中考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)《相似三角形綜合題》專項檢測卷含答案

第第中考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)《相似三角形綜合題》專項檢測卷含答案學(xué)校:___________班級：___________姓名：___________考號：___________一、單選題1．（2022·江蘇南京·二模）如圖，矩形ABCO，點A、C在坐標(biāo)軸上，點B的坐標(biāo)為．將△ABC沿AC翻折，得到△ADC，則點D的坐標(biāo)是（

）A． B． C． D．2．（2023·江蘇南京·三模）如圖，點，在半圓上，，相交于點，的值為（

）A． B． C． D．3．（2023·江蘇南京·三模）如圖，不等臂蹺蹺板的一端A碰到地面時，另一端B到地面的高度為，當(dāng)?shù)囊欢薆碰到地面時，另一端A到地面的高度為，則蹺蹺板的支撐點O到地面的高度是（

）A． B． C． D．4．（2023·江蘇南京·三模）如圖，在△ABC中，，D為的中點．若點E在邊上，且，則的長為（

）A．1 B．2 C．1或 D．1或2第1題圖第2題圖第3題圖第4題圖5．（2023·江蘇南京·三模）如圖，正方形與中，分別與、相交于點、點，若的面積為6，正方形的面積為16，則的值為（

）A． B． C． D．6．（2024·江蘇南京·一模）如圖，，分別垂直，垂足分別為，，連接，交于點，作，垂足為．設(shè)，，，若，則下列等式：①；②；③，其中一定成立的是（

）A．①② B．①③ C．②③ D．①②③7．（2024·江蘇南京·二模）如圖，O是△ABC的外心，，垂足分別為D，E，F(xiàn)，連接的中點H，I，J，則與△ABC的面積之比是（

）A． B． C． D．第6題圖第7題圖二、填空題8．（2023·江蘇南京·二模）如圖，在中，E是線段的中點，交于點F，則．

9．（2023·江蘇南京·二模）如圖，，，，均為正方形網(wǎng)格的格點，線段和相交于點，則的值是．10．（2022·江蘇南京·一模）如圖，在△ABC中，，點是上一點，過點作交于點，交于點．若，，則四邊形的面積為．11．（2022·江蘇南京·二模）如圖，在△ABC中，∠C＝2∠B，BC的垂直平分線DE交AB于點D，垂足為E，若AD＝4，BD＝6，則DE的長為．第8題圖第9題圖第10題圖第11題圖12．（2023·江蘇南京·二模）如圖，的頂點A在y軸上，頂點B，D在x軸上，邊與y軸交于點E，若，，，則點E的坐標(biāo)為．13．（2023·江蘇南京·二模）如圖，在矩形中，，，是邊上的動點，連接，過點作，與邊交于點，連接，則的最小值為14．（2024·江蘇南京·一模）如圖，將等邊三角形沿著折疊，使點恰好落在邊上點處．若，，則△ABC的邊長是．15．（2024·江蘇南京·一模）如圖，將矩形繞點A旋轉(zhuǎn)，使點B的對應(yīng)點恰好落在上．若連接，則的長為．第12題圖第13題圖第14題圖第15題圖16．（2024·江蘇南京·一模）如圖，在△ABC中，，，點P是內(nèi)一點，過點P作，，垂足分別為D，E，F(xiàn)，連接，若，則的最小值為．17．（2024·江蘇南京·二模）如圖，內(nèi)接于，，點在上，于點，若，，則的長為．18．（2024·江蘇南京·二模）如圖，在中，，，分別是，上的點，將△ABC沿著折疊，使點落在邊的中點（記為處．若，，則的長為．第16題圖第17題圖第18題圖19．（2024·江蘇南京·三模）如圖，四邊形中，，，，，若，則BD的長為．20．（2024·江蘇南京·二模）如圖，點、在反比例函數(shù)的圖像上，連接AB并延長交軸于點，若是的中點，的面積為，則的值為．21．（2024·江蘇南京·三模）如圖，在中，，是角平分線，的垂直平分線分別交、于點E、F．若，，則的長為．22．（2022·江蘇南京·一模）如圖Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝2，AC＝4，點P為BC上任意一點，連接PA，以PA，PC為鄰邊作平行四邊形PAQC，連接PQ，則PQ的最小值為．第19題圖第20題圖第21題圖第22題圖23．（2023·江蘇南京·二模）如圖，在矩形中，，點在上，的平分線交于點．若，則．24．（2024·江蘇南京·二模）如圖，正方形邊長為12，E為上一點，．動點P，Q從E出發(fā)，分別向點B，C運動，且．若和交于點F，連接，則的最小值為．25．（2024·江蘇南京·一模）如圖，在△ABC中，，點D是邊上一點，且，，則△ABC面積的最大值為．第23題圖第24題圖第25題圖三、尺規(guī)作圖題26．（2022·江蘇南京·二模）如圖，已知△ABC．點，分別在，上，且滿足，．(1)用直尺和圓規(guī)確定點，；（保留作圖痕跡，不寫作法）(2)連接，，與交于點．①求證；②若，，，則的長為________．27．（2024·江蘇南京·三模）如圖，分別在一個單位長度網(wǎng)格線上，皆不為中點；(1)僅用直尺作出圖一的中點；(2)僅用直尺作出圖二的中點．28．（2023·江蘇南京·三模）（1）已知：如圖，、是內(nèi)兩點，求作：的直徑，使．（2）已知：如圖，、是的半徑，求作：弦，使其與、的交點是的三等分點．（要求：尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，寫出必要的文字說明．）

