中考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)《圖形的旋轉(zhuǎn)》專項(xiàng)檢測(cè)卷含答案

第第頁(yè)中考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)《圖形的旋轉(zhuǎn)》專項(xiàng)檢測(cè)卷含答案學(xué)校:___________班級(jí)：___________姓名：___________考號(hào)：___________一．解答題（共30小題）1．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)分別為A、B、C．（1）畫出△ABC關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的△A1B1C1，并寫出點(diǎn)C1的坐標(biāo)；（2）在x軸上是否存在一個(gè)點(diǎn)P使得PA+PC最小，若存在寫出點(diǎn)P坐標(biāo)，若不存在請(qǐng)說(shuō)明理由．2．如圖，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，A（6，5），點(diǎn)D為AB上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥BC于點(diǎn)E，點(diǎn)P為x軸上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P關(guān)于DE的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)Q，連接DP、DQ、AQ．（1）點(diǎn)B的坐標(biāo)為；（2）若點(diǎn)P的坐標(biāo)為（﹣2，0），延長(zhǎng)PD交AQ于點(diǎn)F．當(dāng)PF⊥AQ時(shí)，求點(diǎn)D的坐標(biāo)；（3）若點(diǎn)M為y軸上一動(dòng)點(diǎn)，是否存在以A、P、M為頂點(diǎn)且以AP為斜邊的三角形為等腰直角三角形？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．3．在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A，B在坐標(biāo)軸上，AO＝BO，AB＝10．點(diǎn)C為AB的中點(diǎn)，點(diǎn)D為OB上一點(diǎn)．（1）如圖（1），將線段AD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)135°，得到線段AE．①求證：∠BAE＝∠BDA．②P為x軸上一點(diǎn)，且在點(diǎn)D左側(cè)，點(diǎn)D關(guān)于點(diǎn)P對(duì)稱的點(diǎn)為Q，連接BE，AQ．是否存在這樣的點(diǎn)P，使得對(duì)于任意的點(diǎn)D，總有AQ＝BE成立？若存在，請(qǐng)寫出P的坐標(biāo)，并證明；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．（2）如圖（2），過(guò)點(diǎn)C作CD的垂線，交y軸于點(diǎn)F．連接BF，DF．若∠OBF＝2∠ACF，請(qǐng)寫出AF，F(xiàn)B，BD的數(shù)量關(guān)系，并證明．4．在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（a，0），a是36的算術(shù)平方根，將線段OA先向右平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，再向上平移5個(gè)單位長(zhǎng)度得到對(duì)應(yīng)線段CB，連接OC，AB．（1）求A、B、C的坐標(biāo)；（2）如圖1，點(diǎn)D是y軸上的一動(dòng)點(diǎn)，且位于直線BC上方，當(dāng)∠DCB＝152°時(shí)，求此時(shí)∠ODC的度數(shù)．（3）如圖2，點(diǎn)M，N分別是x軸和線段BC上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)M從點(diǎn)O出發(fā)，以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向右勻速運(yùn)動(dòng)，同時(shí)，點(diǎn)N從點(diǎn)B出發(fā)，以每秒0.5個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向C點(diǎn)勻速運(yùn)動(dòng)．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒（0≤t≤12），在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，記三角形ACM的面積為S1，記三角形ABN的面積為S2，是否存在一段時(shí)間，使得S1＞S2，若存在，求出t的取值范圍；若不存在，說(shuō)明理由．5．已知兩條平行線AB，CD和一塊含45°角的直角三角尺EFG（∠EFG＝90°），且點(diǎn)E，F(xiàn)不能同時(shí)落在直線AB和CD之間．（1）如圖1，把三角尺的45°角的頂點(diǎn)E，G分別放在AB，CD上，若∠BEG＝150°，則∠FGC的度數(shù)為；（2）如圖2，把三角尺的銳角頂點(diǎn)G放在CD上，且保持不動(dòng)，若點(diǎn)E恰好落在AB和CD之間，AB與EF相交于點(diǎn)M，且所夾銳角為25°，求∠FGC的度數(shù)；（3）把三角尺的銳角頂點(diǎn)G放在CD上，且保持不動(dòng)，旋轉(zhuǎn)三角尺，是否存在∠FGC＝11∠DGE（∠DGE＜45°）？若存在，請(qǐng)求出射線GF與AB所夾銳角的度數(shù)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．6．如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為（a，0），（b，0），且a，b滿足|2a+5b?4|+3a?2b+13=0，現(xiàn)將線段AB先向右平移3個(gè)單位長(zhǎng)度，再向上平移2個(gè)單位長(zhǎng)度得到線段CD，其中點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為C，點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為D，連接AC，（1）請(qǐng)直接寫出A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)．（2）如圖2，M是線段AC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，N是線段CD上的一個(gè)定點(diǎn)，連接MN，MO，當(dāng)點(diǎn)M在線段AC上移動(dòng)時(shí)（不與點(diǎn)A，C重合），∠MNC+∠AOM∠OMN（3）在坐標(biāo)軸上是否存在點(diǎn)P，使三角形PBC的面積與三角形ABD的面積相等？若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，試說(shuō)明理由．7．如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，已知A（a，0），B（0，b），其中a，b滿足|a?4|+a?b+2（1）請(qǐng)直接填空：a＝，B點(diǎn)坐標(biāo)為；（2）點(diǎn)C（x，y）是線段AB上一動(dòng)點(diǎn)，求x，y之間滿足的關(guān)系式（含x的式子表示y）；（3）如圖2，將直線AB沿x軸向左平移，當(dāng)平移后的直線DE經(jīng)過(guò)點(diǎn)D（﹣2，0），點(diǎn)D是點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)時(shí)，解決如下問(wèn)題：①在直線DE上是否存在點(diǎn)P，使得三角形ADP的面積等于18？若存在，求出P點(diǎn)坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；②已知Q（m，n）是直線DE上一動(dòng)點(diǎn)，且點(diǎn)Q位于第二象限，若三角形BOQ的面積不大于9，求n的取值范圍．8．如圖，已知∠AOB＝60°，∠AOB的邊OA上有一動(dòng)點(diǎn)P，從距離O點(diǎn)18cm的點(diǎn)M處出發(fā)，沿線段MO、射線OB運(yùn)動(dòng)，速度為2cm/s；動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)O出發(fā)，沿射線OB運(yùn)動(dòng)，速度為1cm/s；P、Q同時(shí)出發(fā)，同時(shí)射線OC繞著點(diǎn)O從OA上以每秒5°的速度順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間是t（s）．（1）當(dāng)點(diǎn)P在MO上運(yùn)動(dòng)時(shí)，PO＝cm（用含t的代數(shù)式表示）；（2）當(dāng)點(diǎn)P在線段MO上運(yùn)動(dòng)時(shí)，t為何值時(shí)，OP＝OQ？此時(shí)射線OC是∠AOB的角平分線嗎？如果是請(qǐng)說(shuō)明理由．（3）在射線OB上是否存在P、Q相距2cm？若存在，請(qǐng)求出t的值并求出此時(shí)∠BOC的度數(shù)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．9．如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC為銳角，點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)A且在AC右側(cè)．點(diǎn)C關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)E，∠BAE＜180°．連接BE交線段AD于點(diǎn)F，連接CF．（1）求證：BF＝CF；（2）若∠CBE＝30°，探究線段AF，DF，EF的數(shù)量關(guān)系；（3）在直線l繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中，是否存在CF⊥EF的情形？若存在，求此時(shí)∠ACE的度數(shù)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．10．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形ABCO的頂點(diǎn)O與坐標(biāo)原點(diǎn)重合，頂點(diǎn)A、C在坐標(biāo)軸上，B（18，6），將矩形ABCO沿EF折疊，使點(diǎn)A與點(diǎn)C重合．（1）求點(diǎn)E的坐標(biāo)；（2）點(diǎn)P從點(diǎn)O出發(fā)，沿折線OA﹣AE以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度運(yùn)動(dòng)，到達(dá)終點(diǎn)E時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（秒），△PCE的面積為S，求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出t的取值范圍；（3）在（2）的條件下，當(dāng)點(diǎn)P在AE上，且PA=32PE時(shí)，在平面直角坐標(biāo)系中是否存在點(diǎn)Q，使得以點(diǎn)P、E、G、Q為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形？若存在，直接寫出點(diǎn)11．在數(shù)學(xué)課上，王老師組織同學(xué)們以“正方形紙片的折疊”為主題開展數(shù)學(xué)活動(dòng)．王老師對(duì)正方形紙片ABCD進(jìn)行如下操作：如圖1，將正方形紙片沿過(guò)點(diǎn)D的一條直線翻折，使點(diǎn)A落在點(diǎn)F處，折痕為DE，請(qǐng)同學(xué)們?cè)趫D1的基礎(chǔ)上進(jìn)行探究．