(1,a),P(0,x),(變式1)=(2,-x),=(1,a-x),所以+3=(5,3a-4x),|+3|2=25+(3a-4x)2≥25,所以|+3|的最小值為5.方法二:設(shè)=x(0<x<1),所以=(1-x),=-=-x,=+=(1-x)+,所以+3=+(3-4x),|+3|2=||2+2××(3-4x)·+(3-4x)2·||2=25+(3-4x)2||2≥25,所以|+3|的最小值為5.變式2(2021·通州中學(xué))在△ABC中,已知·=9,sinB=cosA·sinC,S△ABC=6,P為線段AB上的點(diǎn),且=x·+y·,則xy的最大值為.

【答案】3【解析】由·=9,得bc·cosA=9.又sinB=cosA·sinC,所以b=c·cosA.又S△ABC=6,所以bc·sinA=6,由上述三式可解得b=3,c=5,cosA=,sinA=.由余弦定理得a2=32+52-2×3×5×=16,a=4,可見(jiàn)△ABC是直角三角形,以c為坐標(biāo)原點(diǎn),CA,CB分別為x軸,y軸建立平面直角坐標(biāo)系,則=(3,0),=(0,4),=(1,0),=(0,1),則=x·+y·=x(1,0)+y(0,1)=(x,y),故P(x,y),而P在直線AB上,又直線AB的方程lAB:+=1,所以P(x,y)滿(mǎn)足+=1(x>0,y>0).依據(jù)基本不等式知+≥2,所以xy≤3,即xy的最大值為3.向量與解三角形例2已知向量m=(1,1),向量n與向量m的夾角為,且m·n=-1.(1)求向量n;(2)若向量n與q=(1,0)共線,向量p=,其中A,C為△ABC的內(nèi)角,且A,B,C依次成等差數(shù)列,求|n+p|的取值范圍.【分析】(1)利用數(shù)量積坐標(biāo)公式和方程思想求出n的坐標(biāo);(2)利用三角形內(nèi)角和為π與三角公式將|n+p|轉(zhuǎn)化為求一個(gè)角的三角函數(shù)的范圍問(wèn)題.【解答】(1)設(shè)n(x,y),由m·n=-1,得x+y=-1,①又向量n與m的夾角為,得x2+y2=1.②由①②解得或所以n=(-1,0)或n=(0,-1).(2)由向量n與q=(1,0)共線知n=(-1,0).由2B=A+C,知B=,A+C=,0<A<.n+p==(cosC,cosA),所以|n+p|2=cos2C+cos2A=+=1+=1+cos,由于0<A<,所以<2A+<,-1≤cos<,得≤1+cos<,即|n+p|2∈,所以|n+p|∈.變式已知△ABC的角A,B,C所對(duì)的邊分別是a,b,c,設(shè)向量m=(a,b),n=(sinB,sinA),p=(b-2,a-2).(1)若m∥n,求證:△ABC為等腰三角形;(2)若m⊥p,邊長(zhǎng)c=2,C=,求△ABC的面積S.【解答】(1)由于m∥n,所以asinA=bsinB,由正弦定理得a2=b2,所以a=b,所以△ABC為等腰三角形.(2)由題意可知m·p=0,即a(b-2)+b(a-2)=0,所以a+b=ab.由余弦定理可知4=a2+b2-ab=(a+b)2-3ab,即(ab)2-3ab-4=0,所以ab=4或-1(舍去),所以S=absinC=·4·sin=.三角函數(shù)與導(dǎo)數(shù)例3(2022·南通期末)如圖,一塊弓形薄鐵片EMF,(例3)點(diǎn)M為的中點(diǎn),其所在圓O的半徑為4dm(圓心O在弓形EMF內(nèi)),∠EOF=.將弓形薄鐵片裁剪成盡可能大的矩形鐵片ABCD(不計(jì)損耗),AD∥EF,且點(diǎn)A,D在上,設(shè)∠AOD=2θ.(1)求矩形鐵片ABCD的面積S關(guān)于θ的函數(shù)關(guān)系式;(2)當(dāng)矩形鐵片ABCD的面積最大時(shí),求cosθ的值.【解答】(1)設(shè)矩形鐵片的面積為S,∠AOM=θ.當(dāng)0<θ<時(shí)(如圖1),AB=4cosθ+2,AD=2×4sinθ,S=AB×AD=(4cosθ+2)(2×4sinθ)=16sinθ(2cosθ+1).當(dāng)≤θ<時(shí)(如圖2),AB=2×4cosθ,AD=2×4sinθ,圖1圖2(例3)故S=AB×AD=64sinθcosθ=32sin2θ.綜上,矩形鐵片的面積S關(guān)于θ的函數(shù)關(guān)系式為S=(2)當(dāng)0<θ<時(shí),對(duì)S求導(dǎo),得S'=16[cosθ(2cosθ+1)+sinθ(-2sinθ)]=16(4cos2θ+cosθ-2).令S'=0,得cosθ=.記區(qū)間內(nèi)余弦值等于的角為θ0(唯一存在).列表:θ(0,θ0)θ0 S'+0-S↗極大值↘又當(dāng)≤θ<時(shí),S=32sin2θ在上是單調(diào)減函數(shù),所以當(dāng)θ=θ0時(shí),矩形的面積最大,此時(shí)cosθ=.【點(diǎn)評(píng)】依據(jù)條件,分段列出面積S的表達(dá)式是解決本題的關(guān)鍵.變式(2022·南通三調(diào))某風(fēng)景區(qū)在一個(gè)直徑AB為100m的半圓形花園中設(shè)計(jì)一條觀光線路(如圖所示).在點(diǎn)A與圓弧上的一點(diǎn)C之間設(shè)計(jì)為直線段小路,在路的兩側(cè)邊緣種植綠化帶;從點(diǎn)C到點(diǎn)B設(shè)計(jì)為沿弧BC的弧形小路,在路的一側(cè)邊緣種植綠化帶.設(shè)∠BAC=θ(單位:弧度)(注:小路及綠化帶的寬度忽視不計(jì)).(變式)(1)將綠化帶總長(zhǎng)度表示為θ的函數(shù)s(θ);(2)試確定θ的值,使得綠化帶總長(zhǎng)度最大.【解答】(1)如圖,連接BC,設(shè)圓心為O,連接CO.在Rt△ABC中,AB=100,∠BAC=θ,(變式)所以AC=100cosθ.由于∠BOC=2∠BAC=2θ,所以弧BC的長(zhǎng)為50×