四、壓軸解答題29．（2023·江蘇南京·一模）P為△ABC內(nèi)一點，連接在和中，如果存在兩個三角形相似，那么稱P是的內(nèi)相似點．

【概念理解】(1)如圖①，在△ABC中，，P是△ABC的內(nèi)相似點．直接寫出的度數(shù)．【深入思考】(2)如圖②，P是△ABC內(nèi)一點，連接，從下面①②③中選擇一個作為條件，使P是△ABC的內(nèi)相似點，并給出證明．①；②；③．【拓展延伸】(3)如圖③，在中，．求作一點P，使P是△ABC的內(nèi)相似點．要求：①尺規(guī)作圖；②保留作圖痕跡，寫出必要的文字說明．30．（2024·江蘇南京·一模）在△ABC中，(1)設(shè)，求證：，在小明和小紅的思路中，請選擇一種繼續(xù)完成證明．(2)如圖③，已知線段m，n．求作：滿足已知條件的，且，（要求：尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，寫出必要說明．）(3)若△ABC有一條邊的長度為4，設(shè)的周長為l，直接寫出l關(guān)于k的函數(shù)表達式，以及l(fā)的取值范圍．31．（2024·江蘇南京·二模）幾何圖形中，兩條線段乘積關(guān)系的構(gòu)造往往可以借助相似三角形的比例關(guān)系去關(guān)聯(lián)……．【模型認識】（1）如圖①，在四邊形中，點E在邊上，連接，．（Ⅰ）求證：；（Ⅱ）與滿足的數(shù)量關(guān)系為______；【初步理解】（2）如圖②，在△ABC中，，，點D在△ABC外，，連接并延長到點E，，點N在上，交于點M，，求證：．【問題解決】（3）如圖③，在△ABC中，，點D在△ABC外，D到A的距離等于，過點D作直線l，使l分別交于點，且平分△ABC的面積．（要求：用直尺和圓規(guī)作圖；保留作圖的痕跡，寫出必要的文字說明．）32．（2023·江蘇南京·二模）“黃金分割”給人以美感，它在建筑、藝術(shù)等領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用．如圖①，點C把線段分成兩部分，如果，那么稱線段被點C黃金分割，點C為線段的黃金分割點．與的比稱為黃金比，它們的比值為．請完成下面的問題：

(1)如圖②，，點A在邊上，．請在邊上用無刻度的直尺和圓規(guī)作出點B，使得與的比為黃金比；（不寫作法，保留作圖痕跡）

(2)如圖③，在△ABC中，，若，請你求出的度數(shù)．

33．（2024·江蘇南京·三模）我們知道：三角形的三條角平分線交于一點（內(nèi)心）、三條中線交于一點（重心）、…（1）如圖1，△ABC的中線相交于點，連接，易證，可得．如圖2．的中線相交于點，同理易證①．于是，點與點重合，三角形的三條中線交于一點．這樣證明兩個點（與）是同一點的方法也稱為“同一法”．（2）如圖3，是△ABC的角平分線，求證：．由此，得到結(jié)論：三角形內(nèi)角平分線分對邊所得的兩條線段和這個角的兩邊對應(yīng)成比例．（3）根據(jù)（2）中得到的結(jié)論用“同一法”證明：△ABC的三條角平分線交于一點．（4）在中，，，是△ABC的角平分線，且，則．34．（2022·江蘇南京·一模）解決問題常常需要最近聯(lián)想，遷移經(jīng)驗．例如研究線段成比例時需要想到……(1)【積累經(jīng)驗】如圖①，⊙O是△ABC的外接圓，AD是△ABC的高，AE是⊙O的直徑．求證．(2)如圖②，已知線段a，b，c．用兩種不同的方法作線段d，使得線段a，b，c，d滿足．要求：①用直尺和圓規(guī)作圖；②保留作圖的痕跡，寫出必要的文字說明．(3)【問題解決】如圖③，已知線段a，b．AB是⊙O的弦．在⊙O上作點C，使得CA·CB＝ab．要求：①用直尺和圓規(guī)作圖；②保留作圖的痕跡，寫出必要的文字說明．35．（2023·江蘇南京·二模）(1)【初步感知】如圖1，在正方形中，，點是對角線上任意一點(不與重合)，點是的中點，連接，過點作交直線于點．當(dāng)點與點重合時，比較：______________(選填“>”、“<”或“=”)．【再次感知】如圖1，當(dāng)點在線段上時，如何判斷和數(shù)量關(guān)系呢？甲同學(xué)通過過點分別向和作垂線，構(gòu)造全等三角形，證明出；乙同學(xué)通過連接，證明出，從而證明出．(2)【聯(lián)想感悟】如圖2，當(dāng)點落在線段上時，判斷和的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．(3)【拓展應(yīng)用】如圖3，連接，并延長交直線于點．①若，求的長；②若△APE的面積是，則的長為______________；③直接寫出△APE面積的取值范圍：______________．36．（2023·江蘇南京·三模）在平面內(nèi)，兩個面積相等的三角形，若有頂點重合，且重合頂點所在的角相等，則稱這兩個三角形關(guān)于這個頂點成“等角等積三角形”．例如：如圖①，在△ABC和△ADE中，若，，則△ABC和△ADE關(guān)于點Ａ成“等角等積三角形”．

(1)如圖②，，求證：△ABD：△AEC；(2)如圖③，在△ABC中，，為上的一點，連接．用直尺和圓規(guī)作一個點，使△ABC和△ADE關(guān)于點成“等角等積三角形”（保留作圖痕跡，寫出必要的文字說明）．