【操作發(fā)現(xiàn)】（1）如圖2，小明延長(zhǎng)DF交射線AB于點(diǎn)G，連接CF，過(guò)點(diǎn)D作CF的垂線，交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M，則線段DG與MG的數(shù)量關(guān)系是．【深入探究】（2）如圖3，小華在圖2的基礎(chǔ)上延長(zhǎng)CF，交DA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H，在圖3中是否存在一條線段與AH相等？若存在，請(qǐng)找出這條線段并給出證明；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【拓展應(yīng)用】（3）在（2）的條件下，若正方形紙片ABCD的邊長(zhǎng)為4，當(dāng)BG=14AB12．2．線段垂直平分線我們已經(jīng)知道線段是軸對(duì)稱圖形，線段的垂直平分線是線段的對(duì)稱軸．如圖13.5.1，直線MN是線段AB的垂直平分線，P是MN上任一點(diǎn)，連接PA，PB．將線段AB沿直線MN對(duì)折，我們發(fā)現(xiàn)PA與PB完全重合，由此即有：線段垂直平分線的性質(zhì)定理線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端的距離相等．已知：如圖1，MN⊥AB，垂足為點(diǎn)C，AC＝BC，點(diǎn)P是直線MN上任意一點(diǎn)．求證：PA＝PB．分析圖中有兩個(gè)直角三角形APC和BPC，只要證明這兩個(gè)三角形全等，便可證得PA＝PB．（1）以上是華師版八年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)教材第94頁(yè)的部分內(nèi)容，請(qǐng)結(jié)合以上分析、利用圖2寫出“線段垂直平分線的性質(zhì)定理”完整的證明過(guò)程；（2）定理應(yīng)用：如圖3，在△ABC中AB＝AC，AB的垂直平分線交AB與點(diǎn)N，交AC于點(diǎn)M，連接MB，若AB＝10cm，△MBC的周長(zhǎng)是18cm．①求BC的長(zhǎng)；②點(diǎn)P是直線MN上一動(dòng)點(diǎn)，在運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，△PBC的周長(zhǎng)是否存在最小值？若存在，標(biāo)出點(diǎn)P的位置，并求出此時(shí)△PBC的周長(zhǎng)；若不存在，說(shuō)明理由．13．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，cosA=45，將△ABC繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到△A′BC′，其中點(diǎn)A，C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為點(diǎn)A′，（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)A′'落在AC的延長(zhǎng)線上時(shí)，求AA′的長(zhǎng)；（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)C′落在AB的延長(zhǎng)線上時(shí)，連接CC′，交A′B于點(diǎn)M，求BM的長(zhǎng)；（3）如圖3，連接AA′，直線CC′交AA′于點(diǎn)D，點(diǎn)E為AC的中點(diǎn)，連接DE．在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，DE是否存在最大值？若存在，直接寫出DE的最大值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．14．如圖，在△ABC中，點(diǎn)H為AB邊上的一點(diǎn)，AH＝15，CH＝8，AC＝17，BH＝6．（1）試說(shuō)明CH⊥AB；（2）求BC的長(zhǎng)；（3）直線AB上是否存在一點(diǎn)E，使△BCE為等腰三角形．若存在，請(qǐng)直接寫出此時(shí)線段HE的長(zhǎng)度；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；（4）如圖1，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿射線AB方向運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒（t＞0），現(xiàn)把△ACH沿著直線CP翻折，請(qǐng)直接寫出當(dāng)t為何值時(shí)，點(diǎn)H翻折后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)H′恰好落在直線AC上．15．九年級(jí)數(shù)學(xué)小組以“等腰直角三角形的旋轉(zhuǎn)”為主題，開展數(shù)學(xué)探究活動(dòng)．【提出問(wèn)題】如圖1，△ABC和△BDE都是等腰直角三角形，∠ACB＝∠BDE＝90°，連接CD、AE，通過(guò)探究得到AE、CD存在某種數(shù)量關(guān)系，具體探究過(guò)程如下：【探究問(wèn)題】（1）將圖1“特殊化”，如圖2所示，當(dāng)點(diǎn)D在BC的延長(zhǎng)線上，請(qǐng)直接寫出此時(shí)AE、CD數(shù)量的關(guān)系為．【解決問(wèn)題】（2）將問(wèn)題“一般化”，如圖1所示，在探索中發(fā)現(xiàn)，將△BDE繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，AE、CD數(shù)量的關(guān)系始終不發(fā)生變化，請(qǐng)你利用圖1幫助小組完成解答過(guò)程；【擴(kuò)展應(yīng)用】（3）如圖3，△ABC和△BPM均為等腰直角三角形，∠ACB＝∠BPM＝90°，AC=BC=2，點(diǎn)P在AC上，試問(wèn)：MA+MB16．定義：在平面直角坐標(biāo)系xOy中，將點(diǎn)P（x，y）變換為P′（kx+b，by+k）（k，b為常數(shù)），我們把這種變換稱為“T變換”．（1）當(dāng)k＝1，b＝2時(shí)，點(diǎn)P（1，2）經(jīng)過(guò)“T變換”得到的點(diǎn)P′的坐標(biāo)為；（2）已知點(diǎn)A（2，1），B（a﹣b，c+32a），C（6﹣2b，?c4?12)經(jīng)過(guò)“T變化”的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別是A′（4，3），B′（﹣2﹣2①求出B′、C′的坐標(biāo)；②是否存在x軸上點(diǎn)Q，使得△AB′C′的面積是△QBC′面積的2倍？若存在，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；③已知M（2m，3﹣2m），N（n﹣1，﹣2n﹣3），MN⊥BC′且MN＝2BC′．直接寫出點(diǎn)M、N的坐標(biāo)．17．如圖，在數(shù)軸上A點(diǎn)表示數(shù)a，B點(diǎn)示數(shù)b，C點(diǎn)表示數(shù)9，且a、b滿足|a+3|+（b﹣1）2＝0；（1）a＝，b＝；（2）若將數(shù)軸折疊，使得A點(diǎn)與C點(diǎn)重合，則點(diǎn)B與數(shù)表示的點(diǎn)重合；（3）點(diǎn)A、B、C分別以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度、1個(gè)單位長(zhǎng)度和4個(gè)單位長(zhǎng)度的速度在數(shù)軸上同時(shí)向左運(yùn)動(dòng)．①若t秒后，AB＝BC，求t值；②當(dāng)點(diǎn)C在B點(diǎn)右側(cè)時(shí)，是否存在常數(shù)m，使mBC﹣2AB的值為定值，若存在，求m的值，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．18．已知A（﹣1，0），B（a，b），C（1，4），其中(a?2)（1）求點(diǎn)B的坐標(biāo)．（2）在x軸正半軸上找一點(diǎn)P，使以A，C，P三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形的面積為10．（3）在（2）的條件下，連接PB，在直線PB上，是否存在點(diǎn)D，使得三角形ABD的面積是三角形ACP面積的2倍？若存在，直接寫出點(diǎn)D的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．（提示：可用坐標(biāo)的平移來(lái)求點(diǎn)D的坐標(biāo)）19．如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10cm，BC＝6cm，若點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，以每秒2cm的速度沿射線AC運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒（t＞0）．（1）把△ABC沿著過(guò)點(diǎn)P的直線折疊，使點(diǎn)A與點(diǎn)B重合，請(qǐng)求出此時(shí)t的值；（2）是否存在t值，使得△ABP為等腰三角形？若存在，直接寫出結(jié)果；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；（3）現(xiàn)把線段BC沿著直線BP翻折，當(dāng)t為何值時(shí)點(diǎn)C恰好落在直線AB上．20．△ABC是等邊三角形，點(diǎn)D是AC邊上動(dòng)點(diǎn)，∠CBD＝α（0°＜α＜30°）、把△ABD沿BD對(duì)折，得到△A′BD．（1）如圖1，若α＝15°，則∠CBA′＝；（2）如圖2，點(diǎn)P在BD延長(zhǎng)線上，且∠DAP＝∠DBC＝α．①連接AP，試探究AP，BP，CP之間是否存在一定數(shù)量關(guān)系，猜想并說(shuō)明理由．②若BP＝8，CP＝t，連接CA′，并求出CA′的長(zhǎng)．（用含t的式子表示）21．如圖，將△ABC繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到△ANM，點(diǎn)B，C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為N，M．（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)N落在BC的延長(zhǎng)線上時(shí)，且∠ACB＝90°，AB＝10，AC＝6，求BN的長(zhǎng)；（2）如圖2，△ABC繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°轉(zhuǎn)得到△ANM，延長(zhǎng)BC交AN于點(diǎn)D，連接BN并延長(zhǎng)BN至點(diǎn)F，使得FN＝AD，連接DF，連接AF交MN于點(diǎn)H，猜想線段HN，MH，CD之間存在的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想；（3）如圖3，連接BN，CM，直線CM交BN于點(diǎn)G，點(diǎn)R為BC的中點(diǎn)，連接RG．若∠ACB＝90°，AB＝10，AC＝6，在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，GR是否存在最小值？若存在，求出GR的最小值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．22．已知：△ABC和△ADE均為等邊三角形，連接BE，CD，點(diǎn)F，G，H分別為DE，BE，CD中點(diǎn)．（1）當(dāng)△ADE繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)時(shí)，如圖1，則△FGH的形狀為；（2）在△ADE旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中，當(dāng)B，D，E三點(diǎn)共線時(shí)，如圖2，若AB＝6，AD＝4，求線段FH的長(zhǎng)；（3）在△ADE旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中，若AB＝a，AD＝b（a＞b＞0），則△FGH的周長(zhǎng)是否存在最大值和最小值，若存在，直接寫出最大值和最小值；若不存在，說(shuō)明理由．