(3)如圖④，，，為射線上一點，作，使、位于的兩側(cè)，，，連接，則長的最大值為______．

37．（2024·江蘇南京·一模）幾何問題中需建構(gòu)模型去研究圖形中元素之間的關(guān)系…在△ABC中，P是上一點，點E在直線的上方，連接，，，探究下列問題：【認識模型】（1）如圖①，，①連接，求證：；②與滿足的數(shù)量關(guān)系為；【運用模型】（2）已知，D是的中點，且，①如圖②，若P是的中點，連接，求證：；②若，當(dāng)點P在上運動時，點E的位置隨點P的位置的變化而變化，直接寫出的長的最小值．38．（2024·江蘇南京·一模）題目：已知：如圖，△ABC．求作：矩形，使頂點分別在，，頂點都在邊上，且（用直尺和圓規(guī)作圖，寫出必要的文字說明．）(1)小明對上述題目的解答如圖①所示（隱去了弧），他寫的文字說明是：是高，，，求證：矩形即為所作；(2)如圖②，小麗只會作矩形，除了頂點不在邊上外，其他都已經(jīng)滿足了題目的要求，她想通過圖形的變換將矩形變化為要求作的矩形．請按小麗的思路完成作圖，并描述從矩形到矩形的變換過程．39．（2024·江蘇南京·二模）將圖形特殊化是發(fā)現(xiàn)結(jié)論和探索方法的重要途徑．如圖，在△ABC中，是中線，是邊上一點，，作的垂直平分線分別交于點，探究下列問題．【特殊化】（1）當(dāng)點與點重合時，①在圖中，畫出此特殊情形的圖；②此情形下，點與點重合，此時與滿足的數(shù)量關(guān)系為．（2）當(dāng)點與點重合時，在圖中，用尺規(guī)作出點的位置；（保留作圖痕跡，寫出必要的文字說明）【一般化】（3）當(dāng)點中，任意兩點不重合時，如圖，判斷（1）問中與所滿足的數(shù)量關(guān)系在此情形下是否仍然成立？說明理由．40．（2024·江蘇南京·二模）在△ABC中，是邊上的中線，是邊上的中線，、交于點．(1)求證：點在邊的中線上．如圖①，連接并延長，與交于點，連接，與交于點．證明途徑可以用下面的框圖表示，請?zhí)顚懫渲械目崭瘢?2)當(dāng)時，①如圖②，連接，求證：；②若，則△ABC面積的最大值為______．(3)如圖③，已知線段、，求作△ABC，使，，且，（要求：尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，寫出必要說明．）41．（2023·江蘇南京·三模）某數(shù)學(xué)興趣小組在數(shù)學(xué)課外活動中，對多邊形內(nèi)兩條互相垂直的線段做了如下探究：

【觀察與猜想】(1)如圖，在正方形中，，分別是，上的兩點，連接，，若，則的值為___________；(2)如圖，在矩形中，，，是上的一點，連接，，若，則的值為___________；【類比探究】(3)如圖，在四邊形中，，為上一點，連接，過作的垂線交的延長線于，交的延長線于，求證：；【拓展延伸】(4)如圖4，在中，，，將沿翻折，落在處，得到，為線段上一動點，連接，作，交于，垂足為，連接．若，則的最小值為___________．42．（2024·江蘇南京·一模）如何拍出大長腿的效果？【數(shù)學(xué)眼光】如圖①，低角度拍攝，并結(jié)合仰拍技巧，可以有效地拉長腿部線條．

【數(shù)學(xué)思維】（1）針孔相機的成像原理：如圖②，由于光的直射，人的足部A與頭部B通過小孔O的成像分別在，處，線段的像是線段，上點C的像是點C′．若，求證：．

【數(shù)學(xué)語言】（2）如圖③，小美站立在A處，攝影師給小美仰拍．小美的身高的像為，腿部的像為．①試說明能拍出大長腿效果的理由；②若，，則．

43．（2024·江蘇南京·三模）解決幾何問題時常常通過圖形變換構(gòu)造相似（全等）三角形等，從而快速獲得解決問題的途徑……(1)如圖①，在四邊形中，，連接，寫出、與之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．(2)如圖②，是四邊形的對角線．，求的值．(3)如圖③，在等腰中，，點D，E分別在邊上，，點P在內(nèi)，連接，，若，則的最小值是．參考答案：題號1234567答案ADADBBD1．A【分析】如圖，過作軸于點，延長交于，由題意知，四邊形是矩形，由翻折的性質(zhì)可知，，，則，，證明，則，即，計算求出、的長，進而可得點坐標(biāo)．【詳解】解：如圖，過作軸于點，延長交于，由題意知，四邊形是矩形，由翻折的性質(zhì)可知，，，∴，，∵，，∴，∴，∴，即，解得，，∴，故選A．【點睛】本題考查了翻折的性質(zhì)，矩形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)．解題的關(guān)鍵在于構(gòu)造、，利用相似的判定與性質(zhì)求出線段、的長．2．D【分析】如圖所示，連接，連接交于M，先證明，則，由圓周角定理得到，進而證明是等腰直角三角形，推出，進一步證明是等腰直角三角形，則，設(shè)，則，，，證明，即可得到．【詳解】解：如圖所示，連接，連接交于M，∵，∴，∴，，∵是直徑，∴，∴是等腰直角三角形，∴，∴是等腰直角三角形，∴設(shè)，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴，故選D．

【點睛】本題主要考查了圓周角定理，垂徑定理，勾股定理，等腰直角三角形的性質(zhì)與判定，相似三角形的性質(zhì)與判定等等，正確作出輔助線構(gòu)造相似三角形和等腰直角三角形是解題的關(guān)鍵．3．A【分析】本題考查相似的性質(zhì)和判定，設(shè)長邊，短邊，O離地面的距離為h，由相似的性質(zhì)得到、和之間的關(guān)系并求解，即可解題．【詳解】解：設(shè)長邊，短邊，O離地面的距離為h，根據(jù)相似得：，由得：，解得，故選：A．4．D【分析】由含的直角三角形的性質(zhì)可求，利用勾股定理求得，分兩種情況討論，由三角形中位線定理和相似三角形的性質(zhì)可求解．【詳解】解：在中，，∴，∵點D是的中點，∴，∵，∴，如圖，當(dāng)時，∵，，∴，∴，∴，如圖，當(dāng)時，取的中點H，連接，∵點D是中點，點H是的中點，∴，∴，∴，∴，∴，故選：D．【點睛】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，利用分類討論思想解決問題是解題的關(guān)鍵．5．B【分析】本題考查了正方形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，三角形的面積公式，添加恰當(dāng)輔助線構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵．由正方形的性質(zhì)可求，，由面積的和差關(guān)系可求，即可求，，由相似三角形的判定和性質(zhì)可求解．【詳解】解：解：如圖，過點作于，交于，∵正方形，∴，，，，，正方形的面積為16，∴，，，的面積為6，，，，，，，，故選：B．6．B【分析】此題重點考查相似三角形的判定與性質(zhì)、等式的性質(zhì)、乘法公式等知識．由，，，，則，，所以，，則，所以，則，，由，得，所以，則，可判斷①符合題意；由得，因為不一定等于，所以與不一定相等，可判斷②不符合題意；由，且，得，可判斷③符合題意，于是得到問題的答案．【詳解】解：，，，，，，∴，，，，，，，，，，，，，故①符合題意；由得，與不一定相等，不一定等于，與不一定相等，故②不符合題意；，且，，故③符合題意，故選：B．7．D【分析】本題重點考查三角形的外心的定義和性質(zhì)、三角形中位線定理、相似三角形的判定與性質(zhì)等知識，由三角形的外心的定義可知，垂直平分垂直平分垂直平分，則，所以，則，求得，所以，由H，I，J分別是的中點，可證明，求得，所以，于是得到問題的答案．【詳解】解：∵O是的外心，，垂足分別為D，E，F(xiàn)，∴垂直平分垂直平分垂直平分，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∵分別是的中點，∴，∴，∴，∴，∵，∴，故選：D．8．【分析】由題意易得，然后問題可求解．【詳解】解：∵四邊形是平行四邊形，∴，，∴，∵E是線段的中點，∴，∴，∴；故答案為．【點睛】本題主要考查平行四邊形的性質(zhì)及相似三角形的性質(zhì)與判定，熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)及相似三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．9．4【分析】先利用勾股定理得到，再利用網(wǎng)格的特點證明，則．【詳解】解：由題意得，由網(wǎng)格的特點可知，∴，∴，故答案為：4．【點睛】本題主要考查了勾股定理，相似三角形的性質(zhì)與判定，熟知相似三角形的面積之比等于相似比的平方是解題的關(guān)鍵．10．10【分析】利用△AED和△DFC相似和30°所對的直角邊等于斜邊的一半即可以解決．【詳解】過點E做EG⊥BC于點G，∵DE∥BC，DF∥AB，∴∠AED=∠B=∠DFC=30°，∠FDC=∠A，∴△AED∽△DFC，∴，∴，∴，在△BEG中，∴S=．【點睛】本題考查了平行四邊形的面積的求法，相似三角形的判定和性質(zhì)，30°所對直角邊等于斜邊的一半的性質(zhì)，利用相似三角形的對應(yīng)邊成比例是解決本題的關(guān)鍵．11．【分析】連接CD，由線段的垂直平分線的性質(zhì)可得CD=BD=6，進而可得∠DCB=∠B，可推出∠ADC=2∠B=∠ACB，易證△ACD∽△ABC，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可求得AC，繼而可求得BC，然后根據(jù)線段的垂直平分線的性質(zhì)和勾股定理即可求得答案．【詳解】解∶如圖，連接CD，∵DE是BC的垂直平分線，∴CD=BD=6，∴∠DCB=∠B，∴∠ADC=∠B+∠DCB=2∠B=∠ACB，又∵∠A=∠A，∴△ACD∽△ABC，∴，即：，解得：，∴，在中，由勾股定理得：．故答案為：．【點睛】本題主要考查了線段的垂直平分線的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、三角形外角的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求出BC是解題的關(guān)鍵．12．【分析】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)，熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．求出，，，由平行四邊形的性質(zhì)得出，過點作軸于點，求出，，求出的長，則可得出答案．【詳解】解：，，，，，，，，，四邊形是平行四邊形，，過點作軸于點，，，，∴∴，，．故答案為：．13．【分析】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，二次函數(shù)的最值，勾股定理，設(shè)的長為，的長為，先證明，得到，進而得到，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求出的最大值，即可利用勾股定理求出的最小值，利用相似三角形得到二次函數(shù)的解析式是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：設(shè)的長為，則，的長為，∵，∴，∴，∵四邊形是矩形，∴，∴，∴，∴，∴，即，∴，當(dāng)時，，即的最大值為，當(dāng)時，，此時為最小，∴的最小值，故答案為：．14．/【分析】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)、折疊的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)，由等邊三角形的性質(zhì)得出，由折疊得：，，，證明，得出，設(shè)，則，，則，求出，，，建立方程，求出的值即可得解，證明是解此題的關(guān)鍵．【詳解】解：是等邊三角形，，由折疊得：，，，，，，，設(shè)，則，，則，，，，，，，，，，解得：，，，的邊長是，故答案為：．15．【分析】本題主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，勾股定理，解直角三角形及等腰三角形的性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)和判定，解答本題的關(guān)鍵是證明和是相似三角形，此題難度不大．作于M，于N，先用勾股定理求出，進而用等積法得到AM，利用三角函數(shù)及等腰三角形的性質(zhì)求出，最后證明，得成比例的線段即可得到的長度．【詳解】解∶作于M，于N，，，矩形中，，，，，，即，，，，，，，，，即，．故答案為：．16．【分析】此題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理、等腰三角形的判定和性質(zhì)等知識，先判斷出當(dāng)時，取得最小值，求出，利用角平分線的性質(zhì)得到，設(shè)，則，證明，則，得到，解得，即可求出的最小值．【詳解】解：當(dāng)時，取得最小值，如圖，∵，，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，設(shè)，則，∵，，∴，∴，∴，解得，∴，故答案為：．17．【分析】先根據(jù)圓周角定理推得、，證明后，利用相似三角形性質(zhì)和含直角三角形的特征即可求解．【詳解】解：連接，內(nèi)接于，且，是的直徑，，又，，，又，，，，中，，，，，．故答案為：．【點睛】本題考查的知識點是圓周角定理、相似三角形的判定與性質(zhì)、含直角三角形的特征，解題關(guān)鍵是利用熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)．18．/【分析】連接交于點，先求出，然后證明△，，可求出，，最后由勾股定理即可求出．【詳解】解：連接交于點，如圖，在中，，，，由勾股定理，得，點是邊的中點，，，，將沿著折疊，使點落在邊的中點處，，，，，又，，，，，，即，，解得，，在中，由勾股定理，得．故答案為：．【點睛】本題考查翻折變換，直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，勾股定理，相似三角形的判定和性質(zhì)，掌握相關(guān)知識是解題的關(guān)鍵．19．【分析】本題考查勾股定理，相似三角形的判定和性質(zhì)，解直角三角形，過作于點，過點D作于點F，然后利用解直角三角形得到，然后證明，得到，求出和CF長，再利用勾股定理解題即可．【詳解】如圖，過作于點，過點D作于點F，∵，∴，又∵，∴，∵，，，∴∴，∴，∴，∴，即，解得：，，∴，∴．20．【分析】本題考查了反比例函數(shù)的幾何意義，相似三角形的性質(zhì)與判定，過作，過作，連接，得到，根據(jù)的幾何意義和為的中點，得到，再根據(jù)的面積為3，求出的面積即可得解．【詳解】解：過作，過作，分別交于點，連接，