23．如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝2，點(diǎn)D為射線CA上一動(dòng)點(diǎn)，連接BD，做BD的中垂線交邊AB于E，作EF⊥AC交邊AC于F，設(shè)BE＝x，DF＝y(tǒng)．（1）是否存在△ABC使得當(dāng)點(diǎn)D為AC中點(diǎn)時(shí)點(diǎn)E為AB中點(diǎn)，若存在，請(qǐng)求出tanA，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；（2）若tanA＝2，當(dāng)點(diǎn)D與點(diǎn)C重合時(shí)，將△AEF繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，點(diǎn)E，F(xiàn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為M，N；當(dāng)點(diǎn)E落在射線BC上時(shí)，連接CN，求CN的長(zhǎng)；（3）若tanA=3，當(dāng)點(diǎn)D在邊CA上時(shí)，求y關(guān)于x24．綜合與實(shí)踐[問(wèn)題情境]為了探究圖形旋轉(zhuǎn)過(guò)程中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)知識(shí)，老師讓每位同學(xué)畫了如圖1所示的圖形，△ABC，使∠A＝60°，AB＝AC＝3，點(diǎn)D，E分別在邊AB，AC上，且AD＝AE＝1，連接DE．[實(shí)踐探究]老師讓同學(xué)們探究：將△ADE繞點(diǎn)A順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角為α（0°＜α＜360°），探究在旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中，能有哪些發(fā)現(xiàn)？經(jīng)過(guò)思考和討論王聰和李倩向同學(xué)分享了自己的發(fā)現(xiàn)．（1）如圖2，王聰發(fā)現(xiàn)：當(dāng)0°＜α＜180°時(shí)，CE＝BD．請(qǐng)你判斷王聰?shù)陌l(fā)現(xiàn)是否正確，若正確給出證明，若不正確，說(shuō)明理由．（2）如圖3，李倩發(fā)現(xiàn)：當(dāng)α＝60°時(shí)，延長(zhǎng)CE交BD于點(diǎn)F，能求出∠DFC的度數(shù)．你是否同意李倩的發(fā)現(xiàn)，若同意，請(qǐng)求出∠DFC的度數(shù)，若不同意，說(shuō)明理由．[拓展延伸]張強(qiáng)經(jīng)過(guò)探究思考，提出一個(gè)問(wèn)題：“在旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中，△BCE的面積的是否存在最大值或最小值．”請(qǐng)你思考張強(qiáng)的問(wèn)題，若有，寫出此時(shí)旋轉(zhuǎn)角α的度數(shù)和面積的值，若沒(méi)有，請(qǐng)說(shuō)明理由．25．在七年級(jí)的平行線性質(zhì)與判定的學(xué)習(xí)中，我們常借助于三角板來(lái)研究其相關(guān)知識(shí)，現(xiàn)有一副三角板如圖1所示，其中∠ACB＝∠EDF＝90°，∠A＝30°，∠E＝45°．請(qǐng)同學(xué)們結(jié)合已有的知識(shí)及活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，解決下列問(wèn)題：初步感知：?jiǎn)栴}1：將上述三角板的直角頂點(diǎn)重合在一起，如圖2所示，當(dāng)CE∥AB時(shí)，則∠BCF＝°；問(wèn)題2：如圖3，當(dāng)CA平分∠ECF時(shí)，請(qǐng)寫出圖中兩條平行的直線，并說(shuō)明理由．深度探究：?jiǎn)栴}3：將上述三角板按圖4所示的方式擺放，點(diǎn)A、B在直線GH上，點(diǎn)D、F在直線MN上，直線GH∥MN，保持三角板ABC不動(dòng)，現(xiàn)將三角板DEF繞點(diǎn)D以每秒3°的速度順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，設(shè)旋轉(zhuǎn)時(shí)間為t秒，且0≤t≤60，是否存在t的值，使邊BC與另一塊三角板DEF的一條直角邊平行，若存在請(qǐng)求出t的值；若不存在請(qǐng)說(shuō)明理由．問(wèn)題4：將上述三角板按圖5所示的方式擺放，點(diǎn)C與點(diǎn)D重合，保持三角板ABC不動(dòng)，將三角板DEF繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)F在直線BC上方，當(dāng)兩塊三角板的兩條邊互相平行時(shí)，若∠BCF的度數(shù)最大值為m，最小值為n，則m﹣n＝°．26．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，BC＝6，將△ABC繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到△A′BC′，其中點(diǎn)A，C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為點(diǎn)A′，C′．（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)A′落在AC的延長(zhǎng)線上時(shí)，求AA′的長(zhǎng)；（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)C′落在AB的延長(zhǎng)線上時(shí)，連接CC，交A′B于點(diǎn)M，求BM的長(zhǎng)；（3）如圖3，連接AA′，CC′，直線CC′交AA′于點(diǎn)D，點(diǎn)E為AC的中點(diǎn)，連接DE．在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，DE是否存在最小值？若存在，求出DE的最小值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．27．如圖1：在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，線段AB兩端點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，點(diǎn)A（﹣4，0），點(diǎn)B（0，3），將AB向右平移4個(gè)單位長(zhǎng)度至OC的位置．（1）點(diǎn)C的坐標(biāo)；（2）如圖2，過(guò)點(diǎn)C作CD⊥x軸于點(diǎn)D，在x軸正半軸有一點(diǎn)E（1，0），過(guò)點(diǎn)E作x軸的垂線，在垂線上有一動(dòng)點(diǎn)P，求△PCD的面積；（3）如圖3，在（2）的條件下，連接AC，是否存在點(diǎn)P，使得△ACP的面積為492，若存在，求出點(diǎn)P28．如圖1，直線MN分別交直線AB，CD于E，F(xiàn)兩點(diǎn)，且∠AEF+∠NFD＝180°．（1）求證：AB∥CD；（2）如圖2，已知∠FEG＝2∠BEG，∠EFG＝2∠DFG．EK，F(xiàn)K分別為∠AEF，∠CFE的角平分線．①求∠EKF∠EGF②已知∠MEB＝72°，射線KE繞點(diǎn)K以18°/s的速度逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)至KE'，同時(shí)射線KF繞點(diǎn)K以m°/s（0＜m＜17.5）的速度順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)至KF'，設(shè)旋轉(zhuǎn)時(shí)間為ts，其中0＜t＜17，在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，是否存在∠E'KF'的兩邊恰好分別平行于∠EGF的兩邊，若存在，直接寫出m的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．29．已知△ABC和△BDE都是等邊三角形．（1）如圖1，點(diǎn)D在AB邊上，連接AE、CD．求證：△ABE≌△CBD；（2）如圖2，將△BDE繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)點(diǎn)E落在∠BAC的平分線AP上（在△ABC的內(nèi)部），連接CD，求此時(shí)∠BCD的度數(shù)；（3）如圖3，F(xiàn)是AC的中點(diǎn)，若等邊三角形ABC的邊長(zhǎng)為6，等邊三角形BDE的邊長(zhǎng)為4，△BDE繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)過(guò)程中是否存在某一時(shí)刻，使得線段DF的長(zhǎng)度最??？若存在，求出DF的最小值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．30．如圖1，在矩形ABCD中，E是線段AD上一點(diǎn)，作EG⊥AD交對(duì)角線BD于點(diǎn)G，設(shè)AE＝x，DG＝y(tǒng)，若∠ADB＝30°，BD＝m，將△DGE沿BD折疊得到△DGF．（1）當(dāng)m＝6時(shí)，求y關(guān)于x的表達(dá)式，并求出x的取值范圍．（2）在（1）的條件下，矩形BC邊上是否存在一點(diǎn)M，使得以B，G，F(xiàn)，M為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形，若存在，求x的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．（3）如圖2，當(dāng)F在∠CBD的角平分線上時(shí)，此時(shí)x?y2=參考答案與試題解析一．解答題（共30小題）1．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)分別為A、B、C．（1）畫出△ABC關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的△A1B1C1，并寫出點(diǎn)C1的坐標(biāo)；（2）在x軸上是否存在一個(gè)點(diǎn)P使得PA+PC最小，若存在寫出點(diǎn)P坐標(biāo)，若不存在請(qǐng)說(shuō)明理由．【分析】（1）根據(jù)中心對(duì)稱的性質(zhì)，畫出△A1B1C1，進(jìn)而寫出點(diǎn)C1的坐標(biāo)即可；（2）作點(diǎn)A關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)A′，連接A′C，A′C與x軸的交點(diǎn)即為點(diǎn)P，求出直線A′C的解析式，進(jìn)而求出點(diǎn)P的坐標(biāo)即可．．【解答】解：（1）如圖，△A1B1C1即為所求，由圖可知：C1（﹣2，﹣1）；（2）存在；作點(diǎn)A關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)A′，連接A′C，A′C與x軸的交點(diǎn)即為點(diǎn)P，則C（2，1），A′（5，﹣4），設(shè)直線A′C的解析式為y＝kx+b（k≠0），則2k+b=15k+b=?4解得k=?5∴直線A′C的解析式為y=?5∴當(dāng)y＝0時(shí)，?5解得x=13∴P(13【點(diǎn)評(píng)】本題考查坐標(biāo)與圖形變換，中心對(duì)稱和軸對(duì)稱，一次函數(shù)與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)問(wèn)題，熟練掌握中心對(duì)稱和軸對(duì)稱的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．2．如圖，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，A（6，5），點(diǎn)D為AB上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥BC于點(diǎn)E，點(diǎn)P為x軸上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P關(guān)于DE的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)Q，連接DP、DQ、AQ．（1）點(diǎn)B的坐標(biāo)為（1，0）；（2）若點(diǎn)P的坐標(biāo)為（﹣2，0），延長(zhǎng)PD交AQ于點(diǎn)F．當(dāng)PF⊥AQ時(shí)，求點(diǎn)D的坐標(biāo)；（3）若點(diǎn)M為y軸上一動(dòng)點(diǎn)，是否存在以A、P、M為頂點(diǎn)且以AP為斜邊的三角形為等腰直角三角形？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【分析】（1）首先根據(jù)∠ACB＝90°，AC＝BC，A（6，5），得AC＝BC＝5，OC＝6，進(jìn)而得OB＝OC﹣BC＝1，據(jù)此可得點(diǎn)B的坐標(biāo)；（2）設(shè)PF于AC交于點(diǎn)H，先證∠DAQ＝∠ADQ，從而得AQ＝DQ＝PD，進(jìn)而可證△ACQ和△PED全等，從而得AC＝PE＝5，然后根據(jù)點(diǎn)P（﹣2，0），點(diǎn)B（1，0），得OP＝2，OB＝1，則OE＝PE＝OP＝3，BE＝OE﹣OB＝2，最后證△BDE為等腰直角三角形，得DE＝BE＝2，據(jù)此可得點(diǎn)D的坐標(biāo)；（3）過(guò)點(diǎn)A作AN⊥OM軸于點(diǎn)N，證△POM和△MNA全等，得OP＝MN，OM＝AN，再證四邊形ACON為矩形，得AN＝6，ON＝5，由此可求出OP＝MN＝OM﹣ON＝1，據(jù)此可得點(diǎn)P的坐標(biāo)．【解答】解：（1）∵∠ACB＝90°，AC＝BC，A（6，5），∴AC＝BC＝5，OC＝6，∴OB＝OC﹣BC＝6﹣5＝1，∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（1，0），故答案為：（1，0）．（2）設(shè)PF于AC交于點(diǎn)H，如圖1所示：∵PF⊥AQ，∠ACB＝90°，∵∠CAQ+∠AHF＝90°，∠1+∠3＝90°，又∵∠AHF＝∠3，∴∠CAQ＝∠1，∵點(diǎn)P，Q關(guān)于DE對(duì)稱，∴PD＝DQ，∴∠1＝∠2，∵∠ACB＝90°，AC＝BC，∴∠BAC＝∠ABC＝45°，∴∠DAQ＝∠BAC+∠CAQ＝45°+∠1，∵∠ADQ＝∠ABC+∠2＝45°+∠1，∴∠DAQ＝∠ADQ，∴AQ＝DQ，∴AQ＝PD，∵∠ACB＝90°，DE⊥BC，∴∠QCA＝∠DEP＝90°，在△ACQ和△PED中，∠CAQ=∠1∠QCA=∠DEP=90°∴△ACQ≌△PED（AAS），∴AC＝PE＝5，∵點(diǎn)P（﹣2，0），點(diǎn)B（1，0），∴OP＝2，OB＝1，∴OE＝PE＝OP＝5﹣2＝3，∴BE＝OE﹣OB＝3﹣1＝2，∵DE⊥BC，∠ABC＝45°，∴△BDE為等腰直角三角形，∴DE＝BE＝2，∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（3，2）；（3）存在．∵點(diǎn)M在y軸上，∴有以下兩種情況討論如：①當(dāng)點(diǎn)M在y軸的正半軸上時(shí)，過(guò)點(diǎn)A作AN⊥OM軸于點(diǎn)N，如圖2所示：∵△AMP是以AP為斜邊的等腰直角三角形，∴PM＝AM，∠AMP＝90°，∴∠AMN+∠PMO＝90°，∵AN⊥OM，∴∠MAN+∠AMN＝90°，∴∠PMO＝∠MAN，∵AN⊥OM，PO⊥OM，∴∠POM＝∠MNA＝90°，在△POM和△MNA中，∠PMO=∠MAN∠POM=∠MNA=90°∴△POM≌△MNA（AAS），∴OP＝MN，OM＝AN，∵∠ACB＝90°，∠CON＝90°，AN⊥OM，∴四邊形ACON為矩形，又∵點(diǎn)A（6，5），∴AN＝6，ON＝5，∴OM＝AN＝6，∴OP＝MN＝OM﹣ON＝6﹣5＝1，∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（﹣1，0）．②當(dāng)點(diǎn)M在y軸的正半軸上時(shí)，過(guò)點(diǎn)A作AN⊥OM軸于點(diǎn)N，如圖3所示：同理可證：OM＝AN＝6，ON＝5，∴OP＝MN＝OM+ON＝6+5＝11，∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（﹣11，0）．綜上所述：點(diǎn)P的坐標(biāo)為（﹣1，0）或（﹣11，0）．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了點(diǎn)的坐標(biāo)，軸對(duì)稱的性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，準(zhǔn)確識(shí)圖，熟練掌握等腰三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，正確地作出輔助線構(gòu)造全等三角形是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．3．在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A，B在坐標(biāo)軸上，AO＝BO，AB＝10．點(diǎn)C為AB的中點(diǎn)，點(diǎn)D為OB上一點(diǎn)．（1）如圖（1），將線段AD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)135°，得到線段AE．①求證：∠BAE＝∠BDA．②P為x軸上一點(diǎn)，且在點(diǎn)D左側(cè)，點(diǎn)D關(guān)于點(diǎn)P對(duì)稱的點(diǎn)為Q，連接BE，AQ．是否存在這樣的點(diǎn)P，使得對(duì)于任意的點(diǎn)D，總有AQ＝BE成立？若存在，請(qǐng)寫出P的坐標(biāo)，并證明；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．（2）如圖（2），過(guò)點(diǎn)C作CD的垂線，交y軸于點(diǎn)F．連接BF，DF．若∠OBF＝2∠ACF，請(qǐng)寫出AF，F(xiàn)B，BD的數(shù)量關(guān)系，并證明．【分析】（1）①證出∠BDA＝135°﹣∠BAD．∠BAE＝135°﹣∠BAD，則可得出結(jié)論；②作點(diǎn)D關(guān)于點(diǎn)O的對(duì)稱點(diǎn)K，連接AK，證明△AKQ≌△EAB（SAS），得出AQ＝BE．則可得出結(jié)論；（2）連接OC，取點(diǎn)D關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)M，連接FM．證明△ACF≌△OCD（ASA），得出CF＝CD，AF＝OD，△DCF為等腰直角三角形．證出BM＝BF，則可得出結(jié)論．【解答】（1）①證明：∵AO＝BO，∠AOB＝90°，∴△AOB為等腰直角三角形，∠ABO＝45°，∵∠BAD+∠ADB+∠BDA＝180°，∴∠BDA＝135°﹣∠BAD．又∵∠DAE＝135°∴∠BAE＝135°﹣∠BAD，∴∠BAE＝∠BDA．②解：存在，P（﹣5，0）．如圖，作點(diǎn)D關(guān)于點(diǎn)O的對(duì)稱點(diǎn)K，連接AK，∴AK＝AD＝AE，DK＝2OD，∴∠ADK＝∠AKD，∴∠AKQ＝∠ADB＝∠BAE．∵點(diǎn)D關(guān)于點(diǎn)P的對(duì)稱點(diǎn)為Q，∴DQ＝2DP，∴KQ＝DQ﹣DK＝2DP﹣2DO＝2（DP﹣DO）＝2OP＝10，∴KQ＝AB，∴△AKQ≌△EAB（SAS），∴AQ＝BE．（2）解：FB＝2AF+BD．證明：連接OC，取點(diǎn)D關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)M，連接FM．由C為AB的中點(diǎn)，∴△AOC和△BOC都為等腰直角三角形．OC＝AC，又CD⊥CF，∴∠CAF＝∠OCD，∠ACF＝∠OCD，∴△ACF≌△OCD（ASA），∴CF＝CD，AF＝OD，△DCF為等腰直角三角形．∴∠ACF＝∠OCD．∵∠FOC＝∠FDC＝45°．∴∠OCD＝∠OFD，∵點(diǎn)D關(guān)于點(diǎn)P對(duì)稱的點(diǎn)為Q，∴∠OFD＝∠OFM，∠FDM＝∠FMD，OM＝OD，∴∠MFD＝2∠OFD＝2∠OCD＝2∠ACF＝∠OBF，∵∠MFB＝∠MFD+∠BFD，∠FMB＝∠FDM＝∠OBF+∠BFD，∴∠MFB＝∠FMB，∴BM＝BF，∵BM＝2OD+BD，∴FB＝2AF+BD．【點(diǎn)評(píng)】本題是三角形綜合題，考查了等腰直角三角形的性質(zhì)，坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，軸對(duì)稱的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，添加輔助線，構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵．4．在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（a，0），a是36的算術(shù)平方根，將線段OA先向右平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，再向上平移5個(gè)單位長(zhǎng)度得到對(duì)應(yīng)線段CB，連接OC，AB．（1）求A、B、C的坐標(biāo)；（2）如圖1，點(diǎn)D是y軸上的一動(dòng)點(diǎn)，且位于直線BC上方，當(dāng)∠DCB＝152°時(shí)，求此時(shí)∠ODC的度數(shù)．（3）如圖2，點(diǎn)M，N分別是x軸和線段BC上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)M從點(diǎn)O出發(fā)，以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向右勻速運(yùn)動(dòng)，同時(shí)，點(diǎn)N從點(diǎn)B出發(fā)，以每秒0.5個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向C點(diǎn)勻速運(yùn)動(dòng)．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒（0≤t≤12），在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，記三角形ACM的面積為S1，記三角形ABN的面積為S2，是否存在一段時(shí)間，使得S1＞S2，若存在，求出t的取值范圍；若不存在，說(shuō)明理由．【分析】（1）由a是36的算術(shù)平方根，得a＝6，點(diǎn)A（6，0），由將線段OA先向右平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，再向上平移5個(gè)單位長(zhǎng)度得到對(duì)應(yīng)線段CB，得點(diǎn)C（1，5），點(diǎn)B（7，5）．（2）延長(zhǎng)BC交y軸于H，由將線段OA先向右平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，再向上平移5個(gè)單位長(zhǎng)度得到對(duì)應(yīng)線段CB，得OA∥BC，OA＝BC，∠DHC＝∠DOA＝90°，∠DCH+∠DCB＝180°，由∠DCB＝152°，得∠DCH＝28°，故∠HDC＝90°﹣28°＝62°．即∠ODC＝62°．（3）存在，由點(diǎn)N從點(diǎn)B出發(fā)，以每秒0.5個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向C點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，得BN＝0.5t，故CN＝6﹣0.5t，S2=12×5BN=54t，由點(diǎn)M從點(diǎn)0出發(fā)，以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度向右運(yùn)動(dòng)，得OM＝2t，當(dāng)0≤t≤3時(shí)，AM＝6﹣2t，S1=12×5（6﹣2t）＝15﹣5t，由S1＞S2，得15﹣5t【解答】解：（1）∵a是36的算術(shù)平方根，∴a＝6，點(diǎn)A（6，0），∵將線段OA先向右平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，再向上平移5個(gè)單位長(zhǎng)度得到對(duì)應(yīng)線段CB，又點(diǎn)O（0，0），點(diǎn)A（6，0），∴點(diǎn)C（1，5），點(diǎn)B（7，5），故點(diǎn)A（6，0），點(diǎn)C（1，5），點(diǎn)B（7，5）．