則：，∴，∴，∵為的中點，∴，∴，∵點，在反比例函數(shù)的圖象上，∴，即：，∵，∴，∴，∴，∴，∵，是的中點，則，∴，∴．故答案為：．21．【分析】過作于點，于點，過作于點，則有四邊形是矩形，，，再由角平分線性質(zhì)得，，證明，，，即，設(shè)，則，，，，再由，求出，，最后由勾股定理即可求解．【詳解】如圖，過作于點，于點，過作于點，∴四邊形是矩形，∴，，∵平分，∴由角平分線性質(zhì)得：，，∴，∴，在中，由勾股定理得：，∵垂直平分，∴，∴，∴，∵，，∴，∴，∴，即，設(shè)，則，∴，，，∵，∴，解得，∴，，在中，由勾股定理得：，故答案為：．【點睛】本題考查了角平分線的性質(zhì)，矩形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，垂直平分線的性質(zhì)，勾股定理和解直角三角形，熟練掌握知識點的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．22．【分析】設(shè)PQ與AC交點為O，以PA，PC為鄰邊作平行四邊形PAQC，由平行四邊形的性質(zhì)可知O是AC中點，PQ最短也就是PO最短，所以應(yīng)該過O作BC的垂線，然后根據(jù)和△ABC相似，利用相似三角形的性質(zhì)即可求出，得到PQ的最小值．【詳解】解：設(shè)PQ與AC交點為O，∵∠BAC＝90°，AB＝2，AC＝4，∴BC＝＝2，∵四邊形APCQ是平行四邊形，∴PO＝QO，CO＝AO，∵PQ最短也就是PO最短，∴過O作BC的垂線，∵，，∴△CAB∽△，∴，∴，∴＝，∴則PQ的最小值為2＝，故答案為：．【點睛】本題考查了勾股定理的運用、平行四邊形的性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)以及垂線段最短的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是作垂線段，構(gòu)建相似三角形．23．9【分析】延長，交于點，易得為等腰三角形，得到，設(shè)，則：，，證明，求出的長，進而得到的長，在中，勾股定理求出的長，利用，求出的值，即可得出結(jié)果．【詳解】解：延長，交于點，

∵在矩形中，，∴，，∴，∵的平分線交于點，∴，∴，∴，設(shè)，則：，∴，，在中，，∵，∴，∴，即：，∴，∴，∵，∴，整理得：，解得：或（舍去），∴；故答案為：．【點睛】本題考查矩形的性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)．解題的關(guān)鍵是添加輔助線，構(gòu)造等腰三角形和相似三角形．24．【分析】在上取點G，使得，連接，過點E作，垂足為H，證明，得到，從而易證，得到，易得點三點共線，則點F在直線上運動，當(dāng)時，有最小，證明，得到，利用勾股定理求出，即可得出結(jié)果．【詳解】解：在上取點G，使得，連接，過點E作，垂足為H，四邊形是正方形，，，，，，，，，，，為定角，點三點共線，則點F在直線上運動，當(dāng)時，有最小，，，，，，，四邊形是矩形，，，，，，的最小值為，故答案為：．【點睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，矩形的判定與性質(zhì)，正確作出輔助線，構(gòu)造三角形相似是解題的關(guān)鍵．25．/【分析】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、解直角三角形、圓周角定理等知識，構(gòu)造相似三角形，利用定弦定角模型求解是解答的關(guān)鍵．延長AD到E，使，證明得到，，進而推導(dǎo)出，，又，作的外接圓，設(shè)圓心為O，當(dāng)是等腰三角形時，邊上的高最大，則最大，此時點B在點處，，連接交于F，解直角三角形求得最大面積，進而可求解．【詳解】解：延長到E，使，∵，∴，又，∴，∴，，設(shè)，∵，∴，又，∴；∵，∴，又，∴作的外接圓，設(shè)圓心為O，當(dāng)是等腰三角形時，邊上的高最大，則最大，此時點B在點處，，連接交于F，則，，∴，則；∴面積的最大值為，故答案為：．26．(1)作圖見解析；(2)①見解析，②．【分析】（1）以點A為圓心，線段AB的長為半徑畫弧交BC于點D，分別以點B和點C為圓心，以同樣的長度（大于BC）為半徑畫弧，分別交于點G和點H，作直線GH交AC于點E，則點D和點E即為所求；（2）①由AB＝AD得到∠ABC＝∠BDF，由，得到∠DBF＝∠C，結(jié)論得證；②作AM⊥BC于點M，先證明△ABC∽△MBA，得到，由勾股定理求得BC，代入AB、AC、BC求得MB，等腰三角形三線合一得BD的長，再用得，代入數(shù)值求得DF即可．【詳解】（1）解：點D，E如圖所示，（2）①證明：∵AB＝AD，∴△ABD是等腰三角形，∴∠ABC＝∠BDF，∵，∴∠DBF＝∠C，∴．②解：如圖，作AM⊥BC于點M，則∠AMB＝90°，∵，∴∠BAC＝∠AMB，∵∠ABC＝∠MBA，∴△ABC∽△MBA，∴，∵，，∴BC＝，∴，∴MB＝，∵AB＝AD，∴△ABD是等腰三角形，∵AM⊥BC，∴MB＝DM＝，∴BD＝MB＋DM＝，由①知，∴，∴，∴DF＝．故答案為：．【點睛】此題考查了基本作圖、等腰三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理、相似三角形的判定和性質(zhì)等知識，熟練掌握相似三角形的判定和性質(zhì)是基礎(chǔ)，添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵．27．(1)見解析(2)見解析【分析】（）根據(jù)平行線分線段成比例定理作圖即可；（）根據(jù)三角形的重心及中線可進行求解；本題考查了尺規(guī)作圖，掌握知識點的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．【詳解】（1）如圖，根據(jù)平行線分線段成比例定理∴點即為所求；（2）在格點上取一點C，連接，根據(jù)（1）所作方法取的中點H、G，連接，交于一點R，然后連接并延長，交于一點D，則點D即為所求，所作圖形如圖所示：28．（1）見解析；（2）見解析【分析】（1）連接，，，根據(jù)對稱的性質(zhì)可得，根據(jù)全等三角形的判定和性質(zhì)可得，根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)可得，即可得到．（2）令與的交點為，與的交點為，根據(jù)對稱的性質(zhì)可得，根據(jù)等邊對等角可得，根據(jù)等角的補角相等可得，根據(jù)全等三角形的判定和性質(zhì)可得，根據(jù)平行線分線段成比例可得，根據(jù)相似三角形的判定和性質(zhì)可得，即可推得．【詳解】（1）作法：連接并延長，以為圓心，的長為半徑，畫弧，與的延長線交于點；連接，分別以點，為圓心，大于的長為半徑畫弧，分別交于點，，連接，在的右側(cè)與交于點；連接并延長，與交于點，即為所求．