（2）延長(zhǎng)BC交y軸于H，∵將線段OA先向右平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，再向上平移5個(gè)單位長(zhǎng)度得到對(duì)應(yīng)線段CB，∴OA∥BC，OA＝BC，∴∠DHC＝∠DOA＝90°，∠DCH+∠DCB＝180°，∵∠DCB＝152°，∴∠DCH＝28°，∴∠HDC＝90°﹣28°＝62°．即∠ODC＝62°．（3）存在，∵點(diǎn)N從點(diǎn)B出發(fā)，以每秒0.5個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向C點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，∴BN＝0.5t，∴CN＝6﹣0.5t，∴S2=12×5BN∵點(diǎn)M從點(diǎn)0出發(fā)，以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度向右運(yùn)動(dòng)，∴OM＝2t，當(dāng)0≤t≤3時(shí)，AM＝6﹣2t，∴S1=12×5（6﹣2t∵S1＞S2，∴15﹣5t＞54∴0≤t＜12當(dāng)3＜t≤12時(shí)，AM＝2t﹣6，∵S1=12×5（2t∵S1＞S2，∴5t﹣15＞54.∴t＞4，綜上所述，當(dāng)0≤t＜125或4＜t≤12時(shí)，使得S1＞S【點(diǎn)評(píng)】本題考查了幾何變換綜合題，掌握算術(shù)平方根的性質(zhì)，線段平移的性質(zhì)，在運(yùn)動(dòng)中表示出面積，是解題關(guān)鍵．5．已知兩條平行線AB，CD和一塊含45°角的直角三角尺EFG（∠EFG＝90°），且點(diǎn)E，F(xiàn)不能同時(shí)落在直線AB和CD之間．（1）如圖1，把三角尺的45°角的頂點(diǎn)E，G分別放在AB，CD上，若∠BEG＝150°，則∠FGC的度數(shù)為105°；（2）如圖2，把三角尺的銳角頂點(diǎn)G放在CD上，且保持不動(dòng)，若點(diǎn)E恰好落在AB和CD之間，AB與EF相交于點(diǎn)M，且所夾銳角為25°，求∠FGC的度數(shù)；（3）把三角尺的銳角頂點(diǎn)G放在CD上，且保持不動(dòng)，旋轉(zhuǎn)三角尺，是否存在∠FGC＝11∠DGE（∠DGE＜45°）？若存在，請(qǐng)求出射線GF與AB所夾銳角的度數(shù)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【分析】（1）依據(jù)題意，根據(jù)平行線的性質(zhì)可得∠BEG＝∠EGC，即可求解．（2）依據(jù)題意，先求出∠EGC的度數(shù)即可求解．（3）依據(jù)題意，分兩種情況進(jìn)行討論，點(diǎn)E在CD上方和在CD下方兩種情況求解即可．【解答】解：（1）∵AB∥CD，∴∠BEG＝∠EGC＝150°，∵∠FGE＝45°，∴∠FGC＝150°﹣45°＝105°．故答案為：105°．（2）由題意，過(guò)點(diǎn)E作EH∥AB，如圖，∴EH∥AB∥CD，∴∠BME＝∠FEH＝25°，∠DGE＝∠HEG．∴∠FEG＝∠FEH+∠GEH＝∠BME+∠DGE＝45°，∴∠DGE＝45°﹣25°＝20°，∴∠FGC＝180°﹣45°﹣20°＝115°；（3）存在，有兩種情況；①當(dāng)點(diǎn)E在CD上方時(shí)，如圖；∵∠FGC＝11∠DGE，∴∠DGE+11∠DGE+45°＝180°，∴∠DGE＝11.25°，∴射線GF與AB所夾銳角的度數(shù)為45°+11.25°＝56.25°．②當(dāng)點(diǎn)E在CD下方時(shí)，如圖；∵∠FGC＝11∠DGE，∴∠FGC+∠FGD＝180°，即11∠DGE+45°﹣∠DGE＝180°，∴∠DGE＝13.5°．∴射線GF與AB所夾銳角＝∠FGD＝45°﹣13.5°＝31.5°．綜上所述射線GF與AB所夾銳角的度數(shù)為56.25°或31.5°．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了平行線的性質(zhì)和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，熟練掌握性質(zhì)是解題關(guān)鍵．6．如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為（a，0），（b，0），且a，b滿足|2a+5b?4|+3a?2b+13=0，現(xiàn)將線段AB先向右平移3個(gè)單位長(zhǎng)度，再向上平移2個(gè)單位長(zhǎng)度得到線段CD，其中點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為C，點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為D，連接AC，（1）請(qǐng)直接寫出A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)．（2）如圖2，M是線段AC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，N是線段CD上的一個(gè)定點(diǎn)，連接MN，MO，當(dāng)點(diǎn)M在線段AC上移動(dòng)時(shí)（不與點(diǎn)A，C重合），∠MNC+∠AOM∠OMN（3）在坐標(biāo)軸上是否存在點(diǎn)P，使三角形PBC的面積與三角形ABD的面積相等？若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，試說(shuō)明理由．【分析】（1）根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)求出a，b，即可求出答案；（2）過(guò)點(diǎn)M作直線ME∥AB，則∠AOM＝∠OME，再判斷出∠MNC＝∠NME，即可得出結(jié)論；（3）先求出△ABD的面積，再分點(diǎn)P在x軸和y軸上兩種情況，建立方程求解，即可得出答案．【解答】解：（1）∵|2a+5b?4|+3a?2b+13∴2a+5b﹣4＝0＝0，3a﹣2b+13＝0，∴a＝﹣3，b＝2，∴A（﹣3，0），B（2，0）；（2）∠MNC+∠AOM∠OMN理由：如圖2，過(guò)點(diǎn)M作直線ME∥AB，∴∠AOM＝∠OME，∵線段CD由線段AB平移得到，∴AB∥CD，∴ME∥CD，∴∠MNC＝∠NME，∴∠OMN＝∠OME+∠NME＝∠AOM+∠MNC，∴∠MNC+∠AOM∠OMN（3）依題意可得A（﹣3，0），B（2，0），C（0，2），D（5，2），∴S△ABD=12AB?yD①當(dāng)點(diǎn)P在x軸上時(shí)，設(shè)點(diǎn)P（m，0），則S△PBC=12×|m∵S△PBC＝S△ABD，∴|m﹣2|＝5，∴m＝7或﹣3，∴P（7，0）或P（﹣3，0）；②當(dāng)點(diǎn)P在y軸上時(shí)，設(shè)點(diǎn)P（0，n），S△PBC=12×|n∵S△PBC＝S△ABD，∴|n﹣2|＝5，∴n＝7或﹣3，∴P（0，7）或（0，﹣3）．綜上所述，存在點(diǎn)P，使三角形PBC的面積與三角形ABD的面積相等，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（7，0）或（﹣3，0）或（0，7）或（0，﹣3）．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，三角形的面積公式，用分類討論的思想解決問(wèn)題是解本題的關(guān)鍵．7．如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，已知A（a，0），B（0，b），其中a，b滿足|a?4|+a?b+2（1）請(qǐng)直接填空：a＝4，B點(diǎn)坐標(biāo)為（0，6）；（2）點(diǎn)C（x，y）是線段AB上一動(dòng)點(diǎn)，求x，y之間滿足的關(guān)系式（含x的式子表示y）；（3）如圖2，將直線AB沿x軸向左平移，當(dāng)平移后的直線DE經(jīng)過(guò)點(diǎn)D（﹣2，0），點(diǎn)D是點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)時(shí)，解決如下問(wèn)題：①在直線DE上是否存在點(diǎn)P，使得三角形ADP的面積等于18？若存在，求出P點(diǎn)坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；②已知Q（m，n）是直線DE上一動(dòng)點(diǎn)，且點(diǎn)Q位于第二象限，若三角形BOQ的面積不大于9，求n的取值范圍．【分析】（1）由|a?4|+a?b+2=0．得a＝4，b＝6，故（2）由△OAB面積＝△AOC面積+△BOC面積得12×6×4=12×6x+12（3）①設(shè)P縱坐標(biāo)為a，由△ADP面積=12a×DE＝18，得a＝6．當(dāng)P在第二象限時(shí)，點(diǎn)A向左平移6個(gè)長(zhǎng)度單位到點(diǎn)D，故P（﹣6，6）．當(dāng)P在第三象限時(shí)，點(diǎn)B向下平移6個(gè)長(zhǎng)度單位，再向右平移4個(gè)長(zhǎng)度單位，故②過(guò)P作PM⊥x軸，連BD．設(shè)△BOQ的面積＝9，得12×6=9，故m＝±3．當(dāng)Q位于第二象限時(shí)，即m＝﹣3時(shí)，△ADP面積＝△BPD面積＝梯形PMOB面積﹣△PMD面積﹣△BDO面積，得12×6n=12（n+6）×3?12×1×n?12×2×6，故n=32．當(dāng)Q'位于第四象限時(shí)，即m＝3時(shí)，由△ADQ'面積＝△BDQ'面積＝梯形DHGB面積+△BCQ'面積﹣△DHG面積，得12×6×（﹣n）=12（﹣n【解答】解：（1）∵|a?4|+a?b+2∴a＝4，b＝6，∴B（0，6）．故答案為：4，（0，6）．（2）∵△OAB面積＝△AOC面積+△BOC面積，∴12×6×4=12×6∴y=?32（3）①設(shè)P縱坐標(biāo)為a，∴△ADP面積=12a×∴12a∴a＝6．當(dāng)P在第二象限時(shí)，點(diǎn)A向左平移6個(gè)長(zhǎng)度單位到點(diǎn)D，∴P（﹣6，6）．當(dāng)P在第三象限時(shí)，點(diǎn)B向下平移6個(gè)長(zhǎng)度單位，再向右平移4個(gè)長(zhǎng)度單位，∴P（2，﹣6）．綜上所述，P（﹣6，6）或（2，﹣6）．②過(guò)P作PM⊥x軸，連BD．設(shè)△BOQ的面積＝9，∴12×6∴m＝±3．當(dāng)Q位于第二象限時(shí)，即m＝﹣3時(shí)，∵AB∥ED，∴△ADP面積＝△BPD面積＝梯形PMOB面積﹣△PMD面積﹣△BDO面積，∴12×6n=12（n+6）×3?∴n=3當(dāng)Q'位于第四象限時(shí)，即m＝3時(shí)，∵△ADQ'面積＝△BDQ'面積＝梯形DHGB面積+△BCQ'面積﹣△DHG面積，∴12×6×（﹣n）=12（﹣n+6﹣n）×2+12（6﹣∴n=?15∴?152＜【點(diǎn)評(píng)】本題考查了幾何變換綜合題，在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)利用面積求解，是解題關(guān)鍵．8．如圖，已知∠AOB＝60°，∠AOB的邊OA上有一動(dòng)點(diǎn)P，從距離O點(diǎn)18cm的點(diǎn)M處出發(fā)，沿線段MO、射線OB運(yùn)動(dòng)，速度為2cm/s；動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)O出發(fā)，沿射線OB運(yùn)動(dòng)，速度為1cm/s；P、Q同時(shí)出發(fā)，同時(shí)射線OC繞著點(diǎn)O從OA上以每秒5°的速度順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間是t（s）．（1）當(dāng)點(diǎn)P在MO上運(yùn)動(dòng)時(shí)，PO＝（18﹣2t）cm（用含t的代數(shù)式表示）；（2）當(dāng)點(diǎn)P在線段MO上運(yùn)動(dòng)時(shí)，t為何值時(shí)，OP＝OQ？此時(shí)射線OC是∠AOB的角平分線嗎？如果是請(qǐng)說(shuō)明理由．（3）在射線OB上是否存在P、Q相距2cm？若存在，請(qǐng)求出t的值并求出此時(shí)∠BOC的度數(shù)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【分析】（1）先確定出PM＝2t，即可得出結(jié)論；（2）先根據(jù)OP＝OQ建立方程求出t＝6，進(jìn)而求出∠AOC＝30°，即可得出結(jié)論；（3）分P、Q相遇前相距2cm和相遇后2cm兩種情況，建立方程求解，接口得出結(jié)論．【解答】解：（1）當(dāng)點(diǎn)P在MO上運(yùn)動(dòng)時(shí)，由運(yùn)動(dòng)知，PM＝2t，∵OM＝18cm，∴PO＝OM﹣PM＝（18﹣2t）cm，故答案為：（18﹣2t）；（2）由（1）知，OP＝18﹣2t，當(dāng)OP＝OQ時(shí)，則有18﹣2t＝t，∴t＝6即t＝6時(shí)，能使OP＝OQ，∵射線OC繞著點(diǎn)O從OA上以每秒5°的速度順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，∴∠AOC＝5°×6＝30°，∵∠AOB＝60°，∴∠BOC＝∠AOB﹣∠AOC＝30°＝∠AOC，∴射線OC是∠AOB的角平分線，（3）分為兩種情形．當(dāng)P、Q相遇前相距2cm時(shí)，OQ﹣OP＝2∴t﹣（2t﹣18）＝2解這個(gè)方程，得t＝16，∴∠AOC＝5°×16＝80°∴∠BOC＝80°﹣60°＝20°，當(dāng)P、Q相遇后相距2cm時(shí)，OP﹣OQ＝2∴（2t﹣18）﹣t＝2解這個(gè)方程，得t＝20，∴∠AOC＝5°×20＝100°∴∠BOC＝100°﹣60°＝40°，綜合上述t＝16，∠BOC＝20°或t＝20，∠BOC＝40°．【點(diǎn)評(píng)】此題是幾何變換綜合題，主要考查了角平分線的定義，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，用方程的思想解決問(wèn)題是解本題的關(guān)鍵．9．如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC為銳角，點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)A且在AC右側(cè)．點(diǎn)C關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)E，∠BAE＜180°．連接BE交線段AD于點(diǎn)F，連接CF．（1）求證：BF＝CF；（2）若∠CBE＝30°，探究線段AF，DF，EF的數(shù)量關(guān)系；（3）在直線l繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中，是否存在CF⊥EF的情形？若存在，求此時(shí)∠ACE的度數(shù)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【分析】（1）由等腰三角形的性質(zhì)得出AD⊥BC，則可得出結(jié)論；（2）在FE上找一點(diǎn)P，使得AP＝AF，證明△AFP是等邊三角形，得出∠APF＝60°，AF＝PF，證明△AFB≌△AFC（SSS），由全等三角形的性質(zhì)得出∠ABF＝∠ACF，證明△PAE≌△FAC（AAS），由全等三角形的性質(zhì)得出PE＝FC，則可得出結(jié)論；（3）由三角形外角的性質(zhì)及直角三角形的性質(zhì)可得出結(jié)論．【解答】（1）證明：∵AB＝AC，點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，∴AD⊥BC，∴AD垂直平分BC，∴BF＝CF；（2）解：EF＝AF+2DF；理由如下：在FE上找一點(diǎn)P，使得AP＝AF，在Rt△BDF中，∠CBE＝30°，∴BF＝2DF，∴CF＝2DF，由（1）得：AD⊥BC，∵∠CBE＝30°，∴∠BFD＝90°﹣∠CBE＝60°，∴∠AFP＝∠BFD＝60°，∵AP＝AF，∴△AFP是等邊三角形，∴∠APF＝60°，AF＝PF，∴∠APE＝180°﹣∠APF＝120°，由（1）得：BF＝CF，∵FD⊥BC，BF＝CF，∴DF平分∠BFC，∴∠DFC＝∠BFD＝60°，∴∠AFC＝180°﹣∠DFC＝120°，∴∠APE＝∠AFC，在△AFB和△AFC中，AF=AFAB=AC∴△AFB≌△AFC（SSS），∴∠ABF＝∠ACF，∵點(diǎn)C關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)E，∴直線l垂直平分EC，∴AE＝AC，∴AB＝AE，∴∠AEB＝∠ABF，∴∠AEB＝∠ACF，在△PAE和△FAC中，∠AEB=∠ACF∠AFC=∠APE∴△PAE≌△FAC（AAS），∴PE＝FC，∴PE＝FC＝2DF，∴EF＝FP+PE＝AF+2DF．（3）解：直線l繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中，存在CF⊥EF；理由如下：∵∠BFD＝∠BAF+∠ABF，∠CFD＝∠CAF+∠ACF，∴∠BFC＝∠BFD+∠CFD＝∠BAF+∠ABF+∠CAF+∠ACF＝∠BAC+2∠ABF，∵∠BAC為銳角，∠ABF也為銳角，∴0°＜∠BFC＜180°，∴直線l繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中，存在CF⊥EF．∵CF⊥EF，∴∠CFE＝90°，∵∠AEB＝∠ACF，∠AQE＝∠CQF，∴∠QAE＝∠CFE＝90°，∴當(dāng)CF⊥EF時(shí)，總有∠CAE＝90°，∵點(diǎn)C，點(diǎn)E關(guān)于直線l的對(duì)稱，∴AC＝AE，∴∠ACE＝45°．【點(diǎn)評(píng)】本題屬于幾何變換綜合題，考查了線段垂直平分線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，軸對(duì)稱的性質(zhì)，熟練掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．10．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形ABCO的頂點(diǎn)O與坐標(biāo)原點(diǎn)重合，頂點(diǎn)A、C在坐標(biāo)軸上，B（18，6），將矩形ABCO沿EF折疊，使點(diǎn)A與點(diǎn)C重合．（1）求點(diǎn)E的坐標(biāo)；（2）點(diǎn)P從點(diǎn)O出發(fā)，沿折線OA﹣AE以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度運(yùn)動(dòng)，到達(dá)終點(diǎn)E時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（秒），△PCE的面積為S，求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出t的取值范圍；（3）在（2）的條件下，當(dāng)點(diǎn)P在AE上，且PA=32PE時(shí)，在平面直角坐標(biāo)系中是否存在點(diǎn)Q，使得以點(diǎn)P、E、G、Q為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形？若存在，直接寫出點(diǎn)【分析】（1）設(shè)AE＝x，根據(jù)勾股定理列方程得：（18﹣x）2+62＝x2，解出可得結(jié)論；（2）分兩種情況：P在OA或AE上，分別根據(jù)三角形面積列式即可；（3）先根據(jù)PA=32PE分別計(jì)算PA和PE的長(zhǎng)，如圖4，過(guò)G作GH⊥OC于H，設(shè)OF＝y(tǒng)，根據(jù)勾股定理列方程可得y的值，利用面積法計(jì)算GH的長(zhǎng)，得G的坐標(biāo)，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)和平移規(guī)律可得【解答】解：（1）如圖1，矩形ABCO中，B（18，6），∴AB＝18，BC＝6，設(shè)AE＝x，則EC＝x，BE＝18﹣x，Rt△EBC中，由勾股定理得：EB2+BC2＝EC2，∴（18﹣x）2+62＝x2，x＝10，即AE＝10，∴E（10，6）；（2）分兩種情況：①當(dāng)P在OA上時(shí)，0≤t≤3，如圖2，S＝S矩形OABC﹣S△PAE﹣S△BEC﹣S△OPC，＝18×6?12×10（6﹣2t＝﹣8t+54，②當(dāng)P在AE上時(shí)，3＜t≤8，如圖3，S=12PE?BC=12∴S與t之間的函數(shù)關(guān)系式為S=?8t+54(0≤t≤3)（3）存在，由PA=32PE可知：P在AE上，如圖4，PE為邊時(shí)，過(guò)G作GH⊥OC于∵AP+PE＝10，∴AP＝6，PE＝4，設(shè)OF＝y(tǒng)，則FG＝y(tǒng)，F(xiàn)C＝18﹣y，由折疊得：∠CGF＝∠AOF＝90°，由勾股定理得：FC2＝FG2+CG2，∴（18﹣y）2＝y(tǒng)2+62，y＝8，∴FG＝8，F(xiàn)C＝18﹣8＝10，1212GH＝4.8，由勾股定理得：FH=8?4．∴OH＝8+6.4＝14.4，∴G（14.4，﹣4.8），當(dāng)PE為對(duì)角線時(shí)，∵P（6，6），E（10，6），G（14.4，﹣4.8），∴Q（1.6，16.8）；∵點(diǎn)P、E、G、Q為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形，且PE＝4，∴Q（10.4，﹣4.8）或（18.4，﹣4.8）或（1.6，16.8）．【點(diǎn)評(píng)】本題屬于幾何綜變換綜合題，考查了矩形的性質(zhì)，翻折變換，全等三角形的性質(zhì)，勾股定理，平行四邊形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)用分類討論的思想思考問(wèn)題11．在數(shù)學(xué)課上，王老師組織同學(xué)們以“正方形紙片的折疊”為主題開展數(shù)學(xué)活動(dòng)．王老師對(duì)正方形紙片ABCD進(jìn)行如下操作：如圖1，將正方形紙片沿過(guò)點(diǎn)D的一條直線翻折，使點(diǎn)A落在點(diǎn)F處，折痕為DE，請(qǐng)同學(xué)們?cè)趫D1的基礎(chǔ)上進(jìn)行探究．【操作發(fā)現(xiàn)】（1）如圖2，小明延長(zhǎng)DF交射線AB于點(diǎn)G，連接CF，過(guò)點(diǎn)D作CF的垂線，交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M，則線段DG與MG的數(shù)量關(guān)系是DG＝MG．【深入探究】（2）如圖3，小華在圖2的基礎(chǔ)上延長(zhǎng)CF，交DA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H，在圖3中是否存在一條線段與AH相等？若存在，請(qǐng)找出這條線段并給出證明；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【拓展應(yīng)用】（3）在（2）的條件下，若正方形紙片ABCD的邊長(zhǎng)為4，當(dāng)BG=14AB【分析】（1）由折疊的性質(zhì)，得出DF＝DA，證出∠FDM＝∠M．則可得出結(jié)論；（2）證明△CDH≌△DAM（ASA）．得出DH＝AM．則可得出結(jié)論；（3）分兩種情況討論．①當(dāng)點(diǎn)G在線段AB上時(shí)，②當(dāng)點(diǎn)G在AB的延長(zhǎng)線上時(shí)，則可得出結(jié)論．【解答】解：（1）DG＝MG．∵將正方形紙片沿過(guò)點(diǎn)D的一條直線翻折，使點(diǎn)A落在點(diǎn)F處，∴DF＝DA，∵AD＝CD，∴DC＝DF．∵DM⊥CF，∴∠CDM＝∠FDM．∵CD∥AM，∴∠CDM＝∠M．∴∠FDM＝∠M．∴DG＝MG．故答案為：DG＝MG；（2）存在，BM＝AH．證明：∵四邊形ABCD是正方形，∴CD＝DA，∠CDA＝∠DAB＝90°，∴∠CDM+∠ADM＝90°，∵DM⊥CF，∴∠CDM+∠DCH＝90°，∴∠DCH＝∠ADM．在△CDH和△DAM中，∠DCH=∠ADMCD=DA∴△CDH≌△DAM（ASA）．∴DH＝AM．∵AB＝AD，∴DH﹣AD＝AM﹣AB，即AH＝BM．（3）4或41+1根據(jù)題意，分兩種情況討論．①當(dāng)點(diǎn)G在線段AB上時(shí)，如圖1所示．∵BG=14AB∴BG＝1，∴AG＝3，∴DG＝5．由（1）知DG＝GM＝BG+BM，∴BM＝4．由（2）知AH＝BM，∴AH＝4．