理由：連接，，，如圖，

根據(jù)作法可知，點與點關(guān)于點對稱，是的垂直平分線，∵，，，∴，∴，∵是的垂直平分線，∴，∴．（2）作法：延長，以點為圓心，的長為半徑，畫弧，與的延長線交于點；延長，以點為圓心，的長為半徑，畫弧，與的延長線交于點；連接，，分別于交于點，點，連接，即為所求．

理由：令與的交點為，與的交點為，如圖，

根據(jù)作法可知，，,∵，∴，∴，∵，，，∴，∴，∵，∴，∵，，∴，∴，同理，，∴，故．【點睛】本題考查了尺規(guī)作圖——作垂線和線段，對稱的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，垂直平分線的性質(zhì)，等邊對等角，等角的補角相等，平行線分線段成比例，相似三角形的判定和性質(zhì)等，熟練掌握尺規(guī)作垂線和線段是解題的關(guān)鍵．29．(1)或或(2)選擇①，證明見解析(3)見解析【分析】（1）分3種情況分別討論求解即可；（2）選擇一種情況，證明三角形相似即可；（3）畫出圖形，作簡單說明即可．【詳解】（1）解：∵，∴，∴，若，則，，則，∴，若，則，，則，∴，若，則，則，∴，∴，綜上可知，的度數(shù)為或或；

（2）選擇①，證明：如圖②，延長得到射線．

∵，，∴．∴．又，∴．又，∴．又，∴，即P是的內(nèi)相似點．選擇②，證明：如圖②，延長得到射線．

∵，∴，即．∵，∴．又，∴．∵，∴．又，∴，即P是的內(nèi)相似點.選擇③，如圖②，延長得到射線

∵，∴，∵，，∴．∴．又，∴．無法證明或，∴條件③無法證明P是的內(nèi)相似點；（3）方法不唯一．如圖，作法如下：

①作的垂直平分線，與交于點D；②作的垂直平分線，與交于點O；③以O(shè)為圓心，為半徑作，與交于點E；④連接，與交于點P，點P即為所求．【點睛】此題考查了主要考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，圓的相關(guān)性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．30．(1)見解析(2)見解析(3)當(dāng)時，，此時；當(dāng)時，，此時，當(dāng)時，，此時；【分析】此題主要考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，數(shù)形結(jié)合和分類討論是解題的關(guān)鍵．（1）選擇小明的思路：證明，則，得到，進一步即可得到結(jié)論；選擇小紅的思路：由翻折可知證明，則，得到，由即可得到結(jié)論；（2）按照步驟：①作，②以點C為圓心，n為半徑作圓，以點D為圓心，m為半徑作圓，兩圓相交于點A，③以點A為圓心，m為半徑作圓，交的延長線于點B，則即為所求，（3）分三種情況分別進行解答即可．【詳解】（1）證明：選擇小明的思路：∵，∴∵∴，∵∴∵∴，∴∴∵，∴即；選擇小紅的思路：由翻折可知，∵∴∴，∵∴∴∵，∴∵，∴∴（2）如圖，即為所求，（答案不唯一）①作，②以點C為圓心，n為半徑作圓，以點D為圓心，m為半徑作圓，兩圓相交于點A，③以點A為圓心，m為半徑作圓，交的延長線于點B，則即為所求，（3）∵設(shè)，則∵∴即，∴，由（1）得，分三種情況：①當(dāng)時，即，∴，即，代入得，解得，∴∴，②當(dāng)時，代入得，解得，∴∴，③當(dāng)時，則代入得，解得，∴∴，綜上可知，當(dāng)時，，此時；當(dāng)時，，此時，當(dāng)時，，此時；31．（1）（Ⅰ）見解析；（Ⅱ）；（2）見解析；（3）見解析【分析】（1）（Ⅰ）根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得，即可得出結(jié)論；（Ⅱ）根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得，，從而可得，，再根據(jù)四邊形的內(nèi)角和可得，即可得出結(jié)論；（2）證明，可得，即，再根據(jù)三角形面積公式及，即可得出結(jié)論；（3）作的垂直平分線，交于點E，連接并延長作直線l，再以點A為圓心，為半徑作弧，交直線l于點D．【詳解】解：（1）（Ⅰ）∵，∴，∴；（Ⅱ）∵，∴，，∴，∵，∴，又∵，∴，∴；（2）∵，，∴，，∵，，∴，∴，∴，∴，∴；（3）如圖，作的垂直平分線，交于點E，連接并延長作直線l，再以點A為圓心，為半徑作弧，交直線l于點D，理由如下：∵點E是的中點，∴，∴，又∵點D、B在上，∴．【點睛】本題考查尺規(guī)作圖?垂直平分線及圓、相似三角形的判定與性質(zhì)、四邊形的內(nèi)角和，熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．32．(1)見解析(2)【分析】（1）先作線段的垂直線平分線，交線段于點C，再過點A作OA的垂線，以點A為圓心，的長為半徑畫弧，交射線于點E，連接，然后以點E為圓心，的長為半徑畫弧，交線段于點F，最后以點O為圓心，的長為半徑畫弧，交射線于點B，如圖，點B即為所求．（2）在邊上截取，連接，根據(jù)，可得，，，從而得到，進而得到，可證明，從而得到，設(shè)，根據(jù)三角形外角的性質(zhì)可得，從而得到，再由三角形外角的性質(zhì)，可得，即可求解．【詳解】（1）解：先作線段的垂直線平分線，交線段于點C，再過點A作OA的垂線，以點A為圓心，的長為半徑畫弧，交射線于點E，連接，然后以點E為圓心，的長為半徑畫弧，交線段于點F，最后以點O為圓心，的長為半徑畫弧，交射線于點B，如圖，點B即為所求．