②當(dāng)點(diǎn)G在AB的延長(zhǎng)線上時(shí)，如圖2所示．同①可得AG＝5，∴DG=A∴GM=DG=41∴BM=GM+BG=41∴AH=41綜上所述，線段AH的長(zhǎng)為4或41+1【點(diǎn)評(píng)】本題是幾何變換綜合題，考查了正方形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)；熟練掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．12．2．線段垂直平分線我們已經(jīng)知道線段是軸對(duì)稱圖形，線段的垂直平分線是線段的對(duì)稱軸．如圖13.5.1，直線MN是線段AB的垂直平分線，P是MN上任一點(diǎn)，連接PA，PB．將線段AB沿直線MN對(duì)折，我們發(fā)現(xiàn)PA與PB完全重合，由此即有：線段垂直平分線的性質(zhì)定理線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端的距離相等．已知：如圖1，MN⊥AB，垂足為點(diǎn)C，AC＝BC，點(diǎn)P是直線MN上任意一點(diǎn)．求證：PA＝PB．分析圖中有兩個(gè)直角三角形APC和BPC，只要證明這兩個(gè)三角形全等，便可證得PA＝PB．（1）以上是華師版八年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)教材第94頁(yè)的部分內(nèi)容，請(qǐng)結(jié)合以上分析、利用圖2寫出“線段垂直平分線的性質(zhì)定理”完整的證明過(guò)程；（2）定理應(yīng)用：如圖3，在△ABC中AB＝AC，AB的垂直平分線交AB與點(diǎn)N，交AC于點(diǎn)M，連接MB，若AB＝10cm，△MBC的周長(zhǎng)是18cm．①求BC的長(zhǎng)；②點(diǎn)P是直線MN上一動(dòng)點(diǎn)，在運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，△PBC的周長(zhǎng)是否存在最小值？若存在，標(biāo)出點(diǎn)P的位置，并求出此時(shí)△PBC的周長(zhǎng)；若不存在，說(shuō)明理由．【分析】（1）證明△ACP≌△BCP（SAS）即可解決問(wèn)題；（2）①根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)定理證明MB＝MA，根據(jù)△MBC的周長(zhǎng)是18cm，即可求出BC的長(zhǎng)；②當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)M重合時(shí)，PB+PC的值最小，進(jìn)而可以解決問(wèn)題．【解答】（1）證明：∵M(jìn)N⊥AB，∴∠ACP＝∠BCP＝90°，在△ACP和△BCP中，AC=BC∠ACP=∠BCP∴△ACP≌△BCP（SAS），∴PA＝PB；（2）解：①∵M(jìn)N垂直平分AB，∴MB＝MA，∵△MBC的周長(zhǎng)是18cm，∴MB+MC+BC＝AC+BC＝18cm，∵AC＝AB＝10cm，∴BC＝8cm；②當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)M重合時(shí)，PB+PC的值最小，即△PBC的周長(zhǎng)最小，此時(shí)△PBC的周長(zhǎng)是18cm．【點(diǎn)評(píng)】本題屬于幾何變換綜合題，考查了軸對(duì)稱—最短路線問(wèn)題，全等三角形的判定與性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形分析是解題的關(guān)鍵．13．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，cosA=45，將△ABC繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到△A′BC′，其中點(diǎn)A，C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為點(diǎn)A′，（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)A′'落在AC的延長(zhǎng)線上時(shí)，求AA′的長(zhǎng)；（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)C′落在AB的延長(zhǎng)線上時(shí)，連接CC′，交A′B于點(diǎn)M，求BM的長(zhǎng)；（3）如圖3，連接AA′，直線CC′交AA′于點(diǎn)D，點(diǎn)E為AC的中點(diǎn)，連接DE．在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，DE是否存在最大值？若存在，直接寫出DE的最大值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【分析】（1）先利用余弦求出AC＝8，再利用旋轉(zhuǎn)對(duì)稱得到A′C＝AC＝8，進(jìn)而可得AA'＝16；（2）過(guò)C作CF⊥AB于F，過(guò)C作CD⊥AB于D，過(guò)M作MN⊥C′B于N，利用勾股定理得到BC＝6，利用等面積法得到CF=AC?BCAB=4.8，再利用勾股定理求得FB＝3.6，于是C′F＝FB+BC′＝9.6，利用cos∠BMN=cosA=45，得到NM=45MB，BN=35BM以及C′N=6?35（3）過(guò)A作AP∥A'C'交C'C于P，連接A'C，證明△APD≌△A'C'D（AAS），由全等三角形的性質(zhì)得出AD＝A'D，由三角形中位線定理可得出DE=12A'C．要使DE最大，只需A'C最大，此時(shí)C，B，A'三點(diǎn)共線，A′C的最大值為A′B+BC＝AB+【解答】解：（1）∵∠ACB＝90°，AB＝10，cosA=4∴AC＝8，∵∠ACB＝90°，△ABC繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到△A′BC′，∴A′C＝AC＝8，∵點(diǎn)A′落在AC的延長(zhǎng)線上，∴AA′＝AC+A′C＝16；（2）過(guò)C作CF⊥AB于F，過(guò)M作MN⊥C′B于N，如圖2：∵∠ACB＝90°，AB＝10，AC＝8，∴BC＝6，∵△ABC繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到△A′BC′，∴∠A′BC＝∠ABC，BC′＝BC＝6，∵CF⊥AB，∴Rt△ABC中，S△ABC∴CF=AC?BCRt△CBF中，F(xiàn)B=C∴C′F＝FB+BC′＝9.6，由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可得：∠A′C′B＝90°，∠A′＝∠A，∵M(jìn)N⊥AC′，∠A′C′B＝90°，∴A′C′∥MN，∴∠BMN＝∠A′，∴cos∠BMN=cosA=4∴MNBM∴NM=45MB∴C′N=6?3∵△C′MN∽△C′CF，∴C′NC′F即6?3∴BM=30（3）DE存在最大值8，理由如下：過(guò)A作AP∥A'C'交C'C于P，連接A'C，如圖：∵△ABC繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到△A′BC′，∴BC＝BC'，∠ACB＝∠A'C'B＝90°，AC＝A'C'，∴∠BCC'＝∠BC'C，∴∠APC＝180°﹣∠APD，∠ACP＝90°﹣∠BCC'＝90°﹣∠BC'C＝180°﹣∠A'C'D，∵AP∥A'C'，∴∠APD＝∠A'C'D，∴∠APC＝∠ACP，∴AP＝AC，∴AP＝A'C'，在△APD和△A'C'D中，∠P=∠A′C′D∠PDA=∠A′DC′∴△APD≌△A'C'D（AAS），∴AD＝A'D，即D是AA'中點(diǎn)，∵點(diǎn)E為AC的中點(diǎn)，∴DE是△AA'C的中位線，∴DE=12A'當(dāng)A'C的值最大時(shí)，DE的值最大，∵A'C≤BC+BA'＝16，∴當(dāng)C，B，A'三點(diǎn)共線時(shí)，DE存在最大值．∴DE＝8，即DE的最大值為8．【點(diǎn)評(píng)】本題考查直角三角形的旋轉(zhuǎn)變換，涉及勾股定理、平行線分線段成比例、等腰三角形判定、全等三角形判定與性質(zhì)等知識(shí)，綜合性較強(qiáng)，解題的關(guān)鍵是作輔助線，構(gòu)造全等三角形．14．如圖，在△ABC中，點(diǎn)H為AB邊上的一點(diǎn)，AH＝15，CH＝8，AC＝17，BH＝6．（1）試說(shuō)明CH⊥AB；（2）求BC的長(zhǎng)；（3）直線AB上是否存在一點(diǎn)E，使△BCE為等腰三角形．若存在，請(qǐng)直接寫出此時(shí)線段HE的長(zhǎng)度；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；（4）如圖1，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿射線AB方向運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒（t＞0），現(xiàn)把△ACH沿著直線CP翻折，請(qǐng)直接寫出當(dāng)t為何值時(shí)，點(diǎn)H翻折后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)H′恰好落在直線AC上．【分析】（1）由AH＝15，CH＝8，AC＝17，得AH2+CH2＝AC2＝289，則△ACH是直角三角形，且∠AHC＝90°，所以CH⊥AB；（2）由∠BHC＝90°，BH＝6，CH＝8，根據(jù)勾股定理得BC=B（3）分四種情況討論，一是BE＝BC＝10，且點(diǎn)E在線段AB上，則HE＝BE﹣BH＝4；二是BE＝BC＝10，且點(diǎn)E在線段AB的延長(zhǎng)線上，則HE＝BE+BH＝16；三是EC＝BC，因?yàn)镃H⊥BE，所以HE＝BH＝6；四是CE＝BE，則HE2+82＝（HE+6）2，求得HE=7（4）分兩種情況討論，一是點(diǎn)P在線段AB上，由翻折得PH′＝PH，∠PH′C＝∠PHC＝90°，則PH′⊥AC，由S△APC=12AP?CH=12AC?PH′，得12×8t=1217（15﹣t），求得t=515；二是點(diǎn)P在線段AB的延長(zhǎng)線上，連接PH′，則PH′⊥AC，由S△APC=12AP?CH=12【解答】解：（1）∵AH＝15，CH＝8，AC＝17，∴AH2+CH2＝152+82＝289，AC2＝289，∴AH2+CH2＝AC2，∴△ACH是直角三角形，且∠AHC＝90°，∴CH⊥AB．（2）∵∠BHC＝90°，BH＝6，CH＝8，∴BC=B∴BC的長(zhǎng)為10．（3）存在，線段HE的長(zhǎng)度為4或16或6或73理由：當(dāng)BE＝BC＝10，且點(diǎn)E在線段AB上時(shí)，則HE＝BE﹣BH＝10﹣6＝4；當(dāng)BE＝BC＝10，且點(diǎn)E在線段AB的延長(zhǎng)線上時(shí)，則HE＝BE+BH＝10+6＝16；當(dāng)EC＝BC時(shí)，∵CH⊥BE，∴HE＝BH＝6；當(dāng)CE＝BE時(shí)，如圖A，∵HE2+CH2＝CE2，且CH＝8，CE＝BE＝HE+6，∴HE2+82＝（HE+6）2，∴HE=7綜上所述，直線AB上存在一點(diǎn)E，使△BCE為等腰三角形，線段HE的長(zhǎng)度為4或16或6或73（4）當(dāng)t=515或t=853時(shí)，點(diǎn)H翻折后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)理由：如圖1，點(diǎn)P在線段AB上，∵把△ACH沿著直線CP翻折，點(diǎn)H的對(duì)應(yīng)點(diǎn)H′落在直線AC上，∴PH′＝PH，∠PH′C＝∠PHC＝90°，∴PH′⊥AC，∵AH＝15，AP＝1×t＝t，∴PH′＝PH＝AH﹣AP＝15﹣t，∵S△APC=12AP?CH=12∴12×8t=1解得t=51如圖2，點(diǎn)P在線段AB的延長(zhǎng)線上，連接PH′，∵把△ACH沿著直線CP翻折，點(diǎn)H的對(duì)應(yīng)點(diǎn)H′落在直線AC上，∴PH′＝PH＝AP﹣AH＝t﹣15，∠PH′C＝∠PHC＝90°，∴PH′⊥AC，∵S△APC=12AP?CH=12∴12×8t=1解得t=85綜上所述，當(dāng)t=515或t=853時(shí)，點(diǎn)H翻折后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)【點(diǎn)評(píng)】此題重點(diǎn)考查勾股定理及其逆定理、等腰三角形的判定與性質(zhì)、翻折變換的性質(zhì)、根據(jù)面積等式求線段的長(zhǎng)度、數(shù)形結(jié)合與分類討論數(shù)學(xué)思想的運(yùn)用等知識(shí)與方法，此題綜合性強(qiáng)，難度較大，屬于考試壓軸題．