理由：根據(jù)作法得：，，∴，∴，∴,∴，∴與的比為黃金比；（2）解：在邊上截取，連接，

∵，，∴，，∴，∴，∴，∵，∴，∴，設(shè)，∴，∵，∴，∴，∵，∴，解得：，∴．【點睛】本題主要考查了黃金分割，相似三角形的判定和性質(zhì)，復(fù)雜作圖，勾股定理等知識，熟練掌握相關(guān)知識點是解題的關(guān)鍵．33．（1）；（2）①；②；（3）見解析；（4）【分析】本題考查了三角形的中位線性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、角平分線的判定與性質(zhì)、勾股定理等知識，理解題中“同一法”是解答的關(guān)鍵．（1）利用三角形的中位線性質(zhì)和相似三角形的判定和性質(zhì)可得結(jié)論；（2）利用角平分線的性質(zhì)和三角形的面積公式求解即可；（3）利用角平分線的判定與性質(zhì)和“同一法”的證明方法解答即可；（4）過A作于H，由（2）中結(jié)論，得，設(shè)，則，設(shè)，則，，由勾股定理可得，，然后列方程求解x值即可．【詳解】解：（1）如圖1，的中線相交于點，連接，∴是的中位線，∴，，∴，∴，則．如圖2．的中線相交于點，連接，則是的中位線，∴，，∴，∴，則．則點與點重合，即三角形的三條中線交于一點．故答案為：；（2）根據(jù)所給證明過程，結(jié)合角平分線的性質(zhì)得①，再根據(jù)等量代換可得②，故答案為：①；②；（3）證明：如圖，、分別是的平分線，設(shè)、相交于點O，過O分別作于P，于Q，，則，，∴，又，，∴平分，即的三條角平分線交于點O；如圖，、分別是的平分線，設(shè)、相交于點，過分別作于P，于Q，于H，則，，∴，又，，∴平分，即的三條角平分線交于點，綜上，點O和點重合，故可得結(jié)論：的三條角平分線交于一點；（4）過A作于H，∵是的角平分線，，，∴由（2）中結(jié)論，得，設(shè)，則，設(shè)，則，，由勾股定理得，，，由得，由得，∴，則，解得（負值已舍去），∴．34．(1)答案見解析(2)答案見解析(3)答案見解析【分析】（1）先證∠ADC＝∠ABE，∠C＝∠AEB，得△ABE∽△ADC，即可得答案；（2）方法1，根據(jù)△ABC∽△DEF，可得DF＝d，方法2，根據(jù)AC×DB=AB×，可得BD＝d；（3）作EF＝a，EG為⊙O直徑，EH＝b，得EG·EI＝ab，再證CA·CB＝EG·EI，即可得答案．【詳解】（1）解：如下圖，連接BE，∵AD是△ABC的高，∴∠ADC＝90°．∵AE是⊙O的直徑，∴∠ABE＝90°，∴∠ADC＝∠ABE，∵，∴∠C＝∠AEB，∴△ABE∽△ADC，∴；（2）方法1，如下圖，作△ABC，使AB＝a，AC＝b，作DE＝c，∠D=∠A，∠DEF=∠ABC，∴△ABC∽△DEF，∴，∵，∴DF＝d，方法2，如下圖，作△使得AB＝2c，AB邊上的高為，AC＝a，以AB為直徑作半圓O，所以∠ADB=90°，∵AC×DB=AB×，∴aDB=2c×，∴aDB=bc，∴，∵，∴BD＝d；（3）如下圖，點C即為所求，作EF＝a，EG為⊙O直徑，EH＝b，由A型相似求出EI的長，∴，∴，∴EG·EI＝ab，在弦AB的上下各作距離為EI的等距平行線l1和l2，EI⊥AB，∵△EAG∽△EIB，∴EA·EB＝EG·EI，∵l1與弦AB的距離為EI，∴C、E重合，∴CA·CB＝ab，∴l(xiāng)1、l2與⊙O的交點即為點C．【點睛】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，圓的性質(zhì)，尺規(guī)作圖，解題的關(guān)鍵是掌握尺規(guī)作圖的方法．35．(1；(2)，見解析；(3)①；②或；③【分析】（1）初步感知：當(dāng)點與點重合時，則點與點重合，根據(jù)正方形的性質(zhì)即可得到結(jié)論；（2）理想感悟：，過作于，交CD于，由可證，可得結(jié)論；（3）①如圖3，過點作于，交于，由理想感悟知：，進而證明是等腰直角三角形，，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可求解；②設(shè)，則，由題意可知：，則，的面積是，，解得：或，然后根據(jù)，得出，分類討論即可求解；③設(shè)，則，由題意可知：，則，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解．【詳解】解：(1)初步感知：當(dāng)點與點重合時，則點與點重合，四邊形是正方形，，點是BD的中點，BD，即：，故答案為：；(2)聯(lián)想感悟：，理由如下：如圖2，過點作于，交于，∵四邊形是正方形，，，，，，，，，，，是等腰直角三角形，．，∴四邊形為矩形，，，在和中，，．；(3)①如圖3，過點作于，交于，由理想感悟知：，，，∴四邊形為矩形，，，是等腰直角三角形，．，，，，，，，又，，，，，②如圖3所示，設(shè)，則，由題意可知：，則∵的面積是∴解得：或∵∴，∵∴當(dāng)時，，∴解得：∴；當(dāng)時，∴解得：∴；故答案為：或9；③設(shè)，則，由題意可知：，則∵，∴．故答案為：．【點睛】本題考查了正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、正切的定義、二次函數(shù)的性質(zhì)及三角形的面積計算等知識點，作輔助線構(gòu)建全等三角形或相似三角形是解題的關(guān)鍵．36．(1)見解析(2)見解析(3)8【分析】（1）根據(jù)可得，即可證明；（2）過點A作，作，相交于點E；（3）以為直角邊作等角等積的，取的中點M，連接，，證明即可求解．【詳解】（1）證明：∵，∵，，∴，∵，即，∴，∴；（2）解：過點A作，作，相交于點E，如圖所示，

（3）解：以為直角邊作等角等積的，取的中點M，連接，，

∵，，∴，∴，∴，∴，∵，，∴，，∴，∴長的最大值為；【點睛】本題考查幾何綜合題，新定義下的計算，涉及到相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理解三角形等，靈活運用所學(xué)知識是關(guān)鍵．37．（1）①見解析；②；（2）①見解析；②的最小值為【分析】（1）①由相似三角形的性質(zhì)可知，，得，，即可證明結(jié)論；②根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可知，，再結(jié)合三角形的內(nèi)角和定理即可得結(jié)論；（2）①先證，得，由中位線定理及斜邊上中線等于斜邊得一半可得，，則，，再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可知，，進而可得，即可證明結(jié)論；②過點作交于點，連接，根據(jù)相似可得，，進而可得，則四點共圓，得出，進而得出，在為半徑的圓上，過點作于點，結(jié)合已知條件得出，，根據(jù)，即可求解．【詳解】解：（1）①證明：∵，∴，，則，，∴，∴；②∵，，∴，，∵，∴，故答案為：；（2）證明：∵，∴，，則，，∴，∴；∴，∵是的中點，是的中點，，∴，，則，，∵，∴，，則，∴；②如圖所示，過點作交于點，連接，∵，∴，∵，∴，∴∴四點共圓，∴，∵，∴，∴∴在為半徑的圓上，過點作于點，∵D是的中點，，∴，，∴，．∴，即的最小值為．【點睛】本題考查了相似三角形的判定及性質(zhì)，勾股定理，三角形中位線定理，直角三角形斜邊上中線等于斜邊一半，圓內(nèi)接四邊形對角互補，直角所對的弦是直徑，求一個點到圓上的距離的最值問題，熟練掌握相關(guān)圖形的性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵．38．(1)見解析(2)見解析【分析】本題考查了矩形的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、平行四邊形的判定與性質(zhì)，熟練掌握以上知識點并靈活運用是解此題的關(guān)鍵．（1）過點作交于，證明得出，證明得出，證明四邊形為平行四邊形得出，由①②③解得，即可得證；（2）連接并延長交于，作于，交于，作于，則四邊形為所作．【詳解】（1）證明：，，如圖，過點作交于，，則，，，，四邊形為矩形，，，，，，，，四邊形為平行四邊形，，由①②③得，，矩形即為所作；（2）解：如圖，連接并延長交于，作于，交于，作于，則四邊形為所作，，證明：四邊形符合，由作圖得，，，，，，，，矩形即為所作．39．（1）①圖見解析；②；（2）作圖見解析（3）成立，理由見解析【分析】（1）①根據(jù)題意，當(dāng)點與點重合時，由等腰直角三角形判定與性質(zhì)即可作出圖形即可；②由①中所在圖形及等腰直角三角形的判定與性質(zhì)即可得到答案；（2）根據(jù)題意，利用基本尺規(guī)作圖-垂直平分線作出圖形即可得到答案；（3）取中點，連接，過點作，垂足為，如圖所示，由三角形中位線的判定與性質(zhì)得到，，進而判斷是等腰直角三角形，再由三角形相似的判定與性質(zhì)利用相似比代值求解即可得到答案．【詳解】解：（1）①點與點重合，在中，是中線，，，，則，是等腰直角三角形，如圖所示：②當(dāng)點與點重合時，與重合，點與點重合，由①可知，是等腰直角三角形，是中線、高線和頂角平分線，是等腰直角三角形，且，則，，與滿足的數(shù)量關(guān)系為；故答案為：；；（2）作、的垂直平分線，在兩條垂直平分線上,以、中點為圓心,為半徑畫弧，在兩條垂直平分線上的交點分別為,再分別以為圓心，為半徑作圓，再以圓和垂直平分線的交點為圓心為半徑作圓，交圓于，如圖所示：點即為所求；（3）成立．證明如下：取中點，連接，過點作，垂足為，如圖所示：∵分別是的中點，∴，，