15．九年級(jí)數(shù)學(xué)小組以“等腰直角三角形的旋轉(zhuǎn)”為主題，開展數(shù)學(xué)探究活動(dòng)．【提出問(wèn)題】如圖1，△ABC和△BDE都是等腰直角三角形，∠ACB＝∠BDE＝90°，連接CD、AE，通過(guò)探究得到AE、CD存在某種數(shù)量關(guān)系，具體探究過(guò)程如下：【探究問(wèn)題】（1）將圖1“特殊化”，如圖2所示，當(dāng)點(diǎn)D在BC的延長(zhǎng)線上，請(qǐng)直接寫出此時(shí)AE、CD數(shù)量的關(guān)系為AE=2CD【解決問(wèn)題】（2）將問(wèn)題“一般化”，如圖1所示，在探索中發(fā)現(xiàn)，將△BDE繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，AE、CD數(shù)量的關(guān)系始終不發(fā)生變化，請(qǐng)你利用圖1幫助小組完成解答過(guò)程；【擴(kuò)展應(yīng)用】（3）如圖3，△ABC和△BPM均為等腰直角三角形，∠ACB＝∠BPM＝90°，AC=BC=2，點(diǎn)P在AC上，試問(wèn)：MA+MB【分析】（1）先證明四邊形ACDF是矩形，則AF＝CD，再根據(jù)等腰直角三角形的判定與性質(zhì)證明Rt△AFE是等腰直角三角形，進(jìn)而得到AE=2AF（2）先根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得到∠ABE＝∠CBD，ABBC=BEBD=（3）先由特殊位置得到點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)軌跡：當(dāng)P與C重合時(shí)，等腰直角△BPM為等腰直角△BCM2，當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)A重合時(shí)，等腰直角△BPM為等腰直角△BAM1，連接M1M2，利用等腰直角三角形的性質(zhì)推導(dǎo)出點(diǎn)M在與直線AC成45°的線段M1M2上運(yùn)動(dòng)，由于∠AM1M2＝90°，則延長(zhǎng)AM1至A′，使得A′M1＝AM1，連接AM、A′B，則MA+MB＝MA′+MB≥A′B，當(dāng)A′、M、B共線時(shí)取等號(hào)，此時(shí)，MA+MB的值最小，最小值為A′B的長(zhǎng)，利用勾股定理求得A′B即可．【解答】解：（1）AE=2CD如圖，過(guò)A作AF⊥DE于F，則四邊形ACDF是矩形，∴AF＝CD，∵△BDE是等腰直角三角形，∴∠E＝∠B＝45°，∴AE=2AF∴AE=2CD故答案為：AE=2CD（2）AE=2CD∵△ABC和△BDE都是等腰直角三角形，∴∠ABC＝∠EBD＝45°，∴∠ABE＝∠CBD＝45°﹣∠CBE，ABBC∴△ABE∽△CBD，∴AECD∴AE=2CD（3）如圖，當(dāng)P與C重合時(shí)，等腰直角△BPM為等腰直角△BCM2，當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)A重合時(shí)，等腰直角△BPM為等腰直角△BAM1，連接M1M2，∵△ABC和△BPM均為等腰直角三角形，AC＝BC=2∴∠BAC＝∠CAM1＝∠BM2C＝∠AM1B＝45°，AM1＝AB=A∵∠ACB＝90°，則點(diǎn)B、C、M1共線，∴CM1＝BC＝CM2，∠M1CM2＝90°，∴∠CM1M2＝∠CM2M1＝45°，∴點(diǎn)M在與直線AC成45°的線段M1M2上運(yùn)動(dòng)，∵∠AM1M2＝∠AM1C+∠CM1M2＝90°，延長(zhǎng)AM1至A′，使得A′M1＝AM1，連接AM、A′B，則MA+MB＝MA′+MB≥A′B，當(dāng)A′、M、B共線時(shí)取等號(hào)，此時(shí)，MA+MB的值最小，最小值為A′B的長(zhǎng)，∴A′B=AB2故MA+MB的最小值為25．【點(diǎn)評(píng)】本題是幾何變換綜合題，考查等腰直角三角形的判定與性質(zhì)、矩形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)、最短路徑問(wèn)題、勾股定理等知識(shí)，熟練掌握等腰直角三角形的性質(zhì)，利用相似三角形的性質(zhì)尋找線段間的數(shù)量關(guān)系，找到點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)路線是解答的關(guān)鍵．16．定義：在平面直角坐標(biāo)系xOy中，將點(diǎn)P（x，y）變換為P′（kx+b，by+k）（k，b為常數(shù)），我們把這種變換稱為“T變換”．（1）當(dāng)k＝1，b＝2時(shí)，點(diǎn)P（1，2）經(jīng)過(guò)“T變換”得到的點(diǎn)P′的坐標(biāo)為（3，5）；（2）已知點(diǎn)A（2，1），B（a﹣b，c+32a），C（6﹣2b，?c4?12)經(jīng)過(guò)“T變化”的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別是A′（4，3），B′（﹣2﹣2①求出B′、C′的坐標(biāo)；②是否存在x軸上點(diǎn)Q，使得△AB′C′的面積是△QBC′面積的2倍？若存在，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；③已知M（2m，3﹣2m），N（n﹣1，﹣2n﹣3），MN⊥BC′且MN＝2BC′．直接寫出點(diǎn)M、N的坐標(biāo)．【分析】（1）根據(jù)新定義﹣“T變換”求得P′的坐標(biāo)，即可求解；（2）①根據(jù)題意和“T變換”的定義，分別求得B，C，B'，C'的坐標(biāo)；②根據(jù)題意可得：△ABC的面積是2時(shí)，當(dāng)Q在x軸上時(shí)，△QBC的面積為2，故不存在；③根據(jù)MN⊥BC′且MN＝2BC′建立二元一次方程組求得m，n的值，即可求解．【解答】解：（1）∵P（1，2），當(dāng)k＝1，b＝2時(shí)：kx+b＝1×1+2＝3，by+k＝2×2+1＝5，∴點(diǎn)P（1，2）經(jīng)過(guò)“R變換”得到的點(diǎn)P'的坐標(biāo)為P（3，5），故答案為：（3，5）；（2）①∵點(diǎn)A（2，1），經(jīng)過(guò)“T變換”的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別是A′（4，3），∴2k+b=4b+k=3解得：k=1b=2∴將點(diǎn)P（x，y）變換為P′（x+2，2y+1），∵B（a﹣b，c+32a），即經(jīng)過(guò)“T變換”的對(duì)應(yīng)點(diǎn)B'（﹣2﹣2c，9﹣2b+c），即B'（﹣2﹣2c，5+c），∴a?2+2=?2?2c2(c+解得：a=2c=?2∴a﹣2＝0，c+32a=1；﹣2﹣2c∴B（0，1），B'（2，3），∴C(6?2b，?c4?12)，即②如圖所示，∵A（2，1），B'（2，3），C'（4，1），∴S△ABC∵BC'＝4，且B，C′的縱坐標(biāo)為1，當(dāng)Q在x軸上時(shí)，△QBC的面積為12∴不存在x軸上的點(diǎn)Q，使得△A'B'C'的面積是△QBC面積的2倍．③MN⊥BC'，B（0，1），C'（4，1），M（2m，3﹣2m），N（n﹣1，﹣2n﹣3），∴MN∥y軸，則M，N橫坐標(biāo)相等，即2m＝n﹣1①，∴BC'＝4，MN＝|3﹣2m+2n+3|＝|6﹣2m+2n|，∵M(jìn)N＝2BC'，∴MN＝8，∴|6﹣2m+2n|＝8②，聯(lián)立①②得：2m=n?16?2m+2n=8或2m=n?1解得：m=0n=1或m=?8∴M（0，3），N（0，﹣5）或M（﹣16，19）N（﹣16，27）．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了坐標(biāo)變換，二元一次方程組，坐標(biāo)與圖形，數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵．17．如圖，在數(shù)軸上A點(diǎn)表示數(shù)a，B點(diǎn)示數(shù)b，C點(diǎn)表示數(shù)9，且a、b滿足|a+3|+（b﹣1）2＝0；（1）a＝﹣3，b＝1；（2）若將數(shù)軸折疊，使得A點(diǎn)與C點(diǎn)重合，則點(diǎn)B與數(shù)5表示的點(diǎn)重合；（3）點(diǎn)A、B、C分別以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度、1個(gè)單位長(zhǎng)度和4個(gè)單位長(zhǎng)度的速度在數(shù)軸上同時(shí)向左運(yùn)動(dòng)．①若t秒后，AB＝BC，求t值；②當(dāng)點(diǎn)C在B點(diǎn)右側(cè)時(shí)，是否存在常數(shù)m，使mBC﹣2AB的值為定值，若存在，求m的值，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【分析】（1）根據(jù)非負(fù)性進(jìn)行求解即可；（2）先求出對(duì)稱中心，進(jìn)而求出與點(diǎn)B重合的數(shù)即可；（3）①根據(jù)AB＝BC，列出方程進(jìn)行求解即可；（2）求出mBC﹣2AB，根據(jù)mBC﹣2AB的值為定值，得到含t的項(xiàng)的系數(shù)為0，進(jìn)行求解即可．【解答】解：（1）在數(shù)軸上A點(diǎn)表示數(shù)a，B點(diǎn)示數(shù)b，且a、b滿足|a+3|+（b﹣1）2＝0，由題意得：a+3=0b?1=0解得：a=?3b=1故答案為：﹣3，1；（2）∵在數(shù)軸上A點(diǎn)表示數(shù)﹣3，C點(diǎn)表示數(shù)9，A點(diǎn)與C點(diǎn)重合，∴對(duì)稱中心為?3+92∴與B重合的數(shù)為：3+（3﹣1）＝5，故答案為：5；（3）①由題意，得：點(diǎn)A表示的數(shù)為：﹣3﹣2t，點(diǎn)B表示的數(shù)為：1﹣t，點(diǎn)C表示的數(shù)為：9﹣4t，∴AB＝1﹣t﹣（﹣3﹣2t）＝t+4，BC＝|9﹣4t﹣1+t|＝|8﹣3t|，∴t+4＝|8﹣3t|，解得：t＝1或t＝6；②存在常數(shù)m，使mBC﹣2AB的值為定值；理由如下：當(dāng)點(diǎn)C在B點(diǎn)右側(cè)時(shí)，BC＝9﹣4t﹣1+t＝8﹣3t，∴mBC﹣2AB＝m（8﹣3t）﹣2（t+4）＝﹣（3m+2）t+8m﹣8，∵mBC﹣2AB的值為定值，則：3m+2＝0，∴m=?23，此時(shí)【點(diǎn)評(píng)】本題屬于幾何變換綜合題，主要考查數(shù)軸上的動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題，整式的加減運(yùn)算，一元一次方程的應(yīng)用，熟練掌握兩點(diǎn)間的距離公式是解題的關(guān)鍵．18．已知A（﹣1，0），B（a，b），C（1，4），其中(a?2)（1）求點(diǎn)B的坐標(biāo)．（2）在x軸正半軸上找一點(diǎn)P，使以A，C，P三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形的面積為10．（3）在（2）的條件下，連接PB，在直線PB上，是否存在點(diǎn)D，使得三角形ABD的面積是三角形ACP面積的2倍？若存在，直接寫出點(diǎn)D的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．（提示：可用坐標(biāo)的平移來(lái)求點(diǎn)D的坐標(biāo)）【分析】（1）根據(jù)偶次方的非負(fù)性質(zhì)和算術(shù)平方根的非負(fù)性，由非負(fù)數(shù)的性質(zhì)求出a、b值即可求解；（2）設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（m，0），根據(jù)S△ACP（3）當(dāng)點(diǎn)D在BP1上時(shí)，i）當(dāng)點(diǎn)D在BP1延長(zhǎng)線上時(shí)，ii）當(dāng)點(diǎn)D在P1B延長(zhǎng)線上時(shí)；當(dāng)點(diǎn)D在BP2上時(shí)，分別求解即